Cap II - Álgebra Tensorial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA 
Faculdade de Engenharia Química 
 
Fenômenos de Transporte – Ano 2012 
 
 Prof. Luiz Gustavo 
ÁLGEBRA TENSORIAL 
 
1 – GRANDEZA ESCALAR 
 
Uma Grandeza Escalar requer apenas um valor numérico para totalmente caracterizada. 
Constituem grandezas escalares a massa, a densidade, a viscosidade, a condutividade térmica, o 
calor específico, a difusividade mássica, a temperatura, a umidade, a concentração, o comprimento, 
a área, o volume etc. 
 
2 – GRANDEZA VETORIAL 
 
 Uma Grandeza Vetorial é aquela em que apenas a menção do seu valor numérico não é 
mais suficiente para caracterizá-la por completo. Além do valor numérico, este tipo de grandeza 
física requer ainda uma direção no espaço. Constituem grandezas vetoriais a velocidade, a 
aceleração, a força etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Representação Gráfica de um Vetor e suas componentes. 
 
 O vetor “u” pode, matematicamente, ser representado como: 
 
x x 
y y 
z z 
u 
ux 
uy 
uz 
ex 
ey 
ez 
u 
8 
 
x x y y z zu u e u e u e= + + 
Note que ux, uy e uz são escalares e para a sua completa caracterização 
só há necessidade de informar os respectivos módulos, posto que a 
direção de cada uma das componentes já está previamente definida 
pelo sistema de eixos coordenados. Todavia, pelo Princípio da 
Homogeneidade Dimensional, ficaria incoerente somar 3 escalares (ux, 
uy e uz) para originar um vetor (u). Eis então, o motivo pelo qual cada 
uma das componentes do vetor “u” é multiplicada pelos vetores 
unitários ortonormais/ortogonais (ex, ey e ez). 
 
 Os subscritos “x”, “y” e “z” podem ser também denominados genericamente de “1”, “2” e 
“3”. Assim, o vetor “u” pode ser escrito como: 
 
1 1 2 2 3 3u u e u e u e= + + 
 
 O vetor “u” pode ainda ser representado por uma notação indicial: 
 
3
i i
i 1
u u e
=
=∑ 
 
É comum nos livros técnicos a utilização da Notação de Einstein, conforme mostrada a 
seguir, em que índices repetidos pressupõem um somatório: 
 
 i iu u e= 
 
 Isto posto, resta agora comentar as principais operações envolvendo vetores. 
 
2.1 – Adição de Vetores 
 
Imaginemos dois vetores quaisquer denominados de “u” e “v”. Então, algebricamente, a soma 
“u+v” ou “u-v” é representada da seguinte maneira: 
 
( )i i iu v u v e+ = + (note que o resultado da operação é um vetor) 
9 
 
( )i i iu v u v e− = − (note que o resultado da operação é um vetor) 
 
2.2 – Multiplicação de um Vetor por um Escalar 
 
Imaginemos o escalar “γ” que multiplica o vetor “u”. Assim, a operação “γu” é representada 
por: 
 
i iu u eγ = γ (note que um resultado é um vetor) 
 
2.3 – Produto Escalar entre Vetores 
 
Imaginemos o produto escalar entre os vetores “u” e “v”. Assim, a representação do produto 
escalar entre eles é dada por “ u.v ”, cujo resultado é: 
 
( ) ( )i i j ju.v u e . v e= 
( )i j i ju.v u v e .e= 
 
Por definição, o produto escalar entre dois vetores ortogonais é dado por: 
 
( )i j i j i je .e e e cos e e= em que: 
 
Se i j= , então ( )i jcos e e 1= e i je .e 1.1.1 1= = 
Se i j≠ , então ( )i jcos e e 0= e i je .e 1.1.0 0= = 
 
Logo, o produto escalar entre “u” e “v” será: 
 
i iu.v u v= (note que o resultado é um escalar) 
 
