Funcoes de duas variaveis

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 1
Func¸o˜es de duas varia´veis
Neste cap´ıtulo veremos func¸o˜es de duas ou mais varia´veis sob quatro pontos de vista diferentes:
• Verbalmente (pela descric¸a˜o em palavras)
• Numericamente ( por uma tabela de valores)
• Algebricamente ( por uma fo´rmula expl´ıcita)
• Visualmente ( por um gra´fico ou curva de n´ıvel)
1.1 Func¸o˜es de Duas Varia´veis
O volume de um cilindro e´ dado pela fo´rmula V = pi.r2.h, onde r e´ o raio da base e h a altura do
cilindro. Desse modo, o volume do cilindro e´ func¸a˜o do raio e da altura do mesmo, ou seja,
V = f(r, h) = pi.r2.h.
Analogamente, o volume de um paralelep´ıpedo de lados a,b,c e´ dado por V = a.b.c. Assim, o volume
deste paralelep´ıpedo pode ser modelado pela func¸a˜o de treˆs varia´veis
V = g(a, b, c) = a.b.c.
Definic¸a˜o 1 Uma func¸a˜o real f a duas varia´veis reais e´ uma relac¸a˜o que transforma em um u´nico nu´mero
real z cada par ordenado (x, y) de nu´meros reais de um certo conjunto D, chamado de domı´nio da
func¸a˜o. Se a relac¸a˜o transforma no nu´mero real z o par ordenado (x, y), enta˜o escrevemos z = f(x, y).
Na equac¸a˜o z = f(x, y), chamamos z de varia´vel dependente e nos referimos a x e y de varia´vel inde-
pendente. O conjunto de todos os valores poss´ıveis de z, que pode ser obtido atrave´s de f(x, y) em D, e´
denominado de imagem da func¸a˜o f. Definimos o gra´fico de uma func¸a˜o f a duas varia´veis como sendo o
conjunto de todos os pontos (x, y, z) no espac¸o cartesiano tridimensional, tal que (x, y) ∈ D e z = f(x, y).
1
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
Exemplo 1 Encontre o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) =
√
x+ y.
Soluc¸a˜o. Como estamos assumindo que a imagem de f tem que ser um nu´mero real,o argumento da
func¸a˜o raiz quadrada deve ser na˜o negativo, ou seja, devemos ter x+ y ≥ 0, o que geometricamente e´ a
regia˜o do plano xy que esta´ acima da reta y = −x, incluindo a pro´pria reta.
Exemplo 2 Encontre o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2).
Soluc¸a˜o. Como estamos assumindo que a imagem de f tem que ser um nu´mero real, o argumento da
func¸a˜o logaritmo deve ser positivo, ou seja, 9− x2 − 9y2 > 0, o que geometricamente representa a regia˜o
do plano xy interior a elipse x
2
32 + y
2 = 1.
Exemplo 3 Esboce o gra´fico da func¸a˜o f cujo o domı´nio e´ o disco circular D constitu´ıdo em todos os
pontos (x, y) tais que x2 + y2 ≤ 1 e que esta´ definida pela equac¸a˜o f(x, y) =
√
1− x2 − y2.
Soluc¸a˜o. Um ponto (x, y, z) pertence ao gra´fico de f , se e somente se, z = f(x, y), ou seja, z =√
1− x2 − y2 ⇒ x2 + y2 + z2 = 1. A condic¸a˜o z =
√
1− x2 − y2, nos mostra que z ≥ 0, logo o gra´fico
de f e´ uma semiesfera sobre o plano xy.
1.2 Curvas de Nı´vel
Gra´ficos nos fornecem uma maneira de visualizarmos func¸o˜es de duas varia´veis. A outra maneira de
visualizarmos tais func¸o˜es e´ desenhar as suas curvas de n´ıveis, as quais sera˜o definidas abaixo.
Definic¸a˜o 2 Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e k um numero real. O conjunto dos pontos
( x, y) no domı´nio de f para os quaisf(x, y) = k e´ chamado de uma curva de n´ıvel de f . Ela conte´m
os pontos do domı´nio de f para os quais o gra´fico de f tem altura k. Ao esboc¸armos a curva de n´ıvel no
plano xy, devemos associar a ela o seu correspondente valor de k.
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
1.2.1 Exerc´ıcios
1. Seja a func¸a˜o dada f(x, y) = x2 + y2 (duas varia´veis). Encontre:
a) f(1,2) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f
2. Seja a func¸a˜o dada por f(x, y) =
√
x2 + y2. Determine:
a) f(0,0) b) f(-1,-1) c) f(1,2) d) Dom f e) Im f
3. Seja a func¸a˜o dada por f(x, y) = 3xy−x . Determine:
a) f(1,0) b) f(3,-7) c) f(1,-1) d) Dom f e) a representac¸a˜o gra´fica do Dom f
4. Seja f(x, y) = 1√
x2−y . Determine:
a) f(1,0) b) f(3,-7) c) f(1,-1) d) Dom f e) a representac¸a˜o gra´fica do Dom f
5. Determine e represente graficamente os domı´nios das seguintes func¸o˜es:
a)f(x, y) =
√
x+ y − 1 b)f(x, y) = 1√
2x−y+1 c) f(x, y) = ln(x
2− y+ 1) f(x, y) = lnxx−1
6. Esboce as curvas de n´ıvel das func¸o˜es:
a) z = y− x2, para z = 0, z =1 e z =2 b) z = y− x para z = 0, z =2 e z =4 c) z = y− lnx,
para z = 0, z =1 e z =2
7. Seja a func¸a˜o dada por f(x, y) =
√
4− x2 − y2.
(a) Fac¸a as curvas de n´ıvel para z = 0, z = 1 e z = 2
(b) Represente graficamente a func¸a˜o.
1.3 Derivadas Parciais
Antes de definirmos o conceito de derivada parcial vejamos o seguinte exemplo:
Problema: A temperatura em uma placa de metal em cada ponto (x, y) e´ dada por T (x, y) = 9x2 +4y2.
