Prova 1 - Cálculo 3 (Integrais múltiplas, Coordenadas polares, esféricas e cilíndricas)

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Campus Blumenau
Curso:
Disciplina: Ca´lculo III
Professora: Louise Reips
Prova 1
Nome: Matr´ıcula:
Instruc¸o˜es:
1) Interpretac¸a˜o, compreensa˜o e resoluc¸a˜o das questo˜es fazem parte da avaliac¸a˜o;
2) O desenvolvimento da avaliac¸a˜o pode ser a la´pis, pore´m, as respostas devera˜o estar a caneta (azul ou
preta), caso contra´rio na˜o sera˜o consideradas;
3) Na˜o e´ permitido o uso de: (a) calculadoras; (b) celulares e similares; (c) material na˜o autorizado
previamente.
4) Respostas sem o devido ca´lculo na˜o sera˜o consideradas;
Questo˜es:
1. [2,5 pontos] Calcule
∫∫
B
cos(x− y)
sen(x+ y)
dx dy onde B e´ dada por 1 ≤ x+ y ≤ 2, x ≥ 0
e y ≥ 0. Desenhe a regia˜o de interesse antes e depois da mudanc¸a de varia´veis.
2. [2,0 pontos] Considere a integral
1∫
−1
√
1−y2∫
0
x∫
0
x2 + y2dz dx dy.
(a) Desenhe a regia˜o de interesse.
(b) Converta a integral acima para uma integral equivalente em coordenadas cil´ın-
dricas e calcule o resultado.
3. [2,5 pontos] Considere o so´lido Q no primeiro octante limitado pelos planos coor-
denados e pelo plano x+ y + z = 2, de densidade δ(x, y, z) = 2x.
(a) Desenhe o so´lido de interesse.
(b) Encontre a massa do so´lido.
(c) Encontre o centro de massa.
4. [2,5 pontos] Encontre o volume da regia˜o cortada de x2 + y2 = 4 por z = 0 e
x+ z = 3. Desenhe a regia˜o de interesse.
5. [1,5 ponto] Inverta a ordem de integrac¸a˜o na integral
1∫
0
√
2−x2∫
x
f(x, y)dy dx, onde
f(x, y) e´ suposta cont´ınua em R2.