Relatório Experimento 2

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Universidade Federal de Goiás
Escola de Engenharia Elétrica
DEPENDÊNCIA DA CONDUTIVIDADE ELÉTRICA COM A TEMPERATURA: COBRE E GERMÂNIO
Alunos: 
Bruno Martins Silva 073857
Flávio de Castro Alves 071769
Disciplina: Laboratório de Física Moderna 
Professor: Dr. Ricardo Costa de Santana
Goiânia, Abril de 2009
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é de investigar a condutividade elétrica em função da temperatura de um metal (Cu) e de um semicondutor (Ge). Calcular a energia do gap de energia no semicondutor a partir dos dados experimentais e compará-la com o valor esperado, e também obter a partir de dados experimentais o coeficiente de temperatura da resistividade do metal e também compará-lo com o valor esperado. 
INTRODUÇÃO
As propriedades elétricas dos materiais constituem importantes características que determinam suas aplicações. O entendimento das características elétricas dos materiais de forma clara é importante e serve para esclarecer estudantes e outras pessoas em geral de como ocorre a nível microscópico o fenômeno da resistência elétrica nos materiais. A conexão do mundo microscópico com o mundo macroscópico é um grande desafio. Normalmente procura-se realizar modelos que começam com a constituição básica da matéria nível atômico-molecular com o objetivo de reproduzir as propriedades macroscópicas do sistema.
A condutividade elétrica dos materiais depende da concentração e da mobilidade dos elétrons livres do material. Um metal puro à temperatura ambiente possui quase todos os seus elétrons de valência ionizados, ou seja, a concentração n de elétrons livres é praticamente constante. Mas uma elevação de temperatura causa o aumento da vibração dos elétrons, que por sua vez aumenta as colisões entre os elétrons em movimento e os elétrons fixos e assim há redução na velocidade dos elétrons livres. Dessa forma, sendo constante a concentração de elétrons livres, a diminuição no livre caminho médio deles acarreta uma redução da condutividade do metal.
A condutividade elétrica de um metal com n elétrons por unidade de volume pode ser calculada, no modelo de elétrons livres, pela seguinte expressão:
(1)
onde “e” e m são respectivamente a carga e a massa do elétron e τ é um parâmetro denominado tempo médio de colisão, o qual é característico de cada material e depende fundamentalmente da temperatura e da presença de defeitos e impurezas.
	O aumento da temperatura causa então o aumento da resistividade do metal e, conseqüentemente, de sua resistência elétrica – a resistência depende da variação da temperatura do metal, variação essa que é não linear para algumas faixas de temperatura, mas seu comportamento é praticamente linear na faixa que compreende a temperatura ambiente (pode ser observado este comportamento no gráfico 1). A declividade do segmento linear da curva de variação da resistência elétrica de um corpo material com a temperatura é dada por:
(2)
Multiplicando ambos os lados da equação 2 pela por uma resistividade, ρ, arbitrária mas conhecida obtemos:
 (2.1)
Desprezado a variação nas dimensões do condutor e tomando R como sendo R0 constante podemos afirmar, variação linear:
 (2.2)
Agora basta isolar RT em função de uma temperatura RTO, para obtermos:
 (2.3)
A equação 2.3 pode ainda se reescrita em termos da resistividade, basta substituir R por (ρl/A) e desconsiderar a variação nas dimensões do condutor. 
 (2.4)
Assim α é denominado de coeficiente de temperatura da resistividade, T0 é uma temperatura de referência arbitrária e ρ0 é a resistividade nessa temperatura. Lembrando que relação acima é uma aproximação linear válida geralmente em faixas limitadas de variação de temperatura dependendo do material.
