Aula 7 Capacitor

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Princípios de Circuitos Elétricos
Prof. Dr. Eduardo G Bertogna
Elementos Passivos
Generalidades
• Resistor: 
– Permite variações bruscas de corrente e tensão;
– Não é capaz de armazenar energia;
– Dissipa energia;
• Capacitor:
– Não permite variações bruscas de tensão;
– Capaz de armazenar energia no campo elétrico;
– Não dissipa energia;
• Indutor:
– Não permite variações bruscas de corrente;
– Capaz de armazenar energia no campo magnético;
– Não dissipa energia.
• Se 2 placas condutoras isoladas 
forem ligadas a uma fonte de 
tensão com resistor em série:
 Elétrons livres da placa ligada 
ao pólo (+) serão retirados;
Funcionamento do Capacitor
 Simultaneamente, na mesma taxa, ocorre um acúmulo de 
elétrons na placa ligada ao pólo (-) da fonte, pois este 
pólo irá repelir os elétrons desta placa;
 Após cessar essa corrente de carga do capacitor, a tensão 
nos terminais deste será a mesma da fonte de tensão;
 A capacidade deste dispositivo em armazenar cargas é 
dado o nome de Capacitância medida em Farad (F).
Capacitor
• A Capacitância é medida em Farad (F) e 1 F = 1C / 1V:
• Como 1 F é um valor muito elevado, os submúltiplos micro 
(µF), nano (nF) e pico (pF) são usados; 
• Diferentemente do Resistor, que mantém sua resistência 
constante frente à variações de tensão:
– O Capacitor quando submetido à variação de tensão ou 
corrente, tem sua oposição à passagem da corrente 
elétrica alterada: Reatância Capacitiva = 1/2πfC (Ω);
– A capacitância (C) no entanto, se mantém constante.
• Capacitores podem armazenar energia no seu campo 
elétrico, sendo posteriormente liberada de acordo com a 
operação do circuito.
• Campo Elétrico e Fluxo Elétrico:
• Densidade de Fluxo Elétrico: 
– Fluxo por unidade de área
• Fluxo e carga são proporcionais:
Campo Elétrico e Fluxo 
• Por definição, a Intensidade de Campo Elétrico que atua em 
uma carga positiva de 1C em um ponto no espaço é:
• E pela Lei de Coulomb a força exercida por uma carga Q2 
de 1 C a distância r de outra carga Q1 será:
• Logo, na expressão anterior com Q2 = 1 C, corresponde à
intensidade do Campo devido a Q2 à distância r de Q1:
Capacitor
• Esquema de um Capacitor de placas paralelas com ar 
entre elas visto em corte: 
• A expressão do campo no
interior das 2 placas será:
Onde:
d é a distância entre placas
V a tensão aplicada a elas.
• E como já apresentado a capacitância será dada por:
Capacitor
Capacitor
• Capacitância de valores diversos de podem ser obtidos 
pela adição de isolantes diversos entre as placas: 
 Como no isolante não há elétrons 
livres , não haverá deslocamento 
de cargas deste para as placas;
 Ocorrerá a formação de dipolos, 
pela influência do campo entre as 
placas, e estes dipolos ao se 
alinharem, polarizam o material;
Dipolo
 No interior do material isolante as componentes (+) e (-) dos 
dipolos se anulam, mas não nas bordas deste;
 Ocorrerá a geração de campo elétrico ε no interior deste 
material isolante devido a estas cargas nas bordas, com 
direção oposta aquele que existia devido às placas somente;
• O material isolante recebe o nome 
de dielétrico pois este produz um 
campo na direção oposta ao das 
placas do capacitor; 
• O objetivo da colocação do 
material isolante dielétrico, é o de 
criar um campo que se oponha ao 
campo das placas;
Capacitor
• Como a tensão V e a distância entre as placas d não variaram, 
o campo líquido deve ser mantido, pois como visto antes:
Capacitor
• Para compensar essa queda no campo líquido produzida 
pelo dielétrico, uma quantidade adicional de carga é 
depositada nas placas, mantendo o campo inalterado, 
pois:
Sendo: 
A = área das placas em m2; 
ϵ = é a permissividade do dielétrico em F/m;
• Este aumento de carga nas placas sem que V se altere, 
aumenta a capacitância, já que: ↑Q =↑C.Vcte
Conclusão: 
Para diferentes materiais colocados entre placas paralelas, 
diferentes quantidades de carga serão depositadas, e 
diferentes valores de C podem ser obtidos.
