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Princípios de Circuitos Elétricos Prof. Dr. Eduardo G Bertogna Elementos Passivos Generalidades • Resistor: – Permite variações bruscas de corrente e tensão; – Não é capaz de armazenar energia; – Dissipa energia; • Capacitor: – Não permite variações bruscas de tensão; – Capaz de armazenar energia no campo elétrico; – Não dissipa energia; • Indutor: – Não permite variações bruscas de corrente; – Capaz de armazenar energia no campo magnético; – Não dissipa energia. • Se 2 placas condutoras isoladas forem ligadas a uma fonte de tensão com resistor em série: Elétrons livres da placa ligada ao pólo (+) serão retirados; Funcionamento do Capacitor Simultaneamente, na mesma taxa, ocorre um acúmulo de elétrons na placa ligada ao pólo (-) da fonte, pois este pólo irá repelir os elétrons desta placa; Após cessar essa corrente de carga do capacitor, a tensão nos terminais deste será a mesma da fonte de tensão; A capacidade deste dispositivo em armazenar cargas é dado o nome de Capacitância medida em Farad (F). Capacitor • A Capacitância é medida em Farad (F) e 1 F = 1C / 1V: • Como 1 F é um valor muito elevado, os submúltiplos micro (µF), nano (nF) e pico (pF) são usados; • Diferentemente do Resistor, que mantém sua resistência constante frente à variações de tensão: – O Capacitor quando submetido à variação de tensão ou corrente, tem sua oposição à passagem da corrente elétrica alterada: Reatância Capacitiva = 1/2πfC (Ω); – A capacitância (C) no entanto, se mantém constante. • Capacitores podem armazenar energia no seu campo elétrico, sendo posteriormente liberada de acordo com a operação do circuito. • Campo Elétrico e Fluxo Elétrico: • Densidade de Fluxo Elétrico: – Fluxo por unidade de área • Fluxo e carga são proporcionais: Campo Elétrico e Fluxo • Por definição, a Intensidade de Campo Elétrico que atua em uma carga positiva de 1C em um ponto no espaço é: • E pela Lei de Coulomb a força exercida por uma carga Q2 de 1 C a distância r de outra carga Q1 será: • Logo, na expressão anterior com Q2 = 1 C, corresponde à intensidade do Campo devido a Q2 à distância r de Q1: Capacitor • Esquema de um Capacitor de placas paralelas com ar entre elas visto em corte: • A expressão do campo no interior das 2 placas será: Onde: d é a distância entre placas V a tensão aplicada a elas. • E como já apresentado a capacitância será dada por: Capacitor Capacitor • Capacitância de valores diversos de podem ser obtidos pela adição de isolantes diversos entre as placas: Como no isolante não há elétrons livres , não haverá deslocamento de cargas deste para as placas; Ocorrerá a formação de dipolos, pela influência do campo entre as placas, e estes dipolos ao se alinharem, polarizam o material; Dipolo No interior do material isolante as componentes (+) e (-) dos dipolos se anulam, mas não nas bordas deste; Ocorrerá a geração de campo elétrico ε no interior deste material isolante devido a estas cargas nas bordas, com direção oposta aquele que existia devido às placas somente; • O material isolante recebe o nome de dielétrico pois este produz um campo na direção oposta ao das placas do capacitor; • O objetivo da colocação do material isolante dielétrico, é o de criar um campo que se oponha ao campo das placas; Capacitor • Como a tensão V e a distância entre as placas d não variaram, o campo líquido deve ser mantido, pois como visto antes: Capacitor • Para compensar essa queda no campo líquido produzida pelo dielétrico, uma quantidade adicional de carga é depositada nas placas, mantendo o campo inalterado, pois: Sendo: A = área das placas em m2; ϵ = é a permissividade do dielétrico em F/m; • Este aumento de carga nas placas sem que V se altere, aumenta a capacitância, já que: ↑Q =↑C.Vcte Conclusão: Para diferentes materiais colocados entre placas paralelas, diferentes quantidades de carga serão depositadas, e diferentes valores de C podem ser obtidos. • Se a área A = cte, o dielétrico determinará o nr de linhas de fluxo: ψ ≡ Q, como também a densidade de fluxo: D = ψ/A. • A relação entre densidade de fluxo D e campo elétrico ε em um dielétrico é chamado de permissividade do dielétrico ϵ: – ϵ mede a facilidade do dielétrico em estabelecer linhas de fluxo no seu interior; – Quanto maior o valor de ϵ maior será a quantidade de carga depositada nas placas, e portanto, maior será a densidade de fluxo para uma área fixa; – No vácuo (ou ar) ϵ = ϵ0 com valor de 8,85 x 10-12 F/m. Permissividade • A razão entre a permissividade do dielétrico ϵ e ϵ0 é a chamada permissividade relativa, também chamada de constante dielétrica, ou seja: ϵr = ϵ/ϵ0 • A permissividade absoluta do material será: ϵ = ϵr .