Sequências e Séries

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
DEPARTAMENTO ACADEˆMICO DE MATEMA´TICA
Campus Apucarana
Prof. Dr. Ma´rcio Hiran Simo˜es
Apostila de Ca´lculo Diferencial e Integral 3
Sequeˆncias e Se´ries
Apucarana - PR
2017
2
1
Se´ries Infinitas
Um processo infinito que intrigou os matema´ticos por se´culos foi a soma de se´ries
infinitas. Algumas vezes uma soma infinita de termos resultava em um nu´mero, como
em
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · · = 1
(Voceˆ pode verificar isso pela adic¸a˜o das a´reas indicadas no quadrado unita´rio
”infinitamente dividido ao meio”.) Entretanto, algumas vezes a soma infinita era
infinita, como em
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ · · · = +∞
(embora isso esteja longe de ser o´bvio), e algumas vezes era imposs´ıvel definir a soma
infinita, como em
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .
(E´ 0? E´ 1? Na˜o e´ nenhum dos dois?)
Apesar disso, matema´ticos como Gauss e Euler usaram com sucesso se´ries infinitas
para obter resultados anteriormente inalcanc¸a´veis. Laplace usou se´ries infinitas para
provar a estabilidade do sistema solar. Passaram-se muito anos ate´ que analistas
cuidadosos como Cauchy desenvolvessem o fundamento teo´rico para ca´lculos de se´ries,
mandando muitos matema´ticos (inclusive Laplace) de volta para a escrivaninha para
verificar seus resultados.
Se´ries infinitas formam a base para uma te´cnica nota´vel que nos permite expressar
muitas func¸o˜es como ”polinoˆmios infinitos”e, ao mesmo tempo, calcular o erro quando
truncamos esses polinoˆmios para torna´-los finitos. Ale´m de produzir aproximac¸o˜es
polinomiais eficazes de func¸o˜es diferencia´veis, esses polinoˆmios infinitos (chamados
se´ries de poteˆncias) tem muitas outras utilidades. As se´ries infinitas fornecem uma
maneira eficiente para avaliar integrais na˜o elementares e resolvem equac¸o˜es diferen-
ciais que nos permitem compreender o fluxo de calor, a vibrac¸a˜o, a difusa˜o qu´ımica e
a transmissa˜o de sinais.
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
1.1.Limites de sequeˆncias de nu´meros
Definic¸a˜o 1.1.1
Uma sequeˆncia e´ um conjunto de s´ımbolos
a1, a2, a3, . . . , an, . . . (1.1.1)
organizados em uma correspondeˆncia ordenada 1 a 1 com o conjunto dos nu´meros
inteiros positivos. Individualmente, os s´ımbolos a1, a2, e assim por diante sa˜o
chamados os termos da sequeˆncia. O n-e´simo termo da sequeˆncia (1.1.1) e´ an. A
sequeˆncia (1.1.1) e´ frequentemente indicada por {an}.
Por exemplo,
{
1
n
}
denota a sequeˆncia
1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .
e
{
1
2n−1
}
denota a sequeˆncia
1,
1
2
,
1
4
,
1
8
, . . . ,
1
2n−1
, . . .
Uma questa˜o de grande importaˆncia e´ determinar quando uma dada sequeˆncia
de nu´meros reais {an} tem ou na˜o um limite quando n cresce indefinidamente. Se
for poss´ıvel associar a` sequeˆncia {an} um nu´mero L tal que a diferenc¸a |an − L| e´
arbitrariamente pequeno para todos os valores de n suficientemente grandes, diremos
que L e´ o limite da sequeˆncia {an} e escrevemos
lim
n→∞
an = L.
Por “|an − L| e´ arbitrariamente pequeno para todo n suficientemente grande”
queremos dizer que para qualquer nu´mero positivo � existe um indice N tal que
|an − L| < � para todo n > N. (1.1.2)
Isto e´, todos os termos apo´s este N -e´simo ficam entre L − � e L + �. Se tal
limite existe, diremos que a sequeˆncia e´ convergente. Caso contra´rio, sera´ dito que a
sequeˆncia e´ divergente.
Observe que a definic¸a˜o de limite de uma sequeˆncia dada acima e´ ana´loga a` de-
finic¸a˜o da afirmac¸a˜o
lim
x→∞
f(x) = L,
- 3 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
vista em cursos de ca´lculo de func¸o˜es de uma vara´vel real. Com base nessa definic¸a˜o
podemos provar os teoremas a respeito de somas, produtos e quocientes. Vamos
enuncia´-los mais brevemente aqui, simplesmente para refereˆncia; eles sera˜o usados
sem comenta´rios daqui para frente.
Teorema 1.1.1
Se lim
n→∞
an = A e lim
n→∞
bn = B, enta˜o
lim
n→∞
(an + bn) = A+B, (1.1.3)
e
lim
n→∞
(anbn) = AB. (1.1.4)
Se B 6= 0 e Bn 6= 0 para todo n, enta˜o
lim
n→∞
an
bn
=
A
B
. (1.1.5)
Note que no teorema acima t´ınhamos que saber se as sequeˆncias {an} e {bn} eram
convergentes, antes de podermos inferir sobre a soma, o produto e o quociente o
fossem. Vamos obter agora um tipo mais forte de teorema, que tera´ convergeˆncia em
sua conclusa˜o mas na˜o em sua hipo´tese.
Definic¸a˜o 1.1.2
A sequeˆncia a1, a2, . . . e´ crescente se an ≤ an+1 para todo n. A sequeˆncia e´
decrescente se an ≥ an+1 para todo n. (Se an < an+1 para todo n, enta˜o a
sequeˆncia e´ estritamente crescente; e an > an+1 para todo n, enta˜o a sequeˆncia e´
estritamente decrescente).
Definic¸a˜o 1.1.3
Se existir um nu´mero M tal que an ≤ M para todo n, enta˜o M e´ chamado
de limitante superior da sequeˆncia {an} e dizemos que a sequeˆncia e´ limitada
superiormente. Se existir um nu´mero K tal que K ≤ an para todo n, enta˜o K e´
chamado de limitante inferior da sequeˆncia e dizemos que a sequeˆncia e´ limitada
inferiormente.
Podemos agora enunciar nosso teorema:
Teorema 1.1.2
Se uma sequeˆncia for crescente e limitada superiormente enta˜o ela e´ convergente.
Isto e´, se
a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · ≤M
enta˜o a sequeˆncia tem um limite.
- 4 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Temos um “teorema sime´trico”para sequeˆncias decrescentes:
Teorema 1.1.3
Se uma sequeˆncia for decrescente e limitada inferiormente enta˜o ela e´ convergente.
Isto e´, se
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ≥ an+1 ≥ · · · ≥ K
enta˜o a sequeˆncia tem um limite.
Definic¸a˜o 1.1.4
Dizemos que uma sequeˆncia {an} e´ limitada se existir um nu´mero M tal que
|an| ≤M para todo n. Isto e´ equivalente a dizer que a sequeˆncia e´ limitada tanto
inferiormente quanto superiormente.
Enunciamos abaixo alguns teoremas que podem ser u´teis no ca´lculo de limites de
sequeˆncias.
Teorema 1.1.4 (Teorema do anulamento)
Se lim
n→∞
an = 0 e a sequeˆncia {bn} for limitada enta˜o lim
n→∞
(anbn) = 0.
Teorema 1.1.5 (Teorema do sandu´ıche ou do confronto)
Se lim
n→∞
an = L, lim
n→∞
cn = L e an ≤ bn ≤ cn para todo n, enta˜o lim
n→∞
bn = L.
Teorema 1.1.6
Toda sequeˆncia convergente e´ limitada.
ˆ ˆ ˆ
1.1.1. Lista de exerc´ıcios
Nos exerc´ıcios de 1 a 12, escreva os quatro primeiros elementos da sequeˆncia e deter-
mine se ela e´ convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
1.
{
n+ 1
2n− 1
}
2.
{
2n2 + 1
3n2 − n
}
3.
{
n2 + 1
n
}
4.
{
3n3 + 1
2n2 + n
}
5.
{
3− 2n2
n2 − 1
}
6.
{
e2
n
}
7.
{
lnn
n2
}
8.
{
n
n+ 1
sin
npi
2
}
9.
{
1√
n2 + 1− n
}
10.
{√
n+ 1−√n
}
11. {cosnpi} 12.
{
ln
1
n
}
- 5 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
13.
{(
1 +
1
n
)n} (
Sugesta˜o: use lim
x→0
(1 + x)1/x = e
)
14- Mostre que as sequeˆncias
{
n2
n− 3
}
e
{
n2
n+ 4
}
divergem, pore´m, a sequeˆncia{
n2
n− 3
}
−
{
n2
n+ 4
}
e´ convergente.
Nos exerc´ıcios de 15 a 19, encontre o valor do limite, se existir.
15. lim
n→∞
ˆ n
1
1
x2
dx 16. lim
n→∞
n∑
k=1
1
k2
17. lim
n→+∞
ˆ n
1
1
x
dx
18. lim
n→∞
n sin
1
n
19. lim
n→∞
n tan
1
n
- 6 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
1.2. Se´ries Infinitas
As se´ries infinitas surgem quando procuramos somar todos os elementos de uma
dada sequeˆncia {an}:
a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + . . . (1.2.1)
Embora seja imposs´ıvel somar uma infinidade de nu´meros, podemos considerar as
somas parciais
S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, etc.
Em gferal denotamos por Sn a soma dos n primeiros termos de uma sequeˆncia
{an},que e´ chamada de soma parcial de ordem n associada a essa sequeˆncia:
Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =
n∑
k=1
ak. (1.2.2)
Desse modo formamos uma nova sequeˆncia infinita,
S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .
Supondo que ela tenha um limite S, definimos a soma infinita indicada em (1.2.1)
como sendo esse limite, que tambe´m se denota por
∞∑
n=1
an, isto e´,
a1 + a2 + a3 + · · · = S = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
n∑
k=1
ak =
∞∑
n=1
an
Quando a sequeˆncia Sn tem limite S, diz-se que a se´rie
∞∑
n−1
an e´ convergente ou que
ela converge e que S e´ a sua soma. Caso contra´rio, diremos que a se´rie e´ divergente
ou que ela diverge. Os elementos an sa˜o chamados de termos da se´rie.
