Tópico 2

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Tópico 2 – Heterocedasticidade
Bibliografia:
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 8).
Heterocedasticidade
A hipótese de homocedasticidade, significa que a variância do
erro não observável, 𝑢, condicional nas variáveis explicativas,
é constante.
A homocedasticidade não se mantém sempre que a variância
dos fatores não observáveis muda ao longo dos diferentes
segmentos da população, nos quais os segmentos são
determinados pelos diferentes valores das variáveis
explicativas.
Ex: em uma equação de poupança, a heterocedasticidade está
presente se a variância dos fatores não observados que afetam a
poupança aumenta com a renda.
Premissas subjacentes ao método MQO
1. Hipótese da Regressão Linear Múltipla - RLM.1(Linear em
Parâmetros)
Omodelo na população pode ser escrito da seguinte forma:
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑘 + 𝑢
Em que 𝛽0, 𝛽1, … , 𝛽𝑘 são parâmetros desconhecidos (constantes)
de interesse e 𝑢 é um erro aleatório não observável ou o termo de
perturbação.
2. Hipótese RLM.2 (Amostragem aleatória)
Temos uma amostra aleatória de 𝑛 observações
𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑘 , 𝑦𝑖 : 𝑖 = 1,2,… , 𝑛} , seguindo o modelo
populacional na Hipótese RLM.1.
Premissas subjacentes ao método MQO
3. Hipótese RLM.3 (Colinearidade não perfeita)
Na amostra (e, portanto, na população), nenhuma das variáveis
independentes é constante e não há relações lineares exatas entre
as variáveis independente.
4. Hipótese RLM.4 (Média condicional zero)
O termo de erro 𝑢 tem um valor esperado igual a zero, dados
quaisquer valores das variáveis independentes. Ou seja:
𝐸 𝑢 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 = 0
Logo: 𝐸 𝑌𝑖 𝑋𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖
Implica que todos os 
fatores não incluídos 
no modelo não 
afetam 
sistematicamente o 
valor médio de 𝑌. 
Premissas subjacentes ao método MQO
5. Hipótese RLM.5
O erro 𝑢 tem a mesma variância, dados quaisquer valores das
variáveis explicativas. Ou seja:
𝑉𝑎𝑟 𝑢 𝑥1, … , 𝑥𝑘 = 𝜎
2
Premissas subjacentes ao método MQO
Premissa 5: Homocedasticidade, ou variância igual de 𝑢𝑖 . A
variância do termo de erro, 𝑢𝑖 , condicionada às variáveis
explicativas, é a mesma para todas as combinações de resultados das
variáveis explicativas.
F
u
n
çã
o
 d
en
si
d
ad
e 
d
e 
P
ro
b
ab
il
id
ad
e 
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F
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P
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Homocedasticidade Heterocedasticidade
Teorema de Gauss-Markov
መ𝛽2 é um estimador não tendencioso de 𝛽2, se a 
expectativa de መ𝛽2 é igual ao verdadeiro 𝛽2 (ou 
seja, se 𝐸(𝛽2) = 𝛽2)
Dadas as premissas do modelo clássico de regressão linear, os 
estimadores de mínimos quadrados ordinários da classe dos 
estimadores lineares não tendenciosos têm variância mínima, isto é, 
são o melhor estimador linear não tendencioso. 
O teorema nos diz que, além de መ𝛽2 ser 
não tendencioso, ele é o estimador 
com a menor variância possível, em 
comparação à qualquer outro 
estimador 𝛽2
∗
Essas são condições suficientes para dizer que os 
estimadores de MQO são estimadores eficientes
Hipóteses de Gauss-Markov
Teorema de Gauss-Markov
Se forem verdadeiras as hipóteses básicas RLM.1, RLM.2,
RLM.3 e RLM.4, RLM.5 então os estimadores de MQO, são os
melhores (eficientes) estimadores lineares não enviesados
(MELNE) de a e b.
Best Linear unbiased estimador (BLUE).
Heteroscedasticidade
Heterocedasticidade
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑘 + 𝑢
Sob as quatro hipóteses RLM.1 a RLM.4, tem-se
inexistência de viés dos estimadores de MQO. Essas
hipóteses implicam consistência dos estimadores de
MQO.
A hipótese de homocedasticidade RLM.5, estabelecida em
termos da variância do erro como 𝑉𝑎𝑟 𝑢 𝑥1, … , 𝑥𝑘 = 𝜎
2,
não teve participação para mostrar se os estimadores
MQO eram não viesados ou consistentes.
O que é heterocedasticidade?
Hipótese de homocedasticidade: condicional às variáveis
explicativas, a variância do erro, 𝑢, é constante (RLM.5).
Se isso não for verdade, ou seja, se a variância de 𝑢 é diferente
para diferentes valores de 𝑥 , então os erros são
heterocedásticos.
Exemplo: pense no gasto das famílias com alimentação em
função da renda; à medida que a renda aumenta, aumenta a
variância dos gastos em alimentação.
Por que se preocupar com a heterocedasticidade?
MQO continua não tendencioso e consistente, mesmo sem a
hipótese de homocedasticidade.