Nos manuais, algebricamente o produto entre dois vetores (“u” e “v”, por exemplo) é 
representado genericamente por: 
 
i j iju.v u v= δ em que: 
10 
 
 
Se i j= , então ij 1δ = 
Se i j≠ , então ij 0δ = 
 
A função “δij” é denominada de Delta de Kröenecher. Assim: 
 
i i j ju.v u v u v= = (escalar) 
1 1 2 2 3 3u.v u v u v u v= + + 
 
2.4 – Produto Vetorial entre Vetores 
 
Imaginemos o produto vetorial entre os vetores “u” e “v”. Assim, a representação do produto 
vetorial escalar entre eles é dada por “ u v× ”, cujo resultado é: 
 
( ) ( ) ( )( )i i j j i j i ju v u e v e u v e e× = × = × 
 
Por definição: ( ) ( )i j i j i j k i j ke e e e sen e e e sen e e e   × = =    . Vale lembrar que ek é um 
vetor normal ao plano definido pelos vetores ei e ej. Pelo fato de ei, ej e ek serem 
mutuamente ortogonais, pode-se afirmar que o ( )i jsen e e será -1, 0 e +1 quando o 
ângulo entre ei e ej for 2
pi
− , 0 e 
2
pi
+ , respectivamente. Desta forma: 
 
1 1 2 2 3 3e e e e e e 0× = × = × = 
1 2 3e e e× = 2 1 3e e e× = − 2 3 1e e e× = 3 2 1e e e× = − 3 1 2e e e× = 1 3 2e e e× = − 
 
As propriedades anteriores podem ser resumidas mediante o tensor permutador unitário 
εijk. Neste contexto tem que: 
 
ijk 0ε = se i = j, j = k ou i = k 
ijk 1ε = + se ijk = 123, 231 ou 312 
ijk 1ε = − se ijk = 321, 213 ou 132 
 
11 
 
Na verdade, o tensor permutador unitário (εijk) será +1 se a sequência da Fig.2 for 
horária e será -1 se a sequência na mesma figura for anti-horária. 
 
 
 
Figura 2 – Sequência horária e anti-horária para o tensor permutador unitário (εijk). 
 
Resumindo, o produto vetorial entre os vetores “u” e “v” pode ser representado 
por: 
 
i j ijk ku v u v e× = ε (representa um vetor) 
 
1 2 123 3 2 1 213 3 1 3 132 2 3 1 312 2 2 3 231 1 3 2 321 1u v u v e u v e u v e u v e u v e u v e× = ε + ε + ε + ε + ε + ε 
( ) ( ) ( )1 2 2 1 3 1 3 3 1 2 2 3 3 2 1u v u v u v e u v u v e u v u v e× = − + − + − 
 
Em suma: 
 
1 2 3 1 1 1
1 2 3 2 2 2
1 2 3 3 3 3
e e e e u v
u v u u u e u v
v v v e u v
× = = 
 
2.5 – Produto Triplo entre Vetores 
 
Imaginemos o produto triplo entre os vetores “u”, “v” e “w”, representado da seguinte forma 
( )u v w⋅ × , cujo resultado é o seguinte: 
 
( ) ( ) ( )i i j j k k i j k i j ku v w u e v e w e u v w e e e⋅ × = ⋅ × = ⋅ × 
( ) ( ) ( )i j k i jkm m i j k jkm i m i j k jkm imu v w u v w e e u v w e e u v w⋅ × = ⋅ ε = ε ⋅ = ε δ 
12 
 
( ) i j k jkiu v w u v w⋅ × = ε (escalar) 
( ) 123 2 3 1 231 3 1 2 312 1 2 3 132 3 2 1 321 2 1 3 213 1 3 2u v w u v w u v w u v w u v w u v w u v w⋅ × = ε + ε + ε + ε + ε + ε
( ) 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2u v w u v w u v w u v w u v w u v w u v w⋅ × = + + − − − 
 
A operação entre os vetores mostrada anteriormente também pode ser representada por: 
 
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u u
u v w v v v
w w w
⋅ × = 
 
2.6 – Produto Diádico ou Tensorial entre vetores 
 
Imaginemos o produto diádico/tensorial entre os vetores “u” e “v”, representado por “uv”, 
cujo resultado é o seguinte: 
 
i i j j i j i juv u e v e u v e e= = 
 
Maiores comentários serão feitos na seção 3. 
 