ϵ0 • Substituindo: D = ψ/A e ε =V/d em: ϵ = D/ε, ficará: • Mas: , então: ou “E assim o valor de C é determinado apenas pelos aspectos construtivos do capacitor”. Capacitor Permissividade Relativa (Constante Dielétrica) • Para o capacitor de placas paralelas abaixo, determine: (a) a capacitância; (b) o campo elétrico entre as placas se 450V é aplicado; (c) a carga em cada placa. Resp: (a) C= 59 pF; (b) ε = 300.000 V/m; (c) Q = 26,55 nC Exercício Exercício (cont.) Solução: (a) (b) (c) • Como: C = ϵ.A/d, isolando d resulta: d = ϵA/C • Substituindo d na equação do campo elétrico, resulta: • E uma vez que: Q = CV • Voltando à expressão C = ϵ.A/d, a razão entre C e C0, onde C0 é para placas no ar resulta: • Conclusão: um capacitor com dielétrico com constante dielétrica ϵr apresenta uma capacitância ϵr vezes aquela com dielétrico de ar (≈vácuo). Capacitância • Achar os valores de C, se nos capacitores à esquerda o dielétrico é o ar, modificados para a figura à direita: C = (A/A0).C0 = 3.(5 μF) = 15 μF C = ϵr C0 = 2,5.20 = 50 μF C = [(1/d)/(1/d0)]C0 = d0 /d.0,1 C = ϵr . (A/A0).(d0 /d).C0 =4.5.8.1000 pF C = (½)0,1 = 0,05 μF C = 160.1000pF = 0,16 μF Exercícios Exemplo • No capacitor ao lado, ao se inserir uma placa de mica com espessura d e área A como dielétrico, determine: (a) o campo elétrico entre as placas para 450V; (b) a carga em cada placa; (c) a capacitância. Solução: (a) (b) , então: (c) Rigidez Dielétrica • A rigidez dielétrica define o quanto um material isolante é capaz de suportar um campo elétrico sem conduzir; • Representa a tensão de isolamento, ou de ruptura, por unidade de comprimento; • A partir deste valor o material passará a conduzir corrente, ou seja, se tornará um condutor. • 1mil = 0,001 polegada • Determine a máxima tensão que pode ser aplicada em um capacitor de 0,2 μF dielétrico de porcelana e área de sua placa de 0,3 m2. Solução: A rigidez dielétrica da porcelana sendo: 200V/mils, então, a tensão máxima suportada será: Vmax = (200V/mil).d(mils) Sendo a capacitância determinada por: C = ϵA/d Então d será: d = ϵA/C = ϵ0.ϵr .A/C = 8,85.10 -12.6.0,3 m2.0,2 μF d = 79,65 μm Mas como 1m = 39371mils: d = 79,65 μ.39371 = 3,136 mils E a máxima tensão suportada será: 200.3,136 = 627,2V Exemplo Corrente de Fuga • Mostrou-se até aqui, que circula corrente no dielétrico somente quando a tensão de ruptura é ultrapassada; • Porém, devido a impurezas no dielétrico, elétrons livres geram uma corrente de fuga de uma placa para a outra; • Normalmente esta corrente de fuga é tão pequena que pode ser desprezada, e seu efeito é modelado por um resistor em paralelo, tipicamente maior que 100 MΩ: Tipos de Capacitores • Inicialmente pode-se dividir os capacitores em 2 tipos: – Fixos ( ) e Variáveis ( ); • CapacitoresFixos: 1. Mica; 2. Cerâmica; 3. Eletrolítico; 4. Tântalo; 5. Poliéster; 6. Filme Fino. • Capacitores Variáveis: 1. Trimmer; 2. Para Sintonia. Capacitor Corrente no Capacitor: Tensão no Capacitor: Integrando-se a expressão anterior, obtém-se: ou: Se v(t0 ) não é conhecido: Capacitor - Exemplo • Exemplo: demonstre que o gráfico de v(t) ao se aplicar a corrente abaixo num capacitor de 5μF é como mostrado: • Solução: requer a resolução de: para os seguintes intervalos: -∞ < t ≤ 0; 0 ≤ t ≤ 2ms; e t ≥ 2ms Para: -∞ < t ≤ 0: como i(t) = 0 para t ≤ 0: v(t) = v(t0) = 0 Para: 0 ≤ t ≤ 2ms: v(t) = (1/5μ)∫t0(20m)dt’+ v(0) = 4.10 3t Para: t ≥ 2ms: v(t) = (1/5μ)∫t2m(0)dt’+ v(0) = 0 + 8 = 8 Capacitor - Exemplo • Exemplo: Determine a corrente através de um capacitor de 100 pF cuja tensão aplicada é o gráfico abaixo: Resposta: -∞ < t ≤ 1ms: i(t) = 0; 1ms ≤ t ≤ 2ms: i(t) = 200nA t ≥ 2ms: i(t) = 0. • Solução: Para: -∞ < t ≤ 1ms: i(t) = 0, pois: v(t) = 0 A Para: 1ms ≤ t ≤ 2ms: i(t) = C dv/dt = 100p.d(2000t-2) /dt i(t) = 100p.2.103 = 200 nA Para: t ≥ 2ms: i(t) = C dv/dt = 100p.d(2) /dt = 0 A Associação de Capacitores • Associação de Capacitores em Série: nesta a carga é a mesma em todos os capacitores: Aplicando a LKT na malha: Mas: Então: , mas: Então, substituindo: por e dividindo ambos os lados por resultará: Associação Série • Para 2 Capacitores em Série: • Tensão nos Capacitores em Série: – Uma vez que: , segue que: – E a tensão fica: – Substituindo: 1/CT =1/C1+1/C2+1/C3 na expressão anterior: – Para os demais capacitores a expressão será similar a expressão acima. • Dedução alternativa: • Pela LKT: • Mas: • Portanto: Associação Série • Associação de Capacitores em Paralelo: nesta a carga total é a soma das cargas nos capacitores: Mas: Portanto: Além disto: , que substituído na expressão anterior, e dividindo ambos os lados por E, resultará: Associação Paralelo • Ou ainda, pela LKC no circuito abaixo: is = i1 + i2 +...+iN • Então: is = C1dV1/dt + C2dV2/dt+...+CNdVN/dt • Mas como: V = V1 = V2 =...= VN • Resulta que: is = (C1+ C2+ ... + CN)dV/dt = CeqdV/dt • Portanto: C1+ C2+ ... + CN = Ceq Associação Paralelo Simbologia dos Capacitores • Os símbolos também estão relacionados ao tipo: – A, B e C: capacitores cerâmicos e poliéster; – D, E e F: capacitores eletrolíticos; Transitório em Circuitos RC Etapa de Carga do Capacitor • No circuito ao lado, com a chave em 1, circulará uma corrente durante a carga do capacitor; • E a tensão aumentará a medida que a corrente diminui: • Observe a lenta variação da tensão • Imediatamente após a chave ser fechada, ocorrerá um pico de corrente dado por: iC= E/R – O capacitor pode ser trocado por um curto-circuito; • Após a carga do capacitor ter se completado, a corrente cessa, e a tensão neste será o mesmo da fonte. – O capacitor pode ser substituído por um circuito aberto. Transitório em Circuitos RC Etapa de Carga do Capacitor • Com a chave em 1, a corrente que circulará é tal que: • E portanto: • Então: • Integrando de ambos os lados fica: • Se Vi = 0: Vi = tensão inicial em C Transitório RC - Etapa de Carga • Como a corrente que circula em C é a mesma que R: • Substituindo VC por: • Fica: • E portanto a corrente de carga do capacitor será: Transitório RC - Etapa de Carga • Na expressão anterior da corrente no capacitor durante a carga dada por: • O parâmetro RC é chamado de constante de tempo: Transitório RC - Etapa de Carga Transitório RC - Etapa de Carga Plot da Constante de Tempo • Transitório de Corrente e Constantes de Tempo • Após 5 constantes de tempo o valor da corrente cai abaixo de 1%, ou seja já é quase zero. Transitório RC - Etapa de Carga Constante de Tempo • A expressão vista antes do Transitório de Tensão no Capacitor: • Apresenta a relação com as Constantes de Tempo mostradas no plot abaixo: Transitório RC - Etapa de Carga Plot da Constante de Tempo • Já o Transitório de Tensão no Resistor, terá expressão dada por: • E relação com as Constantes de Tempo como: Transitório RC - Etapa de Carga Plot da Constante de Tempo • Para o circuito abaixo: (a) ache as expressões de VC, iC e VR ; (b) ache o tempo para que a corrente seja ≈ zero após a chave fechada. • Solução: (a) (b) Exemplo - Transitório RC Etapa de Carga • No circuito ao lado, com a chave em 2, a corrente que circula na descarga do capacitor será a mesma do resistor; • Tensão e a corrente diminuirão: Transitório RC Etapa de Descarga Transitório RC Etapa de Descarga • Com a chave em 2, a corrente que circulará é tal que: • E portanto: • Então: • Integrando de ambos os lados fica: Transitório RC - Etapa de Descarga • Logo: • As expressões anteriores para a tensão e a corrente de descarga: Se aplicam para os casos nos quais a tensão Vc alcança a mesma tensão da fonte E; Tempo de carga > 5τ. Caso isso não ocorra, as novas expressões serão: Onde: Vi é a tensão inicial de descarga do capacitor. Transitório RC Carga Incompleta • Para o circuito ao lado, após o capacitor ter se carregado, e a chave posicionada em 2: (a) ache as expressões