Pode-se mostrar que a condutividade elétrica dos semicondutores apresenta em determinadas faixas de temperatura (em geral acima da temperatura ambiente) uma variação térmica da forma:
 (3)
onde σ0 é uma constante, T é a temperatura absoluta, k é a constante de Boltzmann e Eg é a largura da lacuna (ou gap) de energia entre a banda de valência e a banda de condução do semicondutor. Esse regime de condução é denominado de regime intrínseco e corresponde à excitação térmica de portadores de carga do próprio material, e não de elétrons devidos a impurezas.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
	Foi realizado em laboratório a medição da voltagem e da corrente para o condutor Cobre e para o semi condutor Germânio. Tais valores serão apresentados nas tabelas a seguir:
COBRE
	Temperatura (°C)
	Tensão Média ± Desvio Médio (V)
	Resistência (Ω)
	Tensão 1
	Tensão 2
	Tensão 3
	Tensão 4
	110
	1,83825
	0,0021
	1,8383
	1,840
	1,840
	1,834
	1,839
	105
	1,80875
	0,0019
	1,8088
	1,810
	1,810
	1,810
	1,805
	100
	1,78250
	0,0038
	1,7825
	1,780
	1,790
	1,780
	1,780
	95
	1,75475
	0,0033
	1,7548
	1,750
	1,760
	1,753
	1,756
	90
	1,72975
	0,0004
	1,7298
	1,730
	1,730
	1,730
	1,729
	85
	1,70425
	0,0033
	1,7043
	1,700
	1,710
	1,702
	1,705
	80
	1,67550
	0,0030
	1,6755
	1,670
	1,680
	1,677
	1,675
	75
	1,64700
	0,0035
	1,6470
	1,640
	1,650
	1,648
	1,650
	70
	1,61975
	0,0004
	1,6198
	1,620
	1,620
	1,620
	1,619
	65
	1,59075
	0,0011
	1,5908
	1,590
	1,590
	1,593
	1,590
	60
	1,56125
	0,0012
	1,5613
	1,560
	1,560
	1,562
	1,563
	55
	1,52975
	0,0009
	1,5298
	1,530
	1,530
	1,528
	1,531
	50
	1,49750
	0,0037
	1,4975
	1,500
	1,490
	1,499
	1,501
	45
	1,46775
	0,0039
	1,4678
	1,460
	1,470
	1,471
	1,470
	40
	1,43375
	0,0038
	1,4338
	1,430
	1,430
	1,439
	1,436
	35
	1,40200
	0,0020
	1,4020
	1,400
	1,400
	1,404
	1,404
	
	
	
	
	i1 = 1 A
	i2 = 1 A
	i3 = 1 A
	i4 = 1 A
Tabela 1: Resistência do Cobre
	Nesta tabela foram apresentados os valores para a voltagem para cada variação de 5º C na temperatura desde 110 °C até 35 ºC. Observamos que a corrente permaneceu constante durante esta parte do experimento. Está presente ainda o valor da resistência media, neste caso é igual a tensão media devido os experimento ter sido realizado com a corrente de 1 A, e o valor da tensão media seguido de seu respectivo desvio médio.
A fim de verificar dependência da resistência do cobre em função da temperatura é apresentado o gráfico 1, que representa tal comportamento. Ainda através desse gráfico e possível obter o coeficiente de temperatura da resistividade do Cobre, item que faz parte do objetivo desse experimento.