3 – GRANDEZA TENSORIAL 
 
 Uma grandeza tensorial, para a sua completa especificação, requer informar o módulo e “N” 
direções. Um exemplo de grandeza tensorial é a Tensão, conforme representação a seguir: 
 
FT
A
= 
 
Alguns questionamentos poderiam surgir no sentido da expressão anterior ser considerada 
inconsistente fisicamente, pois se uma força (F) é um vetor e uma determinada área (A) é 
escalar, como a interação entre elas poderia originar um tensor? 
 
 Na verdade, não há nenhuma inconsistência física porque, em se tratando do estudo de 
tensores, áreas (A), assim como forças (F), adquirem também uma notação vetorial: 
 
i iF Fe= 
13 
 
j jA An An e= = 
“n” representa o vetor unitário normal à superfície no ponto de aplicação da força. Assim, 
para uma superfície qualquer (Fig. 3-b), pode haver uma quantidade infinita de vetores “n” 
(módulo igual a “1”, mas direções as mais diversas possíveis). Assim, cada vetor “n” que 
está sobre “A” pode ser decomposto em três componentes ( x x y y z zn e ,n e , n e ). Desta forma, 
quando uma força“F” é aplicada neste mesmo elemento de área que contém “n”, as 
componentes dela ( x x y y z zF e ,F e ,F e ) necessariamente estarão interagindo com cada uma 
das componentes da área ( x x y y z zn e ,n e , n e ). Logo, haverá “9” interações possíveis para a 
situação descrita. Vale ressaltar que cada uma dessas interações representa uma das 9 
componentes do tensor “T”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Esquema de interação entre os vetores “F” e “n” na composição das Tensões 
 
 Isto posto, para cada combinação de “F” e “n”, pode-se obter as seguintes componentes 
tensoriais: 
 
y y yx x x z z z
x y z x y z x y z
F F FF F F F F F
, , , , , , , ,
A A A A A A A A A
 (caso queira manter padrão F/A) 
 
Em que Ax, Ay e Az são áreas paralelas aos planos “yz”, “xz” e 
“xy”, respectivamente. 
 
 Quando se trabalha com tensores, são adotadas as seguintes notações para eles: 
 
ij i j
i j
T T e e=∑∑ 
(a) (b) (c) 
14 
 
11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2 23 2 3 31 3 1 32 3 2 33 3 3T T e e T e e T e e T e e T e e T e e T e e T e e T e e= + + + + + + + + 
 
 Ou simplesmente, adota-se a Notação Indicial de Einstein: 
 
ij i jT T e e= 
em que: 
“i” representa a direção normal à superfície de aplicação da força. 
“j” representa a direção da força. 
 
 Por esta notação, as componentes tensoriais comumente vêm postas sob a forma matricial 
em que “i” está relacionado às linhas e “j” as colunas, conforme se observa a seguir: 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
T T T
T T T T
T T T
 
 
=  
 
 
 
 
Observa-se que quando “i = j”, a componente da força está na mesma direção do vetor 
unitário normal àquela área. Logo, as tensões resultantes são denominadas de Tensões Normais 
(diagonal principal da matriz tensorial). Por sua vez, quando “i ≠ j”, a componente da força está 
perpendicular à direção do vetor unitário normal à área (em outros termos, é como se a força 
estivesse tangenciando aquela área). Neste caso, as tensões resultantes são denominadas de Tensões 
Cisalhantes (todos elementos que não estão contidos na diagonal principal da matriz tensorial). 
 