Exemplo 1.2.1
A se´rie
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · · =
∞∑
n=1
1
2n−1
tem soma 2. Isso pode ser visto geometricamente, considerando segmentos de
comprimentos 1, 1/2, 1/4, 1/8, . . . , dispostos uns apo´s os outros, como na figura
abaixo.
- 7 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
A soma dos comprimentos desses segmentos nos conduz a` sequeˆncia de somas
parciais
S1 = 1, S2 = 1 +
1
2
=
3
2
, S3 = 1 +
1
2
+
1
4
=
7
4
, . . .
que se aproxima indefinidamente do nu´mero 2, embora sem nunca alcanc¸a´-lo.
Naturalmente, esse resultado pode ser obtido sem apelo a` intuic¸a˜o geome´trica,
pelo me´todo do exemplo sequinte:
Exemplo 1.2.2
Uma se´rie geome´trica e´ da forma
+∞∑
n=1
arn−1 = a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + . . . (1.2.3)
Vejamos um crite´rio de convergeˆncia para a se´rie geome´trica.
A soma parcial da se´rie geome´trica acima e´ dada por
Sn = a(1 + r + r
2 + · · ·+ rn−1) (1.2.4)
Multiplicando ambosa os lados da igualdade anterior por r obtemos
Sn − rSn = a(1− rn).
Se considerarmos r 6= 1 (caso em que a se´rie diverge) obteremos,
Sn = a
1− rn
1− r
Tomando o limite com n tendendo ao infinito obtemos que
lim
n→∞
Sn = a lim
n→∞
1− rn
1− r =
a
1− r
desde que |r| < 1.
Isso mostra que a se´rie geome´trica dada em (1.2.3) converge se |r| < 1 e diverge
se |r| ≥ 1.
Cabe observar que poucas se´ries podem ser somadas como a se´rie geome´trica,
resultando no que se costuma chamar de “forma fechada”. Assim sendo, e´ importante
saber como calcular valores aproximados das se´ries infinitas.
- 8 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Exemplo 1.2.3
A se´rie
1
3
+
1
15
+
1
35
+ · · ·+ 1
(2n− 1)(2n+ 1) + · · · =
∞∑
n=1
1
(2n− 1)(2n+ 1)
e´ um outro exemplo de se´rie cuja soma pode ser obtida em forma fechada.
Para calcular essa soma observamos que o seu termo geral pode ser decomposto
1
(2n− 1)(2n+ 1) =
1
2
(
1
2n− 1 −
1
2n+ 1
)
.
Como consequeˆncia a sequeˆncia de somas parciais sa˜o dadas por
Sn =
1
2
n∑
k=1
(
1
2n− 1 −
1
2n+ 1
)
=
1
2
[(
1− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
5
)
+ · · ·+
(
1
2k − 1 −
1
2k + 1
)]
Observe que, a menos do primeiro e do u´ltimo termo, todos os demais se cancelam,
motivo pelo qual a se´rie e´ denominada de “se´rie telesco´pica”. O resultado e´
Sn =
1
2
(
1− 1
2n+ 1
)
,
donde segue que lim
n→∞
Sn =
1
2
. Portanto
∞∑
n=1
1
(2n− 1)(2n+ 1) =
1
2
.
Se´ries divergentes: Como no caso de sequeˆncias, uma se´rie que na˜o converge
e´ chamada de divergente. Uma se´rie pode divergir para +∞ ou −∞, como e´ o caso
das se´ries
1 + 2 + 4 + · · · =
∞∑
n=1
2n−1 = +∞ e − 2
1
− 3
2
− 4
3
− · · · = −
∞∑
n=2
n
n− 1 = −∞
Outro tipo de se´rie divergente e´ aquele em que a sequeˆncia de somas parciais
apresenta um cara´ter oscilato´rio, como acontece nas se´ries
∞∑
n=2
(−1)nn
n− 1 = 2−
3
2
+
4
3
− 5
4
+ . . . e
∞∑
n=1
(−1)nn2
n+ 1
= −1
2
+
4
3
− 9
4
+
16
5
− 25
6
. . .
Em geral, na˜o e´ fa´cil saber se uma dada se´rie converge ou diverge. Para essa
- 9 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
determinac¸a˜o, usaremos alguns testes de convergeˆncia. O primeiro deles e´ o teorema
a seguir:
Teorema 1.2.1
Se a se´rie dada por
∑
an for convergente enta˜o lim
n→∞
an = 0.
O teorema anterior na˜o serve para comprovar se uma dada se´rie e´ converge ja´
que essa e´ a sua hipo´tese mas a sua contra-positiva e´ um execelente crite´rio para se
determinar a divergeˆncia de uma se´rie.
Teorema 1.2.2 (Teste de divergeˆncia)
Se lim
n→∞
an 6= 0 enta˜o a se´rie
∑
an e´ divergente.
Note que a rec´ıproca do Teorema 1.2.1 na˜o e´ verdadeira: existem se´ries divergentes
cujo termo geral tende a zero. Por exemplo, lim
n→∞
(
√
n+ 1−√n) = 0, mas a se´rie
∞∑
n=0
(
√
n+ 1−√n)
diverge, pois se Sn e´ a sua sequeˆncia de somas parciais, enta˜o
Sn = (
√
1−
√
0) + (
√
2−
√
1) + (
√
3−
√
2) + · · ·+ (√n+ 1−√n) = √n+ 1
e lim
n→∞
√
n+ 1 =∞.
O exemplo mais nota´vel de se´rie divergente cujo termo geral tende a zero, e´ a
chamada se´rie harmoˆnica.
Exemplo 1.2.4
Mostre que a se´rie harmoˆnica
+∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
. . .
e´ divergente.
Soluc¸a˜o: Para mostrar a divergeˆncia da se´rie harmoˆnica, vamos agrupar seus termos
de uma forma conveniente
1+
(
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
10
)
+
(
1
11
+
1
12
+ · · ·+ 1
100
)
+
(
1
101
+
1
102
+ · · ·+ 1
1000
)
+. . .
Observe que o primeiro pareˆnteses conte´m nove termos, cada um dos quais, a`
excec¸a˜o do u´ltimo, e´ maior do que 1/10; portanto, o pareˆnteses todo e´ maior do
- 10 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
que 9/10. O segundo pareˆnteses conte´m noventa termos, cada uma dos quais, a`
excec¸a˜o do u´ltimo, e´ maior do que 1/100; portanto, o pareˆnteses todo e´ maior do que
90/100 = 9/10. Analogamente, o terceiro pareˆnteses conte´m novecentos termos, cada
uma dos quais, a` excec¸a˜o do u´ltimo, e´ maior do que 1/1000; portanto, o pareˆnteses
todo e´ maior do que 900/1000 = 9/10. E assim por diante. Vemos enta˜o, que e´
poss´ıvel encontrar somas parciais Sn que superem o nu´mero 1 + 9n/10 na˜o importa
qua˜o grande seja o inteiro n. Mas isso significa que a se´rie e´ divergente como quer´ıamos
demonstrar.
Teorema 1.2.3 (Propriedades operacionais)
(i) Se
+∞∑
n=1
an converge e k for um nu´mero qualquer, enta˜o
+∞∑
n=1
kan converge e tem
soma k
+∞∑
n=1
an.
(ii) Se
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn convergem, enta˜o
+∞∑
n=1
(an + bn) converge e
+∞∑
n=1
(an + bn) =
+∞∑
n=1
an +
∞∑
n=1
bn.
- 11 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
ˆ ˆ ˆ
1.2.1. Lista de Exerc´ıcios
Nos exerc´ıcios de 1 a 4, encontre os quatro primeiros elementos da sequeˆncia de somas
parciais {sn}, e obtenha uma fo´rmula pra sn em termos de n. Determine tambe´m se
a se´rie infinita e´ convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
01.
+∞∑
n=1
1
(2n− 1)(2n+ 1) 02.
+∞∑
n=1
ln
n
n+ 1
03.
+∞∑
n=1
5
(3n+ 1)(3n− 2)
04.
+∞∑
n=1
2
5n−1
05.
+∞∑
n=1
2n+ 1
3n+ 2
06.
+∞∑
n=1
(
2
3
)n
07.
+∞∑
n=1
ln
1
n
08.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 3
2n
09.
+∞∑
n=1
e−n
10.
+∞∑
n=1
1
n+ 2
11.
+∞∑
n=1
3
2n
12.
+∞∑
n=1
3
2n
13.
+∞∑
n=1
4
3
(
5
7
)n
14.
+∞∑
n=1
(
1
2n
+
1
2n
)
15.
+∞∑
n=1
(
1
2n
+
1
3n
)
16. A trajeto´ria de cada oscilac¸a˜o de um peˆndulo e´ 0,93 do comprimento da trajeto´ria
da oscilac¸a˜o anterior (de um lado ate´ o outro). Se a trajeto´ria da primeira oscilac¸a˜o
mede 56 cm de comprimento e se a resisteˆncia do ar leva o peˆndulo ao repouso, quanto
mede o caminho percorrido pelo peˆndulo ate´ que ele pare?
17- Qual a distaˆncia total percorrida por uma bola de teˆnis ate´ o repouso,se ela
cai de uma altura de 100 m e se apo´s cada queda ela rebate no cha˜o e volta a uma
distaˆncia de 11/20 da altura anterior?
- 12 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
1.3.Se´ries Infinitas de Termos Positivos
Se todos os termos de uma se´rie infinita forem positivos, a sequeˆncia das somas
parciais sera´ crescente. Assim sendo, segue o teorema a seguir.
Teorema 1.3.1
Uma se´rie infinita de termos positivos sera´ convergente se, e somente se, sua
sequeˆncia de somas parciais for limitada superiormente.
Exemplo 1.3.1
Prove que a se´rie
+∞∑
n=1
1
n!
e´ convergente.
Soluc¸a˜o: De fato, note que
Sn = 1 +
1
2
+
1
2 · 3 +
1
2 · 3 · 4 + · · ·+
1
2 · 3 · 4 · · ·n
≤ 1 + 1
2
+
1
2 · 2 +
1
2 · 2 · 2 + · · ·+
1
2 · 2 · 2 · · · 2
= 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+ · · ·+ 1
2n−1
<
∞∑
n=1
1
2n−1
=
∞∑
n=1
(
1
2
)n−1
= 2
Assim, pelo Teorema 1.3.1 a se´rie e´ convergente.
No exemplo acima, os termos da se´rie dada foram comparados com os de uma
se´rie que sabemos ser convergente. Esse e´ um caso particular do teorema a seguir,
conhecido como o teste da comparac¸a˜o.