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
1. Determine a curva de n´ıvel que passa pelo ponto (2, 1).
2. Uma formiga esta´ no ponto (2, 1) e caminha na direc¸a˜o do eixo x, isto e´, sobre a reta y = 1 ate´ o
ponto sobre a curva de n´ıvel z = 80. Calcule a taxa me´dia de variac¸a˜o da temperatura sofrida pela
formiga.
3. Calcule, agora, a taxa (instantaˆnea) de variac¸a˜o da temperatura sofrida pela formiga, em relac¸a˜o a`
distaˆncia andada na direc¸a˜o do eixo x sofrida pela formiga.
4. Se ela andar na direc¸a˜o do eixo y, qual e´ a taxa instantaˆnea de variac¸a˜o de temperatura?
Figura 1.1: Direc¸a˜o eixo x e direc¸a˜o eixo y, respectivamente.
Soluc¸a˜o:
1. T (2, 1) = 9.22 +4.1 = 40. Logo a equac¸a˜o da curva de n´ıvel que passa pelo ponto (2, 1), chamada
de isoterma, e´
9x2 + 4y2 = 40.
2. Como podemos ver na figura acima, a temperatura no ponto (2, 1) e´ de 40 graus. Determinando
o ponto de intersec¸a˜o da curva de n´ıvel z = 80 com a reta y = 1,
9x2 + 4 = 80 −→ x = 2, 9
Assim a taxa me´dia de variac¸a˜o de temperatura para a formiga ir do ponto (2, 1) ate´ ponto (2.9,
1) e´ aproximadamente:
80− 40
2, 9− 2 =
40
0, 9
= 44, 4
graus
metro
na direc¸a˜o do eixo x.
3. Para calcularmos a taxa (instantaˆnea) de variac¸a˜o de temperatura no ponto (2, 1) em relac¸a˜o a`
distaˆncia andada na direc¸a˜o do eixo x, observe que y permanece constante e igual a 1, o que varia
e´ apenas a varia´vel x. Neste caso, o que fazemos e´ calcular o limite das taxas me´dias de variac¸a˜o
de temperatura em relac¸a˜o a` variac¸a˜o de x,
lim
∆x→0
T (2 + ∆x; 1)− T (2, 1)
∆x
= lim
∆x→0
9(2 + ∆x)2 + 4− 40
∆x
= lim
∆x→0
36∆x+ 9∆x2
∆x
=⇒
lim
∆x→0
T (2 + ∆x; 1)− T (2, 1)
∆x
= lim
∆x→0
36 + 9∆x = 36
graus
metro
,
andando na direc¸a˜o do eixo x.
4. Se a formiga andar na direc¸a˜o do eixo y, a varia´vel x permanece constante e neste caso calculamos
o limite,
lim
∆y→0
T (2; 1 + ∆y)− T (2, 1)
∆y
= lim
∆y→0
40 + 4(1 + ∆y)2 − 40
∆y
= lim
∆y→0
8 + 4∆y = 8
graus
metro
,
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
andando na direc¸a˜o do eixo y.
Observe que em (3) quando calculamos a taxa de variac¸a˜o de temperatura na direc¸a˜o do eixo
x, y permanece constante. De forma similar, quando calculamos a taxa de variac¸a˜o de temperatura
na direc¸a˜o do eixo y no item (4), a varia´vel x permanece constante. Isto nos leva a` definic¸a˜o de
Derivada Parcial:
Definic¸a˜o 3 A Derivada Parcial de f em relac¸a˜o a x em um ponto (x, y) e´ definida como sendo o
valor do limite
fx(x, y) =
∂f
∂x
(x, y) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x, y)− f(x, y)
∆x
,
se este limite existir.
Definic¸a˜o 4 A Derivada Parcial de f em relac¸a˜o a y em um ponto (x, y) e´ definida como sendo o
valor do limite
fy(x, y) =
∂f
∂y
(x, y) = lim
∆y→0
f(x, y + ∆y)− f(x, y)
∆y
,
se este limite existir.
Exemplo 4 Calcule as derivadas parciais ∂z∂x e
∂z
∂y da func¸a˜o z = f(x, y) = x
2y3sen(xy).
Soluc¸a˜o: Para calcular a derivada parcial de f em relac¸a˜o a x, considera-se y como uma constante e
deriva-se f normalmente como umafunc¸a˜o de uma varia´vel x. Primeiro aplica-se a regra do produto
e depois a regra da cadeia para func¸a˜o de uma varia´vel,
∂z
∂x
= 2xy3sen(xy) + x2y3ycos(xy) = 2xy3sen(xy) + x2y3cos(xy).
Para calcular a derivada parcial de f em relac¸a˜o a y, considera-se x como uma constante e da mesma
forma obte´m-se,
∂z
∂y
= 3x2y2sen(xy) + x3y3cos(xy).
Exemplo 5 Calcule ∂z∂x e
∂z
∂y .
(a) f(x, y) =
√
x2 + 3xy2.
(b) z = ex
3y + (x5 + 10xy).ln(xy2).
Soluc¸a˜o.
(a) ∂z∂x =
2x+3y2
2
√
x2+3xy2
e ∂z∂y =
3xy√
x2+3xy2
.
(b)
∂z
∂x
= 3x2yex
3y + (5x4 + 10y).ln(xy2) + (x5 + 10xy).
1
x
e
∂z
∂y
= x3ex
3y + 10xln(xy2) + (x5 + 10xy).
2
y
.