Retomando os comentários cabíveis à seção 2.6, o produto diádico entre 
dois vetores, resulta um tensor, motivo pela qual também é denominado de 
produto tensorial entre vetores. O produto tensorial/diádico entre “ei” e “ej” 
representa um elemento de uma matriz (3x3) que ocupa a linha “i” e a 
coluna “j”, analogamente ao que fora até então discutido: 
 
1 1
1 0 0
e e 0 0 0
0 0 0
 
 
=  
 
 
 1 2
0 1 0
e e 0 0 0
0 0 0
 
 
=  
 
 
 1 3
0 0 1
e e 0 0 0
0 0 0
 
 
=  
 
 
 
 
15 
 
2 1
0 0 0
e e 1 0 0
0 0 0
 
 
=  
 
 
 2 2
0 0 0
e e 0 1 0
0 0 0
 
 
=  
 
 
 2 3
0 0 0
e e 0 0 1
0 0 0
 
 
=  
 
 
 
 
3 1
0 0 0
e e 0 0 0
1 0 0
 
 
=  
 
 
 3 2
0 0 0
e e 0 0 0
0 1 0
 
 
=  
 
 
 3 3
0 0 0
e e 0 0 0
0 0 1
 
 
=  
 
 
 
 
Assim, o produto diádico/tensorial dos vetores “u” e “v” podem ser 
representado por uma matriz do tipo: 
 
1 1 1 2 1 3
i j i j 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
u v u v u v
uv u v e e u v u v u v
u v u v u v
 
 
= =  
 
 
 
 
A partir desse conceito, pode mencionar que um tensor, além do módulo, tem 3k 
componentes, em que “k” é a ordem dele. Vejamos: 
 
I - Se ordem “0”, o tensor requer uma componente (30 = 1). Trata-se, então, de um escalar. 
II - Se ordem “1”, o tensor requer três componentes (31 = 3). Trata-se, então, de um vetor. 
III - Se ordem “2”, o tensor requer nove componentes (32 = 9). Trata-se, então, de um tensor 
de ordem 2. 
IV – Se ordem “3”, o tensor requer vinte e sete componentes (33 = 27). Trata-se, então, de um 
tensor de ordem 3 e assim, sucessivamente. 
 
 Como apresentado anteriormente, todas as grandezas físicas são consideradas tensores. 
Logo, a denominação “tensor” é o gênero, enquanto que as denominações “escalar, vetor etc.” são 
simplesmente as espécies. Aproveitando o ensejo, tanto um escalar, quanto um vetor, podem ser 
também representados pela notação matricial, cujos exemplos apresentados são respectivamente 
para a viscosidade (µ) e a velocidade (v) de um fluido. 
 
( )µ = µ (matriz cujo único elemento é o próprio módulo) 
16 
 
( )1 2 3v v v v= ou 
1
T
2
3
v
v v
v
 
 
=  
 
 
 
 
3 - Operações envolvendo Tensores 
 
 Para esta seção, consideremos os tensores “T” e “S”. Assim, cada um pode escrito da 
seguinte forma: 
 
ij i jT T e e= 
rs r sS S e e= 
 
Isto posto, as principais operações envolvendo os tensores apresentados são: 
 
3.1 – Soma de Tensores 
 
Imaginemos a soma dos tensores “T” e “S”, representada por “T+S”, cujo resultado é o 
seguinte: 
 
( )ij ij i jT S T S e e+ = + (tensor) 
 
3.2 – Multiplicação de Tensor por um Escalar 
 
Imaginemos um tensor “T” e um escalar “c”. Então, o produto entre o escalar e o tensor, 
representado por “cT”, pode ser representado por: 
 
( )ij i jcT cT e e= 
 
3.3 – Duplo Produto Escalar de Tensores 
 
O Duplo Produto Escalar dos Tensores “T” e “S”, representado por “T:S”, pode ser escrito 
como: 
 
17 
 
ij i j rs r s ij rs i j r sT :S T e e :S e e T S e e : e e= = 
( )( )ij rs i s j rT :S T S e e e e= ⋅ ⋅ 
ij rs is jrT :S T S= δ δ 
ij jiT :S T S= (escalar) 
 
3.4 – Produto Escalar entre Tensores 
 
O Produto Escalar entre os Tensores “T” e “S”, representado por “T.S”, pode ser escrito 
como: 
 
ij i j rs r s ij rs i j r s ij rs jr i sT S T e e S e e T S e e e e T S e e⋅ = ⋅ = ⋅ = δ 
ij js i sT S T S e e⋅ = (tensor) 
 