- 13 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Teorema 1.3.2
Seja
+∞∑
n=1
un uma se´rie de termos positivos.
(i) Se
+∞∑
n=1
vn for uma se´rie de termos positivos que sabemos ser convergente e se
un ≤ vn para todo n inteiro positivo, enta˜o
+∞∑
n=1
un sera´ convergente.
(ii) Se
+∞∑
n=1
wn for uma se´rie de termos positivos que sabemos ser divergente e se
un ≥ wn para todo n inteiro positivo, enta˜o
+∞∑
n=1
un sera´ divergente.
Exemplo 1.3.2
Determine se a se´rie infinita
+∞∑
n=1
4
3n + 1
e´ convergente ou divergente.
Soluc¸a˜o: Como
3n < 3n + 1, ∀n ≥ 1,
temos que
4
3n + 1
<
4
3n
, ∀n ≥ 1.
Do fato de a se´rie
∞∑
n=1
(
1
3
)n
ser convergente e do teste da comparac¸a˜o, segue que
a se´rie
∞∑
n=1
4
3n + 1
tambe´m e´ convergente.
Exemplo 1.3.3
Determine se a se´rie infinita
+∞∑
n=1
1√
n
e´ convergente ou divergente.
Soluc¸a˜o: Observe que √
n ≤ n, ∀n ≥ 1,
- 14 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
donde
1
n
≤ 1√
n
, ∀n ≥ 1.
Como a se´rie harmoˆnica
∞∑
n=1
1
n
e´ divergente, o teste da comparac¸a˜o diz que a se´rie
∞∑
n=1
1√
n
tambe´m e´ divergente.
O teorema a seguir, conhecido como teste da comparac¸a˜o com limite, e´ con-
sequeˆncia do teorema anterior, e sua aplicac¸a˜o e´, em muitos casos, mais fa´cil.
Teorema 1.3.3
Sejam
+∞∑
n=1
un e
+∞∑
n=1
vn duas se´ries de termos positivos.
(i) Se lim
n→+∞
un
vn
= c > 0, enta˜o ambas as se´ries convergem, ou ambas as se´ries
divergem.
(ii) Se lim
n→+∞
un
vn
= 0, e se
+∞∑
n=1
vn converge, enta˜o
+∞∑
n=1
un converge.
(iii) Se lim
n→+∞
un
vn
= +∞, e se
+∞∑
n=1
vn diverge, enta˜o
+∞∑
n=1
un diverge.
Exemplo 1.3.4
Resolva o Exemplo 1.3.2, usando o teste da comparac¸a˜o com limite.
Soluc¸a˜o: Vamos comparar a se´rie infinita
+∞∑
n=1
4
3n + 1
com a se´rie
+∞∑
n=1
1
3n
que e´ uma
se´rie geome´trica de raza˜o 1/3, logo convergente. Usando o teorema acima, temos
lim
n→∞
4
3n + 1
1
3n
= lim
n→∞
4 · 3n
3n + 1
= 4 > 0
Do item (i) do teste da comparac¸a˜o por limite, segie que a se´rie
+∞∑
n=1
4
3n + 1
e´
convergente.
- 15 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Exemplo 1.3.5
Resolva o Exemplo 1.3.3, usando o teste da comparac¸a˜o com limite.
Soluc¸a˜o: Vamos usar a se´rie harmoˆnica para comparar com a se´rie infinita
+∞∑
n=1
1√
n
.
Calculando o limite indicado no teste da comparac¸a˜o por limite, obtemos:
lim
n→∞
1√
n
1
n
= lim
n→∞
n√
n
= lim
n→∞
√
n =∞.
Como a se´rie harmoˆnica e´ divergente, o item (iii) do teste da comparac¸a˜o por
limite nos leva a` conclusa˜o de que a se´rie
+∞∑
n=1
1√
n
tambe´m e´ divergente.
Teorema 1.3.4
Se
+∞∑
n=1
un for uma se´rie convergente de termos positivos, seus termos podera˜o ser
agrupados de qualquer maneira, e a se´rie resultante continuara´ convergente e com
a mesma soma que a se´rie original.
O teorema conhecido como o teste da integral faz uso da teoria das integrais
impro´prias para testar a convergeˆncia de uma se´rie de termos positivos.
Teorema 1.3.5 (O teste da integral)
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua, decrescente e com valores positivos para todo x ≥ 1
e suponha que f(n) = an. Enta˜o, a se´rie infinita
+∞∑
n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + . . .
sera´ convergente, se a integral impro´pria
ˆ +∞
1
f(x)dx
existir e sera´ divergente, se
lim
b→+∞
ˆ b
1
f(x)dx = +∞.
- 16 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Se para uma se´rie infinita o ı´ndice do somato´rio comec¸a com n = k em vez de
n = 1, a integral impro´pria do teste da integral tambe´m deve ser calculada no intervalo
[k,+∞) ou inve´s de [1,+∞).
Uma se´rie frequentemente usada no teste da comparac¸a˜o e´ aquela conhecida como
se´rie p ou se´rie hiper-harmoˆnica.
Exemplo 1.3.6
Use o teste da integral para mostrar que a se´rie hiper-harmoˆnica definida por
∞∑
n=1
1
np
= 1 +
1
2p
+
1
3p
+ · · ·+ 1
np
+ . . . onde p e´ uma constante. (1.3.1)
diverge se p ≤ 1 e converge se p > 1.
Soluc¸a˜o: Note que, se p = 1 a se´rie e´ a harmoˆnica que, como vimos, e´ divergente.
Para p 6= 1, temos que
ˆ ∞
1
1
xp
dx = lim
b→∞
ˆ b
1
1
xp
dx = lim
b→∞
x1−p
1− p
∣∣∣x=b
x=1
=
1
1− p limb→∞
(
b1−p − 1) .
Agora
lim
b→∞
b1−p =

0, se p > 1
+∞, se p < 1
Assim, se p > 1 temos
ˆ ∞
1
1
xp
dx =
1
p− 1 < +∞.
Portanto, a se´rie hiper-harmoˆnica e´ convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1.
Observe que a se´rie do Exemplo 1.3.3 e´ uma se´rie hiper-harmoˆnica com p =
1
2
< 1
e, portanto, e´ divergente.
- 17 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Exemplo 1.3.7
Determine se a se´rie infinita e´ convergente ou divergente.
+∞∑
n=1
1
(n2 + 2)1/3
Soluc¸a˜o: A se´rie e´ divergente. Para ver isso, basta compara´-la com a se´rie hiper-
harmoˆnica
+∞∑
n=1
1
n2/3
que e´ divergente pois p = 2/3 < 1.
ˆ ˆ ˆ
1.3.1. Lista de Exerc´ıcios
Nos exerc´ıcios de 1 a 11, determine se a se´rie dada e´ convergente ou divergente.
1.
+∞∑
n=1
1
n2n
2.
+∞∑
n=1
3n+ 1
2n2 + 5
3.
+∞∑
n=1
cos2 n
3n
4.
+∞∑
n=1
1√
n2 + 4n
5.
+∞∑
n=1
n!
(n+ 2)!
6.
+∞∑
n=1
n
5n2 + 3
7.
+∞∑
n=1
n!
(2n)!
8.
+∞∑
n=1
1
n
√
n2 − 1
9.
+∞∑
n=1
3
2n−√n 10.
+∞∑
n=1
lnn
n2 + 2
11.
+∞∑
n=1
(n+ 1)2
(n+ 2)!
Nos exerc´ıcios de 12 a 15, use o teste da integral para determinar se a se´rie dada e´
convergente ou divergente.
12.
+∞∑
n=1
1
2n+ 1
13.
+∞∑
n=1
1
(n+ 2)3/2
14.
+∞∑
n=1
4
n2 − 4 15.
+∞∑
n=1
e−5n
Nos exerc´ıcios de 16 a 20, determine se a se´rie dada e´ convergente ou divergente.
16.
+∞∑
n=1
lnn
n
17.
+∞∑
n=1
1
n lnn
18.
+∞∑
n=1
lnn
n3
19.
+∞∑
n=1
n2e−n 20.
+∞∑
n=1
e1/n
n2
21. Prove que a se´rie
+∞∑
n=1
1
n(lnn)p
e´ convergente se p > 1.
- 18 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
1.4. Se´ries Alternadas
Nesta sec¸a˜o e na seguinte consideraremos se´ries infinitas constando tanto de termos
negativos como positivos. Discutiremos primeiramente um tipo de se´rie cujos termos
sa˜o alternadamente positivos e negativos - as chamadas se´ries alternadas.
Definic¸a˜o 1.4.1
Se an > 0 para todo n inteiro positivo, enta˜o a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·+ (−1)n+1an + . . . (1.4.1)
e´ chamada de se´rie alternada.
Exemplo 1.4.1
Um exemplo de se´rie alternada e´
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
= 1− 1
2
+
1
3− 1
4
+ · · ·+ (−1)n+1 1
n
+ . . .
O teorema a seguir fornece um teste de convergeˆncia para uma se´rie alternada.
Ele e´ chamado de teste das se´ries alternadas; tambe´m e´ conhecido como teste de
Leibniz, pois foi formulado por ele, em 1705.
Teorema 1.4.1 (Teste de Leibniz )
Considere a se´rie alternada
+∞∑
n=1
(−1)n+1an, onde an > 0 e an+1 < an para todo n
inteiro positivo. Se lim
n→+∞
an = 0, a se´rie alternada converge.
Exemplo 1.4.2
Prove que a se´rie alternada
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
e´ convergente.
Soluc¸a˜o: De fato, note que a sequeˆncia an =
1
n
e´ positiva, decrescente e que lim
n→∞
1
n
=
0. Portanto, o teste da se´rie alternada garante a convergeˆncia da se´rie dada nesse
exemplo.
Exemplo 1.4.3
Determine se a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n(n+ 1)
e´ convergente ou divergente.
- 19 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Soluc¸a˜o: Trata-se de uma se´rie alternada. Considere a sequeˆncia an =
n+ 2
n(n+ 1)
e
perceba que ela e´ positiva, decrescente e que lim
n→∞
n+ 2
n(n+ 1)
= 0. Portanto, o teste da
se´rie alternada garante a convergeˆncia da se´rie dada nesse exemplo.