1.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica das derivadas parciais
A figura a seguir nos mostra a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial de f em relac¸a˜o a x, no
ponto (x0, y0),
∂f
∂x (x0, y0). Quando derivamos em relac¸a˜o a x mantemos a varia´vel y fixa. Com isto temos
uma func¸a˜o de uma varia´vel x, z = f(x, y0). O gra´fico desta func¸a˜o de uma varia´vel x e´ a curva C1 ,
obtida pela intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano y = y0 . A curva C1 tem uma reta tangente T1 no
ponto P do gra´fico de f no plano y = y0 . A derivada parcial
∂f
∂x (x0, y0) representa, enta˜o, a tangente do
angulo α, que e´ o angulo que a reta tangente T1 forma com a reta y = y0 paralela ao eixo x, ou seja, ela
e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de z = f(x, y0) (curva C1 no ponto P no plano y = y0).
Da mesma forma, a figura posterior nos mostra a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial de
f com relac¸a˜o a y no ponto (x0, y0 ),
∂f
∂y (x0, y0). O plano x = x0 intercepta o gra´fico de f na curva C2, que
e´ o gra´fico da func¸a˜o z = f(x0, y). A curva C2 tem uma reta tangente neste plano que forma um angulo
β, com a reta x = x0 paralela ao eixo y. Assim, a derivada parcial de f em relac¸a˜o a y,
∂f
∂y (x0, y0), e´ igual
ao valor da tangente do angulo β, ou seja, ela e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de z = f(x0, y)
(curva C2 ) no ponto P no plano x = x0.
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
Figura 1.2: Derivada na direc¸a˜o do eixo x e na direc¸a˜o y
1.5 Derivadas de Ordem Superior
Como vimos nos exemplos da sec¸a˜o anterior, as derivadas parciais ∂f∂x e
∂f
∂y de uma func¸a˜o z = f(x, y)
sa˜o, tambe´m, func¸o˜es de duas varia´veis. Assim, podemos considerar novamente suas derivadas parciais,
chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de z = f(x, y), assim definidas:
• fxx = ∂
2f
∂x2 =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
• fyy = ∂
2f
∂y2 =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
• fyx = ∂
2f
∂x∂y =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
• fxy = ∂
2f
∂y∂x =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
Do mesmo modo podemos ter derivadas parciais de 3a ordem, 4a ordem, . . .
Exemplo 6 Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de z = f(x, y) = x3 + 2y3 +
3x2y2
Soluc¸a˜o.
• ∂z∂x = 3x2 + 6xy2 e ∂z∂y = 6y2 + 6x2y;
• ∂2z∂x2 = 6x+ 6y2 e ∂
2z
∂y2 = 12y + 6x
2;
• ∂2z∂x∂y = ∂
2z
∂y∂x = 12xy.
Observe que, nos dois exemplos acima, as derivadas parciais mistas ∂
2z
∂x∂y e
∂2z
∂y∂x coincidem. Este
fato na˜o e´ uma coincideˆncia, isto se verifica para a grande maioria das func¸o˜es com as quais trabalhamos
em Ca´lculo. O exerc´ıcio 6 mostra que a igualdade nem sempre se verifica. As condic¸o˜es que garantem
a igualdade das derivadas parciais mistas sa˜o dadas pelo pro´ximo teorema do matema´tico franceˆs Alexis
Clairaut (1713-1765).
1.5.1 Exerc´ıcios
1. Determine as derivadas parciais ∂z∂x e
∂z
∂y das func¸o˜es:
(a) z = 4x2y − 5x3y2 + 2x− y;
(b) z = x
√
y;
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
(c) z = ln(xy2);
(d) z =
√
x2 + y2 − 1;
(e) f(x, y) = 2xy3x−2y .
2. Encontre a declividade da reta tangente a` curva resultante da intersecc¸a˜o de z = x2 + y2 com o
plano x = 1 no ponto (1, 2, 5).
3. Determine as taxas de variac¸a˜o das func¸o˜es dadas a seguir, nos pontos indicados.
(a) z = sen(y2 − 4x), no ponto (2, 1);
(b) z = 1x+y , no ponto (−2, 4).
4. Considere que a func¸a˜o T (x, y) = 16 − 2x2 − y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma placa, em graus. Determine raza˜o de variac¸a˜o da temperatura em relac¸a˜o a` distaˆncia ao longo
da placa, medida em cent´ımetros, na direc¸a˜o dos eixos positivos x e y, no ponto (1 , 2).
5. Suponha que uma pessoa em uma festa beba x = x(t) = 0.8t litros de refrigerante e coma y =
y(t) = 0, 2t quilogramas de bolo de chocolate apo´s t horas. Com isso ele produz E(x, y) = 12x+ 3y
calorias de energia ao beber x litros de refrigerante e comer y quilogramas de bolo. Quanta energia
ele produziu apo´s 5 horas de festa? Qual a taxa de produc¸a˜o de energia em t = 5? (Resposta)
6. Mostre que a func¸a˜o
f(x, y) =
{
xy(x2−y2)
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
tem derivadas parciais cont´ınuas em (0, 0), pore´m, as derivadas parciais mistas na˜o sa˜o a´ı cont´ınuas.
1.6 Regras da Cadeia
A regra da cadeia para func¸o˜es de uma varia´vel, onde y = f(x), foi visto anteriormente em Ca´lculo 1.
Na ocasia˜o, se y = f(x), enta˜o
dy
dx
=
dy
du
du
dx
,
onde u era uma func¸a˜o em x. Para func¸o˜es de mais de uma varia´vel, a regra da cadeia tem va´rias
verso˜es. Veremos cada uma delas no decorrer desta sec¸a˜o.
1.6.1 Regra da cadeia(Caso 1)
Se x = x(u, v) tem derivadas parciais em (u, v) e y = F (x) tem derivada em x(u, v), enta˜o, a func¸a˜o
composta y = F (x(u, v)) tem derivadas parciais em (u, v), dadas por
∂y
∂u
=
dy
dx
∂x
∂u
e
∂y
∂v
=
dy
dx
∂x
∂v
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o destas duas regras e´ bem simples. Basta observar que quando
derivamos parcialmente em relac¸a˜o a u, por exemplo, a varia´vel v permanece constante. Logo, a func¸a˜o
y = F (x(u, v)) fica uma func¸a˜o de apenas uma varia´vel u, e, portanto, aplica-se a regra da cadeia para
func¸a˜o de uma varia´vel e temos a fo´rmula provada.
