CÁLCULO APLICADO À ADMINISTRAÇÃO

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CÁLCULO APLICADO À ADMINISTRAÇÃO 
AULA 1 Lógica Matemática 
Nelson Pereira Castanheira 
 
Plano de Ensino 
Vamos estudar a lógica matemática. Na lógica matemática, podemos distinguir três formas de 
raciocínio lógico: a dedução, a indução e a abdução. Para tal, precisamos de uma premissa, de 
uma conclusão e de uma regra segundo a qual a premissa implica na conclusão. Esse estudo 
baseia-se em proposições que podem assumir os valores lógicos Verdadeiro ou Falso. 
Aprenderemos, na sequência, a realizar operações lógicas utilizando os conectivos. Veremos 
como se constrói uma tabela-verdade e, finalmente, verificaremos onde a lógica matemática 
se aplica. Boa leitura! 
Conversa Inicial 
A lógica matemática é uma das partes mais jovens da matemática, com pouco mais de um 
século de existência. O seu estudo baseia-se em proposições, ou seja, em sentenças 
declarativas, de tal forma que nos permitam raciocinar corretamente para investigarmos a 
verdade. 
Uma proposição é um conjunto de palavras ou de símbolos que exprime um pensamento de 
sentido completo. Ela só pode assumir um de dois valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F). 
Tema 01: Lógica Matemática 
O estudo da lógica baseia-se em proposições, ou seja, em sentenças declarativas, de tal forma 
que nos permitam raciocinar corretamente na investigação da verdade. 
Uma proposição é um conjunto de palavras ou de símbolos que exprime um pensamento de 
sentido completo. Somente um de dois valores lógicos é possível: verdadeiro (V) ou falso (F). 
Uma proposição pode ser: 
Simples ou atômica, quando representada de forma única, ou seja, uma única sentença 
declarativa. Não contém outra proposição como parte de si mesma; é um pensamento 
singular; 
Composta ou molecular, quando constituída por duas ou mais proposições simples, 
interligadas por meio de conectivos (e, ou, não, se, então, se e somente se). Os conectivos são 
termos usados para formar novas proposições, a partir de proposições existentes. 
O QUE LÓGICA? 
A lógica matemática é o estudo de proposições (sentenças declarativas) de tal forma que nos 
permita raciocinar corretamente na investigação da verdade. 
PROPOSIÇÃO 
É um conjunto de palavras ou de símbolos que exprime um pensamento de sentido completo. 
Somente um de dois valores lógicos é possível: 
- Verdadeiro 
- Falso 
- Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da 
identidade); 
- Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
(Princípio da Não-Contradição); 
- Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do 
Terceiro Excluído). 
Quando uma sentença não é uma proposição? 
- Sentença interrogativa; 
- Sentença exclamativa; 
- Sentença imperativa; 
- Poema; 
- Sentença aberta. 
CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES 
Uma proposição é simples ou atômica ou é composta ou molecular. 
Simples: - Nelson é professor 
Composta: - Paulo é estudante e Maria é – enfermeira 
CONECTIVOS 
São termos usados para formar novas proposições a partir de outras existentes. “e” 
“ou” 
“não” 
“se... então...” 
“se e somente se...” 
PROPOSIÇÃO COMPOSTA COM CONECTIVOS 
Se o carro é novo, então o carro é bonito 
Se o polígono é um quadrilátero, então o polígono não é um triângulo. 
Tema 02: Operações Lógicas 
Operações lógicas são as operações realizadas sobre as proposições. São elas: 
a) Negação. A negação de uma proposição p é indicada por ~p (não p). Por definição, o valor 
lógico é V quando p é falso e é F quando p é verdadeiro. Negação ( ~ ) ~p lê-se não p 
b) Conjunção. A conjunção de duas proposições p e q só é V quando as proposições 
componentes forem ambas V. Conjunção ( ∧ ) p ∧ q lê-se p e q 
c) Disjunção. A disjunção de duas proposições p e q é V quando pelo menos uma das 
proposições componentes for V. A disjunção só será falsa quando ambas as proposições forem 
falsas. Disjunção ( ∨ ) p ∨ q lê-se p ou q 
d) Disjunção exclusiva. A disjunção exclusiva só é verdadeira quando apenas uma das 
proposições componentes for verdadeira, ou seja, quando uma proposição for verdadeira e a 
outra for falsa; Disjunção exclusiva p ∨ q lê-se ou p ou q 
e) Condicional. É a proposição que é falsa quando p for V e q for F. Nos demais casos ela é 
verdadeira. Proposição condicional p → q lê-se se p então q 
f) Bicondicional. É a proposição que é V somente quando as proposições forem ambas 
verdadeiras ou ambas falsas. Proposição bicondicional p ↔ q lê-se p se e somente se q 
 
Tema 03: Tabela-Verdade 
Para uma proposição simples, temos somente dois valores possíveis: V (verdadeiro) ou F 
(falso). 
Para uma proposição composta, é necessário analisar passo a passo, como veremos a seguir. O 
número de linhas de uma tabela-verdade para uma proposição composta é igual a 2n, sendo n 
o número de proposições simples que compõem a proposição composta. Assim, se tivermos 
duas proposições simples, o número de linhas da tabela-verdade será 2 ao quadrado = 4 
linhas; se tivermos 3 proposições simples, o número de linhas da tabela-verdade será 2 ao 
cubo = 8 linhas; e assim por diante. 
Tabela-verdade 
É um instrumento útil para a determinação dos valores lógicos de uma proposição composta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 04: Tautologia, Contradição e Contingência 
Estudamos que uma proposição pode ser simples ou composta. Uma proposição composta é 
chamada de tautológica quando o seu valor lógico é sempre verdadeiro. Por exemplo, a 
proposição A v ~A é uma tautologia, pois seu valor lógico é sempre verdadeiro. Uma 
proposição é chamada de contradição, quando o seu valor lógico for falso, quaisquer que 
sejam os valores lógicos das proposições simples envolvidas. Por exemplo, a proposição A ^ ~A 
é uma contradição, pois seu valor lógico é sempre falso. Uma proposição composta é chamada 
de contingência quando não for nem uma tautologia nem uma contradição, ou seja, quando os 
valores lógicos da proposição composta não forem nem todos verdadeiros (tautologia) nem 
todos falsos (contradição). 
TAUTOLOGIA 
Uma proposição composta é uma tautologia quando seu valor lógico é V quaisquer que sejam 
os valores lógicos das proposições componentes. Ex.: p ∨ ~(p ∧ q) 
 
CONTRADIÇÃO 
Uma proposição composta é uma contradição quando seu valor lógico é F quaisquer que sejam 
os valores lógicos das proposições componentes. Ex.: (p ∧ ~q) ↔ (~p ∨ q) 
 
CONTINGÊNCIA 
Uma proposição composta é uma contingência (ou indeterminação) sempre que não for uma 
tautologia nem uma contradição. Assim, em uma contingência, no conjunto solução sempre 
aparece V e sempre aparece F, pelo menos uma vez. Ex.: p ↔ (p ∧ q) 
 
 
Tema 05: Aplicações da Lógica Matemática 
As aplicações da lógica matemática são muitas, principalmente na área da ciência da 
computação. Para que você desempenhar com segurança as atividades que exijam o 
conhecimento desse assunto é importante conhecer bem o que vem a ser uma proposição, 
seja ela simples, ou seja, ela composta. 
Depois, a utilização dos conectivos para a composição das proposições compostas é de suma 
importância. 
Finalmente, a construção e a interpretação das tabelas-verdade é uma ferramenta 
fundamental para o entendimento da lógica matemática. 
 