Definic¸a˜o 1.4.2
Se uma se´rie infinita for convergente e sua soma for S, enta˜o o resto obtido quando
aproximamos a soma da se´rie pela k-e´sima soma parcial Sk sera´ denotado por Rk
e
Rk = S − Sk
Teorema 1.4.2
Suponhanmos que a se´rie alternada
+∞∑
n=1
(−1)n+1an e´ convergente. Se Rk for o resto
obtido quando aproximamos a soma da se´rie pela soma dos k primeiros termos
enta˜o |Rk| < ak+1.
Exemplo 1.4.4
Uma se´rie para calcular ln(1 + x) se x esta´ no intervalo aberto (−1, 1) e´
ln(1 + x) =
+∞∑
n=1
(−1)n+1x
n
n
Ache um limitante superior para o erro cometido quando aproximamos o valor de
ln(1, 1) pela soma dos treˆs primeiros termos da se´rie.
Soluc¸a˜o: Para usarmos a se´rie acima, observe que ln(1, 1) = ln(1 + 0, 1). Assim,
fazendo x = 0, 1 na se´rie dada e expandindo ate´ n = 4, obtemos
ln(1, 1) = 0, 1− (0, 1)
2
2
+
(0, 1)3
3
− (0, 1)
4
4
A soma dos treˆs primeiros termos da se´rie e´ 0, 09533333 e o erro de aproximac¸a˜o e´
menor do que
(0, 1)4
4
= 0, 000025.
- 20 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
ˆ ˆ ˆ
1.4.1. Lista de Exerc´ıcios
Nos exerc´ıcios de 1 a 6, determine se a se´rie dada e´ convergente ou divergente.
1.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
2n
2.
+∞∑
n=1
(−1)n 3
n2 + 1
3.
+∞∑
n=1
(−1)n 1
lnn
4.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 lnn
n2
5.
+∞∑
n=1
(−1)n 3
n
n2
6.
+∞∑
n=1
(−1)n n
2n
Nos exerc´ıcios de 7 a 9, ache um limitante superior para o erro, quando aproxi-
mamos a soma da se´rie infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
7.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
8.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
(2n− 1)2 9.
+∞∑
n=1
(−1)n 1
n2
Nos exerc´ıcios de 10 a 13, obtenha a soma da se´rie infinita dada, com precisa˜o de
treˆs casas decimais.
10.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
2n
11.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n!
12.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
(2n)3
13.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n2n
1.5.Convergeˆncia Absoluta e Condicional; O Teste da
Raza˜o e o Teste da Raiz
Se todos os termos de uma dada se´rie infinita forem substitu´ıdos pelos seus valo-
res absolutos e a se´rie resultante for convergente, enta˜o dizemos que a se´rie dada e´
absolutamente convergente.
Definic¸a˜o 1.5.1
Dizemos que a se´rie infinita
+∞∑
n=1
un e´ absolutamente convergente se a se´rie
+∞∑
n=1
|un| for convergente.
- 21 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Exemplo 1.5.1
Considere a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n+1 2
3n
=
2
3
− 2
32
+
2
33
− 2
34
+ · · ·+ (−1)n+1 2
3n
+ . . . (1.5.1)
Essa se´rie sera´ absolutamente convergente se a se´rie
+∞∑
n=1
2
3n
=
2
3
+
2
32
+
2
33
+
2
34
+ · · ·+ 2
3n
+ . . .
for convergente. Como se trata de uma se´rie geome´trica de raza˜o r =
1
3
< 1, ela
e´ convergente. Logo, a se´rie (1.5.1) e´ absolutamente convergente.
Exemplo 1.5.2
Uma se´rie convergente que na˜o e´ absolutamente convergente e´, por exemplo,
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
Ja´ mostramos que essa se´rie e´ convergente pore´m na˜o e´ absolutamente conver-
gente pois a se´rie dos valores absolutos e´ a se´rie harmoˆnica, que e´ divergente.
A se´rie deste exemplo e´ uma se´rie condicionalmente convergente.
Definic¸a˜o 1.5.2
Uma se´rie que e´ convergente, mas na˜o e´ absolutamente convergente, e´ denominada
condicionalmente convergente.
Enta˜o, e´ poss´ıvel que uma se´rie seja convergente, mas na˜o absolutamente conver-
gente. Por outro lado, se uma se´rie for absolutamente convergente, ela devera´ ser
convergente.
O teste da raza˜o, dado no pro´ximo teorema, e´ usado frequentemente para deter-
minar se uma dada se´rie e´ absolutamente convergente.
- 22 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Teorema 1.5.1 (O Teste da Raza˜o)
Seja
+∞∑
n=1
an uma se´rie infinita dada para a qual todo an e´ na˜o-nulo. Enta˜o,
(i) se lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L < 1, a se´rie dada e´ absolutamente convergente.
(ii) se lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L > 1, ou se limn→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = +∞ a se´rie dada e´ divergente.
(iii) se lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1, nenhuma conclusa˜o quanto a convergeˆncia pode ser
tirada do teste.
Exemplo 1.5.3
Determine se a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2n
e´ convergente ou divergente.
Soluc¸a˜o: Aplicando o teste da raza˜o, obtemos
lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣∣
(−1)n+2(n+ 1)
2n+1
(−1)n+1n
2n
∣∣∣∣∣∣∣ = limn→+∞
[
n+ 1
2n+1
2n
n
]
=
1
2
lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)
=
1
2
< 1
Portanto, pelo teste da raza˜o, a se´rie dada e´ absolutamente convergente.
Exemplo 1.5.4
Provamos anteriormente que a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n(n+ 1)
e´ convergente. Essa se´rie e´ absolutamente convergente ou condicionalmente con-
vergente?
Soluc¸a˜o: Aplicando o teste da raza˜o, veremos que lim
n→∞
an+1
an
= 1 o que impossibilita
a tomada de qualquer conclusa˜o a respeito da convergeˆncia da se´rie. Sendo assim,
devemos usar a definic¸a˜o de convergeˆncia absoluta para definirmos se a convergeˆncia
- 23 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
e´ absoluta ou somente condicional.
+∞∑
n=1
∣∣∣∣(−1)n n+ 2n(n+ 1)
∣∣∣∣ = +∞∑
n=1
n+ 2
n(n+ 1)
Comparando a se´rie resultante dada acima com a se´rie harmoˆnica, temos que
lim
n→∞
n+ 2
n(n+ 1)
1
n
= lim
n→∞
n2 + 2n
n2 + n
= 1 > 0
Portanto, pelo teste da comparac¸a˜o por limite e, sabendo que a se´rie harmoˆnica e´
divergente, estabelecemos que a se´rie
∞∑
n=1
n+ 2
n(n+ 1)
e´ divergente. Consequentemente,
a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n(n+ 1)
converge apenas condicionalmente.
Teorema 1.5.2 (O Teste da Raiz )
Seja
+∞∑
n=1
an uma se´rie infinita dada para a qual todo un e´ na˜o-nulo. Enta˜o,
(i) se lim
n→+∞
n
√
|an| = L < 1, a se´rie dada e´ absolutamente convergente.
(ii) se lim
n→+∞
n
√
|an| = L > 1, ou se lim
n→+∞
n
√
|an| = +∞ a se´rie dada e´ divergente.
(iii) se lim
n→+∞
n
√
|an| = 1, nenhuma conclusa˜o quanto a convergeˆncia pode ser
tirada do teste.
Exemplo 1.5.5
Use o teste da raiz para determinar se a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n3
2n+1
n2n
e´ convergente ou
divergente.
Soluc¸a˜o: Calculando o limite indicado no teste da raza˜o, obtemos
lim
n→∞
n
√∣∣∣∣(−1)n32n+1n2n
∣∣∣∣ = 3 limn→∞ n
√(
3
n
)2n
= 3 lim
n→∞
(
9
n2
)
= 0 < 1
- 24 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Portanto, pelo teste da raiz, a se´rie e´ absolutamente convergente.
Os testes da raza˜o e da raiz esta˜o intimamente relacionados; contudo, o primeiro
e´, em geral, mais fa´cil de ser aplicado. Se os termos da se´rie contiverem fatoriais,
enta˜o certamente sera´ esse o caso. Por outro lado,se os termos contiverem poteˆncias
de n, como no exemplo acima, podera´ ser mais vantajoso o uso do teste da raiz.
ˆ ˆ ˆ
1.5.1. Lista de Exerc´ıcios
Nos exerc´ıcios de 1 a 8, determine se a se´rie dada e´ convergente ou divergente.
1.
+∞∑
n=1
(
−2
3
)n
2.
+∞∑
n=1
(−1)n+12
n
n!
3.
+∞∑
n=1
n2
n!
4.
+∞∑
n=1
(−1)n n!
2n+1
5.
+∞∑
n=1
1− 2 sinn
n3
6.
+∞∑
n=1
(−1)n+13
n
n!
7.
+∞∑
n=1
(−1)n+1 sin pin
n
8.
+∞∑
n=1
1
(lnn)n
9. Se |r| < 1, prove que a se´rie
+∞∑
n=1
rn sinnt e´ absolutamente convergente para
todos os valores de t.
10. Dada a se´rie
+∞∑
n=1
1
2n+1+(−1)n
.
(a) Mostre que o teste da raza˜o falha para essa se´rie.
(b) Use o teste da raiz para determinar se a se´rie e´ convergente ou divergente.
- 25 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
1.6.Se´ries de Poteˆncias
As se´ries infinitas do cap´ıtulo anterior envolvem termos constantes. Discutiremos
agora um tipo importante de se´ries de termos varia´veis chamados se´ries de poteˆncias,
que podem ser consideradas como uma generalizac¸a˜o da func¸a˜o polinomial. Voceˆ
aprendera´, neste cap´ıtulo, como usar se´ries de poteˆncias para calcular valores de
func¸o˜es como sin x, ex, lnx e
√
x, os quais na˜o podem ser calculados pelas operac¸o˜es
da Aritme´tica, usadas para determinar os valores de func¸o˜es racionais. Voceˆ podera´
aplicar a teoria de se´ries de poteˆncias para encontrar aproximac¸o˜es de nu´meros irra-
cionais tais como
√
2, pi, e, ln 5 e sin 0, 3. Outra aplicac¸a˜o e´ feita para aproximar as
integrais indefinidas para as quais o integrando na˜o tem antiderivada que possa ser
expressa em termos de func¸o˜es elementares. Por exemplo, voceˆ aprendera´ a usar se´ries
de poteˆncias para calcular valores de integrais tais como
ˆ 1/2
0
e−t
2
dt e
ˆ 1
0
cos
√
xdx
com qualquer precisa˜o exigida. Ale´m disso, soluc¸o˜es de equac¸o˜es diferenciais podem
ser expressas como se´ries de poteˆncias.