1.6.2 Regra da cadeia(Caso 2)
Suponhamos x = x(t) e y = y(t) sejam deriva´veis em relac¸a˜o a t e que z = f (x, y) e´ diferencia´vel
no ponto (x(t), y(t)). Enta˜o a composta z = f (x(t), y(t)) e´ uma func¸a˜o deriva´vel em relac¸a˜o a t e
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
ou
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
1.6.3 Regra da cadeia(Caso 3)
Suponha que z = f(x, y) seja uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, onde x = g(s, t) e y = h(s, t), sa˜o
func¸o˜es diferencia´veis de s e de t. Enta˜o
∂z
∂s
=
∂z
∂x
∂x
∂s
+
∂z
∂y
∂y
∂s
e
∂z
∂t
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
O caso 3 e´ uma consequeˆncia imediata do caso 2, pois quando calculamos a derivada parcial com relac¸a˜o
a u, por exemplo, a varia´vel v permanece constante, logo a composta f (x(u, v), y(u, v)) fica em func¸a˜o
apenas da varia´vel u.
Exemplo 7 A temperatura em uma placa de metal e´ dada em cada ponto (x, y) por T (x, y) = x2 + y
2
8
graus Celsius. Uma formiga passeia pela placa percorrendo um caminho de modo que sua posic¸a˜o apo´s t
segundos seja dada por x(t) = 1 + 2t e y(t) = t
3
3 . Qual a taxa de variac¸a˜o de temperatura, em relac¸a˜o
ao tempo, no caminho da formiga apo´s 3 segundos?
Soluc¸a˜o. Aplicando a regra da cadeia na func¸a˜o T, temos
dT
dt
=
∂T
∂x
dx
dt
+
∂T
∂y
dy
dt
= 2x.2 +
y
4
.t2.
Apo´s 2s a formiga estara´ no ponto (7, 9), enta˜o
dT
dx
(x(3), y(3) = 2.7.2 +
9
4
.9 = 48, 25◦C/s.
Exemplo 8 Suponha que uma pessoa em uma festa beba x = x(t) = 0.8t litros de refrigerante e coma
y = y(t) = 0, 2t quilogramas de bolo de chocolate apo´s t horas. Com isso ele produzE(x, y) = 12x + 3y
calorias de energia ao beber x litros de refrigerante e comer y quilogramas de bolo. Quanta energia ele
produziu apo´s 5 horas de festa? Qual a taxa de produc¸a˜o de energia em t = 5?
Soluc¸a˜o. Aplicando a regra da cadeia na func¸a˜o E, temos
dE
dt
=
∂E
∂x
dx
dt
+
∂E
∂y
dy
dt
=
1
2
.0, 8 + 3.0, 2 = 0, 4 + 0, 6 = 1.
1.6.4 Regra da cadeia(Caso Geral)
Suponha que u seja uma func¸a˜o diferencia´vel de n varia´veis x1, x2, · · · , xn, onde cada xj e´ uma
func¸a˜o diferencia´vel de m varia´veis t1, · · · , tm. Enta˜o u e´ uma func¸a˜o de t1, t2, · · · , tm e
∂u
∂ti
=
∂u
∂x1
∂x1
∂ti
+ · · ·+ ∂u
∂xn
∂xn
∂ti
para cada i = 1, 2, · · · ,m.
Exemplo 9 Se u = x4y + y2z3, onde x = r.s.et, y = r.s2e−t e z = r2.s.sen(t), determine o valor de
∂u
∂s quando r=2, s=1 e t=0.
Soluc¸a˜o. Com o aux´ılio do grafo da a´rvore, obtemos
∂u
∂s
=
∂u
∂x
∂x
∂s
+
∂u
∂y
∂y
∂s
+
∂u
∂z
∂z
∂s
= (4x3y)(ret) + (x4 + 2yz3)(2rse−t) + (3y2z2)(r2sen(t)).
Quando r=2, s=1 e t=0, temos x=2, y=2 e z=0. Portanto
∂u
∂s
= 64.2 + 16.4 + 0.0 = 192.
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
1.6.5 Exerc´ıcios
1. Use a regra da cadeia para determinar dzdt nas func¸o˜es
(a) f(x, y) = x2y + xy2, onde x = 2 + t4 e y = 1− t3.
(b) z=sen(x)cos(y), onde x = pit e y =
√
t.
(c) z =
√
x2 + y2, com x = e2t e y = e−2t.
2. Utilize a regra da cadeia para calcular ∂f∂s e
∂f
∂t na func¸a˜o f(x, y, z) = zxy + x
2 + xy + y2 onde
x = s+ t, y = st. e z = s− t
3. A pressa˜o P(em kPa), o volume V(em litros) e a temperatura T(em K) de um mol de um ga´s ideal
esta˜o relacionados por meio da fo´rmula PV = 8, 31T . Determine a taxa de variac¸a˜o da pressa˜o
quando a temperatura e´ de 300K e esta´ aumentando com taxa de 0, 1K/s e o volume e´ de 100L e
esta´ aumentando com a taxa de 0, 2L/s.
4. A poteˆncia em um resistor ele´trico e´ dada por P = U
2
R watts. Se U =120 volts e R =12 ohms,
calcular um valor aproximado para a variac¸a˜o de energia, quando V decresce de 0,001 volts/min e
R aumenta de 0,02 ohms/min.
1.7 A derivada direcional
Voltemos ao problema da formiga que esta´ em uma placa de metal no ponto (2, 1) e cuja temperatura em
cada ponto e´ dada por T (x, y) = 9x2 + 4y2 . Vamos supor, agora, que a formiga queira andar na direc¸a˜o
da reta y = x2 . A figura a seguir mostra as isotermas e o ponto onde esta´ a formiga. Vamos Calcular a
Figura 1.3: Deslocamento na direc¸a˜o y = x2
taxa me´dia de variac¸a˜o da temperatura sofrida pela formiga para ela ir do ponto (2, 1) ate´ a pro´xima
isoterma z = 80. Em seguida, vamos calcular a taxa instantaˆnea de variac¸a˜o da temperatura em relac¸a˜o
a` distaˆncia andada na direc¸a˜o da reta y = x2 , sofrida pela formiga.