Sejam nas proposições: 
p: Roberto é rico 
q: Sonia é pobre 
r: Carlos é feliz 
 
Traduzir para a linguagem corrente as proposições: 
p → r 
p ∨ q 
q → ~r 
 
Sejam as proposições: 
p: João fala português 
q: João fala inglês 
r: João fala alemão 
 
Traduzir para a linguagem simbólica: 
João fala português e inglês 
João fala alemão ou português 
Joãofala português e inglês ou João fala inglês e alemão 
João não fala inglês e não fala português 
 
Construir a tabela-verdade da seguinte proposição e verificar se é uma tautologia ou uma 
contradição: 
(p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) 
 
Na Prática 
Uma proposição composta é chamada de contingência quando não for nem uma tautologia 
nem uma contradição, ou seja, quando os valores lógicos da proposição composta não forem 
nem todos verdadeiros (tautologia) nem todos falsos (contradição). Como exemplo, vamos 
verificar se a proposição composta (A ▾ B) → (A ▴ B) é uma contingência. 
Para a análise, façamos a tabela-verdade: 
 
Finalizando 
Em síntese, estudamos o que vem a ser a lógica matemática e exploramos bastante o conceito 
de proposição. Estudamos proposições simples e proposições compostas, a partir da utilização 
dos conectivos. 
Na sequência, detalhamos as operações lógicas, envolvendo negação, conjunção, disjunção, 
disjunção exclusiva, proposição condicional e proposição bicondicional. A partir da elaboração 
e análise das tabelas-verdade essas operações foram facilmente compreendidas. 
Por último, estudamos a tautologia, a contradição e a contingência. 
Assista aos vídeos disponibilizados quantas vezes achar necessário para o seu pleno 
entendimento do assunto. 
AULA 2 Medidas de Tendências Central e Medidas de Dispersão 
Nelson Pereira Castanheira 
Plano de Ensino 
A Estatística é a parte da Matemática que coleta, analisa e interpreta dados numéricos para o 
estudo de fenômenos naturais, econômicos e sociais. Após a realização de uma pesquisa, o 
estatístico (o pesquisador) tem em mãos uma série de dados totalmente desordenados. São os 
chamados Dados Brutos que, normalmente, não nos permitem visualizar facilmente o 
resultado da pesquisa. Assim, devemos colocar esses dados em ordem numérica, crescente ou 
decrescente, para termos um rol. Com isso, identificamos com mais facilidade o que temos em 
mãos. Ao obtermos os dados e organizá-los, fazemos medidas de tendência central e medidas 
de dispersão que nos fornecem ferramentas para a tomada de decisões. 
Conversa Inicial 
A Estatística se divide em Estatística Descritiva e Estatística Indutiva. A Descritiva (ou Dedutiva) 
tem o objetivo de descrever e analisar os dados de determinada população ou de uma 
amostra dessa população. Tais dados são obtidos por meio de questionários, entrevistas e 
medições. A Indutiva (ou Inferência Estatística) tem como propósito se preocupar com o 
raciocínio necessário para, a partir dos dados obtidos, tirar conclusões gerais. Assim, a 
estatística Indutiva, a partir de uma amostra, nos permite tirar conclusões sobre a população a 
qual aquela amostra pertence. A isso denominamos Inferência Estatística. Boa leitura! 
Tema 01: Média Aritmética 
Para nos aprofundarmos um pouco mais na análise dos dados obtidos em uma pesquisa, 
precisamos efetuar cálculos de algumas medidas. Inicialmente, estudaremos as chamadas 
medidas de posição, também conhecidas como medidas de tendência central. 
A primeira dessas medidas é a média aritmética ou simplesmente média, que representaremos 
por X com uma barra acima da letra. 
Para o cálculo da média aritmética de n elementos, devemos somar os valores desses 
elementos e dividir o somatório por n. 
Se, por exemplo, queremos calcular a média aritmética de três números, somamos esses três 
números e dividimos o resultado por três. 
Medidas de tendência central 
 A média aritmética 
(simples e ponderada) 
 A mediana 
 A moda 
 Dados agrupados em 
 classes (ou intervalos) 
 Os cálculos 
 A tomada de decisão 
Medidas de dispersão 
 Amplitude 
 Desvio médio 
 Variância 
 Desvio padrão 
 Os cálculos 
 A tomada de decisão 
Medidas de Posição: Média Aritmética 
 Representação: X 
 
Média aritmética 
 De forma geral: 
 
Exercício 1 
 Um aluno tirou as seguintes notas em uma disciplina: 
6,0 – 7,5 – 5,5 – 5,0 
 Qual a média dessas notas? 
 
Exercício 2 
 Calcular a média das idades de um grupo de pessoas, conforme tabela a seguir: 
 
 
Tema 02: Mediana 
Mediana, por definição, é o valor que ocupa a posição central dos dados obtidos em uma 
pesquisa. Lembre que, para se identificar esse ponto central, é necessário colocar os dados em 
ordem crescente ou decrescente, ou seja, no formato de um rol. Vamos representar a 
Mediana por Md. Por exemplo, se tivermos como resultado de uma pesquisa qualquer os 
valores: 
1 – 8 – 6 – 6 – 4 – 3 – 4 – 5 – 3 – 9 – 6 
Vamos colocar esses dados em ordem crescente: 
1 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 – 9 
Temos 11 resultados. Então, a Mediana desses valores é o 5, valor que ocupa a posição central 
do rol. 
Medidas de Posição: Mediana 
 Representação: Md 
 A mediana de um conjunto de dados é o valor que ocupa a posição central desses 
dados 
 Obs.: os dados estão dispostos em um Rol 
Mediana 
 Para se conhecer a Mediana de um conjunto de dados, basta colocá-los em ordem 
numérica crescente ou decrescente e verificar qual o valor que está no meio do Rol 
Exercício 1 
 Calcular a mediana do seguinte conjunto de resultados de uma pesquisa: 
4 – 7 – 3 – 8 – 5 
 Observar que o primeiro passo consiste em colocar os dados na forma de um Rol, ou 
seja, em ordem crescente ou decrescente 
3 – 4 – 5 – 7 – 8 
 A mediana desses resultados é o valor central do Rol, ou seja: 
Md = 5 
 Caso tenhamos um número par de valores no Rol, a Mediana será igual à Média 
Aritmética dos dois valores centrais 
Exercício 2 
 Calcular a mediana do seguinte conjunto de resultados de uma pesquisa: 
4 – 7 – 3 – 8 – 5 – 6 
 Observar de novo que o primeiro passo consiste em colocar os dados na forma de um 
Rol, ou seja, em ordem crescente ou decrescente 
3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 
 Como temos um número par de resultados, a mediana desses resultados é a média 
aritmética dos dois valores centrais do Rol, ou seja: 
 
Tema 03: Moda 
No nosso dia a dia percebemos que algo está na moda porque o vemos com muita frequência. 
Tal qual acontece com o nosso dia a dia, na estatística definimos Moda como sendo aquele 
valor que aparece com a maior frequência no resultado de uma pesquisa. Vamos representar a 
Moda por Mo. 
Medidas de Posição: Moda 
 Representação: Mo 
 Nós definiremos moda como sendo o valor dos resultados de uma pesquisa que 
acontece com a maior frequência absoluta 
Moda 
 Observar que um conjunto poderá ter mais de uma Moda Ele pode ser bimodal, 
trimodal etc. 
Assim como procedemos para a determinação da Mediana, para sabermos qual é a Moda de 
um conjunto de valores, precisamos primeiramente colocá-los em ordem numérica crescente 
ou decrescente. 
Por exemplo, se tivermos como resultado de uma pesquisa qualquer os valores: 
1 – 8 – 6 – 6 – 4 – 3 – 4 – 5 – 3 – 9 – 6 – 9 
Vamos colocar esses dados em ordem crescente: 
1 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 – 9 – 9 
Observamos, com certa facilidade, que o resultado que ocorreu com a maior frequência foi o 
6. Então, Mo = 6. 
Exercício 1 
 Calcular a moda do seguinte conjunto de resultados de uma pesquisa: 
2 – 5 – 3 – 6 – 7 – 4 – 3 – 2 – 3 
 Para melhor visualização, vamos colocar o resultado na forma de um Rol: 
2 – 2 – 3 – 3 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 
 Observamos que o resultado “3” foi o que ocorreu com a maior frequência 
 Então: 
Mo = 3 
Exercício 2 
 Calcular Moda da distribuição de frequências a seguir: 
 