Mas os erros-padrão dos coeficientes estimados serão viesados
se há heterocedasticidade.
Se os erros-padrão são viesados, não podemos utilizar as
estatísticas t, F e LM usuais.
Consequências da Heterocedasticidade
1. A heterocedasticidade não provoca viés ou inconsistência nos
estimadores MQO de 𝛽𝑗, ao passo que algo como omissão de uma variável
importante teria esse efeito.
2. A medidas de qualidade de ajuste 𝑅2 e ത𝑅2 ajustado também não é afetada
pela presença de heterocedasticidade.
O R-quadrado usual e o R-quadrado ajustado são modos diferentes de
estimar o R-quadrado da população. O 𝑅2 é simplesmente uma estimativa
do quanto da variação em 𝑦 é explicado por 𝑥 na população.
Como o 𝑅 − 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 da população é simplesmente:
𝑅2 = 1 −
𝜎𝑢
2
𝜎𝑦
2
variância do erro da 
população
variância populacional 
de y
Consequências da Heterocedasticidade
Como ambas as variâncias no 𝑅 − 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 da população
são variâncias incondicionais, o 𝑅 − 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 da população
não é afetado pela presença de heteroscedasticidade em
𝑉𝑎𝑟 (𝑢|𝑥1…𝑥𝑘).
Além disso, SQR/n estima consistentemente 𝜎𝑢
2 , e SQT/n
estima consistentemente 𝜎𝑦
2, seja 𝑉𝑎𝑟 (𝑢|𝑥1…𝑥𝑘) constante ou
não.
Logo, 𝑅2 e ത𝑅2 são ambos estimadores consistentes do 𝑅 −
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 da população mantendo-se ou não a hipótese de
homocedasticidade.
Consequências da Heterocedasticidade
3. Estimadores de variância, 𝑉𝑎𝑟( መ𝛽𝑗 ), são viesados sem a
hipótese de homocedasticidade.
➢Como os erros-padrão dos estimadores MQO são baseados
diretamente nessas variâncias, eles não são mais válidos para
construirmos intervalos de confiança e estatísticas t.
➢As estatísticas 𝑡 (testa significância dos coeficientes da
regressão) habituais dos estimadores MQO não tem
distribuições 𝑡 na presença de heterocedasticidade e o problema
não será resolvido com o uso de amostras de tamanho grande.
Consequências da Heterocedasticidade
➢As estatísticas 𝐹 não tem distribuição 𝐹, e a estatística do 𝑀𝐿
não tem distribuição qui-quadrada assimptótica.
➢Em resumo, as estatísticas que usamos para testar a hipóteses
sob as hipóteses de Gauss-Markov não são válidas na presença
de heterocedasticidade.
➢Além disso, sabemos que o teorema de Gauss-Markov
(estimadores MQO são os melhores estimados lineares não
viesados) vale-se da forma crucial da hipótese de
homocedasticidade. Então  Se o 𝑉𝑎𝑟 (𝑢|𝑥1…𝑥𝑘) não for
constante, os estimadores MQO não mais serão BLUE.
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Para um regressor:
𝑦𝑖 = 𝛽𝑜 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝑢𝑖
Consideramos que as primeiras quatros hipóteses de Gauss-
Markov se sustentam. Se os erros contiverem
heterocedasticidade, então: 𝑉𝑎𝑟 𝑢 𝑥1…𝑥𝑘 = 𝜎𝑖
2.
O subscrito 𝑖 em 𝜎2 indica que a variância do erro depende do
valor particular de 𝑥𝑖.
Escreva o estimador de MQO como:
መ𝛽𝑀𝑄𝑂 = 𝛽1 +
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥 𝑢𝑖
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥 2
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Sob as hipóteses RLM1 a RLM4 (sem homocedasticidade), e
condicionado aos valores de 𝑥𝑖 na amostra temos:𝑉𝑎𝑟 መ𝛽1 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2𝜎𝑖
2
𝑆𝑄𝑇𝑥
2
Em que: 𝑆𝑄𝑇𝑥 = σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2. Quando 𝜎𝑖
2 = 𝜎2 para todo 𝑖,
essa fórmula se reduz à forma habitual → 𝜎2/𝑆𝑄𝑇𝑥.
A equação acima mostra explicitamente que, no caso da
regressão simples, a fórmula de variância derivada sob
homocedasticidade não é mais válida quando a
heterocedasticidade está presente.
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Se usamos o processo de estimação por mínimos quadrados e
ignoramos a heterocedasticidade quando ela está presente,
usamos esta estimativa para obter o erro-padrão de 𝑏1, quando,
na realidade, deveríamos uma estimativa de:
𝑉𝑎𝑟 መ𝛽1 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2𝜎𝑖
2
𝑆𝑄𝑇𝑥
2
No entanto o estimador de mínimos quadrados não é mais o
melhor, embora ainda não seja tendencioso, não é mais o
melhor estimador linear não tendencioso.
A utilização de erros-padrão incorretos significa que as
estimativas de intervalo e os teste de hipóteses não são mais
válidos.
