ICG Aula03 Transformações 03

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Adailton José Alves da Cruz 
FACET/UFGD
Computação Gráfica 2D
Computação Gráfica
Transformações Geométricas 2D
Computação Gráfica
Transformações Geométricas
• Manipulação de objetos
• Tamanho
• Posição
• Orientação
• Simulação do Movimento
Transformações Geométricas 2D
Computação Gráfica
Transformações Geométricas
• Manipulação de objetos
• Simulação do Movimento
Estes procedimentos são descritos em
termos de TG básicas denominadas
translações, rotações e escala, bem como da
combinação destas operações
























v
v
y
x
y
x
y
x
10
01
'
'
Translação, rotação e escala
Transformações Geométricas 











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'


















y
x
s
s
y
x
y
x
0
0
'
'
Porque?
Combinação de Transformações
 Suponha a rotação de um objeto em relação a 
um ponto arbitrário P
P P
R
 Como? Sabemos rotacionar um ponto apenas 
em relação a origem.
Combinação de Transformações
1T
θ
θR
2T
1x
1y
Composição
transformações 2D
 Para compor 2 transformações temos:
 Se P’ = T1 x P e P’’ = T2 x P’ , então, P’’ = T2 x T1 x P 
P P’
P’’
1T
2T
12 TT 
Produto Matricial
























v
v
y
x
y
x
y
x
10
01
'
'
Translação, rotação e escala
Transformações Geométricas 











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'


















y
x
s
s
y
x
y
x
0
0
'
'
Não pode ser representada por uma matriz 2x2





 


cossin
sincos






y
x
s
s
0
0
E o Produto Matricial?
solução
Coordenadas Homogêneas 
 Para que possamos combinar as
transformações precisamos operá-las da
mesma forma.
 Uma abordagem consistente de tratar este
problema é usar coordenadas homogêneas.
 Em coordenadas homogêneas um ponto (x,y)
passa a ser representado por três
coordenadas (x, y , w)
Algumas definições
Plano Projetivo Real
 O plano projetivo RP2 é o conjunto das retas do R3
que passam pela origem.
 Um ponto P do plano projetivo é definido como:
 Denotado por P = [x,y,z] em coordenadas homogêneas 
(uma classe de equivalência).
 Um ponto do RP2 é uma reta do R3 e uma reta do RP2 é 
um plano do R3.
)}0,0,0(),,(,0);,,({  zyxzyx P
Ponto Projetivo
 Considerando o plano z = 1 como o plano afim 
Euclideano mergulhado em RP2:
 Homogeneizar  dividir o ponto por z
 1//0,],,[ 2 zyzxPzRPzyxP 
 Representa a interseção 
da reta λ(x,y,z) com o plano 
z = 1 ou (λ = 1/z).
Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas
 Como os pontos são agora representados 
por três coordenadas então devemos ter 
matrizes 3x3.
 A translação passa a ser representada por:
































1100
10
01
1
'
'
y
x
t
t
y
x
y
x
Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas 
 A Rotação passa a ser representada por:




















 











1100
0cossin
0sincos
1
'
'
y
x
y
x


Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas 
 A Escala passa a ser representada por:
































1100
00
00
1
'
'
y
x
s
s
y
x
y
x
Voltando a questão inicial
Combinação de Transformações
1T












100
10
01
1
1
y
x
θ









 
100
0cossin
0sincos


θR
2T










100
10
01
y
x
1x
1y
Combinação de Transformações
1TθR2T

































 






















1100
10
01
100
0cossin
0sincos
100
10
01
1
'
'
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x


 
 























1100
sincos1cossin
sincos1sincos
11
11
y
x
xy
yx


Combinação de Transformações
 
 

































1100
sincos1cossin
sincos1sincos
1
'
'
11
11
y
x
xy
yx
y
x


 A matriz que promove a transformação diretamente 
dada pelo produto T2R0T1
 Representa ganho no processamento
 A ordem das transformações altera o resultado
 O produto não é comutativo