Aula 4 Esforços Solicitantes Internos (ESI)

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CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I
Aula	04	– Esforços	Solicitantes	Internos
Mapa	Conceitual
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 2
Material	didático	e	Bibliografia
Maria	Cascão	Ferreira	de	Almeida,	Estruturas	Isostáticas,	editora:	
Oficina	de	Textos,	edição:	1,	ano:	2009
MARTHA,	L.	F.	C.	R.	Análise	de	estruturas:	conceitos	e	métodos	
básicos.	Rio	de	Janeiro:	Elsevier,	2010.	
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 3
FTOOL:	www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 4
Estabilidade	e	Estaticidade
• A	estabilidade	e	a	estaticidade devem	ser	estudadas	
simultaneamente.
Atualizado	em	15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 5
Estaticidade e	Estabilidade	de	Modelos	Planos
Quanto à Estabilidade as	estruturas podem ser classificadas
como:
• Estáveis:
üQuando o	sistema de	forças reativas for	capaz de	equilibrar qualquer
sistema de	forças ativas.	
• Instáveis:	
üQuando as	forças reativas forem em número insuficiente.
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Estaticidade e	Estabilidade	de	Modelos	Planos
Quanto	à	Estaticidade as	estruturas	podem	ser	classificadas	
como:
• Hipostáticas :	sempre	instáveis.
• Isostáticas:	sempre	estáveis.
• Hiperesrtáticas:	sempre	estáveis.
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Grau	de	Estaticidade
• Uma	estrutura	será	estática	quando	o	número	e	a	posição	dos	
apoios	forem	suficientes	para	o	equilíbrio	da	mesma.	
• Essa	“estaticidade”	pode	ser	definida	pelo	número	de	
solicitações	existentes	(incógnitas)	e	pelo	número	de	equações	
disponíveis	para	sua	análise,	visto	que,	nessa	análise,	será	́
gerado	um	sistema	de	equações,	que	pode	ser	determinado	ou	
indeterminado.
Atualizado	em	15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 8
Estruturas	externamente	Isostáticas
• Quando	os	apoio	de	uma	
estrutura,	em	equilíbrio	
estável,	são	em	número	
estritamente	necessário	
para	impedir	todos	os	seus	
possíveis	movimentos.
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.37)	
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Estruturas	externamente	Hiperestáticas	
• Quando	os	apoio	de	uma	
estrutura,	em	equilíbrio	estável,	
são	em	número	superior	ao	
estritamente	necessário	para	
impedir	seu	movimento.
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.38)	
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 10
Estruturas externamente Hipostáticas
• Quando	o	número	de	apoios	
de	uma	estrutura	é	
insuficiente	para	estabelecer	
o	equilíbrio.
(Estruturas	Isostáticas,	Maria	Cascão,	pg.38)
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Estruturas Reais
Ao	Engenheiro	Civil	somente	interessam	as	estruturas	estáveis.
üIsostáticas		
üHiperestáticas
A	grande	maioria	é	hiperestática	
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 12
Exemplo 1:	(Estática	das	Estruturas,	Soriano,	pg.90)
• ∑𝐹#�� = 0
• ∑𝑀(�� = 0			𝑜𝑢		
• ∑𝑀,�� = 0
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 13
A B
C
15	KN/m
10	KN
VA VB
2	m 2	m 2	m
Exemplo 1:	(Estática	das	Estruturas,	Soriano,	pg.90)
• Podemos confirmar	com	mais	
uma	equação	de	equilíbrio	
quanto	à	rotação	em	torno	de	
B:
• ∑𝑀,�� = 010×2 + 90×1 − 𝑉(×4 = 010×2 + 90×1 − 27,50×4 = 020 + 90 − 110 = 00 = 0
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 14
• ∑𝐹#�� = 0𝑉( − 10 − 15×6 + 𝑉, = 0𝑉( + 𝑉, = 100
• ∑𝑀(�� = 0−10×2 − 90×3 + 𝑉,×4 = 0𝑉, = 20 + 2704 = 2904
• 𝑉, = 72,50	𝐾𝑁
• 𝑉( = 27,50	𝐾𝑁
Exemplo 2:	(Estática	das	Estruturas,	Soriano,	pg.90)
• ∑𝐹#�� = 0
• ∑𝑀(�� = 0			𝑜𝑢		
• ∑𝑀,�� = 0
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 15
A
B C
30		KN/m
40	KN
VB VC
2	m 6		m 2	m
D
Exemplo 2:	(Estática	das	Estruturas,	Soriano,	pg.90)
• Podemos	confirmar	com	mais	
uma	equação	de	equilíbrio	
quanto	à	rotação	em	torno	de	C:
• ∑𝑀<�� = 040×8 − 𝑉,×6 + 300×3 = 0320 − 203,34×6 + 900 = 0320 − 1220 + 900 = 00 = 0
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 16
• ∑𝐹#�� = 0−40 + 𝑉, − (30×10) + 𝑉< = 0𝑉, + 𝑉< = 340
• ∑𝑀,�� = 040×2 − 300×3 + 𝑉<×6 = 0𝑉< = 900 − 806 = 8206𝑉< = 136,67		𝐾𝑁𝑉, = 203,34		𝐾𝑁
Objetivo	da	Análise	Estrutural	
üDeterminação	das	reações	de	apoio.