Definic¸a˜o 1.6.1
Por uma se´rie de poteˆncia em x− a entende-se uma se´rie da forma
c0+c1(x−a)+c2(x−a)2+c3(x−a)3+· · ·+cn(x−a)n+· · · =
+∞∑
n=0
cn(x−a)n (1.6.1)
Definic¸a˜o 1.6.2
Por uma se´rie de poteˆncia em x entende-se uma se´rie da forma
+∞∑
n=1
cnx
n = c0 + c1x+ c2x
2 + · · ·+ cnxn + . . . (1.6.2)
Observe que consideraremos (x−a)0 = 1 mesmo quando x = a, por convenieˆncia,
ao escrever o termo geral. Veremos que uma se´rie de poteˆncias define uma func¸a˜o
f(x) em um certo intervalo onde ela converge. Se x for um determinado nu´mero, a
se´rie de poteˆncias (1.6.1) tornar-se-a´ uma se´rie infinita de termos constantes.
- 26 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Exemplo 1.6.1
Tomar os coeficientes como sendo 1 na equac¸a˜o (1.6.2) nos da´ a se´rie de poteˆncias
geome´trica
+∞∑
n=1
xn = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn + . . . .
Essa e´ uma se´rie geome´trica com o primeiro termo 1 e raza˜o x. SAbemos que
ela converge quando |x| < 1 e sua soma e´ 1
1− x , ou seja,
+∞∑
n=1
xn = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn + · · · = 1
1− x, −1 < x < 1. (1.6.3)
Ate´ agora, utilizamos a equac¸a˜o (1.6.3) como uma fo´rmula para a soma da se´rie
a` esquerda. Agora podemos pensar nas somas parciais da se´rie a` esquerda como
polinoˆmios Pn(x) que se aproximam da func¸a˜o a` direita. Para valores de x pro´ximos
a 0, precisamos tomar apenas alguns termos da se´rie para conseguirmos uma boa
aproximac¸a˜o. Conforme nos movemos na direc¸a˜o de x = −1 ou de x = 1, devemos
tomar mais termos. Na figura abaixo, esta´ representado os gra´ficos de f(x) = 1/(1−x)
e os polinoˆmios aproximadores yn = Pn(x) para n = 0, 1, 2 e 8.
- 27 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Exemplo 1.6.2
A se´rie de poteˆncias
1− 1
2
(x− 2) + 1
4
(x− 2)2 − 1
8
(x− 2)3 + · · ·+
(
−1
2
)n
(x− 2)n + . . . (1.6.4)
e´ a da equac¸a˜o (1.6.1) com a = 2, c0 = 1, c1 = −1/2, c2 = 1/4, · · · , cn = (−1/2)n.
Essa e´ uma se´rie geome´trica com primeiro termo igaul a 1 e raza˜o
x− 2
2
. A s´rie
converge desde que
x− 2
2
< 1, isto e´, em 0 < x < 4. Sua soma e´
1
1 +
(
x−2
2
) = 2
x
,
assim,
2
x
= 1− 1
2
(x−2)+ 1
4
(x−2)2− 1
8
(x−2)3+ · · ·+
(
−1
2
)n
(x−2)n+ . . . , 0 < x < 4.
Qualquer se´rie de poteˆncias e´ convergente. A se´rie de poteˆncias dada por (1.6.1),
por exemplo, converge quando x = a. Pode acontecer que esse seja o u´nico valor de
x para o qual a se´rie converge. Quando ha´ outros valores de x que tornam a se´rie
convergente, veremos que eles formam um intervalo, o intervalo de convergeˆncia,
cujo centro e´ x = a. Tal intervalo pode ser infinito. O teorema a seguir resume essas
propriedades.
- 28 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Teorema 1.6.1
Toda se´rie de poteˆncias
c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · ·+ cn(x− a)n + . . .
tem um raio de convergeˆncia R > 0 tal que a se´rie converge absolutamente
quando |x− a| < R e diverge quando |x− a| > R.
O nu´mero R pode ser 0 (caso em que a se´rie e´ convergente somente em x = a),
um nu´mero positivo, ou ∞ (neste caso a se´rie e´ convergente qualquer que seja
x ∈ R).
O raio de convergeˆncia e o respectivo intervalo de convergeˆncia pode ser obtido
aplicando-se ou o teste da raza˜o ou o teste da ra´ız. Lembre-se que, qualquer que seja
o teste aplicado na determinac¸a˜o do raio de convergeˆncia, o resultado e´ inconclusivo
quando lim
n→∞
an+1
an
= 1. Tal situac¸a˜o sempre ocorrera´ nos extremos do intervalo de
convergeˆncia, isto e´, em x = a−R e x = a+R. Nesses casos, deve-se fazer a verificac¸a˜o
da convergeˆncia nas extremidades do intervalo de convegeˆncia substituindo-se x por
a−R e a+R na se´rie e tratando-a como uma se´rie nume´rica.
Os treˆs exemplos a seguir ilustram como o teste da raza˜o pode ser usado para
determinar os valores de x para os quais uma se´rie de poteˆncias e´ convergente.
Exemplo 1.6.3
Ache os valores de x para os quais a se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=1
(−1)n+12
nxn
n3n
e´ convergente.
Soluc¸a˜o: Aplicando o teste da raza˜o para a se´rie dada, teremos
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣∣∣∣
(−1)n+22n+1xn+1
(n+ 1)3n+1
(−1)n+12
nxn
n3n
∣∣∣∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ 2n+1xn+1(n+ 1)3n+1 · n3n2nxn
∣∣∣∣
lim
n→∞
2
3
n
n+ 1
|x| = 2
3
|x|.
Logo, a se´rie de poteˆncias e´ absolutamente convergente quando
2
3
|x| < 1 ou, equiva-
lentemente, quando |x| < 3
2
. A se´rie e´ divergente quando |x| > 3
2
. Quando
2
3
|x| = 1.
- 29 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
O teste da raza˜o falha. Quando x =
3
2
, a se´rie de poteˆncia torna-se:
1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · ·+ (−1)n+1 1
n
+ · · ·
que e´ uma se´rie alternada convergente. Quando x = −3
2
, temos
−1− 1
2
− 1
3
− 1
4
− · · · − 1
n
· · ·
que e´ uma se´rie divergente. Conclu´ımos, enta˜o, que o intervalo de convergeˆncia da
se´rie de poteˆncias dada e´
(
−3
2
,
3
2
]
e o raio de convergeˆncia e´ R = 3/2. A se´rie e´
absolutamente convergente quando −3
2
< x <
3
2
e e´ condicionalmente convergente
quando x =
3
2
. Se x ≤ −3
2
ou x >
3
2
, a se´rie e´ divergente.
Exemplo 1.6.4
Ache os valores de x para os quais a se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=0
xn
n!
e´ convergente.
Soluc¸a˜o: Pelo teste da raza˜o, obtemos
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ xn+1(n+ 1)! · n!xn
∣∣∣∣
= lim
n→∞
1
n+ 1
|x| = 0 < 1.
Logo, a se´rie de poteˆncias dada e´ absolutamente convergente para todos os valores de
x.
Exemplo 1.6.5
Ache os valores de x para os quais a se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=0
n!xn
e´ convergente.
- 30 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Soluc¸a˜o: O teste da raza˜o fornecera´
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣(n+ 1)!xn+1n!xn
∣∣∣∣
= limn→∞
(n+ 1)|x| =

0 se x = 0
+∞ se x 6= 0
Segue que a se´rie e´ divergente para todos os valores de x, exceto 0.
No pro´ximo exemplo, o teste da raiz sera´ usado para determinar quando uma se´rie
de poteˆncias e´ convergente.
Exemplo 1.6.6
Ache os valores de x para os quais a se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=1
n3xn
e´ convergente.
Soluc¸a˜o: Aplicando o teste da raiz,
lim
n→∞
n
√
|n3xn| = lim
n→∞
n3/n|x|.
Como lim
n→∞
n3/n = 1, segue que
lim
n→∞
n
√
|n3xn| = |x|.
Logo, a se´rie de poteˆncias e´ absolutamente convergente quando |x| < 1. A se´rie e´
divergente quando |x| > 1. Se x = 1, a se´rie de poteˆncias torna-se
∞∑
n=1
n3, que e´
divergente, pois lim
n→∞
n3 6= 0. Analogamente, a se´rie e´ divergente quando x = −1.
Teorema 1.6.2
Se
∞∑
n=0
cnx
n converge absolutamente em |x| < R, enta˜o
∞∑
n=0
cn(f(x))
n converge
absolutamente qualquer seja a func¸a˜o cont´ınua f satisfazendo |f(x)| < R.
- 31 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Como
1
1− x =
∞∑
n=0
xn e´ absolutamente convergente em |x| < 1, segue do teorema
acima que
1
1− 4x2 =
∞∑
n=0
(4x2)n converge absolutamente desde que |4x2| < 1 ou
|x| < 1/2.
Um teorema do ca´lculo avanc¸ado diz que podemos derivar uma se´rie de poteˆncias
termo a termo no interior de seu intervalo de convergeˆncia.
Teorema 1.6.3 (Derivac¸a˜o termo a termo)
Se
∑
cn(x− a)n possui um raio de convergeˆncia R > 0, isso define uma func¸a˜o
f(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n no intervalo a−R < x < a+R.
Essa func¸a˜o f possui derivadas de todas as ordens dentro do intervalo, e obtemos
as derivadas atrave´s da derivac¸a˜o da se´rie original termo a termo:
f ′(x) =
∞∑
n=1
ncn(x− a)n−1,
f ′′(x) =
∞∑
n=2
n(n− 1)cn(x− a)n−2,
e assim por diante. Cada uma dessas se´ries derivadas converge qualquer que seja
x ∈ (a−R, a+R).
Exemplo 1.6.7
Encontre a se´rie para f ′(x) e f ′′(x) se
f(x) =
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + · · ·+ xn + · · · =
∞∑
n=0
xn, −1 < x < 1.
