Solucionário 5 - Mason

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Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
“nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn” 





n
K
KK
P
sR
sC
1
)(
)(
Sistemas de Controle – Fórmula de Mason 
O valor de Δ se mostra confuso apenas apresentado a equação 
matemática, para facilitar a compreensão este será enunciado e 
posteriormente apresentado na prática durante os exercícios. 
Em linhas gerais temos que: 
Δ = 1- (somatório da contribuição individual da cada um dos 
laços)+(somatório da combinação da contribuição de dois laços que 
não ser tocam)-(somatório da combinação da contribuição de tres 
laços que não se tocam).... 
Onde: 
k caminho o intercepta que laço cada de ãocontribuiç a menos 
)....()()A(-1
k caminho cada de ãoContribuiçP
sistema no caminhos de Quantidade
n
k




 
k
nnnnn
FEDCB
k
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
Produzido por: Rayel Carvalho e Thiago Leite 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
5.1) 
Para iniciar este exercício devemos definir quais são os caminho e os laços do 
sistema, o modelo de apresentação abaixo será utilizado nos demais exercícios: 
Caminho Laço 
Definidos os caminhos e laços, concluímos que o número de possíveis caminhos 
(k) é igual a 2. Este fato nos solicita a definição da contribuição de ambos (P1 e 
P2), para tanto devemos sempre atentar aos sinais presentes durante o fluxo do 
caminho. 
Para P1 temos: 
(+).(+)[(G1).(G2).(G4)]=+G1G2G4 
Da mesma forma para P2 temos: 
(+).(+)[(G1).(H2)]=+G1H2 
Para determinar o valor de Δ verificamos que este problema apresenta apenas 1 
laço, o que nos impossibilita de realizar combinações dois a dois, três a três, e 
assim sucessivamente. Com isso, temos apenas a contribuição individual de cada 
laço. Também vale atentar que devemos respeitar o sinal (-) presente no laço. 
Com isso temos: 
Δ=1-(-G1H1)=1+G1H1. 
P1 
P2 
P1 e P2 
P2 
P1 
Sinal do 
Caminho 
Sinal do 
Laço 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
Concluindo o processo devemos também determinar os valores de Δ1 e Δ2. Δ1 
será definido pelo valor de Δ sem a presença da contribuição de todos os laços 
que tocam o caminho 1 e Δ2 da mesma forma será apresentado pelo valor de Δ 
sem a presença da contribuição dos laços que tocam o caminho 2. Fica claro ao 
analisar a figura que ambos os caminhos são interceptados pelo único laço do 
sistema. Com isso temos: 
Δ1= 1+G1H1 = 1 
Δ2= 1+G1H1 = 1 
Agora temos todos os parâmetros necessários definidos, estes serão listados 
abaixo e comporão a equação de conversão do sistema. 
K=2 
P1=+G1G2G4 
P2=+G1H2 
Δ=1+G1H1 
Δ1=1 
Δ2=1 
11
214212211
1
]1).[(]1).[(
)(
)(
HG
HGGGGPP
sR
sC






11
21421
1)(
)(
HG
HGGGG
sR
sC



Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
5.2) 
Seguindo o mesmo procedimentos do exercício anterior definimos os caminhos e 
laços do sistema. Com isso concluímos que o número de possíveis caminhos (k) é 
igual a 2. Agora definiremos a contribuição de ambos (P1 e P2). 
Para P1 temos: 
(+).(+).(+)[(G1).(G2).(G3).(G4)]=+G1G2G3G4 
Da mesma forma para P2 temos: 
(+).(+)[(G1).(H2)]=+G1H2 
Para determinar o valor de Δ verificamos que este problema apresenta 2 laços, o 
que nos solicita realizar, além do somatório das contribuições individuais de cada 
laço, o somatório das combinações dois a dois dos laços que não se tocam. Como 
os dois laços não se tocam esta combinação será feita. Com isso temos: 
Δ=1-[(-G1)+(-G3H1)]+[(-G1).(-G3H1)]=1+G1+G3H1+G1G3H1 
P1 
P2 
P1 e P2 
P2 
P1 
P1 
Concluindo o processo devemos também determinar os valores de Δ1 e Δ2. Δ1 
será definido pelo valor de Δ sem a presença da contribuição de todos os laços 
que tocam o caminho 1 e Δ2 da mesma forma será apresentado pelo valor de Δ 
sem a presença da contribuição dos laços que tocam o caminho 2. Observando a 
figura podemos avaliar que o primeiro laço (G1) toca ambos os caminhos 
enquanto o segundo laço (G3H1) toca apenas o caminho P1. Com isso temos: 
Δ1= 1+G1+G3H1+G1G3H1 = 1 
Δ2= 1+G1+G3H1+G1G3H1=1+G3H1 
Com relação ao caminho 2 percebemos que foi eliminada a combinação dois a 
dois dos laços mesmo quando apenas um deles toca o caminho. Como 
apresentado na introdução deverão ser eliminadas todas as contribuições dos 
laços que tocam o caminho mesmo que combinadas com laços que não 
interceptam aquele caminho. 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
K=2 
P1=+G1G2G3G4 
P2=+G1H2 
Δ=1+G1+G3H1+G1G3H1 
Δ1=1 
Δ2=1+G3H1 
131131
132143212211
1
)]1).([(]1).[(
)(
)(
HGGHGG
HGHGGGGGPP
sR
sC