üDeterminação	dos	esforços	solicitantes	internos	(ESI)
üEstruturas	Isostáticas	® determinação	do	
comportamento	interno	das	estruturas
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Esforços	Internos
üEsforços	internos	em	uma	estrutura	caracterizam	as	ligações	
internas	de	tensões,	isto	é,	esforços	internos	são	integrais	de	
tensões	ao	longo	de	uma	seção	transversal	de	uma	barra.
üEsforços	internos	representam	o	efeito	de	forças	e	momentos	
entre	duas	porções	de	uma	estrutura	reticulada	resultantes	de	
um	corte	em	uma	seção	transversal.
üOs	esforços	internos	correspondentes	de	cada	lado	da	seção	
seccionada	são	iguais	e	contrários,	pois	correspondem	uma	ação	
e	a	reação	correspondente.
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Esforços	Internos
(E
st
ru
tu
ra
s	I
so
st
át
ica
s,	
M
ar
ia
	C
as
cã
o,
	p
g.
42
)
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Esforços	Internos
• As	componentes	dessas	resultantes	são	denominados	esforços	
seccionais ou	esforços	solicitantes	internos ou	simplesmente	
esforços	internos.
• N® esforço	ou	força	normal
• V	ou	Q® esforço	ou	força	cortante
• M® (esforço)	momento	fletor
• T® (esforço)	momento	de	torção
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(E
st
át
ica
	d
as
	E
st
ru
tu
ra
s,	
So
ria
no
,	p
g.
69
)
Esforços	Internos
• N® esforço	ou	força	normal
• V ou	Q® esforço	ou	força	cortante
• M® (esforço)	momento	fletor
• T® (esforço)	momento	de	torção
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(Estática	das	Estruturas,	Soriano,	pg.70)
Convenção	de	sinais	dos	ESI	e	Tipos	de	Solicitações
• N® tração	/	compressão
• M® Flexão
• V	ou Q® Cisalhamento
• T® Torção
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M+M-
V-V+
SEÇÃO
(Estática	das	Estruturas,	Soriano,	pg.74)
Viga	bi	apoiada	com	uma	carga	concentrada	
(Notas	de	aula	Prof.	Luiz	Fernando	Martha	– PUC-Rio)
(1) Seção	S à	esquerda da	carga	
concentrada	(x <	a)
(2) Seção	S à	direita da	carga	
concentrada	(x >	a)
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VA VB 
P 
x 
a b 
l 
S 
Q 
M Q M 
x (a–x) 
(l–x) 
P 
VA VB 
 
VA VB 
P 
S 
Q 
M Q M P 
VA VB 
x 
a b 
l 
x (l–x) 
Reações	de	apoio
• Determinar	pelo	equilíbrio	global	da	viga:	∑𝐹@�� = 0 e	∑𝑀(�� = 0:
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 24
A𝐹#�� = 0𝑉( + 𝑉, = 𝑃 A𝑀(
�
� = 0−𝑃𝑎 + 𝑉,. 𝑙 = 0𝑽𝑩 = 𝑷𝒂𝒍
A𝑀,�� = 0𝑃𝑏 − 𝑉(. 𝑙 = 0𝑽𝑨 = 𝑷𝒃𝒍𝑉( + 𝑉, = 𝑃𝑉( = 𝑃 − 𝑃𝑎𝑙 = 𝑃 1 − 𝑎𝑙 = 𝑃 𝑙 − 𝑎𝑙𝑽𝑨 = 𝑷𝒃𝒍
Esforço	cortante	e	momento	fletor	em	uma	transversal	S
• Determinados	pelo	equilíbrio	de	cada	porção	isolada	da	viga	quando	é	dado	um	corte	
em	S.
