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Cálculo Numérico - Aula 03

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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 3 – Solução de equações transcendentes e polinomiais
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Métodos numéricos para resolução de equações:
Método do intervalo (bissecção);
Método da falsa posição.
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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
 Métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0;
 Resolver a equação f(x) = 0 consiste em determinar a solução  (ou soluções) c tal que f( c ) = 0;
 Métodos iterativos são desenvolvidos para determinar aproximadamente essa solução real  c;
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
RAÍZES REAIS- GRÁFICO
As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo, ou seja, a interseção do gráfico com o eixo x.
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO ITERATIVO NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
Dada a função contínua, f(x) num intervalo I determinar uma raiz α ∈ I da equação f(x)=0 com precisão escolhida. A partir de um valor inicial ou de um intervalo, iterações sucessivas são realizadas até que a diferença entre duas “candidatas” a raiz tenha diferença menor que a precisão determinada. 
 Equação f(x) = 0
 Valor inicial xo e tolerância e;
 Fórmula de recorrência que gera x1, x2,..xk;
 Critério de parada (xi+1- xi  e);
 f(xk)  0.
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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
TEOREMA DE BOLZANO
Considere um intervalo (a,b) do domínio da função f(x). 
 Se f(a).f(b) > 0, existe um número par de raízes reais no intervalo (a,b);
 Se f(a).f(b) < 0, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (a,b).
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DA BISSECÇÃO
O Método da Bisseção determina uma raiz x de uma função f(x) num intervalo [xa,xb]  R onde f(xa)*f(xb)<0. A ideia é diminuir o intervalo através de repetidas divisões ao meio do intervalo [xa,xb] , de tal forma que o valor de xa tenda ao valor de xb, ou seja, que a raiz c  xa  xb e que f(c) seja aproximadamente nula dentro de uma certa tolerância e.
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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DA BISSECÇÃO – ANÁLISE GRÁFICA
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO CONHECIMENTO – EX. 1
Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1.
SOLUÇÃO:
Equação: x2 – 3 = 0;
f(0) = -3 e f( 2) = 1. Existe uma raiz real em [0,2];
Xm = (0+2)/2 = 1
f(1) = -2 
f(1).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,2]
Xm = (1+2)/2 = 1,5 (1,5 – 1 = 0,5 > 0,1)
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
f(1,5) = -0,75 
f(1,5).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;2]
Xm = (1,5+2)/2 = 1,75 (1,75 – 1,5 = 0,25>0,1);
f(1,75) = 0,0625
f(1,5).f(1,75)< 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;1,75]
Xm = (1,5+1,75)/2 = 1,625 (1,75 – 1,625 = 0,125>0,1);
f(1,625) = -0,360
f(1,625).f(1,75)< 0. Raiz está no intervalo [1,625;1,75]
Xm = (1,625+1,75)/2 = 1,6875 (1,75 – 1,625 = 0,125>0,01);
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO CONHECIMENTO – EX. 2
f(1,6875) = -0,1523 
f(1,69).f(1,75) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,69;1,75]
Xm = (1,69+1,75)/2 = 1,72 (1,72 – 1,69 = 0,03 < 0,1);
 Raiz aproximada é 1,72.
Determine a raiz da função f(x) = ex – 3x localizada no intervalo [0; 1], com erro de 0,01
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
f(0) = 1 e f(1) = -0,28172. Assim, f(0). f(1) < 0 
Xm = (0 + 1)/2 = 0,5 
f(0,5) = 0,14872
f(0,5).f(1) < 0. Então a raiz está no intervalo [0,5;1]
Xm = (0,5+1)/2 = 0,75 (0,75 – 0,5 = 0,25 > 0,01);
f(0,75) = - 0,13300
f(0,5).f(0,75) < 0. Então a raiz está no intervalo [0,5;0,75]
Xm = (0,5+0,75)/2 = 0,625 (0,75 – 0,625 = 0,125 > 0,01);
f(0,625) = -0,00675.
f(0,5).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,5;0,625]
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
xm = (0,5 + 0,625)/2 = 0,5625 (0,625 – 0,5625 = 0,0625 >0,01)
f(0,5625) = 0,06755
f(0,5625).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,5625;0,625]
xm = (0,5625+0,625)/2 = 0,59375 (0,59375 – 0,5625 = 0,03125 > 0,01);
f(0,59375) = 0,02952
f(0,59375).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,59375;0,625]
Xm = (0,59375+0,625)/2 = 0,61 (0,61 – 0,60 = 0,01)
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
 
Início (ALGORITMO BISSEÇÃO)
 Faça
 xm = (xa + xb)/2
 Se f(xa).f(xm) < 0 então
 xb xm
 Senão
 xa xm
 Fim se
 Até que f(xm) < tolerância
Fim
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO (DAS CORDAS)
 A estimativa do zero da função Y=f(X) é feita a partir da reta secante que une os pares extremos (a,f(a)) e (b,f(b)) do intervalo analisado;
• O ponto em que essa reta secante intercepta o eixo das abscissas corresponde à estimativa do zero da função;
• Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema redefine-se o intervalo de estudo, repetindo-se a estratégia até que a tolerância seja verificada.
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO – ANÁLISE GRÁFICA
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
FÓRMULA DE RECORRÊNCIA
 Equação da reta:
Na interseção y = 0
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 3
Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1.
SOLUÇÃO:
Equação: x2 – 3 = 0;
a = 0; b = 2; f(a=0) = -3 e f(b= 2) = 1;
X = (0.1 – 2.(-3))/(1-(-3)) = 1,5
f(1,5) = -0,75 
f(1,5).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;2]
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 3
X = (1,5.1 – 2.(-0,75)/(1-(-0,75)) = 1,714 (1,714 – 1,5 = 0,214 > 0,1)
f(1,714) = -0,0622 
f(1,714).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,714;2]
X = (1,714.1 – 2.(-0,0622)/(1-(-0,0622)) = 1,730 (1,730 - 1,714 = 0,016 < 0,1)
SSSSS
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
 
Início (ALGORITMO FALSA POSIÇÃO)
 Faça
 
 Se f(a).f(xe) < 0 então
 b xe
 Senão
 a xe
 Fim se
 Até que f(xe) < tolerância
Fim
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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram: 
Dois métodos numéricos para resolução de equações:
Método do intervalo (bissecção);
Método da falsa posição.
Algoritmos dos métodos.
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