131131
2131214321
1)(
)(
HGGHGG
HHGGHGGGGG
sR
sC



Agora temos todos os parâmetros necessários definidos: 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
Δ=1+G1+G3+G5+G1G3+G1G5+G3G5+G1G3G5 
Este exercício apresenta de forma bem ilustrativa a composição de Δ. Em outros 
problemas caso existam mais laços os demais termos continuarão à apresentar os 
sinais alternados. 
Concluindo o processo devemos também determinar os valores de Δ1 e Δ2. 
Observando a figura podemos avaliar que os laços G1 e G5 tocam ambos os 
caminhos enquanto o laço G3 toca apenas o caminho P1. Com isso temos: 
Δ1= 1+G1+G3+G5+G1G3+G1G5+G3G5+G1G3G5=1 
Δ2= 1+G1+G3+G5+G1G3+G1G5+G3G5+G1G3G5=1+G3 
5.3) 
Quantidade de caminhos (k) é igual a 2. Agora definiremos a contribuição de ambos 
(P1 e P2). 
Para P1 temos: 
(+).(+).(+)[(G1).(G2).(G3).(G4).(G5)]=+G1G2G3G4G5 
Da mesma forma para P2 temos: 
(+).(+)[(G1).(G5).(H1)]=+G1G5H1 
Para determinar o valor de Δ verificamos que este problema apresenta 3 laços, o que 
nos solicita realizar, além do somatório das contribuições individuais de cada laço, o 
somatório das combinações dois a dois dos laços que não se tocam e o somatório 
das combinações três a três dos laços que não se tocam. Como os três laços não se 
tocam temos: 
Δ=1-[(-G1)+(-G3)+(-G5)]+[(-G1.-G3)+(-G1.-G5)+(-G3.-G5)]-[(-G1.-G3.-G5] 
P1 
P2 
P1 e P2 
P2 
P1 P1 
   )....()()A(-1 n nnnnn FEDCB
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
K=2 
P1=+G1G2G3G4G5 
P2=+G1G5H1 
Δ=1+G1+G3+G5+G1G3+G1G5+G3G5+G1G3G5 
Δ1=1 
Δ2=1+G3 
531535131531
3151543212211
1
)]1).([(]1).[(
)(
)(
GGGGGGGGGGGG
GHGGGGGGGPP
sR
sC






531535131531
153115154321
1)(
)(
GGGGGGGGGGGG
HGGGHGGGGGGG
sR
sC



Agora temos todos os parâmetros necessários definidos: 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
5.4) 
Quantidade de caminhos (k) é igual a 2. Agora definiremos a contribuição de ambos 
(P1 e P2). 
Para P1 temos: 
(+).(+).(+)[(G1).(G2).(G3).(G4).(G5)]=+G1G2G3G4G5 
Da mesma forma para P2 temos: 
(+)[(H3)]=+H3 
Determinamos agora o valor de Δ. Como os dois laços não se tocam temos: 
Δ=1-[(-G2H1)+(-G4H2)]+[(-G2H1).(-G4H2)] 
Δ=1+G2H1+G4H2+G2G4H1H2 
Concluindo o processo devemos também determinar os valores de Δ1 e Δ2. 
Observando a figura podemos avaliar que ambos os laços toca, apenas o caminho P1. 
Com isso temos: 
Δ1=1+G2H1+G4H2+G2G4H1H2 =1 
Δ2=1+G2H1+G4H2+G2G4H1H2 
P1 
P2P2 
P1 P1 
P1 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
K=2 
P1=+G1G2G3G4G5 
P2=+H3 
Δ=1+G2H1+G4H2+G2G4H1H2 
Δ1=1 
Δ2=1+G2H1+G4H2+G2G4H1H2 
21422412
214224123543212211
1
)]1).([(]1).[(
)(
)(
HHGGHGHG
HHGGHGHGHGGGGGPP
sR
sC






