Linhas de Transmissão Resolução

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1) Determinar a expressão aproximada para a impedância característica de uma linha 
de transmissão com baixas perdas, i.e., 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule a impedância característica da linha abaixo e a velocidade da onda na linha. 
Assuma que foi usada uma seção de 30 metros para medir L e C que resultaram em 
valores de 0,25 milihenries e 1000 picofarads, a linha não apresenta perdas. 
 
 
 
 
 
Solução: 
Impedancia característica 
 
Velocidade da onda na linha: 
 
 



500
30
1000
30
25.0
12
3
0
m
Fe
m
He
C
L
Z
s
m
VAm
VsCeee
m
Fe
m
HeLC
v 6
2
123123
1060
30
31
30
25.0
1
30
1000
30
25.0
11







LR  CG 
 
 
 
 























































)(
2
1
1
2
1
2
111
1
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
C
G
L
R
jC
L
Z
Cj
G
Lj
R
C
L
Cj
G
Lj
R
C
L
Cj
G
Cj
Lj
R
Lj
CjG
LjR
CjG
LjR
Z










 
Lembrar que 1 H = 1Vs/A, 1F=1C/V e 1A= 1C/s 
3) (Wentworth P.6.19.) Considerar uma linha de transmissão sem perdas com Z0=75Ω, 
velocidade de fase da onda de tensão, vp= 0.8c. O comprimento da linha é de 30 cm. A 
tensão de alimentação é vs= 6cos(ωt) V, a impedância interna da fonte é Zs = 75Ω. 
Se ZL= 100 +j125Ω em f = 600 MHz encontrar: 
a)Impedância de entrada, b) tensão no terminal de carga, c) tensão na entrada da 
linha. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
a) 
Impedância de entrada (para os cálculos, usamos ângulos sexagesimais, i.e.=1800), 
 
 
 
 
Desde que a tan 5x180x0.3=tan270 =”infinito”, para o calculo da impedância : 
 
 
 
b) 
Dai, o circuito equivalente fica: 
 
 
 
 
 
 
 
ZL
z=0z=-l
Zs
vs
ms
s
mv
v
p
p
151
103*8.0
106002
8
6






 
 3.05tan)125100(75
3.05tan75125100
75 

jj
jj
Z l



 
  entrL
L
lz Z
ljZZ
ljZZ
ZZ 


 

tan
tan
0
0
0
 
 
00 66.30834.51 13.3513.35
125100
7575
3.05tan)125100(
3.05tan75
75 jjl ee
jjj
j
Z 




 
Zentrada
Zs
vs
 
Dai, ventrada, i.e., a tensão a través da Zentrada, fica (em forma fasorial): 
 
Onde Vs é o fasor que corresponde à tensão da fonte: Vs=6V 
 
Substituindo números: 
 
 
 
Multiplicando por exp(jωt) e tomando parte real (e tomando para a defasagem o ângulo 
-35.530, para coincidir com a resposta do Wentworth), temos: 
 
 
c) 
 
A tensão fasorial, em qq ponto da linha é: 
desde que a linha é sem perdas, temos: 
 
 
 
também: V em qq ponto da linha é: 
Daí, V na carga será V(0): 
 
 
Para calcular Vcarga (VZL), precisamos de V0
+ e ΓL; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
entradas
entrada
sent
ZZ
Z
VV


00
0
0
0
0
47.32453.35
19.344
66.308
66.308
66.308
09.209.2
58.100
78.210
13.3575
13.35
6 jj
j
j
j
j
ent eVeV
e
e
V
e
e
V 

 
VtVttvent )53.35102.1cos(1.2)53.35cos(1.2)(
090  
zz eVeVzV    00)( m
jj 15 
0
0
0
16.43
53.35
69.78
0
0 59.0
06.215
48.127
125175
12525
75125100
75125100 j
j
j
L
L
L
e
j
j
j
j
ZZ
ZZ