Segundo o software utilizado a equação que representa a reta é a seguinte:
R = 1,20994 + 0,00576.T
Comparando a equação obtida com a equação 2.3 da introdução:
 
Concluímos que:
 
Assim: 
Utilizando R40,obtemos α40:
GERMÂNIO
	
	Medição 1
	Medição 2
	Medição 3
	Medição 4
	Temperatura (°C)
	Tensão (V)
	Corrente (mA)
	Tensão (V)
	Corrente (mA)
	Tensão (V)
	Corrente (mA)
	Tensão (V)
	Corrente (mA)
	110
	0,54
	29,28
	0,54
	29,50
	0,55
	29,48
	0,55
	29,57
	105
	0,60
	28,89
	0,61
	29,15
	0,62
	29,09
	0,62
	29,13
	100
	0,70
	28,42
	0,71
	28,67
	0,71
	28,62
	0,71
	28,74
	95
	0,80
	27,89
	0,80
	28,10
	0,81
	28,02
	0,82
	28,04
	90
	0,91
	27,19
	0,92
	27,44
	0,93
	27,35
	0,93
	27,40
	85
	1,05
	26,48
	1,06
	26,70
	1,06
	26,56
	1,07
	26,70
	80
	1,22
	25,50
	1,22
	25,70
	1,24
	25,60
	1,22
	25,78
	75
	1,39
	24,68
	1,40
	24,70
	1,41
	24,57
	1,41
	24,68
	70
	1,60
	23,30
	1,62
	23,50
	1,64
	23,44
	1,62
	23,60
	65
	1,86
	22,08
	1,87
	22,05
	1,87
	22,17
	1,86
	22,30
	60
	2,12
	20,49
	2,17
	20,55
	2,16
	20,50
	2,11
	20,83
	55
	2,45
	18,60
	2,48
	18,71
	2,46
	18,80
	2,46
	18,85
	50
	2,75
	17,002,81
	16,80
	2,82
	16,90
	2,78
	17,19
	45
	3,12
	15,84
	3,20
	14,80
	3,15
	15,05
	3,17
	14,95
	40
	3,55
	12,70
	3,58
	12,67
	3,55
	12,80
	3,57
	12,80
	35
	3,94
	10,44
	3,99
	10,42
	3,95
	10,60
	3,96
	10,50
Tabela 2: Dados coletado para o Germânio.
	A tabela 2 representa apenas os valores para as correntes e tensões medidas de 5 em 5 ºC para a variação de temperatura de 35 a 110 ºC.
		Temperatura (°C)
	Tensão Média ± Desvio Médio (V)
	Corrente Média ± Desvio Médio (mA)
	110
	0,545
	0,005
	29,46
	0,09
	105
	0,613
	0,008
	29,07
	0,09
	100
	0,708
	0,004
	28,61
	0,10
	95
	0,808
	0,007
	28,01
	0,06
	90
	0,923
	0,008
	27,35
	0,08
	85
	1,060
	0,005
	26,61
	0,09
	80
	1,225
	0,007
	25,65
	0,09
	75
	1,403
	0,008
	24,66
	0,04
	70
	1,620
	0,010
	23,46
	0,09
	65
	1,865
	0,005
	22,15
	0,09
	60
	2,140
	0,025
	20,59
	0,12
	55
	2,463
	0,009
	18,74
	0,09
	50
	2,790
	0,025
	16,97
	0,12
	45
	3,160
	0,025
	15,16
	0,34
	40
	3,563
	0,013
	12,74
	0,06
	35
	3,960
	0,015
	10,49
	0,06
Tabela 3: Dados do Germânio elaborados.
	Já na tabela 3 os dados coletados foram analisados e então calculados seus valores médios seguidos de seus respectivos desvios médios, através de software especifico.
	Temperatura (°C)
	Temperatura (K)
	[Temperatura (K)]-1
	Resistência (Ω)
	Resistividade (Ω.m)
	Condutividade ± Desvio Padrão (S/m)
	110
	383
	0,00261
	18,50
	0,009
	108,110
	0,744
	105
	378
	0,00265
	21,07
	0,011
	94,845
	1,017
	100
	373
	0,00268
	24,73
	0,012
	80,819
	0,194
	95
	368
	0,00272
	28,83
	0,014
	69,332
	0,600
	90
	363
	0,00275
	33,74
	0,017
	59,263
	0,417
	85
	358
	0,00279
	39,83
	0,020
	50,208
	0,199
	80
	353
	0,00283
	47,77
	0,024
	41,878
	0,325
	75
	348
	0,00287
	56,88
	0,028
	35,153
	0,235
	70
	343
	0,00292
	69,05
	0,035
	28,963
	0,190
	65
	338
	0,00296
	84,20
	0,042
	23,753
	0,112
	60
	333
	0,00300
	103,93
	0,052
	19,243
	0,288
	55
	328
	0,00305
	131,41
	0,066
	15,217
	0,084
	50
	323
	0,00310
	164,40
	0,082
	12,165
	0,197
	45
	318
	0,00314
	208,63
	0,104
	9,595
	0,278
	40
	313
	0,00319
	279,58
	0,140
	7,151
	0,038
	35
	308
	0,00325
	377,52
	0,189
	5,298
	0,038
Tabela 4: Condutividade do Germânio.