3.5 – Multiplicação entre um Tensor e um Vetor 
 
O produto entre o Tensor “T” e o vetor “u”, representado por “T.u”, pode ser escrito como: 
 
ij i j k k ij k i j k ij k jk iT u T e e u e T u e e e T u e⋅ = ⋅ = ⋅ = δ 
ij j iT u T u e⋅ = (vetor) 
 
4 – Operador Nabla (∇ ) 
 
 O Operador Nabla ( ∇ ) é um vetor e representa a derivada de uma grandeza nas três direções 
cartesianas: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
i 1 2 3
i 1 2 3
e e e e
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂∇ = = + +
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 Salvo as devidas exceções, o Operador Nabla ( ∇ ) pode ser aplicado, escalar ou 
vetorialmente, sobre outra grandeza física. Quando este operador é aplicado de forma vetorial sobre 
determinada grandeza, ele recebe a denominação de Gradiente ( ∇ ). Por sua vez, quando ele é 
aplicado de maneira escalar sobre determinada grandeza, o Operador Nabla recebe a denominação 
de Divergente ( .∇ ) – cujos exemplos são mostrados a seguir: 
18 
 
A) Gradiente de um Escalar (c): 
 
i
i
c
c e
x
∂∇ =
∂
 (vetor) 
 
B) Gradiente de um Vetor (u): 
 
( ) ( )j
i j j i j
i i
u
u e u e e e
x x
∂∂∇ = =
∂ ∂
 (tensor) 
 
C) Divergente de um Vetor (u): 
 
( ) ( ) ( ) ( )j j i
i j j i j ij
i i i i
u u u
.u e .u e e .e
x x x x
∂ ∂∂ ∂∇ = = = δ =
∂ ∂ ∂ ∂
 (escalar) 
 
D) Divergente de um Tensor (T): 
 
( ) ( ) ( ) ( )jk jk ik
i jk j k i j k i j k k
i i i i
T T T
.T e .T e e e .e e e e
x x x x
∂ ∂∂ ∂∇ = = = δ =
∂ ∂ ∂ ∂
 (vetor) 
 
E) Divergente do Gradiente de um escalar (c), de um vetor (u) e de um tensor (T): 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
i j i j i j
i j i j i j i j
c c c
. c e . e c e . e e .e ij
x x x x x x x x
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∇ ∇ = = = = δ  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 
2 2
2
i i i
c c
. c
x x x
∂ ∂∇ ∇ = =
∂ ∂ ∂
 (escalar) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k
i j k k i j k ij k
i j i j i j
u u
. u e . e u e e .ee e
x x x x x x
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∇ ∇ = = = δ  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 
( ) ( )2k k
k k2
i i i
u u
. u e e
x x x
∂ ∂ ∂∇ ∇ = = ∂ ∂ ∂ 
 (vetor) 
 
19 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rs rs
i j rs r s i j r s ij r s
i j i j i j
T T
. T e . e T e e e .e e e e e
x x x x x x
 ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∇ ∇ = = = δ  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 
( ) ( )2rs rs
r s r s2
i i i
T T
. T e e e e
x x x
 ∂ ∂∂∇ ∇ = = ∂ ∂ ∂ 
 (tensor) 
 
Deve-se notar que o Divergente (∇.), quando aplicado a determinada 
grandeza física, tem a propriedade de transformar o conjunto, ou seja, se for 
aplicado a um tensor, o resultado será um vetor; se for aplicado a um vetor, 
o resultado será um escalar. Eis então, o motivo pelo qual não existe 
divergente de um escalar. Por outro lado, o Gradiente (∇), quando aplicado 
a determinada grandeza física, tem a propriedade de também transformar o 
conjunto, mas de forma inversa ao Divergente, ou seja, se for aplicado a um 
escalar, o resultado será um vetor; se aplicado a um vetor, o resultado será 
um tensor, se aplicado a um tensor, o resultado será um outro tensor de 
ordem superior etc. Já o Divergente de um Gradiente (∇.∇) é denominado 
de Laplaciano ( 2∇ ) e não muda a natureza do resultado a ser alcançado 
porque mantém natureza primitiva da grandeza física que sofreu sua 
atuação. 
 
