Integrais de funções racionais por frações parciais

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Cap´ıtulo 1
Aula 6:Integrais de Func¸o˜es
Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Seja f(x) uma func¸a˜o racional do tipo f(x) = p(x)
q(x)
, onde p(x) e q(x) sa˜o func¸o˜es polino-
miais. Vamos dividir a ana´lise em 4 casos.
Caso 1 Neste caso, os fatores de q(x) sa˜o lineares e distintos, ou seja:
q(x) = (x− a1).(x− a2)...(x− an),
onde os aj sa˜o distintos. A decomposic¸a˜o de f(x) =
p(x)
q(x)
em frac¸o˜es mais simples e´ dado
por
p(x)
q(x)
=
A1
x− a1 +
A2
x− a2 + · · · +
An
x− an ,
onde A1, · · · , An sa˜o constantes a determinar.
Exemplo 1 Calcule a integral indefinida
∫
x− 1
x3 − x2 − 2xdx.
Caso 2 Os fatores de q(x) sa˜o lineares, sendo que alguns deles se repetem. Se um fator
linear (x − ai) de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator correspondera´ uma soma de
frac¸o˜es parciais da forma:
A1
x− a1 +
A2
(x− a2)2 + · · · +
Ar
(x− ar)r ,
onde A1, · · · , An sa˜o constantes a determinar.
Exemplo 2 Calcule a integral indefinida
∫
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2 dx.
Observac¸a˜o 1 Se o grau do numerador for maior ou igual que o grau do denominador,
deve-se efetuar a divisa˜o f(x) = p(x)
q(x)
, antes de decompor f(x) em frac¸o˜es parciais.
Caso 3 Os fatores de q(x) sa˜o lineares e quadra´ticos irredut´ıveis, sendo que os fatores
quadra´ticos na˜o se repetem. A cada fator quadra´tico x2 + bx + c de q(x), correspondera´
uma frac¸a˜o parcial da forma:
Cx + D
x2 + bx + c
.
Exemplo 3 Calcular a integral indefinida
∫
x2 − 2x− 3
(x− 1)(x2 + 2x + 2) .
1
UNIFAVIP Engenharia Civil Ca´lculo 3
Caso 4 Os fatores de q(x) sa˜o lineares e quadra´ticos irredut´ıveis, sendo que alguns dos
fatores quadra´ticos se repetem. A cada fator quadra´tico x2 + bx+ c de q(x) tem multipli-
cidade s, a esse fator correspondera´ uma soma de frac¸o˜es parciais da forma:
C1x + D1
x− a1 +
C2x + D2
(x− a2)2 + · · · +
Csx + Ds
(x− ar)r ,
onde C1, · · · , Cs e D1, · · · , Ds sa˜o constantes a determinar.
Exemplo 4 Calcular a integral indefinida
∫
x− 2
x(x2 − 4x + 5)2dx.
Observac¸a˜o 2 Antes de decompor uma func¸a˜o racional por frac¸o˜es parciais, e´ importante
que se tente primeiro simplifica´-la, se poss´ıvel, verificando se numerador e denominador
possuem fatores comuns. Isto, encurta muito o processo, quando pode ser feita a simpli-
ficac¸a˜o.
1.0.1 Exerc´ıcios
1.
∫
x− 1
x3 − x2 − 2xdx;
2.
∫
x2 − 2x− 3
(x− 1)(x2 + 2x + 2)dx;
3.
∫
x + 1
x(x2 + 2x + 3)2
dx;
4.
∫
x3 − 1
x2(x− 2)3dx;
5.
∫
2x3
x2 + x
dx;
6.
∫
x− 1
x3 + x2 − 4x− 4dx;
7.
∫
x2 + 5x + 4
x2 − 2x + 1dx;
8.
∫
x− 1
(x− 2)2(x− 3)2dx;
9.
∫
5
x3 + 4x
dx;
10.
∫
3x− 1
x2 − x + 1dx;
11.
∫
dx
x3 + 8
dx;
12.
∫
x3 + x2 + 2x + 1
x3 − 1 dx;
13.
∫
x
(x− 1)2(x + 1)2dx.
Cleibson Silva Engenharia Civil UNIFAVIP/Devry
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