Solucionário 5 Equações Auxiliares UFF-VR

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Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
Em um sistema de controle pode-se avaliar os sinais presentes em 
todos os caminhos do sistema e também as contribuições de cada 
equipamento na mudanças deste sinal. Este método busca 
identificar os “n” diferentes sinais presentes no sistema com rótulos 
Xn e construir um sistemas se equações afim de determinar a 
relação para C(s)/R(s). 
Exemplo: 
Sistemas de Controle – Equações Auxiliares 
X1 X2 
No exemplo acima temos um sinal de entrada R(s) que ao passar 
por G1 se torna X1, ao passar por G2 se torna X2 e ao passar por G5 
se torna C(s). Com isso podemos estabelecer os seguinte sistema 
de equações: 
52
212
11
)(
.
)(.
GXsC
GXX
sRGX



Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
Com isso podemos realizar substituições sucessivas e determinar a 
relação C(s)/R(s). 
521
152
11521
21252
)(
)(
:se- temisso Com
)()(
)()(
Logo,
)(
GGG
sR
sC
sRGGGsC
sRGXGGXsC
GXXGXsC




Este método apresenta uma forma matemática simples de resolução 
de sistemas de controle porém, durante as substituições sucessivas, 
podemos nos deparar com loopings matemáticos nos quais X1 se 
torna X3 que volta a se tornar X1. Como X1, X2 ... Xn são variáveis 
auxiliares utilizadas na resolução mas não presentes no sistema 
inicial estas não poderão fazer parte da resposta final o que nos 
solicita resolver este looping matemático para alcançar a solução. 
Durante a solução da lista uma forma simples de solução destes 
loopings será apresentada. 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
Produzido por: Rayel Carvalho e Thiago Leite 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
5.1) 
Para iniciar este exercício devemos definir quais são os caminho e os laços do 
sistema, o modelo de apresentação abaixo será utilizado nos demais exercícios: 
X1 
X2 
X2 
X2 
X3 X4 
X5 
X6 
Obs 1 
Obs 2 
Obs 1: nos pontos de realimentação os sinais serão somados respeitando os 
sinais presentes no ponto de realimentação. (neste caso X6 será negativo e R(s) 
positivo). 
Obs 2: Nesta bifurcação como não há passagem por nenhum equipamento o sinal 
X2 segue para todos os caminhos. 
Como todos os sinais definidos montaremos o sistema de equações 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
54
126
225
434
223
112
61
)(
.
)(
XXsC
HXX
HXX
GXX
GXX
GXX
XsRX







O problema pode ser iniciado à partir de qualquer equação, para facilitar a 
resolução iniciarei pela equação do sinal de saída. 
21124216
2164211
211422
1122232243
22543454
])([])([)(
])([)(
)(
/)(
/)(
HGHXsRGGGXsRsC
HGXsRGGGXsC
HGXGGXsC
GXXGXXHXGXsC
HXXGXXXXsC





Neste ponto podemos verificar que a quarta linha da equação já nos encaminha 
para um looping matemático, onde a expressão depende da variável X1, que se 
torna X6, que se torna X2 e voltará a se tornar X1. Assim não poderemos continuar 
com as subtituições sucessivas para eliminar os Xn existentes no problema. Este 
fato é considerado um looping matemático. A dúvida agora é como resolve-lo. 
Para isso montaremos um fluxograma simples mostrando as transformações 
ocorridas nas equações. 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
C(s) 
X5 
X4 X3 
X1 
X6 
X2 
R(s) 
Analisando o fluxograma podemos verificar facilmente o looping que ocorre 
envolvendo X2, X1 e X6. Identificado o looping devemos excluí-lo definindo uma 
equação que não dependa de nenhum dos Xn para o qualquer um dos 
componentes do looping. Neste caso solucionar o looping em X2 eliminará 
qualquer looping adicional. Para isso utilizaremos a equação de X2: 
11
1
2
1112
11122
11212
1122
162
112
1
)(
)()1.(
)(
)(
])([
])([
GH
GsR
X
GsRGHX
GsRGHXX
GHXGsRX
GHXsRX
GXsRX
GXX








Com uma equação livre definida para X2 podemos retornar ao início do problema 
e substituir X2. Este método eliminará o looping. 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
11
21421
1)(
)(
HG
HGGGG
sR
sC



Assim temos: 
11
21421
11
21421
11
21421
2
11
1
42
11
1
22422
2232243
22543454
1)(
)(
1
).()(
1
)()(
)(
1
)(
1
)(
)(
,)(
)(
/)(
:acima equação na 
2
X substituir podemos 
11
1
1
)(
2
X Como
GH
HGGGG
sR
sC
GH
HGGGG
sRsC
GH
HGsRGGGsR
sC
H
GH
GsR
GG
GH
GsR
sC
HXGGXsC
GXXHXGXsC
HXXGXXXXsC
GH
GsR


















Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
5.2) 
X1 
X2 
X2 
X2 
X8 
X6 
X
5
 
X5 
X
7
 
X3 X4 
68
228
157
456
345
734
223
112
21
)(
.
)(
XXsC
HXX
HXX
GXX
GXX
XXX
GXX
GXX
XsRX









Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
C(s) 
X6 
X8 X2 X1 
R(s) 
Conforme feito no problema anterior vamos analizar à priori a existência de 
loopings matemáticos no sistema. 
X5 X4 
X3 
X7 
Neste problema temos dois loopings matemáticos onde um depende do outro. Um 
looping com X4, X5 e X7 e um outro com X2 e X1. Com isso devemos definir duas 
equações, uma para X5 e uma para X2. Como X2 entra na composição de X5 
definiremos X2 e utilizaremos a equação de X2 para definir X5. Assim temos: 
1
1
2
112
1122
1212
122
112
1
)(
)(]1.[
)(
)(
])([
G
GsR
X
GsRGX
GsRGXX
GXGsRX
GXsRX
GXX







311311
321
5
1
321
315
1
321
3155
31532
1
1
5
3153225
37335
345
1
)(
1
)(
]1.[
1
)(
1
)(
GGHGHG
GGGsR
X
G
GGGsR
GHX
G
GGGsR
GHXX
GHXGG
G
GsR
X
GHXGGXX
GXGXX
GXX












Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
Com ambos os loopings solucionados podemos partir para as substituições, 
partindo de C(s) temos: 
311311
4321213121
311
43213121
311
4321
1
21
311311
4321
1
21
4
311311
321
2
1
1
4522
68
1)(
)(
)1).(1(
)]1.([
).()(
)1).(1(1
).()(
11
).()(
1
)(
1
)(
)(
)(
)(
GGHGHG
GGGGHHGGHG
sR
sC
GHG
GGGGGHHG
sRsC
GHG
GGGG
G
HG
sRsC
GGHGHG
GGGG
G
HG
sRsC
G
GGHGHG
GGGsR
H
G
GsR
sC
GXHXsC
XXsC






































131131
2131214321
1)(
)(
HGGHGG
HHGGHGGGGG
sR
sC



Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
5.3) 
X1 
X3 
X2 
X2 
X2 
X4 X5 
X5 
X6 X7 
C(s) 
X8 
57
128
687
456
345
534
223
112
21
)(
)(
.
)(
GXsC
HXX
sCXXX
GXX
GXX
XXX
GXX
GXX
XsRX









Eletricidade Aplicada 
Sistemasde Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
C(s) 
X6 
X8 X2 X1 
R(s) 
Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. 
X5 X4 
X3 X7 
Neste problema temos três loopings matemáticos onde um depende do outro. Um 
looping com X4e X5, um outro com X2 e X1.e um terceiro com X7 e C(s). Com isso 
devemos definir três equações, uma para X5, uma para X2.e uma para C(s). Como 
X2 entra na composição de X5 definiremos X2 e utilizaremos a equação de X2 para 
definir X5. Assim temos: 
1
1
2
112
1122
1212
122
112
1
)(
)(]1.[
)(
)(
])([
G
GsR
X
GsRGX
GsRGXX
GXGsRX
GXsRX
GXX







3131
321
5
1
321
35
1
321
355
3532
1
1
5
353225
35335
345
1
)(
1
)(
]1.[
1
)(
1
)(
GGGG
GGGsR
X
G
GGGsR
GX
G
GGGsR
GXX
GXGG
G
GsR
X
GXGGXX
GXGXX
GXX












Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
531535131531
153115154321
1)(
)(
GGGGGGGGGGGG
HGGGHGGGGGGG
sR
sC



Para o terceiro looping não precisamos definir uma equação específica para C(s) 
pois definir C(s) nos levará à definir C(s)/R(s), assim temos: 
531535153131
53211531151
53131
53211531151
3131
53211531151
5
31
53213511
5
31
5321
1
511
5
55
3131
321
51
1
1
555512
55658
568
57
1)(
)(
)1)(1(
)()(
1
)()1).((
)1).(1(
)1).((
)()1).((
)1).(1(
)(
1
)(
)()(
)(
1
)(
1
)(
)(
)()(
)()(
)]([)(
)(
GGGGGGGGGGGG
GGGGHGGGHGG
sR
sC
GGGGG
GGGGHGGGHGG
sRsC
GGGG
GGGGHGGGHGG
sRGsC
GG
GGGGGGHG
sRGsC
GG
GGGGsR
G
GHGsR
GsCsC
GsCG
GGGG
GGGsR
GH
G
GsR
sC
GsCGXGHXsC
GsCGXGXsC
GsCXXsC
GXsC











































Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
5.4) 
R(s) 
X1 X2 
X3 
X
3
 
X4 X5 
X6 
X
6
 
X7 
X8 
X
9
 
X
1
0
 
87
1310
269
38
567
456
945
334
223
1012
11
)(
)(
)(
XXsC
HXX
HXX
HsRX
GXX
GXX
XXX
GXX
GXX
XXX
GsRX











Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
C(s) 
X6 
X8 
X2 
X1 
R(s) 
Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. 
X5 
X4 X3 
X7 
12
1
2
1122
11222
12212
1312
1012
1
)(
)(]1.[
)(
)(
)(
HG
GsR
X
GsRHGX
GsRHGXX
HGXGsRX
HXGsRX
XXX







)1).(1(
)(
1
)(
)1.(
1
)(
1
)(
2412
321
5
12
321
245
12
321
2455
24532
12
1
5
2453225
26335
945
HGHG
GGGsR
X
HG
GGGsR
HGX
HG
GGGsR
HGXX
HGXGG
HG
GsR
X
HGXGGXX
HXGXX
XXX












X9 
X10 
Neste problema temos dois loopings matemáticos onde um depende do outro. Um 
looping com X3, X2 e X10 e um outro com X6, X5 e X9. Como X2 entra na 
composição de X6 definiremos X2 e utilizaremos a equação de X2 para definir X6. 
Assim temos: 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
Solucionados os loopings podemos concluir o problema, assim temos: 
)1).(1(
)]1).([(
)(
)(
)1).(1(
)]1).(1).([(
)(
)(
)(
)1).(1(
)(
)(
)()(
)()(
)(
2412
21422412354321
2412
2412354321
354
2412
321
3545
356
87
HGHG
HHGGHGHGHGGGGG
sR
sC
HGHG
HGHGHGGGGG
sR
sC
HsRGG
HGHG
GGGsR
sC
HsRGGXsC
HsRGXsC
XXsC












21422412
32142324312354321
1)(
)(
HHGGHGHG
HHHGGHHGHHGHGGGGG
sR
sC



Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
5.5) 
X3 
X2 
57
411
3510
259
128
967
456
345
10384
223
112
111
)(
)(
)(
GXsC
HsCX
HXX
HXX
HXX
XXX
GXX
GXX
XXXX
GXX
GXX
XsRX












X2 X4 
X5 
X5 
X6 X7 
C(s) 
X5 
X8 X9 
X11 
X1 
X
1
0
 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
C(s) 
X6 X8 
X2 X1 
R(s) 
Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. 
X5 X4 
X3 
X7 
)1(
))(())((
)()()()()1.(
))()(())()(()1.(
))(())((
)(
33
43214131321131
5
43213214311311335
32143114335
32111311113355
335321131115
3353223125
310385
345
GH
HGGGHHGGsCGGGHGGsR
X
HGGGsCGGGsRHGHGsCGHGsRGHX
GGGHsCsRGHGHsCsRGHX
GGGXsRGHGXsRGHXX
GHXGGGXGHGXX
GHXGGXGHXX
GXXXX
GXX










X9 
X10 
Neste problema temos dois loopings matemáticos. Um looping com X4, X5 e X10 e 
um outro que é composto por quase todas as variáveis do problema. Como C(s) 
faz parte do segundo looping podemos definir apenas X5. Assim temos: 
X11 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
42153142532145432141543133
25321543212153115431
33
25321543212153115431
33
42153142532145432141543133
33
25321543212153115431
33
421531425321454321415431
33
33
33
25321543212153115431
33
421531425321454321415431
33
525443214131
33
5254321131
5254
33
43214131321131
52545
525545
5956
57
1)(
)(
)1(
))((
)1(
1
).(
)1(
))((
)1(
))((
)1(
)1(
)(
)1(
))((
)1(
))((
)(
)1(
))()((
)1(
))()((
)(
)(
)1(
))(())((
)(
)()(
)(
)(
)(
HHHGGGHHGGGGHGGGGGHHGGGGGH
HGGGGGGGGGHHGGGHGGGG
sR
sC
GH
HGGGGGGGGGHHGGGHGGGGsR
GH
HHHGGGHHGGGGHGGGGGHHGGGGGH
sC
GH
HGGGGGGGGGHHGGGHGGGGsR
GH
HHHGGGHHGGGGHGGGGGHHGGGGsC
GH
GH
sC
GH
HGGGGGGGGGHHGGGHGGGGsR
GH
HHHGGGHHGGGGHGGGGGHHGGGGsC
sC
GH
GHGGHGGGHHGGsC
GH
GHGGGGGHGGsR
sC
GHGG
GH
HGGGHHGGsCGGGHGGsR
sC
GHGGXsC
GHXGGXsC
GXGXsC
GXsC




