Soluc¸a˜o: Derivamos a se´rie de poteˆncias a` direita termo a termo:
f ′(x) =
1
(1− x)2 = 1+2x+3x
2+4x3+5x4+· · ·+nxn−1+· · · =
∞∑
n=1
nxn−1, −1 < x < 1;
- 32 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
f ′′(x) =
2
(1− x)3 = 2+6x+12x
2+· · ·+n(n−1)xn−2+· · · =
∞∑
n=2
n(n−1)xn−2, −1 < x < 1.
Cuidado! O teorema na˜o e´ va´lido para se´ries de func¸o˜es. Por exemplo,
∞∑
n=1
sin(n!x)
n2
e´ convergente em R enquanto que a sua derivada
∞∑
n=1
n! cos(n!x)
n2
,
e´ divergente qualquer que seja x.
E´ tambe´m verdade que uma se´rie de poteˆncias pode ser integrada termo a termo
ao longo de todo o seu intervalo de convergeˆncia.
Teorema 1.6.4 (Integrac¸a˜o termo a termo)
Suponha que
f(x) =
∑
n=0
cn(x− a)n
e´ convergente em a−R < x < a+R (R > 0). Enta˜o
∞∑
n=0
cn
(x− a)n+1
n+ 1
e´ convergente em a−R < x < a+R e
ˆ
f(x) dx =
∞∑
n=0
cn
(x− a)n+1
n+ 1
+ C
para a−R < x < a+R.
Exemplo 1.6.8
Identifique a func¸a˜o
f(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
2n+ 1
= x− x
3
3
+
x5
5
= · · · , −1 < x < 1.
- 33 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Soluc¸a˜o: Derivamos a se´rie original termo a termo e obtemos
f ′(x) = 1− x2 + x4 − x6 + · · · , −1 < x < 1.
Essa e´ uma se´rie geome´trica com primeiro termo igual a 1 e raza˜o −x2, portanto
f ′(x) =
1
1 + x2
.
Podemos agora integrar f ′(x) = 1/(1 + x2) para obtermos
ˆ
f ′(x) dx =
ˆ
1
1 + x2
dx = tan−1 x+ C.
A se´rie para f(x) e´ zero quando x = 0, portanto C = 0. Consequentemente,
f(x) = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ · · · = tan−1 x, −1 < x < 1.
Pode ser demonstrado que a se´rie tambe´m e´ convergente para tan−1 x nas extre-
midades x = ±1, mas omitimos a prova.
Exemplo 1.6.9
Uma se´rie para a func¸a˜o f(x) = ln(1 + x).
Soluc¸a˜o: A se´rie
1
1 + t
= 1− t+ t2 − t3 + · · ·
converge no intervalo aberto −1 < t < 1. Sendo assim,
ln(1 + x) =
ˆ x
0
1
1 + t
dt = t− t
2
2
+
t3
3
− t
4
4
+ · · ·
∣∣∣∣∣
x
0
= x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+ · · · =
∞∑
n=1
(−1)n−1xn
n
, −1 < x < 1.
Pode ser tambe´m demonstrado que a se´rie converge em x = 1 ao nu´mero ln 2 mas
isso na˜o e´ garantido pelo teorema.
- 34 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
ˆ ˆ ˆ
1.6.1. Lista de Exerc´ıcios
Nos exerc´ıcios de 1 a 15, (a) encontre o raio e o intervalo de convergeˆncia. Para quais
valores de x a se´rie converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?
1.
+∞∑
n=0
xn 2.
+∞∑
n=0
(−1)n(4x+ 1)n 3.
+∞∑
n=0
(x− 2)n
10n
4.
+∞∑
n=1
nxn
3n
5.
+∞∑
n=1
(−1)n+1x2n−1
(2n− 1)! 6.
+∞∑
n=0
(x+ 3)n
2n
7.
+∞∑
n=1
(−1)nxn
(2n− 1)32n−1 8.
+∞∑
n=1
(−1)n+1(x− 1)n
n
9.
+∞∑
n=2
(−1)n+1xn
n(lnn)2
10.
+∞∑
n=1
n2
5n
(x− 1)n 11.
+∞∑
n=1
lnn(x− 5)n
(n+ 1)
12.
+∞∑
n=1
xn
nn
13.
+∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)n
xn 14.
+∞∑
n=1
nnxn 15.
+∞∑
n=1
xn
n
√
n3n
Nos exerc´ıcios 16 a 19, utilize o Teorema 1.6.2 para encontrar o intervalo de con-
vergeˆncia da se´rie e, dentro desse intervalo, a soma da se´rie como uma func¸a˜o de
x.
16.
∞∑
n=0
3nxn 17.
∞∑
n=0
(√
x
2
− 1
)n
18.
∞∑
n=0
(ex − 4)n 19.
∞∑
n=0
(x− 1)2n
4n
20. Para quais valores de x a se´rie
1− 1
2
(x− 3) + 1
4
(x− 3)2 + · · ·+
(
−1
2
)n
(x− 3)n + · · ·
converge? Qual e´ a sua soma? Qual se´rie voceˆ obte´m se derivar a se´rie dada termo a
termo? Para quais valores de x a nova se´rie converge? Qual e´ a sua soma?
21. Se voceˆ integrar termo a termo a se´rie do exerc´ıcio 20, qual nova se´rie voceˆ
obte´m? Para quais valores de x a nova se´rie converge? E qual e´ o outro nome para a
sua soma?
- 35 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
22. A se´rie
sinx = x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+
x9
9!
− x
11
11!
+ · · ·
converge para a func¸a˜o sinx para todo x.
(a) Encontre os seis primeiros termos de uma se´rie para cosx. Para quais valores de
x a se´rie e´ convergente?
(b) Substituindo x por 2x na se´rie para sin x, encontre uma se´rie que convirja para
sin(2x) para todo x.
23. A se´rie
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+
x5
5!
+ · · ·
converge para a func¸a˜o ex para todo x.
(a) Encontre a se´rie para
d
dx
(ex). Voceˆ obte´m a se´rie para ex? Explique sua resposta.
(b) Encontre uma se´rie para
ˆ
ex dx. Voceˆ obte´m a se´rie para ex? Explique sua
resposta.
(c) Substitua x por −x na se´rie para ex, para encontrar uma se´rie que convirja para
e−x para todo x.
- 36 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
1.7.Se´rie de Taylor e de Maclaurin
Se f for uma func¸a˜o definida por
f(x) =
+∞∑
n=0
cn(x− a)n
= c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · ·+ cn(x− a)n + . . .
(1.7.1)
Se o raio de convergeˆncia dessa se´rie for R, enta˜o f sera´ infinitamente deriva´vel em
(a−R, a+R). Sucessivas derivac¸o˜es da func¸a˜o em (1.7.1) resultam em
f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3c3(x− a)2 + 4c4(x− a)3 + · · ·+ ncn(x− a)n−1 + . . .
f ′′(x) = 2c2 + 2 · 3c3(x− a) + 3 · 4c4(x− a)2 + · · ·+ (n− 1)ncn(x− a)n−2 + . . .
f ′′′(x) = 2 · 3c3 + 2 · 3 · 4c4(x− a) + · · ·+ (n− 2)(n− 1)ncn(x− a)n−3 + . . .
e assim por diante. Tomando x = a nas representac¸o˜es de f em se´ries de poteˆncias,
bem como nas sua derivadas, obtemos
c0 = f(a) c1 = f
′(a) c2 =
f ′′(a)
2!
c3 =
f ′′′(a)
3!
e em geral
cn =
f (n)(a)
n!
(1.7.2)
Dessa fo´rmula e de (1.7.1) podemos escrever a se´rie de poteˆncias de f em x − a
como
+∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
(x− a)n = f(a) + f ′(a)(x− a)
+
f ′′(a)
2!
(x− a)2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n + . . . (1.7.3)
A se´rie (1.7.3) e´ chamada de se´rie de Taylor de f em a. O caso especial de
(1.7.3) quando a = 0 e´ chamada de se´rie deMaclaurin.
- 37 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Definic¸a˜o 1.7.1
Seja f uma func¸a˜o com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo
a como um ponto interior. Enta˜o, a se´rie de Taylor gerada por f em x = a
e´
+∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
(x− a)n = f(a) + f ′(a)(x− a) +
+
f ′′(a)
2!
(x− a)2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n + . . . .
A se´rie de Maclaurin gerada por f e´
+∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
xn = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 + · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn + . . . ,
a se´rie de Taylor gerada por f em x = 0.
Exemplo 1.7.1
Encontre a se´rie de Taylor gerada por f(x) = 1/x em a = 2. Onde, se em algum
lugar, a se´rie converge para 1/x?
Soluc¸a˜o: Precisamos encontrar f(2), f ′(2), f ′′(2), · · · . Tomando as derivadas, temos
f(x) = x−1, f ′(x) = −x−2, f ′′(x) = 2!x−3, · · · , f (n)(x) = (−1)nn!x−(n+1)
de modo que
f(2) = 2−1 =
1
2
, f ′(2) = − 1
22
,
f ′′(2)
2!
=
1
23
,
f ′′′(2)
3!
= − 1
24
, · · · , f
(n)(2)
n!
=
(−1)n
2n+1
A se´rie de Taylor e´
f(2) + f ′(2)(x− 2) +f
′′(2)
2!
(x− 2)2 + · · ·+ (−1)nf
(n)(2)
n!
(x− 2)n + · · ·
=
1
2
− (x− 2)
22
+
(x− 2)2
23
− · · ·+ (−1)n (x− 2)
n
2n+1
+ · · · .
Essa e´ uma se´rie geome´trica com o primeiro termo 1/2 e raza˜o r = −(x − 2)/2.
Ela converge absolutamente para todo x satisfazendo |x− 2| < 2 e sua soma e´
1/2
1 + (x− 2)/2 =
1
2 + (x− 2) =
1
x
.
Nesse exemplo, a se´rie de Taylor gerada por f(x) = 1/x em a = 2 converge para
- 38 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
1/x onde |x− 2| < 2 ou 0 < x < 4.
Definic¸a˜o 1.7.2 (Polinoˆmios de Taylor)
Seja f uma func¸a˜o com derivadas de ordem k para k = 1, 2, 3, · · · , N em algum
intervalo contendo a como ponto interior. Enta˜o, para qualquer inteiro n de 0 ate´
N , o polinoˆmio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a e´ o polinoˆmio
Pn(x) = f(a) + f
′(a)(x− a) +
+
f ′′(a)
2!
(x− a)2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n.