4 - CAMPO 
 
 Define-se Campo como a distribuição contínua de uma grandeza no espaço e no tempo. 
 
 Significa dizer que o campo de Viscosidade de um Fluido (µ) é um Campo Escalar, o 
Campo de Velocidade de um fluido (v) é um Campo Vetorial, o Campo de Tensão num fluido (T) é 
um Campo Tensorial. Vejamos: 
 
A) Campo Escalar: 
( )x, y, z, tµ = µ 
 
B) Campo Vetorial: 
( )v v x, y, z, t= 
 
20 
 
Mas como x x y y z zv v e v e v e= + + , então: 
 
( )x xv v x, y, z, t= (campo escalar) 
( )y yv v x, y, z, t= (campo escalar) 
( )z zv v x, y, z, t= (campo escalar) 
 
C) Campo Tensorial: 
 
( )T T x, y, z, t= 
 
Mas como ij i jT T e e= , então há 9 campos escalares para cada uma das 
componentes tensoriais: 
 
( )xx xxT T x, y, z, t= 
( )xy xyT T x, y, z, t= 
( )xz xzT T x, y, z, t= 
( )yx yxT T x, y, z, t= 
( )yy yyT T x, y, z, t= 
( )yz yzT T x, y, z, t= 
( )zx zxT T x, y, z, t= 
( )zy zyT T x, y, z, t= 
( )zz zzT T x, y, z, t= 
 
 Feitas as considerações iniciais, um determinado Campo pode ser: 
 
I – Campo Permanente: aquele cujas componentes não dependem do tempo; 
II – Campo Transiente: aquele cujas componentes dependem do tempo; 
III – Campo Uniforme: aquele cujas componentes não dependem nem da posição x, y 
ou z; 
IV – Campo Unidimensional: aquele cujas componentes dependem apenas de uma 
posição (x, y ou z); 
21 
 
V – Campo Bidimensional: aquele cujas componentes dependem apenas de duas 
posições (x,y ou x,z ou y,z); 
V – Campo Tridimensional: aquele cujas componentes dependem de todas três 
posições (x, y e z). 
 
Exemplos: 
 
( )x, y, z, tµ = µ - campo escalar tridimensional transiente; 
( )x, y, zµ = µ - campo escalar tridimensional permanente; 
( )x, z, tµ = µ - campo escalar bidimensional transiente; 
( )y,zµ = µ - campo escalar bidimensional permanente; 
( )y, tµ = µ - campo escalar unidimensional transiente; 
( )zµ = µ - campo escalar unidimensional permanente; 
( )tµ = µ - campo escalar uniforme transiente; 
0µ = µ - campo escalar uniforme permanente. 
 
( )v v x, y, z, t= - campo vetorial tridimensional transiente; 
( )v v x, y, z= - campo vetorial tridimensional permanente; 
( )y yv v x, z, t= - campo escalar bidimensional transiente; 
( )v v y,z= - campo vetorial bidimensional permanente; 
( )v v y, t= - campo vetorial unidimensional transiente; 
( )x xv v z= - campo escalar unidimensional permanente; 
( )v v t= - campo vetorial uniforme transiente; 
0v v= - campo vetorial uniforme permanente. 
 
 
( )xy xyT T x, y, z, t= - campo escalar tridimensional transiente; 
( )T T x, y, z= - campo tensorial tridimensional permanente; 
( )T T x, z, t= - campo tensorial bidimensional transiente; 
22 
 
( )T T y,z= - campo tensorial bidimensional permanente; 
( )yy yyT T y, t= - campo escalar unidimensional transiente; 
( )T T z= - campo tensorial unidimensional permanente; 
( )zy zyT T t= - campo escalar uniforme transiente; 
0T T= - campo tensorial uniforme permanente. 
 
Referências: 
 
Bird, R. B, Stewart, W.E., Lightfoot, E.N, Fenômenos de Transporte, 2ª Ed. LTC, 838 p. 2004. 
Damasceno, J.J.R. Lições sobre Fenômenos de Transporte para Engenheiros Químicos: 
Transporte de Quantidade de Movimento em Fluidos, 190 p., 2005.