Capitulo 1- Exercicios Aplicação

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CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 2 - 
 
Rotação em torno de um eixo fixo 
 
 
1. A barra dobrada ABCDE mostrada na figura 1, roda com velocidade angular constante de 9 rad/s em torno 
do eixo que liga as extremidades A e E. Sabendo que a rotação é no sentido horário quando observada de E, 
determine: 
1.1. a velocidade do canto C; 
1.2. a aceleração do canto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
 
2. A correia mostrada na figura 2, move-se sobre duas polias sem deslizar. No instante mostrado, as polias 
rodam no sentido horário e a velocidade do ponto B sobre a correia é de 4m/s, aumentando a uma taxa de 
32m/s2. Determine nesse instante: 
2.1. a velocidade angular de cada uma das polias; 
2.2. a aceleração angular de cada uma das polias; 
2.3. a aceleração do ponto P sobre a polia C. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
250 mm 
200 mm 
 150 mm 
 400 mm 
 150 mm 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 3 - 
 
3. Um sistema de redução de velocidades consiste em duas engrenagens A e B no plano xy e rodam em torno 
dos eixos perpendiculares a esse plano e que passam pelos seus centros. Sabendo que a velocidade angular 
da engrenagem B é constante, ωB = - 30 k (rad/s), e que não existe escorregamento no ponto de contacto das 
engrenagens, determine: 
3.1. a velocidade angular da engrenagem A; 
3.2. as acelerações dos pontos das engrenagens que estão em contacto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
4. Um sistema de redução de velocidades consiste em três engrenagens A e B e C. Sabendo que a 
engrenagem A gira no sentido horário com velocidade angular constante, ωA = - 30 k (rad/s), e que não 
existe escorregamento no ponto de contacto das engrenagens, determine: 
4.1. as velocidades angulares das engrenagens B e C; 
4.2. as acelerações dos pontos sobre as engrenagens B e C que estão em contacto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
 
A 
 B 
A 
 B 
 50 mm 
 100 mm 
 150 mm 
ωB
 
 B A 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 4 - 
 
5. O cilindro A move-se no sentido descendente com uma velocidade de 3m/s quando o travão é subitamente 
aplicado ao tambor. Sabendo que o cilindro se desloca 6 m para baixo antes de atingir o repouso e admitindo 
um movimento uniformemente variado, determine: 
5.1. a aceleração angular do tambor; 
5.2. o tempo necessário para o cilindro chegar ao repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 5 - 
 
 100 mm 
200 mm 
200 mm 
 
 
 D 
 
 C 
 B 
 A 
 
Cinemática de Mecanismos 
 
 
1. A engrenagem dupla mostrada na figura 1 rola sobre a cremalheira inferior estacionária; a velocidade de 
seu centro A é de 1.2 m/s para a direita. Determine: 
1.1. a velocidade angular da engrenagem ; 
1.2. as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
 
2. A manivela BC do mecanismo mostrado na figura 2 gira a uma velocidade angular constante de 45 RPM 
no sentido horário, calcule determine a velocidade e aceleração do ponto A da barra AD; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 6 - 
A 
B 
C 
D 
r 
R 
θ=60º L 
ωAB 
 
3. O mecanismo da figura 3 é composto por três barras: AB, BC e CD que são articuladas em A, B, C e D. O 
comprimento da barra AB é r = 500 mm e o da barra BC é 600 mm. A articulação no ponto C segue por 
uma ranhura em forma de circunferência com raio R=700 mm. Determine a velocidade e a aceleração 
angulares da barra CD, para o instante representado na figura 3 (θ=60º), de modo que a barra AB tenha uma 
velocidade angular constante ω = 3 rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
 
4. A figura 4 mostra um mecanismo projectado para pulverizar água sobre um viveiro de plantas. As 
sementes colocadas em recipientes no transportador descrevem um movimento rectilíneo alternado sob 
pulverizadores de água fixos. O transportador é accionado pela manivela OB de raio R que tem uma 
velocidade angular constante ω e pelo elemento de ligação AB de comprimento L. 
4.1. Determine as equações matemáticas que permitam calcular a posição, velocidade e aceleração do 
transportador em função da posição angular da manivela θθθθ 
4.2. Implemente uma folha de cálculo, obtenha os valores de posição, velocidade e aceleração 
durante um ciclo de 360º da manivela OB. Apresente sob a forma gráfica os resultados obtidos (em 
função do ângulo θ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
 