• Se a área A = cte, o dielétrico determinará o nr de linhas de 
fluxo: ψ ≡ Q, como também a densidade de fluxo: D = ψ/A.
• A relação entre densidade de fluxo D e campo elétrico ε em 
um dielétrico é chamado de permissividade do dielétrico ϵ: 
– ϵ mede a facilidade do dielétrico em estabelecer linhas de fluxo 
no seu interior;
– Quanto maior o valor de ϵ maior será a quantidade de carga 
depositada nas placas, e portanto, maior será a densidade de 
fluxo para uma área fixa;
– No vácuo (ou ar) ϵ = ϵ0 com valor de 8,85 x 10-12 F/m.
Permissividade
• A razão entre a permissividade do dielétrico ϵ e ϵ0 é a 
chamada permissividade relativa, também chamada de 
constante dielétrica, ou seja: ϵr = ϵ/ϵ0
• A permissividade absoluta do material será: ϵ = ϵr .ϵ0
• Substituindo: D = ψ/A e ε =V/d em: ϵ = D/ε, ficará:
• Mas: , então: 
ou
“E assim o valor de C é determinado apenas pelos aspectos 
construtivos do capacitor”.
Capacitor
Permissividade Relativa
(Constante Dielétrica)
• Para o capacitor de placas paralelas abaixo, determine: 
(a) a capacitância;
(b) o campo elétrico entre as placas se 450V é aplicado; 
(c) a carga em cada placa.
Resp: (a) C= 59 pF; (b) ε = 300.000 V/m; (c) Q = 26,55 nC
Exercício
Exercício (cont.)
Solução:
(a) 
(b)
(c)
• Como: C = ϵ.A/d, isolando d resulta: d = ϵA/C
• Substituindo d na equação do campo elétrico, resulta:
• E uma vez que: Q = CV
• Voltando à expressão C = ϵ.A/d, a razão entre C e C0, 
onde C0 é para placas no ar resulta:
• Conclusão: um capacitor com dielétrico com constante 
dielétrica ϵr apresenta uma capacitância ϵr vezes aquela 
com dielétrico de ar (≈vácuo).
Capacitância
• Achar os valores de C, se nos capacitores à esquerda o 
dielétrico é o ar, modificados para a figura à direita:
C = (A/A0).C0 = 3.(5 μF) = 15 μF C = ϵr C0 = 2,5.20 = 50 μF
C = [(1/d)/(1/d0)]C0 = d0 /d.0,1 C = ϵr . (A/A0).(d0 /d).C0 =4.5.8.1000 pF
C = (½)0,1 = 0,05 μF C = 160.1000pF = 0,16 μF 
Exercícios
Exemplo
• No capacitor ao lado, ao se inserir uma 
placa de mica com espessura d e área A
como dielétrico, determine: (a) o campo 
elétrico entre as placas para 450V; (b) a 
carga em cada placa; (c) a capacitância.
Solução:
(a)
(b) , então: 
(c)
Rigidez Dielétrica
• A rigidez dielétrica 
define o quanto um 
material isolante é 
capaz de suportar um 
campo elétrico sem 
conduzir;
• Representa a tensão 
de isolamento, ou de 
ruptura, por unidade 
de comprimento;
• A partir deste valor o 
material passará a 
conduzir corrente, ou 
seja, se tornará um 
condutor.
• 1mil = 0,001 polegada
• Determine a máxima tensão que pode ser aplicada em 
um capacitor de 0,2 μF dielétrico de porcelana e área 
de sua placa de 0,3 m2.