• Na	situação	(1) – (x <	a)	–,	o	equilíbrio	da	porção	à	esquerda da	seção	S fornece:
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A𝐹#�� = 0−𝑸 + 𝑉( = 0 → 𝑸 = +𝑷𝒃𝒍
A𝑀P�� = 0𝑴 − 𝑉(. 𝑥 = 0 → 𝑴 = 𝑷𝒃𝒙𝒍
M
+
Q
-
OBS:	o	mesmo resultado tem	que	ser	obtido	se	Q e	M forem	
calculados	através	do	equilíbrio	da	porção	à	direita de	S:
A𝐹#�� = 0𝑄 − 𝑃 + 𝑉, = 0𝑄 = 𝑃 − 𝑉,𝑄 = 𝑃 − 𝑃 𝑎𝑙𝑄 = +𝑃 1 − 𝑎𝑙 = +𝑃 𝑙 − 𝑎𝑙𝑙 − 𝑎 = 𝑏𝑸 = +𝑷𝒃𝒍
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 26
A𝑀P�� = 0−𝑀 − 𝑃 𝑎 − 𝑥 + 𝑉,. 𝑙 − 𝑥 = 0𝑀 = −𝑃 𝑎 − 𝑥 + 𝑃𝑎𝑙 (𝑙 − 𝑥)𝑀 = −𝑃𝑎 + 𝑃𝑥 + 𝑃 𝑎𝑙𝑙 − 𝑃 𝑎𝑥𝑙𝑀 = +𝑃(𝑥 − 𝑎 + 𝑎 − 𝑎𝑥𝑙 )𝑀 = +𝑃 𝑥 − 𝑎𝑥𝑙 = +𝑃𝑥 1 − 𝑎𝑙𝑀 =+𝑃𝑥 𝑙 − 𝑎𝑙𝑴 = +𝑷𝒃𝒙𝒍
M
-
Q
+
Para	a	situação	(2) – (x >	a)	–,	é	mais	fácil	entrar	pelas	
forças	que	estão	à	direita da	seção	S:
A𝐹#�� = 0𝑄 + 𝑉, = 0𝑸 = −𝑷𝒂𝒍
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 27
A𝑀P�� = 0−𝑀 + 𝑉,. (𝑙 − 𝑥) = 0𝑀 = +𝑉,. 𝑙 − 𝑥𝑀 = +𝑷𝒂. (𝒍 − 𝒙)𝒍
M
-
Q
+
Exercício	Resolvido	1:	Determinar	os	ESI nas	seções	S1 e	S2.	
A𝐹@�� = 0−𝐻( + 2𝑃 = 0𝐻( = 2𝑃
A𝐹#�� = 0𝑉( − 3𝑃 + 𝑉, = 0𝑉( + 𝑉, = 3𝑃
A𝑀(�� = 0−3𝑃×2𝑎 + 𝑉,×3𝑎 = 0𝑉, = 3𝑃. 2𝑎3𝑎𝑽𝑩 = 𝟐𝑷𝑉( = 3𝑃 − 2𝑃𝑽𝑨 = 𝑷
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Exercício	Resolvido	1:		 Cálculo	dos	ESI
• ESI em	S1 (única	seção)
• ESI em	S2 (duas	seções	– presença	de	descontinuidade)
ü𝑆XY ou	𝑆XZ (imediatamente	à	esquerda/anterior	de	S2)
ü𝑆X[ ou	𝑆X\ (imediatamente	à	direita/posterior	de	S2)
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 29
Exercício	Resolvido	1:	Cálculo	dos	ESI	em	S1
• 𝑁 − 2𝑃 = 0𝑵 = 𝟐𝑷 (tração	+	pela	ação	de	𝐻()
• 𝑃 − 𝑄 = 0𝑸 =	+𝑷 (cortante	+	por	𝑉()
• 𝑀 − 𝑃. 𝑎 = 0𝑴 = 𝑷. 𝒂 (momento	+)
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M
+
M
-
Q
-
Q
+
Exercício	Resolvido	1:
Cálculo	dos	ESI	em	𝑺𝟐𝒆 ou	𝑺𝟐𝒂 (imediatamente	à	esquerda/anterior	de	S2)
• 𝑵 = +𝐻( = 𝟐𝑷
• 𝑸 =	+𝑉( = 𝑷
• 𝑴 = +𝑉(. 2𝑎 = 𝑷. 𝟐𝒂
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 31
M+M-
V-V+
SEÇÃO
Exercício	Resolvido	1:
Cálculo	dos	ESI	em	𝑺𝟐𝒅 ou	𝑺𝟐𝒑 (imediatamente	à	direita/posterior	de	S2)
• 𝑵 = 𝟎 (nulo)
• 𝑄 + 𝑉, = 𝟎𝑸 =	−𝑉, = −𝟐𝑷
• −𝑀 + 𝑉,. 𝑎 = 0𝑴 = +𝑉,. 𝑎 = 𝟐𝑷. 𝒂
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 32
M+M-
V-V+
SEÇÃO
FTOOL:	www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 33