	A tabela 4 foi preparada para apresentar os valores necessários para plotar o gráfico que representa a variação da condutividade em função do inverso da temperatura em Kelvin. Traz ainda os valores das resistências, resistividade e os desvios médios da condutividade para o semicondutor Germânio.
Gráfico 2: Resistência do Germânio em função da temperatura.
	O gráfico 2 é apenas ilustrativo, pois estamos mesmo interessados no gráfico que representa a variação da condutividade elétrica do germânio em função do inverso da temperatura em Kelvin. 
 Gráfico 3: Condutividade do Germânio em função do inverso da temperatura.
	O software utilizado nos fornece a seguinte equação para a curva apresentada no gráfico 3:
	Mas essa equação deve ser comparada com:
para a obtenção de Eg, uma vez que k (k = 1,380658.10-23 J/K) é conhecido e podemos utilizar σ e T presente na tabela 4.
	Portanto:
EG = 0,87 eV
Erro(%) = 100*|0,87 - 0,64|/0,64 = 35,94 %
	Energia gap encontrada quando comparado com o valor fornecido no roteiro do laboratório apresenta um erro de aproximadamente 36%.
Analise dos Resultados
	Como visto inicialmente, a temperatura é um fator intrínseco que influencia na resistividade dos metais. Por isso podemos utilizar a equação 3 para calcular a resistividade do cobre. Para calcularmos a condutividade do germânio não podemos utilizar a equação 1 pois num semicondutor podemos ter mais de um portador de carga: o elétron, carga negativa – na banda de condução – e os buracos, local onde se encontrava o elétron na banda de valência – carga positiva. E também, a concentração de portadores n varia de acordo com a temperatura. Por isso utilizamos a equação 4 para calcularmos a energia de gap do germânio.
A condutividade do cobre diminui com o aumento da temperatura, pois depende da concentração de e da mobilidade dos elétrons livres. À temperatura ambiente ele possui quase todos os seus elétrons de valência ionizados, ou seja, a concentração n de elétrons livres é praticamente constante. Mas uma elevação de temperatura causa o aumento da vibração dos elétrons, que por sua vez aumenta as colisões entre os elétrons em movimento e os elétrons fixos e assim há redução na velocidade dos elétrons livres. Assim, se a concentração de elétrons livres fica constante, a diminuição no livre caminho médio deles causa uma redução da condutividade do metal.
O germânio, por sua vez, tem sua condutividade elevada com o aumento da temperatura. Os semicondutores comportam-se como isolantes a baixas temperaturas, mas à temperatura ambiente já se caracterizam como um condutor, pois o calor fornece a energia necessária para que alguns dos elétrons da banda de valência deixem a ligação covalente tornando-se livres na banda de condução, deixando no seu lugar uma lacuna (buraco). Dessa forma haverá movimentação de elétrons em um sentido e movimentação de lacunas no sentido oposto. A lacuna comporta-se como se fosse uma partícula, semelhante ao elétron, porém com carga elétrica positiva. Ao encontrar uma lacuna vizinha, um outro elétron tende a deixar sua posição para ocupar a lacuna. Ele então pula para a lacuna, deixando seu lugar livre, que é ocupada por outro elétron. Ocorrendo esse movimento sucessivamente, verifica-se a ocorrência de corrente elétrica.
RESPOSTAS DAS QUESTÕES PROPOSTAS
Um elétron livre num espaço livre se acelera aumentando assim sua velocidade. Num material cristalino o progresso do elétron é impedido pelas sucessivas colisões com a rede de estruturas cristalinas até que atinja uma velocidade média, denominada velocidade de deriva, que se relaciona com a intensidade de campo elétrico de forma linear pela mobilidade do elétron: 
 
O livre caminho médio é a distância que um elétron percorre antes de se chocar com outro elétron ou com uma das paredes do recipiente que o contém.
	O tempo médio de colisões é o tempo médio entre as sucessivas colisões entre um elétron e seu aglomerado. 
