Prova 3 - Cálculo 3 (Integrais de superfície, Teoremas de Stokes, Fluxo de campo)

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Campus Blumenau
Curso:
Disciplina: Ca´lculo III
Professora: Louise Reips
Prova 3
Nome: Matr´ıcula:
Instruc¸o˜es:
1) Interpretac¸a˜o, compreensa˜o e resoluc¸a˜o das questo˜es fazem parte da avaliac¸a˜o;
2) O desenvolvimento da avaliac¸a˜o pode ser a la´pis, pore´m, as respostas devera˜o estar a caneta (azul ou
preta), caso contra´rio na˜o sera˜o consideradas;
3) Na˜o e´ permitido o uso de: (a) calculadoras; (b) celulares e similares; (c) material na˜o autorizado
previamente.
4) Respostas sem o devido ca´lculo na˜o sera˜o consideradas;
Questo˜es:
1. Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
(z+x2y) dS, onde S e´ parte da superf´ıcie y2+z2 =
1 que esta´ entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante.
2. Calcule
∫∫
~F ·dS, onde ~F (x, y, z) = xy~i+(y2+exz2)~j+sen(xy)~k, onde S e´ a superf´ıcie
da regia˜o E delimitada por z = 1− x2 e os planos z = 0, y = 0 e y+ z = 2. Esboce
a superf´ıcie.
3. Seja B dado por x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, onde σ e´ a fronteira de B. Verifique que∫∫
σ
~F · ~n dS = ∫∫∫
B
div ~F dx dy dz, onde ~F (x, y, z) = xy~i−~j + z2~k e ~n a normal a
σ que aponta para fora de B.
4. Considere o campo ele´trico E(x) =
εQ
|x|3x onde a carga ele´trica Q esta´ localizada
na origem e x = (x, y, z) e´ um vetor posic¸a˜o. Use o Teorema do Divergente para
mostrar que o fluxo ele´trico de E atrave´s de qualquer superf´ıcie fechada S2 que inclui
a origem e´
∫∫
S2
E · dS = 4piεQ.