Soluc¸a˜o: O ponto sobre a isoterma mais pro´xima e´ (2.8, 1.4). Assim, a taxa me´dia de variac¸a˜o da
temperatura sofrida pela formiga para ela ir do ponto (2, 1) ao ponto (2.8, 1.4) e´:
80− 40√
(2, 81− 2)2 + (1, 41− 1)2 = 44, 1
graus
metro
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
andado na direc¸a˜o da reta y = x2 . Para calcular a taxa instantaˆnea de variac¸a˜o da temperatura em
relac¸a˜o a` distaˆncia andada na direc¸a˜o da reta y = x2 , sofrida pela formiga, calculamos o limite:
lim
(x,y)→(2,1)
T (x, y)− T (2, 1)√
(x− 2)2 + (y − 1)2
onde (x, y) e´ um ponto sobre a reta y = x2 . Para facilitar o ca´lculo deste limite, o que fazemos e´
parametrizar a reta tendo como direc¸a˜o um vetor unita´rio, pois isto fara´ com que a distaˆncia entre os
dois pontos que aparece no denominador do quociente acima se reduza ao valor do paraˆmetro t. Para
isto considere o vetor unita´rio ~u = 1√
5
(2, 1) que da´ a direc¸a˜o da reta. Assim, as equac¸o˜es parame´tricas
da reta y = x2 sa˜o: {
x = 2 + 2√
5
t
y = 1 + 1√
5
t
.
Logo,
lim
(x,y)→(2,1)
T (x, y)− T (2, 1)√
(x− 2)2 + (y − 1)2 = limt→0
T (2 + 2√
5
t, 1 + 1√
5
t)− T (2, 1)
t
= lim
t→0
16
√
5t+ 8t2
t
= 16
√
5
graus
metro
.
De um modo geral, se quisermos calcular a taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o z = f(x, y) em um ponto
P = (x0, y0) na direc¸a˜o de um vetor unita´rio u = (a, b), usamos as equac¸o˜es parame´trica de uma reta r
que passa por P e tem direc¸a˜o de de u. Logo,
r :
{
x = x0 + at
y = y0 + bt
Ao calcularmos o valor da func¸a˜o f em cada ponto da reta r, f(x(t), y(t)), obtemos uma curva C no plano
vertical V passando pela reta r intersec¸a˜o com a superf´ıcie S, gra´fico de f . Repare que ao calcularmos
o valor de f em cada ponto (x(t), y(t)) obtemos uma func¸a˜o de uma varia´vel t, i.e´., f(x(t), y(t)) = F (t)
e, portanto, F (0) = f(x(0), y(0)) = f(x0, y0). Colocamos, enta˜o, um sistema de eixo (t, F (t)) no plano
vertical V , fazendo coincidir a origem no ponto (x0 , y0 ), conforme mostra a figura a seguir. Observe
que, como a distaˆncia entre um ponto qualquer (x, y) da reta r ao ponto (x0, y0) e´ |t|, a cada valor de t
deste eixo corresponde um ponto (x(t), y(t)). Com isto, podemos definir:
Definic¸a˜o 5 A derivada direcional de z = f(x, y) no ponto P0 = (x0, y0, f(x0, y0)) na direc¸a˜o do vetor
vetor unita´rio u = (a, b) e´ dada por
Duf(P0) =
dF
dt
= lim
t→0
F (t)− F (0)
t
= lim
t→0
f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)
t
,
se este limite existir.
Observac¸a˜o. Veja que se
1. Se u=i=(1,0),
Duf(x0, y0) = lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
=
∂f
∂x
(x0, y0).
2. Analogamente, se u=j=(0,1),
Duf(x0, y0) = lim
t→0
f(x0, y0 + bt)− f(x0, y0)
t
=
∂f
∂y
(x0, y0).
Podemos concluir que as derivadas fx e fy, vistas na aula anterior, sa˜o dois casos particulares da
derivada direcional, quando os vetores diretores sa˜o os versores ~i e ~j respectivamente.
3. Se v e´ um vetor qualquer que na˜o seja unita´rio, considera-se o vetor unita´rio u = v||v|| e define-se a
Derivada Direcional de f na direc¸a˜o de v como sendo:
Dvf(x, y) = Duf(x, y)
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
1.8 Interpretac¸a˜o Geome´trica
As figuras a seguir mostram a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada direcional. O quociente
lim
t→0
f(x0 + u1t, y0 + u2t)− f(x0, y0)
t
,
nada mais e´ do que o coeficiente angular da reta secante a` curva C conforme mostra a figura abaixo.
O limite deste quociente, i.e´, o valor da derivada direcional e´, portanto, o coeficiente angular da reta
tangente a` curva C no ponto P = (x0, y0, f(x0, y0)) mostrado logo abaixo.
1.9 Vetor gradiente e o Ca´lculo da Derivada Direcional
Nesta sec¸a˜o veremos uma forma pra´tica para calcular a derivada direcional relativa a´ um vetor dado.
Teorema 1.9.1 Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em x e y, enta˜o f tem derivada direcional na direc¸a˜o
e sentido de qualquer versor u = (a, b) e
Duf(x, y) = fx(x, y).a+ fy(x, y).b
Prova. Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis em que tem-se x = x(t) = x0+at e y = y(t) = y0+bt.
Como queremos calcular dfdt , usaremos a regra da cadeia, logo
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
.