0
0
V
V
L
ZLL VVV 

)1()0( 0







)59.0(
09.2
)(
)()(
000
0
2.43270270
47.324
00 jjj
j
l
L
l
l
L
l
eee
Ve
ee
Vent
VVenteeVlV 









))84.226sin(59.0)84.226cos(59.0(
1.2
)59.0(
1.2
)59.0(
1.2
00
47.324
84.226270
47.324
2.43270270
47.324
0
00
0
000
0
jj
Ve
ee
Ve
eee
Ve
j
jj
j
jjj
j
0
0
000
74.89
73.234
47.32447.32447.324
0 99.2
7.0
1.2
)57.040.0(
1.2
)57.040.0(
1.2 j
j
jjj
e
e
Ve
j
Ve
j
Ve
V 





)()( 0
z
L
z eeVzV   
 
 
 
Substituindo na expressão para VZL: 
 
 
 
 
 
Multiplicando por exp(jωt) e tomando parte real: 
 
 
 
4) (Ulaby, eletromagnetismo pra engenheiros, P 8.31, pag 296). 
Um gerador com tensão (fasor) VS = 100V e Zs= 50Ω é conectado a uma carga com 
impedância ZL= 75Ω a través de uma linha de transmissão sem perdas com Z0=50 Ω e 
comprimento l=0.15λ. 
a) Calcular a impedância de entrada na linha (i.e., na extremidade do gerador) 
b)Calcular Ientrada e Ventrada (fasores). 
c) Calcular a potência média no tempo entregue à linha, Pl. 
d) Calcular VL, IL, (fasores tensão e corrente na carga) e a potência média no tempo 
entregue à carga. Comparar com a potência calculada no ítem C. Explicar. 
e) Calcular a potência media no tempo dissipada na impedância do gerador, Zs, e a 
potência média no tempo entregue pelo gerador. 
Solução: 
a) 
 
 
 
para fazer a conta é conveniente usar graus, i.e. π=1800 
 
 
 
 
b) 
0
00
00
82.105
90.13274.89
16.4374.89
0
44.4
27.421.131.122.196.2013.079.199.2
)6.01(99.2)1()0(
j
ZL
jj
jj
ZLL
eV
jjjee
eeVVV




VtVttvL )82.105102.1cos(44.4)82.105cos(44.4)(
090  












































0
0
15.64
53.42
67.114
78.101
50
2.10350
8.6875
50
15.0
2
tan7550
15.0
2
tan5075
50
j
j
entr
e
e
j
j
j
j
Z




 
00 38.33862.21 38.4438.44 jjentr eeZ
   
AeI
e
V
j
V
j
V
ZZ
V
I
j
entr
j
entrS
SS
entr
0
0
15.10
15.10
09.1
71.92
100
34.1626.91
100
34.1626.4150
100










 
 
 
c) Potência media no tempo entregue na linha: 
 
 
 
 
d) Vamos calcular VL e IL (tensão e corrente na carga), mas antes, devemos calcular 
V+0 e Γ. 
 Calculo do coef de reflexão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isto: 
 
 
 
 
 
A potência média no tempo entregue à carga; 
 
 
 
Vemos que a potência entregue à linha, Pl, iguala a potência entregue à carga, PL, o 
qual faz sentido, já que a linha é sem perdas. 
e) Para calcular a potência media entregue na impedância do gerador e, desde que 
esta é resistiva, podemos utilizar a expressão P=I2entrR, tomando o cuidado de efetuar a 
média temporal sobre a corrente (lembrar que tem dependência senoidal) 
 
Lembrar que o valor médio do cos2=0.5. 
 