Mo = 7, pois é o valor que aparece com a maior frequência 
Tema 04: Dispersão: Amplitude e Desvio Médio 
Quando se tem os resultados de uma pesquisa e, a partir dos mesmos, determinamosa Média, 
a Mediana e a Moda, nem sempre esses resultados são suficientes para a tomada de uma 
importante decisão. Para complementar essas medidas de tendência central, temos as medidas 
de dispersão, ou de afastamento. Para determinarmos a amplitude total de um conjunto de 
valores, subtraímos o valor menor do valor maior encontrado na pesquisa. Para conhecermos o 
Desvio Médio (Dm) dos valores de uma pesquisa, precisamos primeiramente calcular a Média 
Aritmética desses valores. Em seguida, verificar o quanto cada um dos valores está afastado 
dessa média, positiva ou negativamente. Todos os valores deverão ser considerados, sem 
exceção. 
Medidas de Dispersão 
 As medidas de dispersão ou de afastamento são medidas estatísticas utilizadas para 
verificar o quanto os valores encontrados numa pesquisa estão dispersos ou afastados 
em relação à média ou em relação à mediana 
 Suponhamos duas situações diferentes: 
a) duas pessoas tiraram nota igual a 6,0 
b) duas pessoas tiraram, respectivamente, nota 2,0 e nota 10,0 
 Caso a – as pessoas estão na média 
 Caso b – as pessoas se dispersaram (se afastaram) da média 
Amplitude total (A) 
 Exemplo 
 No conjunto: 4, 6, 8, 9, 12, 17, 20 a amplitude total será: 
A = 20 – 4 = 16 
Distribuição de frequências 
Exemplo de pesquisa de uma tabela onde mostra os resultados acontecendo de forma 
repetitiva, foi realizada uma pesquisa de um grupo de pessoas quanto a idade que essas pessoas 
têm no momento: 
18+21=19,5 
 A amplitude total será: 
a) pelo ponto médio das classes, A = 40,5 – 19,5 = 21 
39+42=40,5 
b) pelos limites das classes, A = 42 – 18 = 24 
Conceitos Importantes 
 Quartil 
 Decil 
 Centil 
Desvio Médio (Dm) 
 
 
 
Exemplo 
 Calcular o desvio médio do seguinte conjunto de números: 
4, 6, 8, 9, 10, 11 
 Primeiro passo: calcular a média 
 
 
Tema 05: Dispersão: Variância e Desvio Padrão 
O nosso objetivo é a determinação do desvio padrão desses dados. Para tal, precisamos 
primeiramente calcular a variância, que representaremos por S elevado ao quadrado. O desvio 
padrão é a medida de dispersão mais utilizada na prática. Nós o representaremos por S. Logo, 
o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância. 
Variância (S2): 
É a média aritmética do quadrado dos desvios 
 
Para a população toda 
 Obs.: no caso de uma amostra, o denominador deverá ser n – 1 
Desvio Padrão (S) 
 É a medida de dispersão mais utilizada na prática, considerando, tal qual o desvio 
médio, os desvios em relação à média. Para o seu cálculo, basta extrairmos a raiz 
quadrada da variância 
 
Exemplo 
 Calcular o desvio padrão do seguinte conjunto de números: 
4, 6, 8, 9, 10, 11 
 Primeiro passo: calcular a média 
 
 
Desvio padrão 
 Segundo passo: calcular a Variância 
 
4²=16 
2²=4 
0²=0 
1²=1 
2²=4 
3²=9 
 34 
Representa 
6 valores 
Terceiro passo: calcular o Desvio Padrão 
 
Na Prática 
Imaginemos que em uma pesquisa obtivemos os seguintes valores, já colocados em ordem 
numérica crescente: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 9 - 10. Observe que temos 
17 valores. Qual a média aritmética, a mediana e a moda desses valores? Para o cálculo da 
média, basta somarmos os 17 valores e dividir o resultado por 17. Assim, teremos que a média 
é igual a 102 dividido por 17, que é igual a 6. A Mediana é o valor que está no meio. Como 
temos 17 valores, o nono valor do rol é o que está no meio, que é o 7. Por último, a moda é o 
valor que aparece com a maior frequência. No caso, o valor 7 que apareceu cinco vezes. 
Resumidamente, média = 6, mediana = 7, moda = 7. Observe que são valores que estão 
no centro dos dados encontrados na pesquisa, razão pela qual essas medidas são 
denominadas Medidas de Tendência Central. 
AULA 3 Probabilidades 
Nelson Pereira Castanheira 
Plano de Ensino 
Agora vamos estudar probabilidades. Talvez você não perceba, mas todos os dias estamos 
envolvidos com esse assunto. Por exemplo, ao acordarmos, podemos querer saber a 
probabilidade de chover, de fazer frio ou de fazer calor, para termos uma ideia de que roupa 
deveremos vestir. Quando alguém deseja ganhar dinheiro apostando em algum jogo de azar, 
como os diversos tipos de loteria, é importante saber qual a probabilidade de ganhar e 
verificar se vale a pena arriscar uma aposta. Quando alguém vai prestar um concurso para 
trabalhar em uma Instituição, precisa saber qual a probabilidade de ser aprovado, e assim por 
diante. Vamos então aos conceitos fundamentais de probabilidades, os teoremas da soma e da 
multiplicação e os principais tipos de distribuição de probabilidades. 
Conversa Inicial 
Probabilidade é o estudo de fenômenos aleatórios. Um fenômeno ou experimento aleatório é 
aquele que pode ser repetido muitas vezes e sempre sob as mesmas condições. Não podemos 
afirmar qual o resultado que será obtido no experimento em cada tentativa. Entretanto, 
sabemos qual a probabilidade de ocorrência de cada resultado possível. Por exemplo, o 
lançamento de uma moeda é um experimento aleatório. Antes de lançá-la, não sabemos qual 
o resultado que será obtido, mas sabemos que ou será cara, ou será coroa. 
Vamos, então, aprender como calcular, matematicamente, a probabilidade de cada resultado 
possível em um experimento. 
Tema 01: Conceitos de Probabilidade 
Os possíveis resultados de determinado experimento constituem o que chamamos de Espaço 
Amostral (S). Assim, o lançamento de uma moeda tem o seguinte espaço amostral: 
S = {cara, coroa} 
Observe que o espaço amostral é um conjunto. Por isso, fizemos a representação anterior. 
Qualquer subconjunto do conjunto S é um Evento. Por exemplo, podemos definir o evento 
A = {deu cara} 
ou o evento 
B = {deu coroa} 
Mas, como se calcula a probabilidade de ocorrência de um evento? 
Definimos a probabilidade de ocorrer um evento como a relação entre o número de casos 
favoráveis desse evento e o número de casos possíveis. Ou seja, no lançamento de uma 
moeda, a probabilidade de ocorrer o evento A = {deu cara} é igual a: 
 
 Probabilidades 
 Distribuição de probabilidades: 
a) binomial 
b) Poisson 
c) normal 
Teoria das Probabilidades 
 Experimento aleatório 
 Espaço amostral Eventos: simples, composto, certo, impossível 
 