Como x = x(t) = x0 + at e y = y(t) = y0 + bt, enta˜o
dx
dt = a e
dy
dt = b, portando
Duf(x, y) = fx(x, y).a+ fy(x, y).b (1.1)
Se o vetor u faz uma aˆngulo θ com o eixo x positivo, enta˜o podemos escrever u = (cosθ, senθ) e
fo´rmula (1.1) fica
Duf(x, y) = fx(x, y).cosθ + fy(x, y).senθ (1.2)
Exemplo 10 Determine a derivada direcional Duf(x, y) se
f(x, y) = x3 − 3xy + 4y2
e u e´ o versor dado pelo aˆngulo θ = pi6 . Qual sera´ Duf(1, 2)?
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
Soluc¸a˜o. De acordo com a equac¸a˜o (1.2), temos
Duf(x, y) = fx(x, y)cos
pi
6
+ fy(x, y)sen
pi
6
= (3x2− 3y)
√
3
2
+ (−3x+ 8y)1
2
.
Portanto, Duf(1, 2) =
13−3√3
2 .
1.9.1 Vetor Gradiente
Note que a equac¸a˜o (1.1) pode ser escrita como um produto escalar de dois vetores
Duf(x, y) = fx(x, y)a+ fy(x, y)b =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
)
.(a, b) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
)
.u. (1.3)
O primeiro vetor no produto escalar ocorre na˜o somente para obter as derivadas direcionais, mas tambe´m
em outras situac¸o˜es. Assim, daremos a ele um nome especial (0 gradiente de f ) e uma notac¸a˜o espe-
cial(grad f ou ∇f , que tambe´m lemos ”del f”).
Definic¸a˜o 6 Se f e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y, o gradiente de f e´ a func¸a˜o vetorial ∇f definida
por
∇f(x, y) = 〈fx(x, y), fy(x, y)〉 = ∂f
∂x
~i+
∂f
∂y
~j (1.4)
Exemplo 11 Se f(x, y) = sen(x) + exy, enta˜o
∇f(x, y) = 〈fx, fy〉 = 〈cosx+ yexy, xexy〉
e
∇f(0, 1) = 〈2, 0〉
Com a notac¸a˜o definida, podemos escrever a equac¸a˜o (1.1) de forma simplificada
Du(x, y) = ∇f(x, y).u (1.5)
Exemplo 12 Determine a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = x2y3− 4y no ponto (2,-1) na direc¸a˜o
do vetor ~v = 2~i+ 5~j.
Soluc¸a˜o. Primeiramente vamos calcular o vetor gradiente no ponto (2,-1). Assim,
∇f(x, y) = 2xy3~i+ (3x2y2 − 4)~j.
Logo,
∇f(2,−1) = −4~i+ 8~j.
Note que ~v na˜o e´ um vetor unita´rio. Como ‖~v‖ = √29, o versor unita´rio na direc¸a˜o e sentido de ~v e´
u =
v
‖v‖ =
2√
29
~i+
5√
29
~j.
Portanto pela equac¸a˜o (1.5), temos
Duf(2,−1) = ∇f(2,−1).u = (−4~i+ 8~j) ·
(
2√
29
~i+
5√
29
~j
)
=
−4.2 + 8.5√
29
=
32√
29
.
1.9.2 Func¸o˜es de treˆs varia´veis
Para as func¸o˜es de treˆs varia´veis podemos definir derivadas direcionais de forma semelhante. Nova-
mente Duf(x, y, z) pode ser interpretado como uma taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o na direc¸a˜o de um versor
~u. Assim podemos escrever que
Definic¸a˜o 7 Seja f(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel em (x, y, z) e ~u = (a, b, c) um versor unita´rio, a
derivada direcional de f na direc¸a˜o de ~u e´ dada por
Duf(x, y, z) = ∇f(x, y, z) · u,
onde ∇f(x, y, z) = 〈fx, fy, fz〉.
Exemplo 13 Se f(x, y, z) = x.sen(yz), determine a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direc¸a˜o
e no sentido de v = (1, 2,−1).
Soluc¸a˜o. Primeiramente vamos calcular o gradiente de f no ponto (1,3,0). Assim ∇f(x, y, z) =
〈senyz, xzcos(yz), xycos(yz)〉, assim,∇f(1, 3, 0) = 〈0, 0, 3〉. O vetor unita´rio na direc¸a˜o e sentido de v
e´ u = 〈 1√
6
, 2√
6
, −1√
6
〉. Portanto, Duf(1, 3, 0) = ∇f(1, 3, 0) · u = −
√
3
2 .
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
1.9.3 Maximizando a derivada direcional
Suponha uma func¸a˜o de duas ou treˆs varia´veis e considere todas as poss´ıveis derivadas direcionais de f
um ponto dado. Isso nos dara´ a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o em todas as direc¸o˜es poss´ıveis. Se quisermos
saber qual a maior taxa de variac¸a˜o? E a menor? A resposta desta pergunta esta´ no teorema a seguir.
Teorema 1.9.2 Suponha que f seja uma func¸a˜o de diferencia´vel de duas ou treˆs varia´veis. O valor
ma´ximo da derivada direcional Duf(X) e´ ‖∇f(X)‖ e ocorre quando u tem a mesma direc¸a˜o e sentido
que o vetor gradiente ∇f(X).
Prova. Sabemos que Duf = ∇f · u = |∇f |.|u|.cos(θ) = |∇f |.cos(θ), onde θ e´ o aˆngulo entre ∇f e u. O
valor ma´ximo de cos(θ) e´ 1, e isso ocorre quando θ = 0. Portanto, Duf tem valor ma´ximo quando u tem
a mesma direc¸a˜o e sentido que ∇f.
Exemplo 14 Suponha que T (x, y) = x2 +y2 seja a fo´rmula que nos da´ a temperatura de uma placa num
ponto (x,y), em que T e´ dado em graus e x e y em cm. Uma formiga esta´ no ponto (2, 1) e precisa fugir
imediante por causa da alta temperatura. Qual direc¸a˜o a formiga deve tomar para a que a temperatura
baixe o mais ra´pido poss´ıvel? Qual a taxa ma´xima de variac¸a˜o neste ponto? E a mı´nima?