Falamos polinoˆmio de Taylor de ordem n ao inve´s de grau n porque f (n)(a) pode
ser zero. Os dois primeiros polinoˆmios de Taylor de f(x) = cosx em x = 0, por
exemplo, sa˜o P0(x) = 1 e P1(x) = 1. O polinoˆmio de Taylor de primeira ordem tem
grau zero, na˜o um.
Exemplo 1.7.2
Ache a se´rie e os polinoˆmios de Taylor gerados por f(x) = ex em x = 0.
Soluc¸a˜o: Como f(x) = ex, f ′(x) = ex, · · · , f (n)(x) = ex, temos que f (n)(0) = e0 = 1
para qualquer inteiro positivo n.
Assim a se´rie de Taylor gerada por f em x = 0 e´
f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 + · · ·+ f
n(0)
n!
xn + · · · = 1 + x+ x
2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
n
n!
+ · · ·
=
∞∑
n=0
xn
n!
.
O polinoˆmio de Taylor de ordem n em x = 0 e´
Pn(x) = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
n
n!
.
A figura ao lado mostra o gra´fico de f(x) = ex e
suas aproximac¸o˜es por alguns polinoˆmios de Tay-
lor. Note que quanto mais pro´ximo de zero melhor
e´ a aproximac¸a˜o.
- 39 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Exemplo 1.7.3
Ache a se´rie e os polinoˆmios de Taylor gerados por f(x) = cos x em x = 0.
Soluc¸a˜o: O cosseno e suas derivadas sa˜o
f(x) = cos x, f ′(x) = − sinx,
f ′′(x) = − cosx, f (3)(x) = sinx,
...
...
f (2n)(x) = (−1)n cosx, f (2n+1)(x) = (−1)n+1 sinx.
Desse modo, em x = 0, os cossenos sa˜o 1 e os senos sa˜o 0, assim
f (2n)(0) = (−1)n, f (2n+1)(0) = 0.
A se´rie de Taylor gerada por f em 0 e´
f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn + · · ·
= 1 + 0 · x− x
2
2!
+ 0 · x3 + x
4
4!
+ · · ·+ (−1)
nx2n
(2n)!
+ · · · =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
Como f (2n+1)(0) = 0 os polinoˆmios de Taylor de ordem 2n e 2n+ 1 sa˜o ideˆnticos :
P2n+1(x) = P2n(x) = 1− x
2
2!
+
x4
4!
+ · · ·+ (−1)
nx2n
(2n)!
.
A figura abaixo mostram qua˜o bem esses polinoˆmios aproximam f(x) = cos x em
x = 0
Uma questa˜o natural que surge e´: se uma func¸a˜o tem uma se´rie de Taylor em
- 40 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
x − a, com raio de convergeˆncia R > 0, essa se´rie representa a func¸a˜o para todos os
valores de x no intervalo (a − R, a + R)? Para a maioria das func¸o˜es elementares
a resposta e´ afirmativa. Ha´, contudo, func¸o˜es para as quais a resposta e´ na˜o. O
exemplo a seguir ilustra isso.
Exemplo 1.7.4
Pode-se mostrar (embora na˜o facilmente) que
f(x) =
 e
−1/x2 se x 6= 0
0 se x = 0
tem derivadas de todas as ordens em x = 0 e que f (n)(0) = 0 para todo n.
Consequentemente, a se´rie de Taylor gerada por f em x = 0 e´
f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn + · · ·
= 0 + 0 · x+ 0 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4 + · · ·+ 0
A se´rie e´ convergente qualquer que seja x (sua soma e´ 0), mas converge para
f(x) apenas quando x = 0.
O gra´fico da extensa˜o cont´ınua de y = e−1/x
2
e´ ta˜o plano na origem que todas as
derivadas nesse ponto sa˜o zero.
O teorema a seguir fornece um teste para determinar se uma func¸a˜o esta´ repre-
sentada por sua se´rie de Taylor. Nele usaremos a igualdade
f(x) = Pn(x) +Rn(x)
onde Pn(x) e´ o polinoˆmio de Taylor de ordem n e Rn(x) e´ o resto ou o erro de
aproximac¸a˜o da func¸a˜o por seu polinoˆmio de Taylor.
- 41 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Teorema 1.7.1
Seja f uma func¸a˜o tal que f e todas as sua derivadas existam em algum intervalo
(a− r, a+ r). Enta˜o, a func¸a˜o e´ representada por sua se´rie de Taylor
+∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
(x− a)n
para todo x, tal que |x− a| < r se, e somente se,
lim
n→+∞
Rn(x) = lim
n→+∞
f (n+1)(ξn)
(n+ 1)!
(x− a)n+1 = 0
onde cada ξn esta´ entre x e a.
O Teorema 1.7.1 tambe´m e´ va´lido para outras formas do resto Rn(x). Frequen-
temente, e´ dif´ıcil aplicar o Teorema 1.7.1, pois os valores de ξn sa˜o arbitra´rios. Mas,
a`s vezes pode ser encontrado um limitante superior para Rn(x) e pode ser poss´ıvel
provar que o limite dos limitantes superiores e´ zero quando n → +∞. O seguinte
limite e´ de grande valia em alguns casos:
lim
n→+∞
xn
n!
= 0 para todo x (1.7.4)
Isto segue do fato que a se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=0
xn
n!
e´ convergente para todos os
valores de x e assim, o limite de seu n-e´simo termo deve ser zero.
Exemplo 1.7.5
Use o Teorema 1.7.1 para mostrar que a se´rie de Maclaurin para ex representa a
func¸a˜o para todos os valores de x.
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o tem derivadas de todas as ordens em R e vimos que
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
n
n!
+Rn(x)
onde
Rn(x) =
ec
(n+ 1)!
xn+1 para algum c entre 0 e x.
Como ex e´ uma func¸a˜o crescente de x, ec esta´ entre e0 = 1 e ex. Quando x e´
negativo, c tambe´m e´ e ec < 1. Quando x e´ zero, ex = 1 e Rn(x) = 0. Quando x e´
- 42 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
positivo, c tambe´m e´ e ec < ex. Assim,
|Rn(x)| ≤ |x|
n+1
(n+ 1)!
quando x ≤ 0
e
|Rn(x)| ≤ ex |x|
n+1
(n+ 1)!
quando x > 0.
Por fim, como
lim
n→+∞
xn
n!
= 0 para todo x,
lim
n→∞
Rn(x) = 0 e a se´rie converge para e
x para todo x.
Exemplo 1.7.6
Mostre que a se´rie de Taylor para cosx em x = 0 representa a func¸a˜o para todos
os valores de x.
Soluc¸a˜o: Adicionamos o resto ao polinoˆmio de Taylor para cosx que encontramos
anteriormente para obter
cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
+ · · ·+ (−1)
nx2n
(2n)!
+R2n(x).
Como as derivadas do cosseno tem valor absoluto menor ou igual a 1, segue que
|R2n(x)| ≤ 1 · |x|
2n+1
(2n+ 1)!
.
Para cada valor de x, R2n(x)→ 0 quando n→∞. Portanto a se´rie converge para
cosx qualquer que seja o valor de x.
- 43 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
Exemplo 1.7.7
Calcule com precisa˜o de cinco casas decimais
ˆ 1
1/2
sinx
x
dx.
Soluc¸a˜o: Multiplicando a se´rie de Taylor da func¸a˜o seno por 1/x obtemos
sinx
x=
1
x
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
=
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n+ 1)!
Usando o teorema de integrac¸a˜o termo a termo segue que
ˆ 1
1/2
sin
x
dx =
ˆ 1
1/2
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n+ 1)!
dx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)(2n+ 1)!
∣∣∣∣∣
x=1
x=1/2
Substituindo nos limites de integrac¸a˜o,
ˆ 1
1/2
sin
x
dx =
∞∑
n=0
(−1)n 1
2n+1
(2n+ 1)(2n+ 1)!
−
∞∑
n=0
(−1)n (1/2)
2n+1
(2n+ 1)(2n+ 1)!
=
(
1− 1
3 · 3! +
1
5 · 5! −
1
7 · 7! +
1
9 · 9! −
1
11 · (11)! + · · ·
)
−
(
1
2
− 1
23 · 3 · 3! +
1
25 · 5 · 5! −
1
27 · 7 · 7! +
1
29 · 9 · 9! −
1
211 · 11 · (11)! + · · ·
)
=
1
2
− 7
8
1
3 · 3! +
31
32
1
5 · 5! −
127
128
1
7 · 7! +
511
512
1
9 · 9! −
2047
2048
1
11 · (11)! + · · ·
≈ 0, 5− 0048611 + 0, 001615− 0, 000028 + 0, 000000306
≈ 0, 452976 ≈ 0, 45297
- 44 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
ˆ ˆ ˆ
1.7.1. Lista de Exerc´ıcios
1. Prove que a se´rie
+∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
representa sinx para todos os valores de x.
2. Use a se´rie de Maclaurin de ln(1 + x) para encontrar a se´rie de Taylor para lnx
em 2.
3. Ache uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a func¸a˜o em torno do ponto a
e determine o raio de convergeˆncia.
(a) f(x) = ln(x+ 1); a = 1 (b) f(x) =
√
x; a = 4 (c) f(x) = cos x; a =
pi
3
Utilize o Teorema 1.6.2 para encontrar a se´rie de Taylor em x = 0 das func¸o˜es dos
exerc´ıcios 4-13.
4. e−5x 5. cos 5x2 6. e−x/2 7. 5 sin(−x) 8. sin
(pix
2
)
9. cos
(
x2/3√
2
)
10. ln(1 + x2) 11. tan−1(3x4) 12.
1
1 + 3
4
x3
13.
1
2− x
Use operac¸o˜es de se´ries de poteˆncias para encontrar a se´rie de Taylor em x = 0
para as func¸o˜es dos exerc´ıcios 14-21.
14. xex 15. sinx− x+ x
3
3!
16. x2 sinx 17. x cos(pix)
18. sin2 x 19.
x2
1− 2x 20. x ln(1 + 2x) 21. x tan
−1(x2)
(Sugesta˜o: no exerc´ıcio 18 use sin2 x =
1
2
(1− cos 2x).)
Nos exerc´ıcios 22-27, utilize se´ries para estimar os valores das integrais com um erro
de magnitude menor que 10−3
22.
ˆ 1/2
0
sinx2dx 23.
ˆ 0,2
0
e−x − 1
x
dx 24.