 
Valores limites das probabilidades 
 P (A) = 0, quando A = 0 (há certeza de não acontecer) 
 P (A) = 1, quando A = S (há certeza de acontecer) 
 Probabilidade do acontecimento → P (A) 
 Probabilidade do não acontecimento →Q (A) 
Q (A) + P (A) = 1 
 Experimento: joga-se uma moeda honesta 
 Espaço amostral: S = {cara, coroa} 
 Evento: A = {deu cara} 
 
 Agora o evento que consiste em jogarmos, uma única vez, três moedas 
 Sendo K = cara , C = coroa e sendo A = {deu uma única cara}, temos: 
 
 Agora o evento que consiste em jogarmos, uma única vez, um dado honesto. Seja o 
evento: 
 • A = {deu 5} 
 • S = {1, 2, 3, 4 , 5, 6} 
 
 Jogam-se dois dados honestos 
 S = {36 resultados possíveis} 
 • A = {a soma dos dois dados é 6} 
 • A = {(1 , 5), (2 , 4), (3 , 3), (4 , 2), (5 , 1)} 
 
 Um número é sorteado entre os inteiros de 1 até 10. Qual a probabilidade de ele ser o 
4? 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 A = {4} 
 
Eventos mutuamente exclusivos 
 Ocorrendo um deles, o outro não pode ocorrer 
 Exemplo: joguei um dado 
• Sejam os eventos: 
 A = {deu o número 3} 
 B = {deu o número 4} 
 Então, se ocorreu o evento A, não pode ter ocorrido o evento B e vice-versa 
 Os eventos A e B são mutuamenteexclusivos 
Tema 02: Teoremas da Soma e da Multiplicação 
TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO 
Se um experimento A admite, no seu espaço amostral, “a” resultados, e um experimento B 
admite, no seu espaço amostral, “b” resultados, então o número total de resultados dos dois 
experimentos, quando simultâneos, é “a . b”. 
Representa-se essa regra da multiplicação da seguinte forma: 
P (A . B) = P (A) . P (B) 
TEOREMA DA ADIÇÃO 
Antes de aplicarmos a regra da adição, é necessário sabermos se os eventos envolvidos são ou 
não mutuamente exclusivos. Dois eventos são mutuamente exclusivos quando o 
acontecimento de um deles elimina totalmente a probabilidade de ocorrência do outro, 
naquele momento. Quando se trata de “ou”, utilizaremos a regra da adição. A fórmula é: 
P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A . B) 
Teoria das Probabilidades Regra da multiplicação 
1° experimento: “a” resultados 
2° experimento: “b” resultados 
P 1º ∩ 2º = a . b 
 Obs.:  significa interseção e corresponde à multiplicação. Lê-se “e” 
Regra da adição para eventos mutuamente exclusivos 
P ( A U B) = P (A) + P (B) 
 Obs.:  significa união e corresponde à soma. Lê-se “ou” 
 Joguei um dado. Qual a probabilidade de ter dado 4 ou 5? 
P 4 ∪ 5 = P (4) + P(5) 
 
Eventos não mutuamente exclusivos 
 São eventos que podem ocorrer simultaneamente 
• Exemplo: experimento que consiste em retirar uma carta de um baralho comum com 
52 cartas 
 Sejam os eventos: 
• A = {extração de um ás} 
• B = {extração de uma carta de ouros} 
• Observe que, ao ocorrer A, poderá ter ocorrido B 
Regra da adição para eventos não mutuamente exclusivos 
P ( A U B) = P (A) + P(B) – P ( A  B) 
 Retirei uma carta de um baralho honesto. Qual a probabilidade dessa carta ser um ás 
ou uma carta de ouros? 
 
Tema 03: Distribuição Binomial de Probabilidades 
A distribuição de probabilidades é um modelo matemático para a distribuição real de 
frequências de uma pesquisa, na qual a variável x é uma variável aleatória. A distribuição 
binomial é utilizada quando a variável aleatória é discreta. Pode ser aplicada quando o 
processo de amostragem é do tipo de Bernoulli. O que é isso? É um processo de amostragem 
no qual: 
a. Cada tentativa do experimento só resulta em dois possíveis resultados: sucesso ( 
b. e fracasso (q); p + q = 1; 
c. Cada tentativa é independente das demais; 
d. A probabilidade de sucesso (p) é constante, ou seja, é sempre a mesma em todas as 
tentativas. 
 Recordando fatorial 
3! = 3 . 2 . 1 = 6 
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
0! = 1 (por definição) 
 Recordando combinação 
 
 
 Uma distribuição de probabilidades é um modelo matemático para a distribuição real 
de frequências 
 Tratando-se de distribuição de probabilidade, a variável X é dita variável aleatória 
 A distribuição binomial é uma distribuição discreta, de probabilidade aplicável, sempre 
que o processo de amostragem é do tipo de Bernoulli, ou seja: 
a) em cada tentativa existem dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos, 
denominados sucesso e fracasso 
 b) as séries de tentativas ou observações são eventos independentes 
 c) a probabilidade de sucesso, indicada por “p”, permanece constante de tentativa para 
tentativa (processo estacionário) 
Distribuição Binomial 
 
 Importante: 
• p = probabilidade de sucesso 
• q = probabilidade de fracasso p + q = 1 
 Experimento: jogar um dado 5 vezes 
• P (três 6 em cinco lances) = ? 
 p = 1/6 ; q = 5/6 
 N = 5 (no de tentativas) 
 X = 3 (no de sucessos) 
 
Tema 04: Distribuição de Poisson 
A distribuição de Poisson é utilizada quando a variável aleatória é discreta e expressa a 
probabilidade de ocorrência de uma série de eventos em determinado tempo, sendo que cada 
evento ocorre independentemente de quando ocorreu o último evento. Para sua utilização, 
precisamos conhecer o número médio de sucessos relativo à variável de interesse. Observe 
que, enquanto na Distribuição Binomial o experimento está totalmente sob controle, o mesmo 
não acontece na aplicação da Distribuição de Poisson. 
 A distribuição de Poisson é usada quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou espaço. Os 
eventos são independentes e o processo é estacionário 
 
 Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de 5 chamadas por hora. Qual a 
probabilidade de que em uma hora, selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente 3 
chamadas? 
 
Parâmetros da distribuição de Poisson 
 Média:  = N . p 
 Variância: S2 = N . p . q 
 Desvio padrão: S = s² 
Tema 05: Distribuição Normal 
A distribuição Normal de probabilidades é utilizada quando a variável aleatória é contínua, 
representada por uma curva que é conhecida por vários nomes: curva Normal, curva em forma 
de sino ou curva de Gauss. É uma curva simétrica em relação à média e é uma curva 
mesocúrtica. A Distribuição Normal é então utilizada quando desejamos calcular a 
probabilidade de ocorrência de um evento dentro de um intervalo pré-definido de valores. 
 A distribuição normal é contínua e simétrica em relação à média. A curva que 
representa a distribuição normal é mesocúrtica e frequentemente descrita como curva 
em forma de sino, sendo também conhecida como Curva de Gauss 
Distribuição Normal 
 Uma variável aleatória discreta e contínua pode assumir qualquer valor fracionário 
dentro de um intervalo definido de valores 
Curva da Distribuição Normal de Probabilidades 
 
 Qualquer conjunto de valores X normalmente distribuídos pode ser convertido em 
valores normais padronizados z pelo uso da fórmula: 
 
 
Distribuição normal 
 A vida média de um tipo de lâmpada segue uma distribuição normal, com média  = 
2000 horas e desvio padrão S = 200 horas. Qual a probabilidade de uma lâmpada 
escolhida ao acaso durar entre 2000 e 2400 horas? 
 