21422412
32142324312354321
1)(
)(
HHGGHGHG
HHHGGHHGHHGHGGGGG
sR
sC



Agora temos todos os parâmetros necessários definidos: 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
5.5) 
Este problema apresenta uma certa complexidade no momento de definir os laços 
deste sistema. Para isso estes serão apresentados separadamente e em escala de 
cores da mesma forma que os caminhos foram. 
Quantidade de caminhos (k) é igual a 4. Agora definiremos a contribuição de ambos 
(P1 , P2 , P3 e P4). 
Para P1 temos: 
(+).(+).(+)[(G1).(G2).(G3).(G4).(G5)]=+G1G2G3G4G5 
Para P2 temos: 
(+).(+).(+)[(G1).(G2).(G3).(G5).(H2)]=+G1G2G3G5H2 
Para P3 temos: 
(+).(+).(+)[(G1).(G3).(G4).(G5).(H1)]=+G1G3G4G5H1 
Para P4 temos: 
(+).(+).(+)[(G1).(G3).(G5).(H1).(H2)]=+G1G3G5H1H2 
P1 
P2 
P3 
P4 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
K=4 
P1=+G1G2G3G4G5 
P2=+G1G2G3G5H2 
P3=+G1G3G4G5H1 
P4=+G1G3G5H1H2 
Δ=1-[(-G1G2G3G4G5H4)+(-G1G2G3G5H2H4)+(-G1G3G4G5H1H4)+(-G1G3G5H1H2H4)+(-G3H3)] 
Δ1=Δ2=Δ3=Δ4=1 
42153141543142532145432133
21531154312532154321
44332211
1
]1.[]1.[]1.[]1).[(
)(
)(
)(
)(
HHHGGGHHGGGGHHGGGGHGGGGGHG
HHGGGHGGGGHGGGGGGGGG
sR
sC
PPPP
sR
sC






Determinamos agora o valor de Δ. Observando a figura percebe-se que todos os 
laços se tocam. Isso nos faz concluir que não serão haverão combinações de laços 
no valor de Δ: 
Δ=1-[(-G1G2G3G4G5H4)+(-G1G2G3G5H2H4)+(-G1G3G4G5H1H4)+(-G1G3G5H1H2H4) 
+(-G3H3)] 
Δ=1+G1G2G3G4G5H4+G3H3+G1G3G5H1H2H4+G1G2G3G5H1H4+G1G3G4G5H2H4 
Concluindo o processo devemos também determinar os valores de Δ1, Δ2, Δ3 e Δ4 . 
Como os laços tocam todos os caminhos tem-se: 
Δ1=Δ2=Δ3=Δ4=1 
Agora temos todos os parâmetros necessários definidos. 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
5.6) 
Quantidade de caminhos (k) é igual a 2. Agora definiremos a contribuição de ambos 
(P1 e P2). 
Para P1 temos: 
(-).(+).(+)[(G1).(G2).(G3).(G4).(G5)]=-G1G2G3G4G5 
Da mesma forma para P2 temos: 
(-)[(H3)]=-H3 
Determinamos agora o valor de Δ. Como os dois laços não se tocam temos: 
Δ=1-[(+G2H1)+(-G4H2)]+[(+G2H1).(-G4H2)] 
Δ=1-G2H1+G4H2-G2G4H1H2 
Concluindo o processo devemos também determinar os valores de Δ1 e Δ2. 
Observando a figura podemos avaliar que ambos os laços toca, apenas o caminho P1. 
Com isso temos: 
Δ1=1-G2H1+G4H2-G2G4H1H2 =1 
Δ2=1-G2H1+G4H2-G2G4H1H2 
P1 
P2 
P2 
P1 P1 
P1 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
K=2 
P1=-G1G2G3G4G5 
P2=-H3 
Δ=1-G2H1+G4H2-G2G4H1H2 
Δ1=1 
Δ2=1-G2H1+G4H2-G2G4H1H2 
21422412
214224123543212211
1
)]1).([(]1).[(
)(
)(
HHGGHGHG
HHGGHGHGHGGGGGPP
sR
sC






21422412
32142324312354321
1)(
)(
HHGGHGHG
HHHGGHHGHHGHGGGGG
sR
sC



Agora temos todos os parâmetros necessários definidos: 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
5.7) 
Quantidade de caminhos (k) é igual a 2. Agora definiremos a contribuição de ambos 
(P1 e P2). 
Para P1 temos: 
(-).(+).(+)[(G1).(G2).(G3).(G4).(G5)]=-G1G2G3G4G5 
Da mesma forma para P2 temos: 
(-).(+)[(H3)]=-G3G4G5H3 
Determinamos agora o valor de Δ. Como os dois laços não se tocam temos: 
Δ=1-[(-G4H2)+(+G2G3G4G5H1)] 
Δ=1+G4H2-G2G3G4G5H1 
Concluindo o processo devemos também determinar os valores de Δ1 e Δ2. 
Observando a figura podemos avaliar os laços tocam ambos os caminhos. Com isso 
temos: 
Δ1=Δ2=1 
P1 
P1 
P2 
P1 e P2 
P1 
P1 
Eletricidade Aplicada 
Sistemas de Controle 
Fórmula de Mason 
Lista 5 
K=2 
P1=-G1G2G3G4G5 
P2=-G3G4G5H3 
Δ=1+G4H2-G2G3G4G5H1 
Δ1=Δ2=1 
1543224
3543543212211
1
]1).[(]1).[(
)(
)(
HGGGGHG
HGGGGGGGGPP
sR
sC






1543224
354354321
1)(
)(
HGGGGHG
HGGGGGGGG
sR
sC



Agora temos todos os parâmetros necessários definidos: