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Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Antenas
Parte 5 – Conjuntos de Antenas
1
Prof. Cláudio Garcia Batista
Departamento das Engenharias de Telecomunicações e Mecatrônica (DETEM)
Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ) 
Campus Alto Paraopeba - Ouro Branco/MG
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Parte 5 – Conjuntos de Antenas
• Introdução
• Conjunto de dois elementos
• Conjunto linear de N elementos
2
• Conjunto linear tipo Broadside
• Conjunto linear tipo End-Fire
• Conjunto planar de MxN elementos
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas : introdução
• Para modificar o padrão de radiação de uma antena é possível construir
Conjuntos de Antenas (Arrays).
• Usualmente, deseja-se aumentar a diretividade em determinadas direções
e obter um padrão de cobertura específica para a aplicação em questão.
• O conjunto pode ser formado por qualquer tipo de antena (filamentar,
antena de abertura, refletora, microstrip, etc ). Na maioria dos casos,
utiliza-se antena idêntica no conjunto → a análise é mais simples e
3
utiliza-se antena idêntica no conjunto → a análise é mais simples e
prática.
• Nesse sentido, o campo total do conjunto é determinado pela adição
vetorial dos campos irradiados pelos elementos individuais. Assume-se
que as correntes em cada elemento são aquelas dos elementos isolados.
(Na verdade, depende da distância de separação dos elementos).
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas : introdução
• Exemplos de Conjuntos:
4
Loop circular Refletora Parabólica
Microstrip (antena impressa)
Dipolo dobrado Dipolo
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: introdução
• Para conjunto de elementos idênticos, cinco fatores básicos podem ser
considerados para modificar o padrão de radiação final:
1. Disposição geométrica dos elementos (linear, circular, retangular, etc);
2. Distanciamento dos elementos;
3. Amplitude da corrente de cada elemento;
5
4. Fase da corrente de cada elemento;
5. Padrão de radiação de cada elemento.
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto de dois elementos
• Primeiramente, vamos analisar o caso mais simples de um conjunto de dois
elementos. Sejam dois dipolos infinitesimais horizontais separados por uma
distância d:
P
6
• Observe que o campo elétrico de um único elemento isolado é dado por:
( )
θθ
π
η α ˆcos
4
0
r
elkIj
E
rjk +−
=
r
αj
in eII
−= 0
• Onde a corrente de excitação do elemento é:
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto de dois elementos
• Desprezando o acoplamento mútuo, o campo total no ponto P é a soma dos
campos de cada dipolo.
( ) ( )
θθθ
π
η αα ˆcoscos
4
2
2
1
1
0
21
2211






+=+=
+−+−
r
e
r
elkIj
EEE
rjkrjk
t
rrr
• e as correntes de excitação possuem a mesma amplitude I0 mas diferentes
fases.
• Na região de campo distante: θθθ ≈≈
7
• Na região de campo distante: θθθ ≈≈ 21
θcos
2
1
d
rr −≈
θcos
2
2
d
rr +≈
para termos 
de fase
rr ≈1
rr ≈2
para termos de 
amplitude
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto de dois elementos
• Logo:
θαθαθ
θ
π
η
ˆcos
2
expcos
2
exp
cos
4
21
0

















 −−+










 +
=
−
d
jk
d
jk
r
elkIj
E
jkr
t
r
• Escrevendo as fases das correntes em função da diferença de fase relativa
β:
8
β:
2
1
β
α =
2
2
β
α −=
( ) ( ) θβθβθ
θ
π
η
ˆcos
2
expcos
2
exp
cos
4
0









 +−+


 +
=
−
d
jk
d
jk
r
elkIj
E
jkr
t
r
• chega-se a:
βαα =−→ 21
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto de dois elementos
• Observando a relação:
x
ee jxjx
cos
2
=
+−
( ) θβθθ
π
η ˆcos
2
1
cos2cos
4
0











 +=
−
kd
r
elkIj
E
jkr
t
r
• O campo total do conjunto é dado por:
Fator de conjunto (FC) 
9
• Logo, o campo total é o campo original do elemento isolado multiplicado por
um fator de conjunto FC:
Fator de conjunto (FC) 
Array Factor (AF)
• Veja que o fator de conjunto depende do distanciamento d entre os
elementos e da diferença de fase relativa β das correntes de cada
elemento. Não depende do padrão de radiação dos elementos.
( )




 += βθcos
2
1
cos2 kdFC
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto de dois elementos
• Exemplo: conjunto de dois dipolos infinitesimais horizontais:
090+=β 4
λ=d
10
Padrão do Elemento isolado Fator de conjunto Padrão do conjunto
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto de dois elementos
• Exemplo: conjunto de dois dipolos infinitesimais horizontais:
090−=β 4
λ=d
11
Padrão do Elemento isolado Fator de conjunto Padrão do conjunto
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto linear de N elementos
• Para o caso geral de geometria linear:
{ }conjunto deFator ×= elementot EE
rr
• e é válido para qualquer conjunto de N elementos idênticos com
espaçamento, amplitude e fase de correntes arbitrários.
• O Fator de conjunto depende da disposição geométrica dos elementos,
espaçamento, amplitude e fase de corrente.
12
espaçamento, amplitude e fase de corrente.
• Como não depende do padrão de radiação dos elementos em questão,
pode ser obtido substituindo os elementos por fontes isotrópicas puntuais.
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Vamos generalizar para N elementos numa geometria linear com
espaçamento relativo progressivo d (eqüidistantes), amplitude de fase I0 e
diferença de fase relativa progressiva β:
Conjuntos de Antenas: conjunto linear de N elementos
13
β
β
β
N fontes isotrópicas 
puntuais
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Considerando que o campo elétrico de cada elemento isolado possui a forma:
βφθ jn
n
jkr
nn e
r
e
fE
n−
= ),(
rr
• Logo:
φθ
1
11
1
),(
jkr
jkr
r
e
fE
rr
rr
=Elemento 1: 0 →
Fase
Conjuntos de Antenas: conjunto linear de N elementos
fase de da corrente de excitação
14
β
β
φθ
φθ
2
3
33
2
22
3
2
),(
),(
j
jkr
j
jkr
e
r
e
fE
e
r
e
fE
rr
rr
=
=Elemento 2: β →
Elemento 3: 2β →
Elemento N: (N-1)β →
M
βφθ )1(),( −= Nj
N
jkr
NN e
r
e
fE
Nrr
M
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Na região de campo distante:
θθθθ ≈≈≈ N21
rr ≈1
θcos2 drr −≈
para termos de fase
rrrrr N ≈≈≈≈ 321 para termos de amplitude
Conjuntos de Antenas: conjunto linear de N elementos
15
2
para termos de fase
θcos23 drr −≈
θcos)1( dNrrN −−≈
• O campo total do conjunto é o somatório dos campos de todos os elementos:
[ ][ ]






+−= ∑
=
− N
n
jkr
t kdnj
r
e
fE
1
cos)1(exp),( βθφθ
rr
( )rrrr nn ˆ•−≈
r
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Logo, o fator de conjunto para N elementos idênticos, espaçados cada um de
uma distância d (eqüidistantes), excitados com corrente de amplitude I0 e
defasadas de β radianos entre elas é dado por:
• ou:
[ ]{ }∑
=
+−=
N
n
kdnjFC
1
cos)1(exp βθ
∑ −=
N
njeFC )1( ψ
Conjuntos de Antenas: conjunto linear de N elementos
16
∑
=
−=
n
njeFC
1
)1( ψ
βθψ += coskd
• Pode-se mostrar que (seção 6.3 de [1]):












=
−
2
22
)1(
ψ
ψ
ψ
sen
N
sen
eFC
Nj
( )rz ˆˆ •Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Se o ponto de referência passa a ser o centro geométrico do conjunto (não
mais a origem do sistema de coordenadas):
• Os máximos de FC ocorrem quando :
βθψ += coskd
Conjuntos de Antenas: conjunto linear de N elementos












=
2
2
ψ
ψ
sen
N
sen
FC
0=


ψ
sen
17
• Os máximos de FC ocorrem quando :
π
ψψ
msen ±=→=





2
0
2
πβθ mkd m 2cos ±=+⇒ ,...2,1,0=m
0
2
=




ψ
sen



 −±= −
kd
m
m
βπ
θ
2
cos 1
• Logo:
,...2,1,0=m
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto linear de N elementos
• Os mínimos (nulos) ocorrem quando .0
2
=




 ψN
sen
π
ψψ
n
NN
sen ±=→=





2
0
2 N
n
kd n
π
βθ
2
cos ±=+⇒
,...3,2,1=n
,...3,2, NNNn ≠
18











 −±= −
kdN
n
n
12
cos 1 β
π
θ
• Logo:
,...3,2,1=n
,...3,2, NNNn ≠
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto linear de N elementos
• Observações importantes:
� O número de elementos N controla a diretividade máxima do fator de
conjunto FC. Quanto maior N maior o pico de FC.
� O termo kd controla o número de máximos de FC.
� A fase β desloca a função do fator de conjunto ao longo da direção θ.
• Lembre-se que para um ângulo de máximo θm ou mínimo θn existir o
19
• Lembre-se que para um ângulo de máximo θm ou mínimo θn existir o
argumento de deve estar entre -1 ≤ x ≤ 1.
• Se as antenas do conjunto estiverem no eixo x:
[ ]x1cos−
βφθψ += coskdsen
( )rx ˆˆ •
βφθψ += senkdsen
( )ry ˆˆ •
• Se as antenas do conjunto estiverem no eixo y:
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas
Exemplo 08
20
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Uma configuração comum para o conjunto linear estudado é a Broadside: um
único máximo ocorre na direção perpendicular ao eixo do conjunto. No caso
de elementos posicionados no eixo Z → θ=900.
• Exemplo do padrão de FC para N=10, β=0 e d=λ/4:
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo Broadside
21
• O elemento do conjunto também é escolhido de modo que seu padrão de
radiação possua máximo em θ=900.
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Lembrando que o máximo de FC ocorre quando:
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo Broadside
0
9000
=
=
m
θ ( )090coskd−=β
πβθψ mkd m 2cos ±=+= ,...2,1,0=m
• Assim, para máximo em θ=900:
0=β
( Diferença de fase nula)
22
• Logo, para máximo em θ=900 as correntes dos elementos devem possuir a
mesma fase (independe da distância de separação d).
• Para evitar máximos em outras direções, a distância de separação d não
deve ser múltipla inteira de λ:
Isso evita que e ocorra máximos indesejados em θ=00 e θ=1800.
( Diferença de fase nula)
λmd ≠ ,...2,1,0=m
mπψ 2=
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Pode-se mostrar que para conjunto Broadside com elementos isotrópicos, a
diretividade máxima é aproximada por (Seção 6.4 de [1]):
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo Broadside
<< λd





≅
λ
d
ND 20
• e a aproximação é válida para as seguintes condições:
( Linear)
( espaçamento entre elementos muito menor que lambda)
23
∞→
<<
λ
π
λ
dN
d
( comprimento elétrico do conjunto muito grande)
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Outra configuração comum para o conjunto linear é a End-Fire: um único
máximo ocorre na direção paralela ao eixo do conjunto. No caso de
elementos posicionados no eixo Z → θ=00 ou θ=1800 .
• Exemplo do padrão de FC para N=10 e d=λ/4:
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo End-Fire
24
β=+kdβ=-kd
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Lembrando que o máximo de FC ocorre quando:
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo End-Fire
0
000
=
=
m
θ ( )00coskd−=β
πβθψ mkd m 2cos ±=+= ,...2,1,0=m
• Assim, para máximo em θ=00:
kd−=β
25
0=m
• Para evitar máximo em outras direções (m=1,2,3,..):
πθ mkdkd m 2cos ±≠−
( )
1cos
1
2
cos
21cos
+±≠
+±≠
±≠−
d
m
kd
m
mkd
m
m
m
λ
θ
π
θ
πθ
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo End-Fire
• Assim:
0>
d
λ
(Condição naturalmente satisfeita)
2
λ
<d
11>+
d
mλ
11 −<+
d
mλ
λmλ
,..3,2,1 −−−=m
,..3,2,1 −−−=m
,..3,2,1=m
26
0>
d
λ
(Condição naturalmente satisfeita)
2
λ
<d
11>+−
d
mλ
11 −<+−
d
mλ ,..3,2,1=m
,..3,2,1 −−−=m
• Logo, basta impor:
2
λ
<d
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo End-Fire
0
18000
=
=
m
θ ( )0180coskd−=β
• Para máximo em θ=1800:
kd=β
• Para evitar máximo em outras direções (m=1,2,3,..):
πθ mkdkd m 2cos ±≠+
( ) 21cos ±≠+ mkd m πθ
27
( )
1cos
1
2
cos
21cos
−±≠
−±≠
±≠+
d
m
kd
m
mkd
m
m
m
λ
θ
π
θ
πθ
• Numa análise semelhante, chega-se a .
2
λ
<d
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Pode-se mostrar que para conjunto End-Fire com elementos isotrópicos, a
diretividade máxima é aproximada por (Seção 6.4 de [1]):
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo End-Fire





≅
λ
d
ND 40
• e a aproximação é válida para as seguintes condições:
( Linear)
28
∞→
<<
λ
π
λ
dN
d
2
( espaçamento entre elementos muito menor que lambda)
( comprimento elétrico do conjunto muito grande)
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
Conjuntos de Antenas: conjunto linear tipo Broadside/End-Fire
• Se , , ocorrerá máximo em θ=900 . Isso tornará o conjunto
tipo híbrido Broadside/End-Fire.
,..3,2,1=mλmd =
• Exemplo do padrão de FC para N=10, β=0 e d=λ:
29
Conjunto Tipo Broadside/End-Fire.
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Conjuntos planares são formados por MxN elementos dispostos numa
grade. A versatilidade é maior do que conjuntos lineares. Além disso,
consegue-se padrões mais diretivos e simétricos.
• Considere M elementos dispostos no eixo x, separados por uma distância dx
e formando uma grade com N elementos no eixo y separados de dy.
Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
30
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Os elementos são idênticos, com corrente de excitação de mesma
amplitude e diferença de fase progressiva βx e βy referente a cada
respectivo eixo.
• Veja que para cada elemento com índice mn (eixo x e eixo y ) o campo
elétrico é dado por
Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
mn
mn
j
mn
jkr
mnmnmn e
r
e
fE
βφθ
−
= ),(
rr
• onde:
31
• onde:
( ) ( )22 yxmn
yxmn
ndmdr
nm
+=
+= βββ
• Na região de campo distante:
yndxmdr yxmn ˆˆ +=
r
rrmn ≈
rrrr mnmn ˆ•−≈
r
para termos de amplitude
para termos de fase
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Logo:
Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
• Dessa forma, o campo na região de campo distante para um elemento:
yndxmdr
zysensenxsenr
xxmn
ˆˆ
ˆcosˆˆcosˆ
+=
++=
r
θφθφθ
( )φθφθ sensenndsenmdrr yxmn +−≈ cos
32
• O campo total do conjunto é o somatório dos campos de todos os
elementos:
[ ] [ ]






= ∑∑
= =
+−+−
− M
m
N
n
sensenkdnjsenkdmj
jkr
mnmnt
yyxx ee
r
e
fE
1 1
)1(cos)1(
),(
βφθβφθφθ
rr
( ) ( )yxyx mmjsensenndsenmdjk
jkr
mnmnmn ee
r
e
fE
ββφθφθφθ ++
−
= cos),(
rr
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Logo, o fator de conjunto:
Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
• e:
∑∑
= =
−−=
M
m
N
n
njmj yxeeFC
1 1
)1()1( ψψ
yyyxxx
sensenkd
senkd
βφθψ
βφθψ
+=
+= cos
33
• Procedendo da mesma forma do conjunto linear:
























=
2
2
2
2
y
y
x
x
sen
N
sen
sen
M
sen
FC
ψ
ψ
ψ
ψ
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Para máximos no padrão de radiação de FC:
Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
• Se necessário um único máximo na direção θ=θ0 e Ф=Ф0 :



±=+
±=+
⇒
πβφθ
πβφθ
qsensenkd
psenkd
yy
xx
2
2cos
0
22
=





=




 yx sensen
ψψ
,...2,1,0
,...2,1,0
=
=
q
p
0=p  =+ 0cossenkd βφθ  −= cosφθβ senkd
34
0
0
=
=
q
p



=+
=+
⇒
0
0cos
00
00
yy
xx
sensenkd
senkd
βφθ
βφθ



−=
−=
⇒
00
00 cos
φθβ
φθβ
sensenkd
senkd
yy
xx
22
0
0








+





=
=
y
y
x
x
yx
xy
kdkd
sen
d
d
tg
ββ
θ
β
β
φ
• Resolvendo o sistema:
Antenas - Prof. Cláudio Garcia
• Veja que para evitar outros máximos:
Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
,...3,2,1
,...3,2,1
=
=
q
p( )
( )


≠−
≠−
πφθφθ
πφθφθ
qsensensensenkd
psensenkd
y
x
2
2coscos
00
00
• Para mínimos no padrão de radiação de FC:
 sπ2
35





±=+
±=+
⇒
N
t
sensenkd
M
s
senkd
yy
xx
π
βφθ
π
βφθ
2
2
cos
0
22
=





=




 yx Nsen
M
sen
ψψ
,...3,2,
,...3,2,1
,...3,2,
,...3,2,1
NNNt
t
MMMs
s
≠
=
≠
=
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Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
• Exemplo do padrão de FC para M=N=5, βx= βy=0 e dx=dy=λ/4:
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Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
• Exemplo do padrão de FC para M=N=5, βx= βy=0 e dx=dy=λ/2:
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Conjuntos de Antenas: conjunto planar de MxN elementos
• Exemplo do padrão de FC para M=N=5, βx= βy=0 e dx=dy=λ:
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Conjuntos de Antenas
• Exemplo: Fabricante Kathrein, modelo FMVMP (conjunto dipolo dobrado)
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Conjuntos de Antenas
Exemplo 09
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• REFERÊNCIAS
[1] C. A. Balanis, “Antenna theory: analysis and design”, 2ed, John
Wiley & Sons, 2005, Capítulo 6.
Referências
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