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Aula 2 Estruturas Reticuladas

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CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I
Aula	02	– Estruturas	Reticuladas
Mapa	Conceitual
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 2
Material	didático	e	Bibliografia
Maria	Cascão	Ferreira	de	Almeida,	Estruturas	Isostáticas,	editora:	
Oficina	de	Textos,	edição:	1,	ano:	2009
MARTHA,	L.	F.	C.	R.	Análise	de	estruturas:	conceitos	e	métodos	
básicos.	Rio	de	Janeiro:	Elsevier,	2010.	
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 3
FTOOL:	www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 4
Estruturas	Reticuladas
Conceito	de	Estruturas
• Na	Engenharia	Civil,	especificamente,	
denomina-se	estrutura a	parte	
resistente	de	uma	construção,	que	
pode	ser	definida	como	a	composição	
de	uma	ou	mais	peças,	ligadas	entre	si	
e	ao	meio	exterior	de	modo	a	formar	
um	sistema	em	equilíbrio.
– Peças:	vigas,	pilares,	lajes,	paredes,	
sapatas	e	blocos.
– Materiais	diversos:	Concreto	armado,	
concreto	protendido,	aço	e	madeira.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 5
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.	14	)
Tipos	de	Elementos	Estruturais
• Classificação	quanto	às	suas	dimensões	e	às	direções	das	ações:
–Unidimensionais	(ou	reticulados)
–Bidimensionais
–Tridimensionais
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 6
Elementos	Unidimensionais	(ou	reticulares)
® são	estruturas	compostas	por	elementos	unidimensionais,	ou	
seja,	em	que	o	comportamento	prevalece	sobre	as	outras	
dimensões.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 7
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.15)
Elementos	Bidimensionais
® são	aqueles	em	que	duas	de	suas	dimensões	prevalecem	sobre	
a	terceira.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 8
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.16)
Elementos	Tridimensionais
® são	as	estruturas	maciças	em	que	as	três	dimensões	se	
comparam.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 9
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.16)
Esforços	ou	Ações- Classificação
• O	objetivo	na	Engenharia	Civil	é	garantir,	por	meio	do	cálculo	estrutural,	que	
os	esforços	resistentes	internos	(ERI)	sejam	maiores	que	os	esforços	
solicitantes	internos	(ESI).
ERI	>	ESI
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 10
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.17)
Estruturas	Reticuladas
• São	constituídas	por	
elementos	unidimensionais,	
simplesmente	denominados	
elementos	ou	barras,	cujos	
comprimentos	prevalecem	em	
relação	às	dimensões	da	seção	
transversal	(largura	e	altura).
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 11
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.20)
Conceitos	Elementares
Força
• grandeza	vetorial
– direção
– sentido
– intensidade
– ponto	de	aplicação
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 12
Momento
O	momento	representa	a	tendência	de	rotação,	em	
torno	de	um	ponto,	provocada	por	uma	força.
• grandeza	vetorial
• direção
• sentido
• intensidade
• ponto	de	aplicação
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.23)
Sistemas	de	Forças	
Um	sistema	de	forças	é	um	conjunto	de	
uma	ou	mais	forças	e/ou	momentos.
Redução	de	sistemas	de	forças	a	um	ponto
• Determinar	a	ação,	em	relação	ao	ponto	
O,	das	forças	e	momentos	que	
compõem	o	sistema.
• A	ação	estática	de	um	sistema	de	forças	
no	espaço,	em	relação	a	um	dados	
ponto	O,	é	igual	à	ação	estática	da	
resultante	das	forças	e	à	do	momento	
resultante	em	relação	ao	ponto	O.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 13
• Redução	do	sistema	de	forças	indicado	abaixo,	composto	
por	duas	forças,	ao	ponto	O.
• Vetorialmente	tem-se	no	ponto	O:
• 𝑭𝟎 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐
• 𝑴𝟎 = 𝑶𝟏	∧ 𝑭𝟏 + 𝑶𝟐	∧ 𝑭𝟐
• Intensidade	da	força	resultante	em	O é:	𝑭𝑶 = −𝑭𝟏 + 𝑭𝟐
• Intensidade	do	momento	resultante	em	
O é:	𝑴𝑶 = −𝑭𝟏. 𝒅𝟏 + 𝑭𝟐. 𝒅𝟐
Sistemas	de	Forças	
• Redução,	ao	ponto	O,	do	sistema	de	
forças	indicado	abaixo,	composto	por	
uma	força	𝑭𝟏 e	um	momento	𝑴𝟐.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 14
• Vetorialmente	tem-se	no	ponto	O:
• 𝑭𝟎 = 𝑭𝟏
• 𝑴𝟎 = 𝑶𝟏	∧ 𝑭𝟏 +𝑴𝟐
• Intensidade	da	força	resultante	em	O é:	𝑭𝑶 = −𝑭𝟏
• Intensidade	do	momento	resultante	em	
O é:		𝑴𝑶 = −𝑭𝟏. 𝒅𝟏 −𝑴𝟐
Equilíbrio	Estático - Deslocamentos	associados
• Uma	força	𝑭 quando	aplicada	a	um	corpo	rígido	impõe	a	este	
uma	tendência	de	deslocamento	linear,	ou	translação.