 
ABω
r
 
 
 
 
θ 
 
R 
L ω 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 7 - 
 
 
5. A figura representa esquematicamente um mecanismo constituído por: motor, redutor de velocidades, 
manivela AB com 2 kg de massa, haste uniforme BD de 300 mm de comprimento e 3 kg de massa, anel D de 
massa 350 g. Este mecanismo transforma o movimento contínuo do rotor do motor no movimento rectilíneo 
de vai-vem do anel D, convertido a partir da acção do redutor, manivela AB e haste BD. Sabendo que a 
engrenagem motora C roda no sentido horário á taxa constante de 720 rpm, calcule para o instante em que o 
cursor D se encontra no ponto morto superior (P.M.S.): o curso do anel D e os valores da velocidade e 
aceleração do centro de massa G. 
 
 
 
 
 
Figura 5 
 
 
Dados e Simplificações: 
 
� O rotor (parte móvel do motor) tem velocidade constante de 720 rpm. 
� O redutor transmite o movimento de rotação do rotor à manivela. 
� A manivela tem comprimento LAB= 60mm. 
� A haste uniforme BD tem comprimento L=300mm. 
� Raio da engrenagem motora é igual a 100 mm. 
� Raio da engrenagem movida A é igual a 240 mm. 
� O atrito em toda a cadeia cinemática do mecanismo é irrelevante. 
 
 
 
 
Curso 
P.M.I. P.M.S. 
 60 Vista esquemática do redutor 
 
 
C 
 
 rA 
 A 
 rC 
G 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 8 - 
0,9m 
0,6m 
1,2m 
M 
B 
 0,20 m 
ωAB 
D 
C 
A 
 0,15 m 
 0,20 m 
 0,50 m 
 
6. Na figura está representado um mecanismo triturador de pedras. No instante representado (barra AB 
horizontal, Φ=90º e θ=30º) a velocidade angular da barra AB é constante e igual a 4 rad/s. Determine para 
este instante, a velocidade angular e aceleração angular da placa CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 
 
7. O mecanismo representado na figura 7 é composto por três barras esbeltas: AB, BC e DC que são 
articuladas em A, B, C e D. As barras AB e CD têm 2 kg de massa cada e a barra BC tem 4 kg. Sabendo que 
a barra AB roda com uma velocidade angular constante ωAB = 15 rad/s, calcule, para o instante representado 
na figura, as velocidades e acelerações angularesda barra CD e a aceleração do ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 9 - 
 
8. A figura representa esquematicamente um sistema de bombagem composto por: motor, redutor de 
velocidades, manivela OA, barra AB, barra BCE, contrapeso E, haste de ligação DE e bomba. A polia 
motora com velocidade de rotação constante de 200 rpm no sentido horário, acciona a haste de ligação DE 
animando-a de um movimento rectilíneo vertical de vai-vem. Para o instante representado na figura a 
manivela OA e a barra BCE encontram-se na horizontal, calcule, os valores da velocidade vD e aceleração aD 
da haste de ligação DE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 
 
 
Dados e Simplificações: 
 
� O rotor (parte móvel do motor) tem velocidade constante de 200 rpm 
� Raio da polia motora é igual a 50 mm 
� Raio da polia movida é igual a 200 mm 
� O atrito em toda a cadeia cinemática do mecanismo é irrelevante 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 10 - 
 
9. As extremidades da barra AB do mecanismo mostrado na figura 
estão limitadas a moverem-se ao longo das trajectórias representadas. 
Para o instante mostrado, o ponto A tem uma velocidade de 2.4 m/s e 
uma aceleração de 0.9 m/s2, nos sentidos indicados. Determine a 
velocidade e aceleração do ponto B. 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 
 
 
 
 
 
 
 
10. O mecanismo mostrado na figura é constituído por 
uma manivela OB e um elemento AB que se desloca 
ao longo da ranhura do corpo C. A manivela OB tem 
uma velocidade angular constante no sentido horário 
ωOB = 0,8 rad/s, encontrando-se para o instante 
mostrado na figura na posição horizontal. Determine a 
velocidade e aceleração do ponto A do elemento AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
 A 
Figura 10 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 11 - 
 75mm 
 200 mm 
 
 
11. No mecanismo Pistão - Biela - Manivela mostrado na figura, a 
manivela AB roda no sentido anti-horário em torno do ponto A com 
velocidade angular constante correspondente a 1500 rpm. Para a posição, 
θ = 30º determine A velocidades e aceleração do pistão. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 11 
 
 
 
 
 
 
12. A figura mostra um mecanismo Biela- Manivela usado num motor maritimo. O mecanismo é 
composto por uma única manivela AB, duas bielas BC e BD de massas desprezáveis e os pistões C e D com 
massas de 700 g. Sabendo que a manivela AB roda com uma velocidade angular constante ωAB = 5 rad/s, 
calcule, para as dimensões e instante representado na figura, os valores das velocidades e acelerações dos 
pistões C e D; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 
 
 
M 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 12 - 
 
 
13. O cilindro hidráulico impõe uma velocidade constante vA = 1,2m/s como indicado na figura. Para o 
instante β = θ = 60º determine a velocidade angular e aceleração angular do elemento BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 
 
 
14. O mecanismo representado na figura é constituído por duas barras, AB e BC e um disco. Para o instante 
representado, determine a velocidade angular e a aceleração angular da barra AB. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 13 - 
Dados: 
mOA = 3 kg (massa do braço) 
mAB = 15 kg (massa da biela) 
L = 1.2 m (comprimento da biela) 
rOA = 0.4 m (comprimento do braço) 
rPB = 0.2 m (raio da trajectória de B) 
 
Nota: Despreze o peso dos componentes 
 
15. As engrenagens ilustradas A e B têm, respectivamente, raios 0,24 m e 0,32 m e apresentam eixos fixos. A 
haste de secção constante CD é accionada pela engrenagem B através de uma articulação em C e o anel D 
desliza encaixado num eixo horizontal igualmente fixo. A engrenagem A roda com velocidade angular 
constante ω= 5 rad/s no sentido horário, determine o vector aceleração do centro de massa G (ponto médio) 
da haste CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 
 
16. No sistema mecânico representado o movimento plano da biela AB é condicionado pelos movimentos 
das articulações cilíndricas A e B. Os pontos O e P são eixos fixos de rotação. A biela e o braço OA podem 
considerar-se como barras esbeltas de secção constante. 
Sabendo que o volante gira a 500rpm (com movimento uniforme), calcule: 
16.1. a velocidade angular do braço; 
16.2. as acelerações angulares do braço e da biela; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 
 
 
 
 
 
Cinemática do corpo rígido 
- 14 - 
 
 
17. O mecanismo da figura é composto por: barras articuladas AB e BC, cursor C e haste fixa horizontal. O 
movimento de rotação barra AB com frequência constante de 950 r.p.m, é transmitido através da barra BC 
ao cursor C que desliza sobre a haste fixa. Determine para o instante representado, as intensidades dos 
vectores velocidade e aceleração do centro de massa G (ponto médio da barra BC). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 
 
18. Na figura está representada uma serra de corte destinada ao corte de materiais. O mecanismo é composto 
por: motor, redutor (engrenagens O e P); barra esbelta AB de 1,8 kg (articulada em A e B) e um quadro de 
5,4 kg (centro da massa em A). O quadro suporte da lâmina desliza ao longo de uma guia horizontal como 
mostra a figura. O processo de corte é feito pela energia debitada pelo motor em duas fases: arranque do 
rotor, com movimento uniformemente variado e a fase em que este atinge uma velocidade de rotação 
constante. Calcule a velocidade e aceleração do centro de massa G, para o instante θ=60º, na fase em que o 
rotor atinge a velocidade de rotação constante de 1200 rpm. 
Figura 18 
Dados e simplificações: 
� na segunda fase do movimento (uniforme), a velocidade do rotor é de 1200 rpm; 
� o redutor apresenta uma relação de transmissão global de 12:1; 
� o atrito em toda a cadeia cinemática é irrelevante. 
G 
Pw
r
 Representação do motor 
OBw
r
 
 
O 
B 
 Vista esquemática do redutor 
 
MP 
 P