Solucionado o looping podemos concluir o problema, assim temos: 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
42153141543142532145432133
21531154312532154321
1
]1.[]1.[]1.[]1).[(
)(
)(
HHHGGGHHGGGGHHGGGGHGGGGGHG
HHGGGHGGGGHGGGGGGGGG
sR
sC



Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
5.6) 
R(s) 
X1 
R(s) 
X2 X3 
X4 X5 X6 
X7 
X8 
X
9
 X6
 
X
3
 X
1
0
 
87
1310
269
38
567
456
945
334
223
1012
11
)(
)(
)(
XXsC
HXX
HXX
HsRX
GXX
GXX
XXX
GXX
GXX
XXX
GsRX











Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
C(s) 
X6 
X8 
X2 
X1 
R(s) 
Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. 
X5 
X4 X3 
X7 
)1(
)(
)()1.(
)(
)(
21
21
3
21213212133
213213
210213
223
GH
GGsR
X
GGsRGHX
GGsRGHXX
GHXGGsRX
GXGXX
GXX







X9 
X10 
Neste problema temos dois loopings matemáticos. Um looping com X3, X2 e X10 e 
um outro entre com X6, X5 e X9. Como X3 depende de X6 definiremos X3 e depois 
X6. Assim temos: 
)1).(1(
)(
)1(
)(
)1.(
)1(
)(
)1(
)(
4221
4321
6
21
4321
426
21
4321
4266
42643
21
21
6
49446
456
GHGH
GGGGsR
X
GH
GGGGsR
GHX
GH
GGGGsR
GHXX
GHXGG
GH
GGsR
X
GXGXX
GXX











Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
Solucionados os loopings podemos concluir o problema, assim temos: 42212142
42321231432354321
4221
4221354321
3
4221
54321
35
4221
4321
356
87
1)(
)(
)1).(1(
)]1).(1).([(
)(
)(
)1).(1()(
)(
)(
)1).(1(
)(
)(
)()(
)(
GGHHGHGH
GGHHHGHHGHHHGGGGG
sR
sC
GHGH
GHGHHGGGGG
sR
sC
H
GHGH
GGGGG
sR
sC
HsRG
GHGH
GGGGsR
sC
HsRGXsC
XXsC
















21422412
32142324312354321
1)(
)(
HHGGHGHG
HHHGGHHGHHGHGGGGG
sR
sC



Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
5.7) 
R(s) 
X1 X2 X3 X4 
X5 X6 X7 
X8 
X
7
 X
9
 
C(s) X10 
57
110
279
38
467
956
345
834
223
1012
11
)(
)(
)(
)(
GXsC
HsCX
HXX
HsRX
GXX
XXX
GXX
XXX
GXX
XXX
GsRX











Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
C(s) X6 
X8 
X2 
X1 
R(s) 
Vamos analizar a existência de loopings matemáticos no sistema. 
X5 X4 
X3 X7 
X9 X10 
Neste problema temos dois loopings matemáticos. Um looping com X7, X6 e X9 e 
um outro que engloba C(s) o que facilitará a resolução. Logo definiremos X7: 
)1(
)).(()(
)()()()1.(
)()1.(
)()1.(
42
43343214321
7
43343214321427
433432143210427
4334322427
4384334277
4274347
49457
467
GH
GGHGGGGsRGGGHsC
X
GGHsRGGGGsRGGGHsCGHX
GGHsRGGGXGGGXGHX
GGHsRGGGXGHX
GGXGGXGHXX
GHXGGXX
GXGXX
GXX










Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Equações Auxiliares 
Lista 5 
1543224
354354321
1)(
)(
HGGGGHG
HGGGGGGGG
sR
sC



Solucionados os loopings podemos concluir o problema, assim temos: 5432142
543354321
5433543215432142
42
543354321
42
5432142
42
543354321
42
5432142
42
543354321
42
54321
42
54334321
42
54321
42
5433432154321
57
1
.
)(
)(
)).(()1).((
)1(
)).((
)1(
)1(
).(
)1(
)).((
)1(
)()1)((
)1(
)).((
)1(
)(
)(
)1(
))().((
)1(
)(
)(
)1(
))().(()(
)(
)(
GGGGHGH
GGGHGGGGG
sR
sC
GGGHGGGGGsRGGGGHGHsC
GH
GGGHGGGGGsR
GH
GGGGHGH
sC
GH
GGGHGGGGGsR
GH
GGGGHsCGHsC
GH
GGGHGGGGGsR
GH
GGGGHsC
sC
GH
GGGHGGGGsR
GH
GGGGHsC
sC
GH
GGGHGGGGsRGGGGHsC
sC
GXsC



