de VC, iC e VR ; (b) ache o tempo para que a corrente seja ≈ zero após a chave fechada. • Solução: (a) (b) Exemplo - Transitório RC Etapa de Descarga Exercício 1- Transitório • Para o circuito RC abaixo: (a) Achar as expressões de Vc(t) e ic(t) com a chave em 1; (b) Repetir o item (a) quando a chave passa de 1 para 2 após o tempo 30 ms; (c) Repetir o item (a) quando a chave passa de 2 para 3 após o tempo 48 ms; (d) Plotar as formas de onda de Vc(t) e ic(t) relativas aos itens anteriores no mesmo eixo dos tempos. Exercício 2 - Transitório • Para o circuito RC abaixo: (a) Achar as expressões de Vc(t) e ic(t) com a chave em 1; (b) Repetir o item (a) quando a chave passa de 1 para 2 após o tempo 1 τ; (c) Plotar as formas de onda de Vc(t) e ic(t) relativas aos itens anteriores no mesmo eixo dos tempos. • Como visto o capacitor ideal não dissipa a energia que é entregue a este; • Esta energia é armazenada no campo elétrico entre as superfícies condutoras das placas paralelas, sendo dada pelas expressões: Energia Armazenada no Capacitor • Que representam a área sob a curva de potência ao lado. • Para o circuito abaixo, determine: a tensão, carga e a energia armazenada em cada capacitor após a carga. • Solução: Exemplo • Nos exemplos dados o capacitor se apresentava no início sem carga alguma armazenada. Considere agora que este possui uma carga inicial e portanto uma tensão inicial: V = Q/C – Essa tensão é chamada condição inicial; – A condição final é a chamada: regime permanente. • Vc e Ic serão: Transitório RC com Carga Inicial • Para o circuito onde C tem uma tensão inicial de 4V, ache: (a) As expressões da tensão e corrente quando a chave é fechada; (b) a forma de onda resultante. Exemplo - Transitório RC com Carga Inicial • Solução: (a) A tensão final será a da fonte: Vf = 24V, e a constante de tempo será: τ = (R1+R2)C = (2k2+1k2).3,3μ = 56,1ms • A tensão não poderá mudar instantaneamente ao se fechar a chave, e então, o pico da corrente será: (b) Plots de Vc e ic Transitório RC com Carga Inicial • Quando se deseja obter o valor de tensão ou corrente num instante de tempo particular, e este é diferente dos valores múltiplos de τ tabelados: • Deve-se substituir o valor de t nas expressões,por ex: ,para t=5ms: Transitório RC Valores Instantâneos Transitório RC Valores Instantâneos • No caso de se desejar t a partir de Vc na carga de C: • E caso de se desejar t a partir Vc na descarga de C: • E caso de se desejar t a partir da expressão da corrente: • Exemplo: se quanto vale t para 10V: Equivalente de Thevenin (τ=RTHC) • Haverá ocasiões onde não se tem um circuito RC série como até agora, mas algo como abaixo: • Então, pode-se usar o Teorema de Thevenin para se chegar a: • Então, se resolver o problema como antes. Exercícios Adicionais • Determine a capacitância de um capacitor de placas paralelas que acumula 1400 uC de carga em suas placas quando a tensão aplicada é de 20V • Qual é a carga que se acumula nas placas de um capacitor de 0,05 uF quando são aplicados 45 V entre seus terminais? • Determine a intensidade do campo elétrico entre as placas paralelas de um capacitor se são aplicadas 100 mV entre suas placas, que estão distantes 2 mm uma da outra. • Determine a capacitância de um capacitor de placas paralelas se a área de cada placa for 0,075m² e a distância entre elas é 1,77mm. O dielétrico é o ar. • Determine a distância em mils entre as placas de um capacitor de 2uF se a área de cada placa for de 0,09m² e o dielétrico for óleo de transformador (1mil = 0,0254mm • A capacitância de um capacitor, cujo dielétrico é o ar, é de 1200pF. Quando inserimos um novo dielétrico entre as placas, a capacitância aumenta para 0,006uF. De que material é feito o dielétrico? Exercícios Adicionais • Para • Para Exercícios Adicionais Exercícios Adicionais • Para um capacitor de 1 μF com uma tensão como a mostrada ao lado aplicada a ele: (a) desenhe a forma de onda da corrente; (b) repetir os cálculos para um capacitor de 17,5pF. • Para um capacitor de 2,5F com uma corrente como a mostrada na figura ao lado, desenhe a forma de onda da tensão.
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