O que isso significa? 
 • Significa que a área limitada pela curva e pelo eixo horizontal X, para valores de z 
variando de 0 até +2, corresponde a 47,72% da área total sob a curva 
Na Prática 
Um lote de 30 passagens é formado por 20 passagens para Belém, 8 para Manaus e 2 para 
Natal. Seleciona-se uma passagem ao acaso. Calcule a probabilidade de que: 
a. A passagem seja para Manaus. 
b. A passagem não seja para Belém. 
c. A passagem seja para Belém ou Natal. 
Solução: 
a. 8/30 = 0,2667 ou 26,67% 
b. 10/30 = 0,3333 ou 33,33% 
c. (20 + 2)/30 = 0,7333 ou 73,33% 
Finalizando 
Em síntese, estudamos o que há de mais importante na Teoria das Probabilidades, iniciando 
com os conceitos básicos. Detalhamos, com exemplos, a utilização do teorema da 
multiplicação e do teorema da soma. Identificamos quando dois eventos são ou não 
mutuamente exclusivos, para a correta aplicação do teorema da soma. Após esses estudos, 
analisamos o que são distribuições de probabilidades e quando utilizar cada um dos três 
principais tipos de distribuição: a Binomial, a de Poisson e a Normal. Não deixe de resolver os 
exercícios propostos, pois isso é importante para a fixação dos conteúdos ensinados. 
AULA 4 Métodos Quantitativos 
Nelson Pereira Castanheira 
 
Plano de Ensino 
Os métodos quantitativos são caracterizados pelo emprego da quantificação tanto nas 
modalidades de coleta de informações, quanto no tratamento delas por meio de técnicas 
estatísticas: percentual, média, desvio-padrão, coeficiente de correlação, análise de regressão, 
dentre outras. Um dos maiores problemas para o pesquisador de fenômenos sociais ou físicos 
é o estabelecimento de um modelo matemático que descreva e explique os fenômenos que 
ocorrem na vida real, com boa aproximação. Na maioriadas vezes, estamos estudando duas 
variáveis aleatórias, uma independente e outra dependente, na tentativa de saber se existe 
entre elas uma relação. Entretanto, algumas vezes mais de duas variáveis aleatórias estão 
envolvidas no mesmo problema e estamos interessados em saber como elas estão inter-
relacionadas. Ao grau de relacionamento existente entre essas duas variáveis denominamos 
CORRELAÇÃO. 
Conversa Inicial 
Agora estudaremos correlação e regressão, assuntos de métodos quantitativos que nos 
permitem analisar se entre duas ou mais variáveis existe alguma correlação. Caso exista, se 
essa correção é linear ou não-linear. Estudaremos a correlação linear e aprenderemos a 
desenvolver a equação que melhor representa a relação existente, ou seja, aprenderemos a 
obter a equação da reta de regressão. A partir de então, com a utilização dessa equação, 
poderemos rapidamente tomar decisões. Boa leitura! 
Tema 01: Correlação e regressão 
CORRELAÇÃO 
Seja y uma variável que nos interessa estudar (a variável dependente) e cujo comportamento 
futuro desejamos prever. É fácil identificarmos uma série de variáveis independentes x (x1, x2, 
x3, ..., xn) que influenciam o comportamento de y, a variável dependente do modelo. A 
correlação pode ser classificada de acordo com o número de variáveis envolvidas e segundo a 
complexidade das funções ajustantes, ou seja, pode ser simples ou múltipla. A Regressão é o 
método de análise da relação existente entre duas variáveis: uma dependente e uma 
independente. Primeiramente, podemos afirmar que a regressão serve para realizarmos 
previsões do comportamento futuro de algum fenômeno de nosso interesse, baseando-nos 
em dados históricos sobre o mesmo. 
Em segundo lugar, pesquisadores interessados em simular os efeitos sobre uma variável Y, em 
decorrência de alterações introduzidas nos valores de uma variável X, também usam este 
modelo. 
Correlação 
É o grau de relacionamento existente entre duas variáveis. Pode ser: 
• simples (uma única variável independente) 
• múltipla (mais de uma variável independente) 
• linear – quando o ajustamento é feito por uma função do primeiro grau 
• não linear – quando o ajustamento é feito por uma função de grau maior que um 
Regressão 
É o método de análise da relação existente entre duas variáveis: uma dependente e uma 
independente 
Regressão Linear Simples 
• Linear porque vamos lidar com uma função do 1º grau (uma reta) 
• Simples porque trata-se de um modelo aplicado a dados cuja dispersão é constante e em que 
temos apenas uma variável independente 
Tema 02: Diagrama de Dispersão 
Como se chega à relação entre duas variáveis x e y através da análise de regressão? A 
investigação começa com uma tentativa de descobrir a forma aproximada dessa relação, 
representando graficamente os dados como pontos no plano (x , y). Tal gráfico é chamado de 
diagrama de dispersão. Através da análise, inicialmente visual, deste diagrama, pode-se 
imediatamente constatar se existe alguma relação entre as variáveis envolvidas e, em caso 
positivo, se a relação pode ser tratada como aproximadamente linear. Verifique, nesse 
diagrama de dispersão, que há uma tendência para os pequenos valores de x se associarem 
aos pequenos valores de y, e os grandes valores de x se associarem aos grandes valores de y. 
Além disso, grosseiramente falando, a tendência geral da dispersão é a de uma linha reta. 
Reta de Regressão 
 
Há uma relação linear entre essas grandezas (salário e pizzas)? 
 
y = variável dependente (as pizzas) 
x = variável independente (a renda) 
y = M . x + B (função linear) 
M e B são os parâmetros da função 
Tema 03: Reta de Regressão 
A análise de regressão é um método estatístico que permite estudar conjuntamente o efeito 
de diversos fatores, medido através de variáveis chamadas de explicativas, sobre um 
determinado fenômeno, medido através de outra variável, denominada de variável explicada. 
Sua utilização é muito frequente em estudos nas mais diversas áreas, tais como: 
Administração, Economia, Engenharia, Sociologia, Biologia, Medicina, entre outras. Para que a 
regressão possa ser útil, é necessário saber construir um modelo, estimar seus parâmetros a 
partir dos dados relativos às variáveis e interpretar os resultados. 
O objetivo da análise de regressão simples é aproximar, por uma linha reta, um conjunto de 
pontos, determinando uma reta que passe perto da maioria deles. Este tipo de reta é chamado 
de reta de regressão. 
 
 
 
 
 
 
Tema 04: Equação da reta de regressão 
Qualquer reta fica definida por dois valores: o coeficiente angular e o intercepto y. 
Representaremos o coeficiente angular por M e o intercepto y por B. A equação da reta pode 
ser escrita como: 
y = M . x + B 
M é o coeficiente angular da reta, ou seja, M é a tangente do ângulo que a reta forma com o 
eixo horizontal. B é o coeficiente linear da reta, ou seja, B é o ponto onde a reta cruza o eixo 
vertical. Para a determinação de M e de B temos fórmulas que nos permitem chegar à equação 
da reta de regressão. Uma vez obtida a equação da reta de regressão, podemos rapidamente 
tomar uma decisão, pois se conhecemos a variável x, podemos calcular a variável y e vice-
versa. 
Correlação e Regressão Linear Múltipla 
•Há fenômenos que só são razoavelmente bem explicados por mais de uma variável 
independente. Nesse caso, a regressão e a correlação são múltiplas 
 
 
 
Tema 05: Coeficiente de Correlação de Pearson 
Para avaliar o grau de correlação linear entre duas variáveis, ou seja, medir o grau de 
ajustamento dos valores em torno de uma reta, usaremos o coeficiente introduzido por Karl 
Pearson, ao qual chamaremos de r. Pode-se demonstrar que o valor do coeficiente de 
correlação r sempre deverá estar entre □ 1 e + 1. Geralmente multiplicamos o valor 
encontrado por 100%, dando a resposta em porcentagem. 
Observar que a correlação será tanto mais forte quanto mais próximo estiver o resultado de 1 
e será tanto mais fraca quanto mais próximo estiver do zero. 
Entretanto, quando r = 0 não significa dizer que entre x e y não existe qualquer relação, mas 
que não existe entre essas variáveis uma relação linear. 
O coeficiente de correlação r, portanto, mede a intensidade da relação linear entre as variáveis 
x e y, o que não implica que uma delas tenha efeito direto ou indireto sobre a outra variável. 
 
