Prova Calculo 2 Alimentos Prova

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UFSCar - Universidade Federal de Sa˜o Carlos
Engenharia Ambiental - 20/10/2016
Mesoconteu´do: Ca´lculo 2
Q1
Q2
Q3
Q4
Σ
Observac¸o˜es:
• Escreva de maneira leg´ıvel e organizada todo o seu racioc´ınio.
• Respostas diretas e sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
• O professor na˜o podera´ auxiliar durante a prova.
Nome: RA:
(Q1) (2.0 pontos) Avalie os limites a seguir:
(a) lim
(x,y)→(1,0)
xy − y
(x− 1)2 + y2 (b) lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x− y
(Q2) (3.0 pontos) Observe a curva abaixo, dada por r(t) = (t−sin t, 1−cos t), 0 ≤ t ≤ 2pi, conhecida como
ciclo´ide. Esta curva e´ descrita por um ponto sobre um c´ırculo que gira enquanto caminha sobre o
pi
2
pi 3pi
2
2pi
1
2
x
y
eixo x sem escorregar, i.e., e´ o resultado da combinac¸a˜o de uma rotac¸a˜o com uma translac¸a˜o. Foi
no se´culo XVII, enta˜o, que a maior parte dos estudos sobre as propriedades f´ısicas e matema´ticas
da ciclo´ide se desenvolveram. De fato, a curva foi de grande importaˆncia ao per´ıodo em que a
geometria anal´ıtica de Fermat, Descartes e Roberval; o ca´lculo diferencial de Newton e Leibnitz
e os me´todos dos indivis´ıveis de Cavalieri e Torricelli nasciam e consolidavam-se, aparecendo nos
problemas e discusso˜es propostos nas Acta Eruditorum de Leipzig e nas correspondeˆncias do c´ırculo
de Mersenne. Sua ocorreˆncia foi ta˜o presente ao longo do se´culo, e seu estudo pivoˆ de tantas
controve´rsias que a ciclo´ide foi chamada no fim do se´culo por Johann Bernouilli I, em 1699, na
Acta Eruditorum, de “curva fat´ıdica do se´culo XVII”, ale´m de ter recebido os apelidos de “pomo
da disco´rdia”e “a Helena dos geoˆmetras”. Veˆ-se, enta˜o, que a “curva fat´ıdica do se´culo XVII”
interessou os maiores matema´ticos da e´poca e foi, assim, protagonista nas grandes mudanc¸as na
abordagem dos problemas geome´tricos desenvolvidas por Descartes, Fermat, Newton, Leibnitz e
outros fundadores da matema´tica moderna. Para se ter uma ideia da aplicac¸a˜o desta curva na
arquitetura, os arcos da catedral de Londres foram inspirados em ciclo´ides.
Jornal Folha de S. Paulo, 13 de julho 2016.
Baseada na sua equac¸a˜o parame´trica descrita no enunciado desta questa˜o, calcule:
(a) r′(t) e os pontos sobre a ciclo´ide que tem reta tangente paralela ao eixo x.
(b) a curvatura da ciclo´ide no ponto P = (pi, 2). Qual a interpretac¸a˜o deste resultado?
(c) o seu comprimento, para 0 ≤ t ≤ 2pi. [Ajuda: utilize a relac¸a˜o 1− cos t = 2 sin2(t/2) para
resolver a integral resultante].
O resultado que voceˆ calculara´ nesta questa˜o, foi feito por Galileu, em 1685, e ficou aberto por
mais de 1500 anos na histo´ria da humanidade.
1
(Q3) (2.0 pontos) Suponha que um cilindro de raio r e altura h esteja sendo cheio de ar e as medidas
de suas dimenso˜es estejam variando com o tempo t. Suponha que a taxa com que a altura varia
seja o dobro com a qual o raio varia, e que o raio esteja crescendo e a altura decrescendo. Em um
dado instante, medimos o raio e altura deste cilindro e o valores observados foram de 4 m e 6 m,
respectivamente. Qual a taxa com que o raio e altura esta˜o variando neste instante da medic¸a˜o, de
maneira que a taxa de variac¸a˜o da a´rea total deste cilindro seja igual crescente, de mo´dulo igual a
pi?
(Q4) (3.0 pontos) Considere a func¸a˜o f : D → R dada por
f(x, y) = ln
√
x
y
.
(a) Determine e esboce o seu domı´nio D no sistema a seguir.
−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3.
x
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
y
0
(b) Determine ∂f∂x e
∂f
∂y no ponto P = (1, 1, 0) e interprete esses nu´meros.
(c) Obtenha a equac¸a˜o do plano tangente a` esta func¸a˜o no ponto P do item (b).
(d) Estime o valor de ln
√
1.04
0.98 usando como aproximac¸a˜o, o plano tangente obtido no item (c).
2