Soluc¸a˜o. Observe que a direc¸a˜o e o sentido de maior taxa de variac¸a˜o e´ a de ∇f. Assim, a formiga
deve caminha no sentido oposto, ou seja, ela deve caminhar na direc¸a˜o e sentido de −∇f. Primeiramente
vamos calcular ∇f(x, y) = (2x, 2y), segue que ∇f(2, 1) = (4, 2). Logo, a formiga devera´ seguir a direc¸a˜o
e o sentido do vetor −∇f(2, 1) = (−4,−2). Para calcular as taxas ma´ximas e mı´nimas precisamos de
‖∇f‖ = √42 + 22 = √20 = 2√5 grauscm . Portanto, a taxa ma´xima e´ 2
√
5 grauscm e a mı´nima e´ −2
√
5 grauscm .
1.10 Exerc´ıcios
1. Calcule o vetor gradiente de f no pontos indicados:
(a) f(x, y, z) = x− 2y + 3z no ponto P(1,1,2);
(b) f(x, y) = ln(
√
x2 + y2) no ponto P(3,4);
(c) g(x, y) = eysen(x) no ponto P(0,0);
(d) z = x−1y−1 no ponto P(1,2);
(e) f(x, y, z) = z.ex
2+y2+z2 no ponto P(0,0,0).
2. Represente geometricamente o gradiente da func¸a˜o f(x, y) = x2y − 3xy no ponto P(1,2).
3. Calcule a derivada direcional do campo escalar f(x, y) = 3x2y + xy no ponto P (1, 2) e na direc¸a˜o
do vetor ~v = (3,−4).
4. Determine a derivada direcional de f no ponto indicado e a direc¸a˜o e sentido indicada pelo aˆngulo
α.
(a) f(x, y) = x2y3 − y4, (2, 1), α = pi4 ;
(b) f(x, y) =
√
5x− 4y, (4, 1), α = −pi/6;
(c) f(x, y) = x.sen(xy), (2, 0), α = pi/3.
5. Calcule a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = 3x2y + y no ponto P(-1,2) na direc¸a˜o do vetor
~v = (2, 0).
6. Se o potencial ele´trico em um ponto (x, y) do plano xy e´ V (x, y) enta˜o o vetor campo ele´trico no
ponto (x,y) e´ E = ∇V . Suponha que v(x, y) = e−2xcos(2y). Determine o valor do campo ele´trico
em (pi/4, 0).
7. Nas proximidades de uma bo´ia, a profundidade de um lago em um ponto de coordenadas (x,y)
e´ z = 200 + 0, 02x2 − 0, 001y3, onde x,y e z sa˜o medidos em metros. Um pescador que esta´ em
pequeno barco parte do ponto (80,60) em direc¸a˜o ao ponto (0,0). A a´gua sob o barco esta´ ficando
mais profunda ou mais rasa quando ele comec¸ou a se mover? Explique.
8. A temperatura em um ponto (x,y,z) e´ dada por
T (x, y, z) = 200e−x
2−3y2−9z2
onde T e´ medido em ◦C e x,y, e z em metros.
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o da temperatura no ponto P(2,-1,2) em direc¸a˜o ao ponto (3,-3,3).
(b) Qual a direc¸a˜o e sentido de maior crescimento da temperatura em P?
(c) Encontre a taxa ma´xima de crescimento de P.
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
1.11 Planos tangentes e retas normais
Vimos que, para func¸a˜o de duas varia´veis, o vetor gradiente e´ perpendicular a` curva de n´ıvel. De forma
similar ao caso de duas varia´veis temos que em uma func¸a˜o de treˆs varia´veis em um ponto P0 = (x0, y0, z0),
o vetor gradiente e´ perpendicular a` superf´ıcie de n´ıvel que passa por P0 . Assim, temos que o vetor
gradiente em P0 e´ dado por ∇F (P0) = 〈fx(P0), fy(P0), fz(P0)〉 e para qualquer ponto P = (x, y, z) do
plano tangente em P0, temos que −−→
P0P · ∇F (P0) = 0,
logo, a equac¸a˜o do plano e´ dado por fx(P0)(x−x0)+fy(P0)(y−y0)+fz(P0)(z−z0) = 0, ou simplesmente
fx(P0)x+ fy(P0) + fz(P0)z = C, onde C = (x0, y0, z0) · ∇F (P0).
A reta normal a` superf´ıcie no ponto P0 e´ uma reta paralela a ∇f(P0) que passa por P0, logo,
a equac¸a˜o da reta e´ dada por
x− x0
Fx(P0)
=
y − y0
Fy(P0)
=
z − z0
Fz(P0)
,
ou
P = (x0, y0, z0) + t.∇F (P0), t ∈ R.
Observac¸a˜o. Todo gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis z = f (x, y) e´ superf´ıcie de n´ıvel de uma
func¸a˜o de treˆs varia´veis: w = F (x, y, z) = f(x, y) − z = 0. Neste caso, tomando-se k = 0, tem-se a
equac¸a˜o da superf´ıcie de n´ıvel F (x, y, z) = f(x, y) − z = 0. Logo o vetor gradiente em P0 e´ ∇F (P0) =
〈Fx(P0), Fy(P0),−1〉.
Exemplo 15 Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal ao gra´fico de z = 1 + x2 + y2
no ponto P0 = (1, 1, 3).
Soluc¸a˜o. Veja que podemos resolver facilmente usando as coordenadas do vetor gradiente de f . Assim
∇f(x, y) = (2x, 2y), segue que ∇f(1, 1) = (2, 2), portanto o vetor normal a` superf´ıcie no ponto (1, 1, 3),e´ ~n = (2, 2,−1). Logo, a equac¸a˜o do plano e´
(2, 2,−1) · (x, y, z) = (2, 2,−1) · (1, 1, 3) −→ 2x+ 2y − z − 1 = 0.