Coeficiente de Correlação de Pearson 
 
 
 
 
 
 
Na Prática 
1) Suponha que para a determinação da reta de regressão que representa a relação existente 
entre a renda per capita de algumas localidades brasileiras e a aquisição de automóveis zero 
quilômetro pelos habitantes dessas localidades em determinado ano, obteve-se a equação y = 
0,224.x – 3128. Considerando-se essa equação, qual a provável renda per capita da população 
da localidade em que, nesse ano, comprou 7400 automóveis zero quilômetro? Como a 
aquisição dos automóveis depende dos compradores terem renda, a renda é a variável x. 
Então, 7400 = 0,224.x – 3128 x = 47.000 Reais 
Finalizando 
Estudamos uma importante parte da estatística conhecida como Métodos Quantitativos. 
Primeiramente, definimos o que se entende por Correlação e por Regressão, classificando-as 
como simples ou múltipla e como linear ou não linear. Na sequência, verificamos como se 
constrói um diagrama de dispersão, para diagnosticar se a relação entre a variável dependente 
e a variável independente é linear. Sendo linear, aprendemos a construir a equação da reta de 
regressão que melhor representa a correlação entre essas variáveis. Depois, aprendemos a 
calcular e a analisar o coeficiente de correlação de Pearson.Finalmente, estudamos a 
correlação e regressão linear múltipla. Não deixe de resolver os exercícios propostos, pois isso 
é importante para a fixação dos conteúdos ensinados. 
 
AULA 5 Regime de Capitalização 
Nelson Pereira Castanheira 
Plano de Ensino 
O mercado financeiro trabalha ora com o regime de capitalização simples, ora com o regime 
de capitalização composta. O que diferencia um regime do outro é o tipo de juro utilizado: juro 
simples ou juro composto, respectivamente. Por que utilizar juros? 
Porque há importantes fatores a considerar: 
a. Risco, pois há probabilidade do tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro; 
b. Despesas de ordem operacional, contratual e tributária para formalização do 
empréstimo e para a efetivação da cobrança; 
c. Inflação, ou seja, a desvalorização da moeda durante o prazo previsto para o 
empréstimo; 
d. Necessidade de se remunerar o dono do capital, pois o mesmo almeja lucro. 
Conversa Inicial 
Você está iniciando o estudo do Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Nesse primeiro 
momento, estudará os regimes de capitalização, para entender como o dinheiro se comporta 
no mercado ao longo do tempo. Aprenderá a calcular os juros simples e compostos. Verá como 
calcular o desconto quando uma dívida é quitada antes do tempo de vencimento da mesma. 
Aprenderá a diferença entre taxa nominal e taxa efetiva, bem como a diferença entre taxa real 
e taxa aparente. É um assunto muito prazeroso porque você poderá associá-lo ao seu dia a dia. 
Boa leitura! 
Tema 01: Capitalização Simples 
O regime de capitalização é que determina a forma de se acumular os juros. Caso os juros 
incidam somente sobre o capital inicial, trata-se de juros simples. Caso os juros incidam sobre 
o capital mais os juros acumulados anteriormente, trata-se de juros compostos. 
Capitalização, portanto, nada mais é que a incorporação dos juros ao capital. 
Quando o regime é de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor do 
capital inicial (valor presente). O regime de capitalização simples representa uma equação 
aritmética; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período 
total. 
Os juros (J) produzidos por um capital (C) são constantes e proporcionais ao capital aplicado, 
na razão da taxa de juros (i). 
O Que é Capitalização? 
Capitalizar é somar juros ao capital que o produziu 
A capitalização pode ser: 
• simples 
• composta 
Tipos de Capitalização 
A capitalização é simples quando for utilizada a taxa de juros simples 
A capitalização é composta quando for utilizada a taxa de juros compostos 
Taxas de Juros 
Mas, afinal, o que são as taxas de juros? 
Como se calculam juros? 
Capitalização Simples 
Juro simples: é aquele calculado aplicando uma taxa sempre sobre o capital inicial 
J = C . i . n 
Em que: 
J = juro 
C = capital 
i = taxa de juro 
n = período, tempo ou prazo 
Taxa de Juro Simples (i) 
Taxas Equivalentes 
• Exemplos: 
i = 3% a. m. = 36% a. a. 
i = 12% a. t. = 4% a. m. 
i = 5% a. b. = 15% a. s. 
i = 6% a. m. = 0,2% a. d. 
Montante (M) 
M = C + J 
Então: 
M = C + C . i . n 
M = C (1 + i . n) 
Tema 02: Capitalização Composta 
Capitalização composta significa que os juros produzidos num período serão acrescidos ao 
valor do capital que os produziu, passando os dois, capital e juros, a render juros no período 
seguinte. 
A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial. É também chamada de 
juros sobre juros, considerando-se que a base de cálculo dos juros é o valor capitalizado até o 
período imediatamente anterior. Ao intervalo, após o qual os juros serão acrescidos ao capital 
aplicado, denominamos de período de capitalização. 
Em economia inflacionária recomenda-se sempre o uso de capitalização composta, pois a 
aplicação de capitalização simples produz distorções até no curtíssimo prazo. 
Juros Compostos são os rendimentos produzidos por um capital em determinado tempo, 
calculados sobre o capital mais os juros acumulados anteriormente (juros sobre juros). Em 
capitalização composta, os juros aumentam a cada período de capitalização. 
Capitalização Composta 
Juro composto: o juro produzido num período será acrescido ao valor do capital que o 
produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte 
M = C + J 
M = C . (1 + i)n 
Para o cálculo dos juros, vamos igualar: 
C + J = C . (1 + i)n 
Então: 
J = C . (1 + i)n  C 
J = C . [(1 + i)n  1] 
Crescimento de Uma Dívida 
 
Taxas Equivalentes 
 
Para determinar a taxa equivalente, em capitalização composta, utiliza-se a fórmula: 
iq = (1+it)q/t – 1 
Exemplo 
Calcule a taxa anual equivalente, pelo critério de juro composto, a 1,2% ao mês. 
• Dados do problema: 
i t = 1,2% = 0,012 a. m. 
t = 1 mês 
q = 1 ano = 12 meses 
iq = (1 + it) q/t – 1 
iq = (1 + 0,012)12/1 – 1 
iq = 1,01212 – 1 
iq = 0,153895 a. a. 
Ou seja: 
iq = 15,3895% ao ano 
Tema 03: Período Fracionário 
Mesmo quando efetuamos cálculos através de juros compostos, podemos ter um número de 
períodos de capitalização não-inteiros. Podemos ter, por exemplo, um valor aplicado durante 3 
meses e 15 dias e a capitalização ser mensal; nesse caso, temos um período fracionário. 
Estamos falando de capitalizações descontínuas. Para o cálculo dos juros, separamos a parte 
inteira da parte fracionária. Para a parte inteira, fazemos o cálculo normalmente. Para a parte 
fracionária, podemos adotar duas convenções: a linear ou a exponencial. 
- Linear (mista). Procede-se em duas etapas: 
a. Calcula-se o montante a juros compostos, referente à parte inteira de períodos; 
b. Para a fração não-inteira de tempo, admite-se a formação linear de juros, ou seja, o 
montante obtido na primeira etapa passa a gerar juros simples na fração não-inteira. 
- Exponencial 
É aquela em que os juros do período não-inteiro (n1) são calculados utilizando-se juros 
compostos. 
Período Fracionário 
O Período Fracionário corresponde a uma capitalização descontínua. Há um período inteiro e 
um período fracionário, sobre os quais devemos calcular juros 
• Como exemplo, suponha que temos uma conta vencida há 3 meses e 22 dias, e que o juro de 
mora é de 2% ao mês. Temos como período 3 meses inteiros e mais 22 dias, o que representa 
uma fração do mês 
 Convenção linear: aplicamos juro simples na parte fracionária do tempo 
 Convenção exponencial: aplicamos juro composto na parte fracionária do tempo 
também 
Convenção Linear 
O cálculo deve ser feito em duas etapas: 
1) para a parte inteira do tempo (n), calcula-se o montante a juro composto; 
2) para a fração não inteira de tempo (n) admite-se a formação linear de juros, ou seja, calcula- 
-se o montante a juro simples 
 