• Um	momento	𝑴 quando	aplicado	a	um	corpo	rígido	impõe	a	
este	uma	tendência	de	deslocamento	angular,	ou	rotação.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 15
Ação Deslocamentos	associados
Força Translação
Momento Rotação
Graus	de	liberdade
• No	espaço,	utilizando	um	sistema	de	eixos	referenciais,	os	
vetores	de	deslocamentos	são	expressos	por	suas	componentes	
nos	3	eixos	ortogonais	X,	Y e	Z,	as	quais	são	denominados	graus	
de	liberdade.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 16
• Os	vetores	de	deslocamentos	lineares:	𝑫𝒙,𝑫𝒚 e	𝑫𝒛
ou∆𝒙, ∆𝒚 e	∆𝒛
• Os	vetores	de	deslocamentos	angulares:𝜽𝒙,	𝜽𝒚 e	𝜽𝒛
Apoios
• Visando	impedir	a	tendência	de	movimento	
imposta	às	estruturas	pelos	sistemas	de	forças	
externas	ativas,	os	seus	seis	graus	de	
liberdade	precisam	ser	restringidos,	
possibilitando	assim	o	equilíbrio	estático.
• Essa	restrição	se	dá	por	meio	dos	apoios ou	
vínculos.
• São	classificados em	função	do	número	de	
graus	de	liberdade	impedidos.
• Nas	direções	dos	deslocamentos	impedidos	
surgem	as	forças	reativas	ou	reações	de	
apoio.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 17
Equações	de	equilíbrio	estático
• O	que	impede	que	as	estruturas	se	desloquem	quando	submetidas	a	forças	
ativas	são	os	apoios.
• Os	apoios	geram	forças	reativas	nas	direções		dos	deslocamentos	impedidos.
• As	forças	e	momentos	reativos	formam	com	as	forças	e	momentos	ativos,	um	
sistema	de	forças	em	equilíbrio.
Equações	do	equilíbrio	estático:
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 18
Forças5𝐹7�� = 05𝐹:�� = 05𝐹;�� = 0
Momentos5𝑀7�� = 05𝑀:�� = 05𝑀;�� = 0
Esquemas	e	simplificações	de	cálculo
• Geometria:	representação	da	barra	por	meio	do	seu	eixo;
• Sistema	de	forças:	forças	e	momentos	concentrados	e	
distribuídos;
• Análise	numérica a	ser	efetuada:	planas	e	espaciais;
• Representação	dos	apoios.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 19
Representação	das	forças	aplicadas	(carregamentos)
As	cargas	podem	ser
Forças Concentradas
Distribuídas Uniformes,	triangulares,	
trapezoidais,	outras
Momentos Concentrado
Distribuídos
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 20
Cargas	Concentradas
força	concentrada	em	um	ponto
• O	conceito	de	carga	concentrada	
(força	ou	momento)	é	uma	
simplificação	para	efeito	de	cálculo.
• Quando	uma	força	se	distribui	
sobre	uma	área	considerada	
pequena	em	relação	as	dimensões	
da	estrutura.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 21
(Curso	de	Análise	Estrutural	I,	Sussekind,	(pg.41)
Cargas	distribuídas	
força	distribuída	linearmente	ao	longo	dos	eixos	dos	elementos.
• O	conceito	de	carga	distribuída	ao	longo	do	comprimento	(força	ou	momento)	
é	uma	simplificação	para	efeito	de	cálculo.
• Nas	estruturas	reticulares,	as	forças	ou	momentos	distribuídos	linearmente	são	
considerados	ao	longo	dos	eixos	dos	elementos.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 22
(Curso	de	Análise	Estrutural	I,	Sussekind,	pg.42)
Cargas	distribuídas
• Unidade	de	força	distribuída	ao	longo	de	um	determinado	
comprimento:
• Unidade	de	momento	distribuído	ao	longo	de	um	determinado	
comprimento:
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 23
Resultantes	dos	carregamentos	distribuídos
• A	resultante	de	uma	carga	distribuída	ao	longo	de	um	
comprimento	L,	expressa	pela	função	q(x)é	igual	a	área	
delimitada	pela	função	q(x) em	um	intervalo:
• O	ponto	de	aplicação	da	resultante	R é	coincidente	com	o	
centro	de	gravidade	do	diagrama	de	q(x).
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 24
𝑅 = > 𝑞 𝑥 . 𝑑𝑥BC
Resultantes	dos	carregamentos	distribuídos
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 25
(Estrut
uras	Is
ostátic
as,	Mar
ia	Casc
ão,	pg.3
0)
Simplificações	analíticas
• Seja	um	modelo	estrutural	plano,	com	estrutura	
contida	no	plano	XY.
• Uma	vez	assegurado	o	equilíbrio	nas	outras	
direções	de	deslocamento,	as	direções	de	
deslocamento	a	serem	consideradas	numa	análise	
matemática	simplificada	são:
– Translação	em	X
– Translação	em	Y
– Rotação	em	torno	de	Z
• As	vigas,	os	pórticos	planos e	as	treliças	planas são	
casos	particulares	do	modelo	de	pórtico	espacial	
onde	somente	estas	direções	de	deslocamentos	
estão	sendo	consideradas	na	análise.
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 26
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.25)
Representação	dos	apoios
• Os	apoios	são	classificados	em	função	do	número	
de	deslocamentos	impedidos
• Apoio	Simples (do	primeiro	gênero	ou	“charriot”)
– Impede a	translação	em	uma	das	direções.
– Permite a	translação	na	direção	
perpendicular	à	impedida.
– Permite a	rotação	(em	torno	de	Z).
• Rótula (apoio	do	segundo	gênero	ou	articulação)
– Impede as	translações	nas	duas	direções	(X e	
Y).
– Permite a	rotação	(em	torno	de	Z).
• Engaste (	ou	apoio	de	terceiro	gênero)
– Impede as	translações	nas	duas	direções	(X e	
Y).
• Impede a	rotação	(em	torno	de	Z).
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 27
(Estrut
uras	Is
ostátic
as,	Mar
ia	Casc
ão,	pg.3
0)
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 28
(Anális
e	de	Es
trutura
s,	Luiz	
Fernan
do	Mar
tha,	pg
.20)
FTOOL:	www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
2	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 29

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