 
 
Finalmente, por conservação da energia, a potência total fornecida pelo gerador será: 
VeeAeZIV jjjentrentrentr
000 53.34838.33815.10 37.4838.4409.1 
     
WWP
WeAeVeIVP
l
jjj
entrentrl
5.24)38.338cos(36.26
72.52Re
2
1
09.137.48Re
2
1
Re
2
1 000 38.33815.1053.348

 
VeVeVV jjLL
00 06.30606.306
0 47.60)2.01(39.50)1( 

Ve
e
Ve
j
Ve
ee
Ve
ee
V
ee
V
V
jj
j
j
jj
j
lj
L
lj
entr
l
L
l
entr
0
0
0
00
06.306
47.42
53.348
53.348
5454
53.348
0
39.50
96.0
37.48
)65.071.0(
37.48
)2.0(
37.48
)()(













0
0
5415.0
1802


 

l
2.0
5075
5075
0
0 






ZZ
ZZ
L
L
L
Ae
Ve
Z
V
I j
j
L
L
L
0
0
06.306
06.306
81.0
75
47.60



    WAeVeIVP jjLLL 5.2481.047.60Re
2
1
Re
2
1 00 06.30606.306  
W
ARI
RiP entrentrZS 7.29
2
5009.1
2
222
2 


 
 
 
5) Considerar as duas linhas de transmissão emendadas no ponto “A”, na figura, e 
assumir linhas sem perdas, i.e., Z1 e Z2 reais. Considerar também a carga R2 
numericamente igual à Z2. Isto significa que, independente do comprimento da linha 
desde o ponto A até a carga, a impedância de entrada no ponto A será Z2. Considerar 
uma onda de tensão, V0+ incidindo de esquerda à direita pela linha de transmissão com 
impedância característica Z1. 
a) Achar a expressão para o coeficiente de reflexão no ponto A, a fração de potência 
refletida e a fração de potência transmitida (à linha Z2). 
b) Assumir Vtr, a amplitude da onda de tensão transmitida, achar uma expressão para o 
coeficiente de transmissão Т, no ponto A, definido como Vtr/ V0+. 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
A potencia incidente será: 
 
 
A fração de potência refletida: 
 
 
 
Com isto, a fração de potência entregue à linha Z2, fica: 
 
 
 
 
WPPP lZSTotalS 2.54
12
12
0
0
ZZ
ZZ
V
V
A





1
2
0
2Z
V
P med
i


1
2
0
2
2Z
V
P
L
med
r


 2
1
2
0
1
2
0
2
1
2
0
1
22
A
L
med
Z
V
Z
V
Z
V
P 



Z1 Z2
A
R2 = Z2
 
b) Por conservação da carga no ponto “A” da linha teremos: 
 
 
Onde Itrans é a corrente transmitida na linha Z2. Pela definição de impedância 
característica: 
 
 
 
Com isto, a equação para a conservação da carga fica: 
 
 
 
V0-/ V0+ é o coeficiente de reflexão de tensão no ponto A, definindo coef de 
transmissão de tensão no mesmo ponto; TA= Vtrans/V0
+: 
 
 
 
 
6) Calcular o coeficiente de reflexão na terminação de uma linha de transmissão com 
impedância característica Z0, e com uma impedância de carga puramente reactiva ,i.e., 
ZL=jX. X podendo ser positiva ou negativa, indicando impedância indutiva ou 
capacitiva, respectivamente. Interpretar o resultado. 
Solução: 
 
 
 
O módulo do coeficiente de reflexão neste caso é 1, o que significa que toda a energia 
que chega na carga é refletida (conferir na expressão de potencia média entregue na 
carga), i.e., apenas cargas, ou componentes de carga resistivas consomem energia. 
transIII   00
trans
trans
I
V
Z
I
V
I
V
Z






2
0
0
0
0
1
)1(
0
0
1
2
01
0
1
0
221
0
1
0





V
V
Z
Z
V
V
Z
V
Z
V
Z
V
Z
V
Z
V
Z
V transtranstrans
21
2
12
12
1
2
0
2
)1(
ZZ
Z
ZZ
ZZ
Z
Z
V
V
A
trans
A






00
22
2
0
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0 Z
X
jarctg
Z
X
jarctg
L
L
L ee
ZX
ZX
ZjX
ZjX
ZZ
ZZ
V
V 