 
Convenção Exponencial 
O cálculo do juro num período fracionário, adotando a convenção exponencial, tem em conta 
o juro composto o tempo todo, ou seja, tanto na parte inteira do tempo (n) quanto na parte 
não inteira 
 
Tema 04: Taxas 
TAXA NOMINAL 
Temos uma taxa nominal quando o prazo de formação e incorporação dos juros ao capital 
inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere. 
TAXA EFETIVA 
Temos uma taxa efetiva quando o prazo de formação e incorporação dos juros ao capital inicial 
coincide com aquele a que a taxa se refere. 
É a taxa que efetivamente é paga no período em que foi fornecida, independentemente do 
período de capitalização. Isto quer dizer que, se um capital foi aplicado durante certo tempo à 
determinada taxa, não importa o período de capitalização, pois o resultado final (o montante) 
seráo mesmo. 
TAXA REAL E TAXA APARENTE 
Assim, definimos taxa aparente como a taxa que se utiliza sem levar em conta a inflação do 
período e definimos taxa real como a taxa que se utiliza levando-se em consideração os efeitos 
inflacionários do período. 
 
 O prazo de formação do juro e sua incorporação ao capital que o produziu costumam 
ser de periodicidade menor. Por exemplo, é informada uma taxa anual, porém, a 
periodicidade de cálculo do juro é mensal 
Taxa Efetiva 
 Temos uma taxa efetiva quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi 
informada coincide com aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o 
produziu. Por exemplo, foi informada uma taxa mensal e o prazo de formação do juro 
é mensal 
Taxa Aparente x Taxa Real 
 A relação existente entre as taxas aparente e real é dada através de: 
 A Taxa Aparente é aquela que não leva em conta a inflação do período a que a taxa 
corresponde 
 A Taxa Real considera a inflação do período 
 Logo, a Taxa Real é sempre menor do que a Taxa Aparente 
Exemplo 1 
• Um trabalhador teve um aumento salarial de 10% relativo a um período em que a inflação 
foi de 6%. Qual o aumento real de salário desse trabalhador? 
 
Exemplo 2 
• Uma pessoa emprestou R$ 3.000,00 e pagou, ao final do período, R$ 3.300,00. Essa pessoa 
pagou, no ato do empréstimo, despesas no valor de R$ 30,00. Determine as taxas nominal, 
efetiva e real dessa operação, sabendo que a inflação no período foi de 2%. 
 
 
Tema 05: Descontos 
Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate 
antecipado. Representa, portanto, os juros cobrados e descontados antecipadamente pelos 
bancos nas operações de desconto simples. 
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao 
credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. 
Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, pode ser antecipadamente 
resgatado, obtendo-se com isso um abatimento denominado desconto. 
Desconto comercial: é a modalidade utilizada pelos bancos para o cálculo de remunerações 
do capital; representa os juros simples calculados sobre o valor nominal do título de crédito 
(por fora). 
Desconto racional: é a modalidade de desconto simples calculado sobre o valor atual do título, 
numa taxa fixada e durante o tempo correspondente, da mesma maneira como são calculados 
os juros simples. 
Na Prática 
1) Um investidor deseja depositar uma determinada importância num banco de investimentos 
para ter o direito de retirar R$ 10.000,00 no prazo de três meses e mais R$ 10.000,00 no prazo 
de seis meses. Sabendo-se que esse banco remunera seus depósitos com uma taxa de 1,2% ao 
mês, juros simples, determine o valor que deve ser depositado por esse investidor, para lhe 
garantir as retiradas desejadas e a rentabilidade prometida pelo banco. 
Os 10.000 que serão retirados daqui a seis meses, valem, três meses antes: 
M = C (1 + i . n) 
10000 = C (1 + 0,012 . 3) 
C = 10000 / 1,036 
C = 9.652,51 
Esse dinheiro, somado aos 10.000 que serão retirados daqui a três meses, valem hoje: 
M = C (1 + i . n) 
Finalizando 
A utilização dos juros simples e dos juros compostos acontece diariamente no mundo 
financeiro. É importante observar que, para períodos fracionários, os juros simples são 
maiores que os juros compostos. Quando você paga uma dívida antecipadamente, recebe 
desconto. Caso a dívida tenha sido contraída com juro simples, receberá o desconto simples. 
Caso a dívida tenha sido contraída com juro composto, receberá o desconto composto. Não 
deixe de resolver os exercícios propostos, pois são importantes para a fixação dos conteúdos 
ensinados. 
 
AULA 6 Rendas, Taxa Interna de Retorno (TIR) e Valor 
Presente Líquido (VPL). 
Nelson Pereira Castanheira 
 
Plano de Ensino 
É muito comum fazermos um financiamento em prestações, sejam elas mensais ou não. 
Teremos, então, uma sucessão de pagamentos a realizar. Do outro lado do balcão, há uma 
sucessão de recebimentos. A essa sucessão de pagamentos ou recebimentos denominamos 
Renda. 
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é uma taxa de desconto hipotética que, quando aplicada a um 
fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, sejam iguais 
aos valores dos retornos dos investimentos, também trazidos ao valor presente. 
O Valor Presente Líquido (VPL), também conhecido como Valor Atual Líquido (VAL), é a 
fórmula matemático-financeira utilizada para determinar o valor presente de pagamentos 
futuros descontados a uma taxa de juros estipulada, menos o custo do investimento inicial. 
Basicamente, o VPL é utilizado para se analisar se um investimento deve ou não ser feito. 
 
Conversa Inicial 
Agora você já domina os regimes de capitalização, simples e composto. O próximo passo é o 
estudo de transações financeiras cujo pagamento é realizado em parcelas, ou seja, vamos 
estudar Rendas. Na sequência, vamos estudar a Taxa Interna de Retorno - TIR de um 
investimento, para sabermos se ele é viável ou não. Depois, vamos aprender a calcular o Valor 
Presente Líquido - VPL de um investimento, para decidirmos se devemos ou não fazê-lo. São 
ferramentas para a tomada de decisão que poderão auxiliá-lo no dia a dia. Boa leitura! 
Tema 01: Rendas 
Assim, a definição completa de Renda é: uma sucessão de pagamentos, recebimentos ou de 
depósitos. Ela tem características próprias quanto ao prazo, quanto ao valor, quanto à 
periodicidade e quanto à forma de pagamento. 
E quando a Renda se denomina Modelo Básico? 
É quanto, simultaneamente, a renda é temporária (ou seja, sabemos quantas são as parcelas), 
constante (as parcelas são todas iguais), periódica (o intervalo entre as parcelas é sempre o 
mesmo), imediata (não tem carência) e postecipada (não tem entrada). 
Rendas ou Séries Uniformes 
 Por renda entende-se uma sucessão de pagamentos, ou recebimentos ou depósitos 
 Uma sucessão de pagamentos ou recebimentos ou depósitos pode se destinar à 
Amortização de uma dívida ou a um Investimento 
 
 
 