Solução: 
A rigidez dielétrica da porcelana sendo: 200V/mils, então, a
tensão máxima suportada será: Vmax = (200V/mil).d(mils)
Sendo a capacitância determinada por: C = ϵA/d
Então d será: d = ϵA/C = ϵ0.ϵr .A/C = 8,85.10
-12.6.0,3 m2.0,2 μF 
d = 79,65 μm
Mas como 1m = 39371mils: d = 79,65 μ.39371 = 3,136 mils
E a máxima tensão suportada será: 200.3,136 = 627,2V
Exemplo
Corrente de Fuga
• Mostrou-se até aqui, que circula corrente no dielétrico 
somente quando a tensão de ruptura é ultrapassada;
• Porém, devido a impurezas no dielétrico, elétrons livres 
geram uma corrente de fuga de uma placa para a outra;
• Normalmente esta corrente de fuga é tão pequena que 
pode ser desprezada, e seu efeito é modelado por um 
resistor em paralelo, tipicamente maior que 100 MΩ:
Tipos de Capacitores
• Inicialmente pode-se dividir os capacitores em 2 tipos: 
– Fixos ( ) e Variáveis ( );
• CapacitoresFixos:
1. Mica;
2. Cerâmica;
3. Eletrolítico;
4. Tântalo;
5. Poliéster;
6. Filme Fino.
• Capacitores Variáveis:
1. Trimmer;
2. Para Sintonia.
Capacitor
Corrente no Capacitor:
Tensão no Capacitor:
Integrando-se a expressão anterior, obtém-se:
ou:
Se v(t0 ) não é conhecido:
Capacitor - Exemplo
• Exemplo: demonstre que o gráfico de v(t) ao se aplicar a 
corrente abaixo num capacitor de 5μF é como mostrado:
• Solução: requer a resolução de:
para os seguintes intervalos: 
-∞ < t ≤ 0; 0 ≤ t ≤ 2ms; e t ≥ 2ms 
Para: -∞ < t ≤ 0: como i(t) = 0 para t ≤ 0: v(t) = v(t0) = 0
Para: 0 ≤ t ≤ 2ms: v(t) = (1/5μ)∫t0(20m)dt’+ v(0) = 4.10
3t
Para: t ≥ 2ms: v(t) = (1/5μ)∫t2m(0)dt’+ v(0) = 0 + 8 = 8
Capacitor - Exemplo
• Exemplo: Determine a corrente através de um capacitor 
de 100 pF cuja tensão aplicada é o gráfico abaixo:
Resposta: 
-∞ < t ≤ 1ms: i(t) = 0;
1ms ≤ t ≤ 2ms: i(t) = 200nA
t ≥ 2ms: i(t) = 0.
• Solução:
Para: -∞ < t ≤ 1ms: i(t) = 0, pois: v(t) = 0 A
Para: 1ms ≤ t ≤ 2ms: i(t) = C dv/dt = 100p.d(2000t-2) /dt
i(t) = 100p.2.103 = 200 nA
Para: t ≥ 2ms: i(t) = C dv/dt = 100p.d(2) /dt = 0 A
Associação de Capacitores
• Associação de Capacitores em Série: nesta a carga é 
a mesma em todos os capacitores:
Aplicando a LKT na malha: 
Mas: 
Então: , mas:
Então, substituindo: por e dividindo 
ambos os lados por resultará:
Associação Série
• Para 2 Capacitores em Série: 
• Tensão nos Capacitores em Série:
– Uma vez que: , segue que: 
– E a tensão fica:
– Substituindo: 1/CT =1/C1+1/C2+1/C3 na expressão 
anterior:
– Para os demais capacitores a expressão será similar a 
expressão acima.
• Dedução alternativa:
• Pela LKT: 
• Mas:
• Portanto:
Associação Série
• Associação de Capacitores em Paralelo: nesta a 
carga total é a soma das cargas nos capacitores:
Mas:
Portanto:
Além disto: , que substituído 
na expressão anterior, e dividindo ambos os lados 
por E, resultará:
Associação Paralelo
• Ou ainda, pela LKC no circuito abaixo:
is = i1 + i2 +...+iN
• Então: is = C1dV1/dt + C2dV2/dt+...+CNdVN/dt
• Mas como: V = V1 = V2 =...= VN
• Resulta que: is = (C1+ C2+ ... + CN)dV/dt = CeqdV/dt
• Portanto: 
C1+ C2+ ... + CN = Ceq
Associação Paralelo
Simbologia dos
Capacitores
• Os símbolos também estão relacionados ao 
tipo:
– A, B e C: capacitores cerâmicos e poliéster;
– D, E e F: capacitores eletrolíticos;
Transitório em Circuitos RC
Etapa de Carga do Capacitor
• No circuito ao lado, com a chave 
em 1, circulará uma corrente 
durante a carga do capacitor;
• E a tensão aumentará a medida 
que a corrente diminui:
• Observe a lenta variação da tensão
• Imediatamente após a chave ser 
fechada, ocorrerá um pico de 
corrente dado por: iC= E/R
– O capacitor pode ser trocado por 
um curto-circuito;
• Após a carga do capacitor ter se 
completado, a corrente cessa, e a 
tensão neste será o mesmo da 
fonte.
