Métodos Quantitativos Tema 5 Aula 4

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Tema 5: Procedimento ANOVA com dois fatores - sem interação entre os grupos 
Nesse tema, preparamos um roteiro para realização da ANOVA de dois fatores utilizando o teste 
F. Para tornar bem didático o estudo, dividimos esse procedimento em seis passos. Acompanhe cada 
um deles a seguir: 
 
Passo 1. 
Estabelecer o teste de hipóteses: 
0AH :
 o fator A não influencia a variável em estudo. 
0BH :
 o fator B não influencia a variável em estudo. 
Passo 2. 
Realizar os seguintes cálculos: 
 Soma dos quadrados totais, que mede a variação total dos dados, 
tQ
. 
 Soma dos quadrados entre os níveis do fator A, 
AQ
. 
 Soma dos quadrados entre os níveis do fator B, 
BQ
. 
 Variação dentro dos grupos, 
DQ
. 
Passo 3. 
Realizar o cálculo das variâncias: 
 Entre os grupos do fator A, 
2
AS
. 
 Entre os grupos do fator B, 
2
BS
. 
 Dentro dos grupos, 
2
DS
. 
Com isso, avaliam-se as razões 
A
calF
 e 
B
calF
. 
Passo 4. 
Constrói-se o quadro de análise de variância conforme a Tabela 4 (que você viu na aula anterior). 
 
 
Passo 5. 
Para ambos os fatores, esboçam-se os gráficos ilustrativos para visualizar as regiões críticas (RC) 
e de aceitação (RA) para a hipótese nula. Isso é feito com o auxílio da tabela de distribuição F. 
 
Passo 6. 
Comparam-se os valores de 
A
calF
 e 
B
calF
 com os de 
A
tabF
 e 
B
tabF
, respectivamente, e obtêm-se a 
conclusão. 
Para colocar em prática essa teoria, vamos agora à solução do exemplo ilustrativo inicial, retirado 
de Martins (2010): 
Deseja-se saber ao nível de significância 
de 5%: 
a. Se há diferença na safra devido à 
variedade do trigo. 
b. Se há diferença na produção devido ao 
fertilizante. 
 
Solução: 
Passo 1: verificar a hipótese a ser testada: 
0AH :
 a variedade não altera a produção de trigo. 
0BH :
 o tipo de fertilizante não altera a produção de trigo. 
Passo 2: realizar os seguintes cálculos: 
 Soma dos quadrados totais, que mede a variação total dos dados: 
       
2a b
2 2 2
t i j
i 1 j 1
Q y y 54 47,9 38 47,9 50 47,9
 
         L
 
tQ 314,9
 
 Soma dos quadrados entre os níveis do fator A (variedade do trigo): 
     
2a
2 2
A i
i 1
Q b y y 5 * 46,4 47,9 49,4 47,9

      
 
 
AQ 22,5
 
 Soma dos quadrados entre os níveis do fator B (tipo de fertilizante): 
       
2b
2 2 2
B j
j 1
Q a y y 2 * 55,5 47,9 40 47,9 47 47,9

          
  L
 
BQ 279,4
 
 Variação dentro dos grupos: 
D t A BQ Q Q Q 314,9 279,4 22,5     
 
DQ 13
 
Passo 3: calcular as variâncias: 
 
Com isso se avalia as razões 
A
calF
 e 
B
calF
 
 2A A
cal 2
D
S
F 6,92
S
  
2
B B
cal 2
D
S
F 21,49
S
  
 
Passo 4: montar o quadro de análise de variância: 
 
Passo 5: construir os gráficos para ilustrar as regiões de aceitação (RA) e as regiões críticas 
(RC). 
Para o fator A (variedade do trigo), temos 1 grau de liberdade no numerador e 4 para o 
denominador. Verificando a tabela de distribuição F ao nível de significância de 5%, encontramos 
tabF 7,71
. Nessa mesma linha, para o fator B (fertilizante) temos 4 graus de liberdade para o 
numerador e 4 para o denominador. Ao buscar na tabela de distribuição encontramos 
tabF 6,39.
 
 
Nas figuras seguintes, esboçamos os gráficos ilustrando as regiões críticas de aceitação para cada 
fator: 
 
 
 
Passo 6: conclusão: 
Para o fator A, variedade do trigo é dada por 
A
cal tabF 6,92 F 7,71  
. Logo, com 95% de confiança, a 
hipótese nula 
0AH
 é aceita, concluindo que a variedade de trigo não altera a produção de grãos. 
Para o fator B, o fertilizante é dado por 
B
cal tabF 21,49 F 6,39.  
 Logo, com 95% de confiabilidade a 
hipótese nula 
0BH
é rejeitada. Portanto o tipo de fertilizante usado altera na produção de grãos. 
 
 
Referências 
MARTINS, G. A. Estatística geral e aplicada. 3. edição. Editora Atlas, 2010. 
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística: atualização da tecnologia. 11 ed. Editora LTC, 2014. 
PORTAL Action. Disponível em: 
http://www.portalaction.com.br/ Acesso em: 17 jun. 2015.