A equação para a condutividade elétrica do modelo clássico é formalmente idêntica ao modelo quântico
Uma diferença básica é que a velocidade média não é dada pela estatística de Boltzmann. Na teoria quântica esta velocidade é substituída pela velocidade de Fermi,. Note que ela não é mais a velocidade média dos elétrons. O motivo é que somente os elétrons ocupando estados em torno da energia de Fermi participam dos processos de colisão. Então a resistividade e a temperatura são inversamente proporcionais.
A limitação da teoria classica para a condutividade elétrica ocorre devido a condutividade ser calculada em função velociadade média dos elétrons, essa que não é a velocidade de Fermi e sim pela estatistica de Boltzmann.
	A condutividade elétrica nos metais melhor se explica pela teoria quântica. Pelo de a teoria clássica não explica os valores relativos das condutividades de alguns metais, nem as condutividades dos semi-condutores e ainda prevê um valor errado para o calor específico dos metais.
Num cristal sólido, onde há diversas interações entre elétrons e núcleos de vários átomos vizinhos, existe ainda a formação de um número maior de subleveis eletrônicos. Quando a distância entre os átomos é grande, os níveis de energia são bem definidos. À medida que os átomos se aproximam para formar o cristal, esses níveis se dividem em vários subleveis. Dessa forma os elétrons não possuem mais níveis discretos de energia, mas pequenas regiões em torno desses níveis, que são as chamadas bandas de energia (bandas são representações gráficas e não espaços físicos).
Em um material condutor a bandade energia apresenta um pequeno gás (EG) – também chamado de banda proibida – entre as bandas de valência e de condução ou mesmo a superposição das mesmas (EG=0), então os elétrons da banda de valência podem, com pouco ou nenhum ganho de energia, tornarem-se livres na banda de condução.
Já num material semicondutor existe uma pequena região proibida (EG ≈ 1 eV) separando as duas bandas. Assim, uma pequena quantidade de energia (calor, luz ou campo elétrico) pode aumentar a energia dos elétrons na banda de valência possibilitando a base para condução.
E um material isolante possui uma grande banda proibida (EG ≈ 6 eV), ou seja, existe uma distância considerável entre as bandas de valência e de condução, o que impede o elétron receber energia adicional em pequenas quantidades para passar de uma banda para outra e, conseqüentemente, possibilitar a condução.
 
CONCLUSAO
	Após analisar o comportamento para ambos os metais, conclui-se que para o condutor, ou seja, Cobre a condutividade diminui com o aumento da temperatura. Tal fato se explica devido ao aumento das colisões entre os elétrons, o que ja foi discutido na análise dos resultados. Já para o semicondutor, a condutividade aumenta com a elevação da temperatura, isso ocorre pelo fato de os elétrons do Germânio receber energia e então passar da banda de valência para a banda de condução, assim existirão mais elétrons na banda de condução elevando assim a condutividade do semicondutor. Essa energia necessária para levar o elétron da banda de valência para a banda de condução se chama gap. Ao avaliar o erro apresentado para o valor do gap do Germânio, algo em torno de 36%, tal erro pode ter contribuição devido a variação nas dimenções da amostra do germânio, mas principalmente pela forma em que foram feitas as medidas. A temperatura diminuia em ritmo acelerado durante o início, o que exige maior atenção por parte do aluno, e então nem sempre foi possível anotar o valor exato. Assim foram feitas várias medições para diminuir essa imprecisão e então os valores foram utilizados para obter valores médios.
BIBLIOGRAFIA
1: Roteiro de Aulas 2009, Laboratório de Física Moderna.
2: R. EISBERG, R. RESNICK. Física Quântica. Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979.
3: http://www.plato.if.usp.br/1-2005/fnc0376n/lista11/node3.html acesso em 02/05/2009.
4: William H.Hayt, Jr, John A. Buck. Eletromagnetismo. Ed. LTC, 6º Edição.
5: Prof. Gelson Antonio Andrêa Brigatto, Prof. Dr. Paulo Cesar Miranda Machado. Apostila de Matérias Elétricos para Engenharia Elétrica e de Computação. 
6: http://br.geocities.com/jcc5003/oqueebandadeenergia.htm acesso em 04/05/2009