– O capacitor pode ser substituído por 
um circuito aberto.
Transitório em Circuitos RC
Etapa de Carga do Capacitor
• Com a chave em 1, a corrente que 
circulará é tal que:
• E portanto:
• Então:
• Integrando de ambos os lados fica: 
• Se Vi = 0: 
Vi = tensão inicial em C
Transitório RC - Etapa de Carga
• Como a corrente que circula em C é a mesma que R:
• Substituindo VC por:
• Fica:
• E portanto a corrente de carga do capacitor será: 
Transitório RC - Etapa de Carga
• Na expressão anterior da corrente no capacitor durante 
a carga dada por:
• O parâmetro RC é chamado de constante de tempo:
Transitório RC - Etapa de Carga
Transitório RC - Etapa de Carga
Plot da Constante de Tempo
• Transitório de Corrente e Constantes de Tempo
• Após 5 constantes de tempo o valor da corrente 
cai abaixo de 1%, ou seja já é quase zero.
Transitório RC - Etapa de Carga
Constante de Tempo
• A expressão vista antes do Transitório de Tensão 
no Capacitor:
• Apresenta a relação com as Constantes de Tempo 
mostradas no plot abaixo:
Transitório RC - Etapa de Carga
Plot da Constante de Tempo
• Já o Transitório de Tensão no Resistor, terá expressão 
dada por:
• E relação com as Constantes de Tempo como:
Transitório RC - Etapa de Carga
Plot da Constante de Tempo
• Para o circuito abaixo: (a) ache as expressões de VC, iC e 
VR ; (b) ache o tempo para que a corrente seja ≈ zero 
após a chave fechada.
• Solução:
(a)
(b)
Exemplo - Transitório RC 
Etapa de Carga
• No circuito ao lado, com a 
chave em 2, a corrente que 
circula na descarga do 
capacitor será a mesma do 
resistor;
• Tensão e a corrente 
diminuirão:
Transitório RC
Etapa de Descarga
Transitório RC
Etapa de Descarga
• Com a chave em 2, a corrente que 
circulará é tal que:
• E portanto:
• Então:
• Integrando de ambos os lados 
fica: 
Transitório RC - Etapa de Descarga
• Logo: 
• As expressões anteriores para a tensão e a corrente de 
descarga:
 Se aplicam para os casos nos quais a tensão Vc
alcança a mesma tensão da fonte E;
 Tempo de carga > 5τ. 
Caso isso não ocorra, as novas expressões serão:
Onde: Vi é a tensão inicial de descarga do capacitor.
Transitório RC
Carga Incompleta
• Para o circuito ao lado, após o capacitor ter se carregado, e a 
chave posicionada em 2: (a) ache as expressões de VC, iC e VR ; 
(b) ache o tempo para que a corrente seja ≈ zero após a chave 
fechada.
• Solução:
(a)
(b)
Exemplo - Transitório RC 
Etapa de Descarga
Exercício 1- Transitório
• Para o circuito RC abaixo:
(a) Achar as expressões de Vc(t) e ic(t) com a chave em 1;
(b) Repetir o item (a) quando a chave passa de 1 para 2 após o 
tempo 30 ms;
(c) Repetir o item (a) quando a chave passa de 2 para 3 após o 
tempo 48 ms;
(d) Plotar as formas de onda de Vc(t) e ic(t) relativas aos itens 
anteriores no mesmo eixo dos tempos.