ˆ 0,1
0
1− cosx
x2
dx
25.
ˆ 0,1
0
e−x
2
dx 26.
ˆ 0,2
0
1
lnx
dx 27.
ˆ 1/2
0
tan−1 x
x
dx
- 45 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
1.8.Se´rie Binomial
Sabemos da A´lgebra que se m e´ um inteiro positivo enta˜o
(a+b)m = am+mam−1b+
m(m− 1)
2!
am−2b2+· · ·+m(m− 1) · · · (m− k + 1)
k!
am−kbk+· · ·+bm,
que e´ o chamado teorema binomial ou binoˆmio de Newton.
Tomemos a = 1 e b = x no teorema binomial para expressarmos (1 + x)m, onde
m na˜o esta´ restrito apenas aos inteiros positivos. Neste caso obteremos a se´rie de
poteˆncias
1 +mx+
m(m− 1)
2!
x2 +
m(m− 1)(m− 2)
3!
x3 · · ·+ m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
n!
xn + · · ·
(1.8.1)
Essa e´ a se´rie de Maclaurin para f(x) = (1 + x)m. Ela e´ chamada de se´rie
binomial. Para determinarmos o raio de convergeˆncia da se´rie (1.8.1), aplicamos o
teste da raza˜o e obtemos
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣∣∣∣
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)(m− n)
(n+ 1)!
xn+1
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
n!
xn
∣∣∣∣∣∣∣∣
= lim
n→∞
∣∣∣∣m− nn+ 1
∣∣∣∣ |x|
= lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣∣
m
n
− 1
1 +
1
n
∣∣∣∣∣∣∣ |x| = |x|.
Assim, a se´rie binomial e´ absolutamente convergente se |x| < 1. Agora provaremos
que a se´rie (1.8.1) representa (1 +x)m qualquer que seja o nu´mero real m se x estiver
no intervalo aberto (−1, 1). Isso na˜o sera´ feito calculando Rn(x) e mostrando que o
seu limite e´ zero quando n tende ao infinito, pois esse e´ um procedimento dif´ıcil. Ao
inve´s disso, usaremos o me´todo a seguir. Seja
f(x) = 1 +
∞∑
n=1
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
n!
xn, |x| < 1. (1.8.2)
Queremos mostrar que f(x) = (1 + x)m, se |x| < 1. Pelo teorema de derivac¸a˜o
- 46 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
termo a termo,
f ′(x) =
∞∑
n=1
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
(n− 1)! x
n−1, |x| < 1. (1.8.3)
Multiplicando ambos os lados de (1.8.3) por x, obtemos
xf ′(x) =
∞∑
n=1
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
(n− 1)! x
n, |x| < 1. (1.8.4)
Reescrevendo o segundo membro de (1.8.3),
f ′(x) = m+
∞∑
n=2
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
(n− 1)! x
n−1, |x| < 1.
Reescrevendo essa somato´ria com o extremo inferior diminu´ıdo de 1, sendo n
substitu´ıdo por n+ 1, temos
f ′(x) = m+
∞∑
n=1
(m− n)m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
n!
xn, |x| < 1.
Multiplicando o numerador e o denominador de (1.8.4) por n, obtemos
xf ′(x) =
∞∑
n=1
n
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
n!
xn, |x| < 1.
As se´ries para f ′(x) e xf ′(x) sa˜o absolutamente convergentes para |x| < 1. Enta˜o,
podemos soma´-las termo a termo, e a se´rie resultante sera´ absolutamente convergente,
para |x| < 1. Assim, da adic¸a˜o,
(1 + x)f ′(x) = m
[
1 +
∞∑
n=1
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
n!
xn
]
Como por (1.8.2) a expressa˜o entre colchetes e´ f(x), enta˜o
(1 + x)f ′(x) = mf(x)⇐⇒ f
′(x)
f(x)
=
m
(1 + x)
.
Integrando a u´ltima igualdade em relac¸a˜o a x, segue que
ln |f(x)| = m ln |1 + x|+ c = ln |(1 + x)m|+ c
- 47 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
onde c e´ uma constante. Aplicando a func¸a˜o exponecial, obtemos
f(x) = ec(1 + x)m.
Agora, de (1.8.2), temos que f(0) = 1 e, consequentemente, ec = 1. Donde
f(x) = (1 + x)m.
Provamos o teorema binomial geral, que agora enunciaremos.
Teorema 1.8.1 (Teorema Binomial)
Se m for um nu´mero real qualquer, enta˜o
(1 + x)m = 1 +
∞∑
n=1
m(m− 1) · · · (m− n+ 1)
n!
xn,
para todos os valores de x, tais que |x| < 1.
Exemplo 1.8.1
Expresse a func¸a˜o
1√
1 + x
como uma se´rie de poteˆncias em x.
Soluc¸a˜o: Do teorema binomial, quando |x| < 1,
(1 + x)1/2 = 1− 1
2
x+
(−1
2
)(−1
2
− 1)
2!
x2 +
(−1
2
)(−1
2
− 1)(−1
2
− 2)
3!
x3 + · · ·+
+
(−1
2
)(−3
2
)(−5
2
) · · · (−1
2
− n+ 1)
n!
xn + · · ·
= 1− 1
2
x+
1 · 3
22 · 2!x
2 − 1 · 3 · 5
23 · 3! x
3 + · · ·+ (−1)n1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)
2n · n! x
n + · · ·
Exemplo 1.8.2
Use o exemplo anterior para encontrar uma se´rie binomial para (1− x2)−1/2. De
posse deste resultado, encontre uma se´rie de poteˆncias para a func¸a˜o sin−1 x.
Soluc¸a˜o: Substitua x por −x2 na se´rie para (1 + x)−1/2 e obtenha para |x| < 1
(1− x2)−1/2 = 1 + 1
2
x2 +
1 · 3
22 · 2!x
4 +
1 · 3 · 5
23 · 3! x
6 + · · ·+ 1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)
2n · n! x
2n + · · ·
Integrando a igualdade acima de 0 a x e aplicando o teorema de integrac¸a˜o termo
- 48 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
a termo, obtemos
ˆ x
0
1√
1− t2 dt = x+
1
2
x3
3
+
1 · 3
22 · 2!
x5
5
+
1 · 3 · 5
23 · 3!
x7
7
+ · · ·+ 1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)
2n · n!
x2n+1
2n+ 1
+ · · ·
Logo,
sin−1 x = x+
∞∑
n=1
1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)
2nn!
· x
2n+1
2n+ 1
, para |x| < 1.
Exemplo 1.8.3
Calcule o valor de 3
√
25 com precisa˜o de treˆs casas decimais, usando a se´rie binomial
para (1 + x)1/3.
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos encontrar a se´rie binomial da func¸a˜o dada.
(1 + x)1/3 = 1 +
1
3
x+
(
1
3
)(
−2
3
)
x2
2!
+
(
1
3
)(
−2
3
)(
−5
3
)
x3
3!
+ · · · se |x| < 1.
Como 3
√
25 = 3
√
27 3
√
25
27
, podemos escrever 3
√
25 = 3 3
√
1− 2
27
.
Da se´rie (1 + x)1/3 com x = − 2
27
, obtemos
(
1− 2
27
)1/3
= 1 +
1
3
(
− 2
27
)
−
(
2
32 · 2!
)(
− 2
27
)2
+
(
2 · 5
33 · 3!
)(
− 2
27
)3
+ · · ·
≈ 1− 0, 0247− 0, 0006− 0, 00003 ≈ 0, 9747.
Portanto
3
√
25 ≈ 3 · (0, 9747) = 2, 9241.
- 49 -
Cap´ıtulo 1. Se´ries Infinitas
ˆ ˆ ˆ
1.8.1. Lista de Exerc´ıcios
Nos exerc´ıcios de 1 a 6, use uma se´riebinomial de modo a encontrar a se´rie de
Maclaurin para a func¸a˜o dada e determine seu raio de convergeˆncia.
(1) f(x) =
√
1 + x (2) f(x) = (4 + x)−1/2 (3) f(x) = 3
√
1− x3
(4) f(x) = (4 + x2)−1 (5) f(x) =
x2√
1 + x
; (6) f(x) = (1 + x2)3.
Nos exerc´ıcios de 7 a 9, calcule o valor da quantidade dada com treˆs casas decimais
de precisa˜o, usando uma se´rie binomial.
(7)
√
24 (8)
4
√
630 (9)
1
3
√
128
Nos exerc´ıcios de 10 a 12, calcule o valor da integral definida com treˆs casas decimais
de precisa˜o.
(10)
ˆ 1/3
0
√
1 + x3 dx (11)
ˆ 1
0
3
√
8 + x2 dx (12)
ˆ 1/2
0
1√
1− x3 dx
- 50 -
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] LEITHOLD, L.; O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica. 3a Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo.
SP.: Editora Harbra, 1994. v. 1.
[2] LEITHOLD, L.; O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica. 3a Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo.
SP.: Editora Harbra, 1994. v. 2.
[3] THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J.; Ca´lculo, Vol. 2, 12a Edic¸a˜o, Sa˜o
Paulo. SP: Pearson Editora, 2012. v. 1.
[4] THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J.; Ca´lculo, Vol. 2, 12a Edic¸a˜o, Sa˜o
Paulo. SP: Pearson Editora, 2012. v. 2.
[5] ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L.; Ca´lculo. 10a Edic¸a˜o, Porto Alegre:
Bookman, 2014. v. 2.
[6] AVILA, G.; Ca´lculo da Func¸o˜es de uma Varia´vel. 7a Edic¸a˜o, Rio de Janeiro:
LTC Editora, 2004. v. 2.
[7] STEWART, J.; Ca´lculo. 4a Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo. SP.: Pioneira Thomson Learning,
2004. v. 1.
[8] STEWART, J.; Ca´lculo. 4a Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo. SP.: Pioneira Thomson Learning,
2004. v. 2.
- 51 -
	Séries Infinitas
	Limites de sequências de números
	 Lista de exercícios
	 Séries Infinitas
	Lista de Exercícios
	Séries Infinitas de Termos Positivos
	Lista de Exercícios
	 Séries Alternadas
	Lista de Exercícios
	Convergência Absoluta e Condicional; O Teste da Razão e o Teste da Raiz
	Lista de Exercícios
	Séries de Potências
	Lista de Exercícios
	Série de Taylor e de Maclaurin
	 Lista de Exercícios
	Série Binomial
	 Lista de Exercícios
	Referências