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Como o erro-padrão de መ𝛽1 é baseado diretamente na estimativa de
𝑉𝑎𝑟( መ𝛽1), precisamos de um modo de estimar a equação quando a
heterocedasticidade.
White (1980) sugeriu um estimador para as variância e covariâncias
dos estimadores dos coeficientes de MQO quando existe
heterocedasticidade.
No contexto do modelo de regressão simples, obtém-se o estimador
da 𝑉𝑎𝑟 መ𝛽1 , substituindo-se 𝜎𝑖
2 pelos quadrados dos resíduos
mínimos.
Considerando ො𝑢𝑖 representar o os resíduos do MQO da regressão
inicial de 𝑦 sobre 𝑥. tem-se que:
𝑉𝑎𝑟 መ𝛽1 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2 ො𝑢𝑖
2
𝑆𝑄𝑇𝑥
2
Que é calculado após a regressão MQO.
Isso é necessário para justificar uso de erros-padrão para construir
intervalos de confianças e estatísticas 𝑡.
Grandes variâncias costumam levar grandes valores dos quadrados
do resíduos. Como o quadrado dos resíduos são usados para
aproximar as variâncias, o estimador de White é estritamente
apropriado para grande amostras.
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Para múltiplos regressores: 𝑦𝑖 = 𝛽𝑜 + 𝛽1𝑥𝑖 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑘 + 𝑢𝑖
Pode ser mostrado que um estimador válido de 𝑉𝑎𝑟 መ𝛽𝑗, sob as
hipóteses RLM1 a RLM4, é:
𝑉𝑎𝑟 መ𝛽1 =
σ𝑖=1
𝑛 Ƹ𝑟𝑖𝑗
2 ො𝑢𝑖
2
𝑆𝑄𝑅𝑥
2
Onde Ƹ𝑟𝑖𝑗 representa o i-ésimo resíduo da regressão de 𝑥𝑖 sobre
todas as outras variáveis independentes e SQR é a soma dos
quadrados dos resíduos desta regressão.
A raiz quadrada da equação acima é chamada de erro-padrão
robusto em relação à heterocedasticidade de መ𝛽𝑗 .
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Agora que temos uma estimativa consistente da variância, sua
raiz quadrada será uma estimativa do erro-padrão.
Tais erros-padrão são chamados de erros-padrão robustos.
Algumas vezes, como um grau de liberdade de correção, a
equação anterior é multiplicado por (antes de extrairmos a raiz
quadrada):
𝑛
(𝑛 − 𝑘 − 1)
Quando n → ∞ esta correção faz pouca diferença.
Tipicamente, em geral, utilizamos qualquer forma que seja
calculada pelo programa econométrico em uso.
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Uma vez que os erros-padrão robustos em relação à heterocedasticidade
tenham sido obtidos, uma estatística robusta em relação à
heteroscedasticidade 𝑡:
𝑡 =
𝑂𝐿𝑆 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜
É importante lembrar que esses erros padrão robustos tem justificativa
apenas assintótica → com amostras pequenas, as estatísticas 𝑡 obtidas com
os erros-padrão robustos não terão distribuição próxima da 𝑡 , e as
inferências não serão corretas.
A única diferença entre a estatística 𝑡 usual de MQO e a estatística 𝑡 robusta
em relação a heterocedasticidade é como o erro-padrão é calculado.
No Stata, os erros-padrão robustos são facilmente obtidos pelo comando
𝑟𝑒𝑔.
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Os erros padrão de heteroscedasticidade robusta podem ser
maiores, ou menores, do que o erros-padrão usuais. Como uma
questão empírica, os erros-padão robustos são frequentemente
maiores do que os erros-padrão usuais.
Por que ainda usamos erros padrões usuais?
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Por que ainda usamos erros padrões usuais? Uma das razões
para eles ainda serem usados em trabalhos de corte transversal
é que, se a hipótese de homocedasticidade se mantiver e os
erros forem normalmente distribuídos, as estatísticas 𝑡 usuais
têm distribuições 𝑡 exatas, independentemente do tamanho da
amostra.
Os erros-padrão robustos e as estatísticas 𝑡 robustas são
justificadas somente quando o tamanho da amostra se torna
grande.
Com amostras de tamanho pequeno, as estatísticas 𝑡 robustas
podem ter distribuições que não sejam muito próximas da
distribuição 𝑡, e isso pode ofuscar nossa inferência.
Procedimentos robustos em relação à 
heteroscedasticidade
Em amostras de tamanho grande podemos tomar a decisão de
sempre levar em conta somente os erros-padrão robustos em
relação à heteroscedasticidade nas aplicações de corte
transversal, e esta prática vem sendo seguida cada vez mais em
trabalhos aplicados.
Exercício
1. Considera que, um modelo de corte transversal:
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝛾𝑍𝑖 + 𝜀𝑖
Em particular, você está preocupado com os dados que podem
apresentar heterocedasticidade.
a) Explique o que é heteroscedasticidade e porque é provável de
ocorrer neste tipo de modelo. Formalize a
heteroscedasticidade.
b) Quais as características da heteroscedasticidade?
c) Diga qual será o efeito sobre as estimativas de MQO.