Exercício 2 - Transitório
• Para o circuito RC abaixo:
(a) Achar as expressões de Vc(t) e ic(t) com a chave em 1;
(b) Repetir o item (a) quando a chave passa de 1 para 2 após 
o tempo 1 τ;
(c) Plotar as formas de onda de Vc(t) e ic(t) relativas aos itens 
anteriores no mesmo eixo dos tempos.
• Como visto o capacitor ideal não dissipa a energia que 
é entregue a este;
• Esta energia é armazenada no campo elétrico entre as 
superfícies condutoras das placas paralelas, sendo 
dada pelas expressões:
Energia Armazenada no 
Capacitor
• Que representam a 
área sob a curva de 
potência ao lado.
• Para o circuito abaixo, determine: a tensão, carga e a 
energia armazenada em cada capacitor após a carga.
• Solução: 
Exemplo
• Nos exemplos dados o capacitor se apresentava no 
início sem carga alguma armazenada. Considere agora 
que este possui uma carga inicial e portanto uma 
tensão inicial: V = Q/C
– Essa tensão é chamada condição inicial;
– A condição final é a chamada: regime permanente.
• Vc e Ic serão:
Transitório RC com Carga Inicial
• Para o circuito onde C tem 
uma tensão inicial de 4V, 
ache: (a) As expressões da 
tensão e corrente quando a 
chave é fechada; (b) a 
forma de onda resultante.
Exemplo - Transitório RC 
com Carga Inicial
• Solução:
(a) A tensão final será a da fonte: Vf = 24V, e a constante de 
tempo será: τ = (R1+R2)C = (2k2+1k2).3,3μ = 56,1ms
• A tensão não poderá mudar instantaneamente ao se 
fechar a chave, e então, o pico da corrente será:
(b) Plots de Vc e ic
Transitório RC com Carga Inicial
• Quando se deseja obter o valor de tensão ou corrente 
num instante de tempo particular, e este é diferente 
dos valores múltiplos de τ tabelados:
• Deve-se substituir o valor de t nas expressões,por ex:
,para t=5ms: 
Transitório RC
Valores Instantâneos
Transitório RC
Valores Instantâneos
• No caso de se desejar t a partir de Vc na carga de C:
• E caso de se desejar t a partir Vc na descarga de C:
• E caso de se desejar t a partir da expressão da corrente:
• Exemplo: se quanto vale t para 10V:
Equivalente de Thevenin
(τ=RTHC) 
• Haverá ocasiões onde não se tem um circuito RC série 
como até agora, mas algo como abaixo:
• Então, pode-se usar o Teorema de Thevenin para se 
chegar a:
• Então, se resolver o problema como antes.
Exercícios Adicionais
• Determine a capacitância de um capacitor de 
placas paralelas que acumula 1400 uC de carga 
em suas placas quando a tensão aplicada é de 
20V
• Qual é a carga que se acumula nas placas de um 
capacitor de 0,05 uF quando são aplicados 45 V 
entre seus terminais?
• Determine a intensidade do campo elétrico entre 
as placas paralelas de um capacitor se são 
aplicadas 100 mV entre suas placas, que estão 
distantes 2 mm uma da outra.
• Determine a capacitância de um capacitor de placas 
paralelas se a área de cada placa for 0,075m² e a 
distância entre elas é 1,77mm. O dielétrico é o ar.
• Determine a distância em mils entre as placas de 
um capacitor de 2uF se a área de cada placa for de 
0,09m² e o dielétrico for óleo de transformador 
(1mil = 0,0254mm
• A capacitância de um capacitor, cujo dielétrico é o 
ar, é de 1200pF. Quando inserimos um novo 
dielétrico entre as placas, a capacitância aumenta 
para 0,006uF. De que material é feito o dielétrico?
Exercícios Adicionais
• Para
• Para
Exercícios Adicionais
Exercícios Adicionais
• Para um capacitor de 1 μF 
com uma tensão como a 
mostrada ao lado aplicada a 
ele: (a) desenhe a forma de 
onda da corrente; (b) repetir 
os cálculos para um 
capacitor de 17,5pF.
• Para um capacitor de 2,5F 
com uma corrente como a 
mostrada na figura ao lado, 
desenhe a forma de onda da 
tensão.