A reta normal e´ dada por x−12 =
y−1
2 =
z−3
−1 .
1.12 Exerc´ıcios
1. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e reta normal a x2 + 2y2 + 3z2 = 21, no ponto (4,-1,1).
2. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e reta normal no ponto (−2, 1,−3) ao elipsoide
x2
4
+ y2 +
z2
9
= 3.
3. Se f(x, y) = x2 + 4y2, determine o vetor gradiente de f no ponto (2, 1) e use-o para determinar a
equac¸a˜o do plano tangente no ponto (2, 1, 8).
4. Determine os pontos sobre o elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 onde o plano tangente e´ paralelo ao plano
3x− y + 3z = 1.
1.13 Ma´ximos e mı´nimos
Como vimos em Ca´lculo 1, um dos principais usos da derivada e´ a determinac¸a˜o dos valores ma´ximo
e mı´nimo. Nesta aula, veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de ma´ximo e
mı´nimo de uma func¸a˜o de duas varia´veis.
Definic¸a˜o 8 Uma func¸a˜o de duas varia´veis tem um ma´ximo local em (a.b) se f(x, y) ≤ f(a, b) quando
(x, y) esta´ pro´ximo de (a, b). O nu´mero f(a, b) e´ chamado valor ma´ximo local. Se f(x, y) ≥ f(a, b)
quando (x, y) esta´ pro´ximo de (a, b), enta˜o f(a, b) e´ um valor mı´nimo local.
Se as inequac¸o˜es da definic¸a˜o 1 valerem para todos os ponto (x, y) do domı´nio de f , enta˜o f tem ma´ximo
absoluto(ou mı´nimo absoluto) em (a, b). O gra´fico a seguir mestra uma func¸a˜o com muitos ma´ximos e
mı´nimos locais. Voceˆ pode pensar nos ma´ximos locais como picos de montanhas e mı´nimos locais como
o fundo dos vales.
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
Definic¸a˜o 9 Um ponto P = (a, b) e´ dito ponto cr´ıtico de f se as derivadas parciais fx(a, b) = 0 e
fy(a, b) = 0, ou se uma da derivadas na˜o existir.
Exemplo 16 Seja f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 6y + 14. Enta˜o
fx(x, y) = 2x− 2 fy(x, y) = 2y − 6
Essas derivadas parciais sa˜o nulas quando x = 1 e y = 3, portanto o u´nico ponto cr´ıtico e´ (1,3). Com-
pletando os quadrados, achamos
f(x, y) = 4 + (x− 1)2 + (y − 3)2
Como (x− 1)2 ≥ 0 e ()y − 3)2 ≥ 0, temos que f(x, y) ≥ 4. Logo, (1, 3) e´ um ponto de mı´nimo.
Exemplo 17 Determine os valores extremos de y2 − x2.
Veja que no exemplo acima, o u´nico ponto cr´ıtico e´ (0,0). Note que f(0, 0) = 0 e que podemos ter (x, y)
do domı´nio de f tal que f(x, y) < 0. Logo, na˜o tem um ma´ximo nem um mı´nimo local. Neste caso dizemos
que (0, 0) e´ um ponto de sela.
Definic¸a˜o 10 Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam cont´ınuas em uma bola aberta com
centro (a, b), e suponha que fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0. Seja
D =
∣∣∣∣ fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ .
• se D > 0 e fxx(a, b) > 0, enta˜o f(a, b) e´ um mı´nimo local.
• Se D > 0 e fxx(a, b) < 0,enta˜o f(a, b) e´ um ma´ximo local.
• Se D < 0, enta˜o f(a, b) na˜o e´ ma´ximo local nem mı´nimo local.
Exemplo 18 Determine os valores de ma´ximo e mı´nimo locais e os pontos de sela de f(x, y) = x4 +
y4 − 4xy + 1.
Exemplo 19 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papela˜o. Determine o volume
ma´ximo de tal caixa.
Soluc¸a˜o. Veja que V = x.y.z. Como a a´rea e´ 12m2, podemos fazer 2xz+2yz+xy = 12, logo z = 12−xy2(x+y) ,
segue que
v =
12xy − x2y2
2(x+ y)
.
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
DEV RY |UNIFAV IP Nu´cleo de Engenharia Ca´lculo Aplicado
Queremos encontrar os pontos cr´ıticos, para isso ∂v/∂x = ∂v/∂y = 0, ou seja,
12− 2xy − x2 = 0 12− 2xy − y2 = 0.
Isso nos leva a y = x, como x e y valores positivos. Substituindo x = y nas equac¸o˜es obtemos y=2 e z=1.
Logo, o volume e´ V = 2.2.1 = 4m3.
1.14 Exerc´ıcios
1. Determine as dimenso˜es de uma caixa retangular de maior volume se sua a´rea total e´ de 64cm2.
2. Determine treˆs nu´meros positivos cuja soma e´ 1000 e cujo o produto e´ ma´ximo.
3. Encontre, se existir, os pontos de ma´ximo local, mı´nimo local e de sela de cada func¸a˜o:
(a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2
(b) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y
(c) f(x, y) = 1 + 2xy − x2 − y2
Cleibson Silva DEV RY |UNIFAV IP
	Funções de duas variáveis
	Funções de Duas Variáveis
	Curvas de Nível
	Exercícios
	Derivadas Parciais
	Interpretação Geométrica das derivadas parciais
	Derivadas de Ordem Superior
	Exercícios
	Regras da Cadeia
	Regra da cadeia(Caso 1)
	Regra da cadeia(Caso 2)
	Regra da cadeia(Caso 3)
	Regra da cadeia(Caso Geral)
	Exercícios
	A derivada direcional
	Interpretação Geométrica
	Vetor gradiente e o Cálculo da Derivada Direcional
	Vetor Gradiente
	Funções de três variáveis
	Maximizando a derivada direcional
	Exercícios
	Planos tangentes e retas normais
	Exercícios
	Máximos e mínimos
	Exercícios