 Quanto à periodicidade 
a) Periódicas 
b) Não periódicas 
Tema 02: Modelo Básico de Renda 
Entendemos por modelo básico de renda a série uniforme de pagamentos ou de recebimentos 
que for, simultaneamente, temporária, constante, imediata postecipada e periódica. 
Na amortização de uma dívida que segue esse modelo básico, os juros crescem em progressão 
geométrica. 
Para determinarmos o valor atual (ou valor presente) de uma sucessão de pagamentos ou 
recebimentos, somamos o valor atual do desconto racional composto de cada parcela da 
renda, ou seja, calculamos o valor atual de cada parcela da série de pagamentos ou 
recebimentos pelo desconto racional composto e, em seguida, somamos os valores assim 
encontrados. 
Veja no seu livro a fórmula do Modelo Básico de Renda. 
Modelo Básico de Renda 
 É uma renda que, simultaneamente, é temporária, constante, imediata postecipada e 
periódica 
 Portanto, não há carência e não há entrada 
 
Tema 03: Renda antecipada 
A renda é antecipada em relação ao valor atual quando a primeira parcela ocorre na data zero, 
ou seja, é dada uma entrada de mesmo valor que as demais parcelas. 
Para o cálculo do valor atual de rendas antecipadas, utiliza-se o mesmo conceito de rendas 
postecipadas. No entanto, como os pagamentos ou recebimentos ocorrem com a antecipação 
de um período, multiplica-se a fórmula original (a do modelo básico de renda) por (1 + i). 
Rendas diferidas são aquelas em que existe um prazo de carência. Também podem ser 
postecipadas ou antecipadas. 
Rendas diferidas antecipadas em relação a um valoratual são aquelas em que a primeira 
parcela vence juntamente com a carência, enquanto rendas postecipadas são aquelas em que 
a primeira parcela vence um período após a carência 
Quando estamos efetuando cálculos sobre rendas diferidas, utilizamos as fórmulas do modelo 
básico de renda (ou de renda antecipada) e as fórmulas de capitalização composta. 
Renda Diferida 
 O que é isso? 
 É uma renda em que é dado um prazo de carência 
 Você já deve ter visto aquela propaganda no mês de agosto que diz “compre agora e 
comece a pagar com o seu 13º” 
 
 
Tema 04: Taxa Interna de Retorno - TIR 
Taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é a taxa de juros compostos (taxa de desconto) 
que anula o seu valor presente (valor atual), sendo necessário observar o valor algébrico das 
suas parcelas dentro do seguinte critério: 
a. Os recebimentos (ou depósitos) terão sinal positivo, por representarem entradas de 
caixa; 
b. Os pagamentos terão sinal negativo, por representarem saídas de caixa. 
Caso você não tenha em mãos uma calculadora financeira, a TIR é obtida pelo processo de 
tentativas, isto é, arbitramos uma taxa de juros e calculamos o valor atual do fluxo de caixa 
para essa taxa. Se o valor atual for nulo, então a taxa utilizada para o desconto é a TIR; caso 
contrário, devemos arbitrar nova taxa de juros e repetir o processo até encontrar uma taxa 
que satisfaça essa condição. A determinação exata da TIR é, portanto, bastante trabalhosa e, 
por isso, adotamos com frequência um valor aproximado que é obtido por interpolação linear. 
Taxa Interna de Retorno 
 Popularmente, essa taxa é conhecida como TIR 
 O que é isso? 
É a taxa de juros compostos que anula o seu valor atual 
Para o cálculo da TIR, deve-se ter em mãos uma calculadora financeira, pois seu 
cálculo sem a mesma, além de demorado, nos fornece um valor aproximado da taxa 
 Suponhamos um financiamento de R$10.000,00 que será pago em 3 parcelas mensais 
e consecutivas de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 4.000,00 
 Qual o custo efetivo do financiamento? 
 
Tema 05: Valor Presente Líquido - VPL 
Em determinados momentos, uma empresa está na dúvida se deve investir ou não em 
determinado negócio, em determinada máquina, enfim, em determinado projeto. 
Nesse caso, é necessário conhecer, ou estimar, a rentabilidade desse negócio, período a 
período, para determinar o Valor Presente Líquido (VPL) e, em consequência, tomar a decisão 
mais acertada. 
O VPL, portanto, é uma ferramenta para a tomada de decisão. Consiste em se trazer para o dia 
zero (valor atual) cada valor futuro de uma série de pagamentos, recebimentos ou depósitos. 
Do somatório desses valores atuais, deduz-se o valor do investimento a ser feito e obtém-se o 
chamado VPL. Quando o VPL for nulo ou positivo, o negócio deve ser feito, pois significa que 
teremos um rendimento igual ou superior à Taxa Mínima de Atratividade. Caso contrário, o 
negócio deve ser rejeitado. 
Valor Presente Líquido 
 Popularmente conhecido como VPL 
 O que é isso? 
É uma ferramenta para a tomada de decisão: deve-se ou não fazer determinado 
investimento? 
 Para o cálculo do VPL, deve-se trazer ao diz zero cada valor futuro: 
 A seguir soma-se todos esses valores futuros e desse resultado subtrai-se o valor do 
capital inicial 
 VPL = Valor Presente Líquido 
 Consiste em calcular o Valor Presente de uma série de pagamentos, de recebimentos 
ou de depósitos, a uma determinada taxa de juros conhecida 
 Do Valor Presente deduz-se o valor inicial do fluxo de caixa (no ponto zero) e assim 
obtém-se o VPL 
 Logo: 
 
Exemplo 
 Uma empresa de radiotáxi está analisando a possibilidade de adquirir, para a sua 
frota, veículos no valor unitário de R$ 40.000,00 
 Sabendo que as receitas líquidas estimadas, em 5 anos, são de R$ 18.000,00, R$ 
18.500,00, R$ 19.200,00, R$ 20.000,00 e R$ 21.200,00, respectivamente 
 Ao final do 5º ano, o valor residual de cada veículo é de R$ 10.000,00. Verifique se 
a empresa deve ou não investir nesses veículos, para uma taxa de retorno de 18% 
ao ano 
 
 VPL = + 24.179,95 (como é positivo, isso significa que a taxa efetiva de retorno é 
superior aos 18% esperados. Logo, é um bom negócio) 
 Se o resultado dessa subtração for nulo ou positivo, deve-se investir o capital inicial. 
Caso contrário, não é aconselhável o investimento 
 
Na Prática 
1) Um automóvel é anunciado em 36 prestações mensais iguais de R$ 1.499,00, sendo que o 
primeiro pagamento ocorrerá no ato da compra. Determine o preço à vista desse automóvel, 
sabendo que a loja cobra 1,99% ao mês de taxa de juros. 
 
f REG 
g BEG 
36 n 
1499 CHS PMT 
1.99 i 
PV (39.030,76) 
2) Uma loja anuncia a venda de um aspirador de pó em 10 prestações mensais de R$ 199,00, 
com carência de 3 meses. Qual será o preço à vista do eletrodoméstico, se a taxa de juros for 
de 2,98% ao mês, e se a compra for efetuada sem entrada? 
f REG 
g END 
f 2 
199 CHS PMT 
10 n 
2.98 i 
PV (1.699,24) 
CHS FV 
0 PMT 
3 n 
PV (1.555,96) 
Finalizando 
Ao estudarmos a capitalização simples e a composta, supusemos pagamentos que seriam 
efetuados em parcela única, após determinado tempo. Mas, no dia a dia, seja para um 
empréstimo, seja para uma compra, costumamos devolver o dinheiro em parcelas periódicas, 
na maioria das vezes mensais. Por isso, é importante o estudo das Rendas. Para o cálculo de 
uma prestação, bem como para o cálculo da TIR, é muito importante que você tenha em mãos 
uma calculadora financeira, pois os cálculos são trabalhosos e a possibilidade de cometermos 
erros é grande. Não deixe de resolver os exercícios propostos, pois são importantes para a 
fixação dos conteúdos ensinados.