Prova 2 - Cálculo 3 (Divergente, Rotacional, Integral de linha, Teorema de Green)

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Campus Blumenau
Curso:
Disciplina: Ca´lculo III
Professora: Louise Reips
Prova 2
Nome: Matr´ıcula:
Instruc¸o˜es:
1) Interpretac¸a˜o, compreensa˜o e resoluc¸a˜o das questo˜es fazem parte da avaliac¸a˜o;
2) O desenvolvimento da avaliac¸a˜o pode ser a la´pis, pore´m, as respostas devera˜o estar a caneta (azul ou
preta), caso contra´rio na˜o sera˜o consideradas;
3) Na˜o e´ permitido o uso de: (a) calculadoras; (b) celulares e similares; (c) material na˜o autorizado
previamente.
4) Respostas sem o devido ca´lculo na˜o sera˜o consideradas;
Questo˜es:
1. [1,5 pontos] (a) Determine uma func¸a˜o f tal que F = ∇f e (b) use a parte (a) para
calcular
∫
C
F · dr sobre a curva C dada, onde F (x, y, z) = (y2z + 2xz2)i + (2xyz)j +
(xy2 + 2x2z)k, C : x =
√
t, y = t+ 1, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1.
2. [1,5 pontos] Calcule a integral de linha
∮
C
xy dx + x2 dy diretamente, sem usar o
teorema de Green, onde C e´ o retaˆngulo com ve´rtices (0,0), (3,0), (3,1) e (0,1).
3. [2,0 pontos] Calcule
∮
γ
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy, onde γ(t) = (cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤
2pi.
4. [2,5 pontos] Calcule
∫
C
F · dr para o campo vetorial F (x, y) = (y,−x) no sentido
anti-hora´rio ao longo da circunfereˆncia unita´ria x2 + y2 = 1 de (1,0) a (0,1). O
trabalho encontrado e´ positivo ou negativo? Justifique sua resposta.
5. [2,5 pontos] Integre f(x, y) = x2− y sobre o caminho C correspondente a` equac¸a˜o
x2 + y2 = 4 no primeiro quadrante de (0, 2) a (
√
2,
√
2).