Tópico 8

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Tópico 8 – Problema de 
especificação de dados
Bibliografia:
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 9).
Propriedades do método MQO quando há erros 
de medida
Em alguns casos, não podemos coletar dados da variável que
verdadeiramente afeta o comportamento econômico.
Quando utilizamos uma medida imprecisa de uma variável em
um modelo de regressão, nosso modelo conterá um erro de
medida.
O intuito aqui é de estimar as consequências do erro de medida
para a estimação do MQO e inferir o tamanho do viés.
O problema do erro de medida tem estrutura estatística similar
ao problema da variável omitida e sua substituição pela
variável proxy.
Erros de Medida
Porém, o problema da variável omitida e do erro de medida são
conceitualmente diferentes.
No caso da variável proxy, procuramos uma variável que é
associada à variável não observada. Por exemplo, a idade é
uma proxy de experiência, por exemplo.
No caso do erro de medida, a variável que não observamos tem
significado quantitativo bem definido (como o ganho marginal
do imposto ou a renda anual), mas as medidas sobre elas
podem conter erros.
Exemplo: a renda anula registrada é uma medida da renda
anual efetiva, ao passo que a pontuação de QI é uma proxy da
aptidão.
Erros de Medida na Variável Dependente
Vamos chamar de 𝑦∗a variável na população que queremos
explicar:
𝑦∗ = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑘 + 𝑢 (16)
Supomos que satisfaz as hipóteses de Gauss-Markov. O erro de
medida na população é definido como a diferença entre o valor
observado (𝑦) e o valor real (𝑒0 = 𝑦 − 𝑦
∗).
Exemplo: considerando que 𝑦 seja é poupança anual registrada.
Infelizmente, as famílias não declaram com perfeição suas
poupanças anuais; é fácil deixar categorias de fora ou
superestimar o montante contribuído para determinado fundo.
Geralmente, podemos esperar que 𝑦 e 𝑦∗ sejam diferentes, pelo
menos em alguns subconjuntos de famílias na população.
Erros de Medida na Variável Dependente
O erro de medida na população é definido como a diferença
entre o valor observado (𝑦) e o valor real (𝑒0 = 𝑦 − 𝑦
∗). Ele
está associados a outros fatores.
Para obter um modelo que pode ser estimado, escrevemos:
𝑦∗ = 𝑦 − 𝑒0 , inserimos essa expressão na equação (16) e
reorganizamos para obter:
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑘 + 𝑢 + 𝑒0 (17)
O termo de erro será: 𝑢 + 𝑒0 . Como 𝑦, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 são
observadas, podemos estimar este modelo por MQO.
Na verdade, simplesmente ignoramos o fato de que 𝑦 é uma
medida imperfeita de 𝑦∗e prosseguimos da maneira habitual.
Erros de Medida na Variável Dependente
Quando o método MQO com 𝑦 em lugar de 𝑦∗ produz
estimadores consistentes de 𝛽𝑗?
Como o modelo original satisfaz as hipóteses de Gauss-
Markov, u tem média zero e é não correlacionado com cada 𝑥𝑗.
Mais importante é a suposição de que o erro de medida (𝑒0) é
estatisticamente independente das variáveis explicativas (𝑥𝑗).
Se isso for verdade, então os estimadores MQO de 𝑦 em lugar
de 𝑦∗são não viesados e consistentes.
Além disso, os procedimentos de inferência do método MQO
(estatísticas t, Fe LM) são válidos.
Erros de Medida na Variável Dependente
Se 𝑒0 e 𝑢 forem não correlacionados, então:
𝑉𝑎𝑟 𝑢 + 𝑒0 = 𝜎𝑢
2 + 𝜎0
2 > 𝜎𝑢
2 (18)
Isso significa que o erro de medida na variável dependente resulta
em uma variância de erro maior do que quando não ocorre nenhum
erro.
Isso produz variâncias maiores dos estimadores MQO, ou seja,
maiores erros-padrão e menores estatísticas t.
A única forma de evitar esse problema é coletar dados melhores.
O ponto principal é que o erro de medida na variável dependente
pode causar vieses no método MQO se ele for sistematicamente
relacionado com uma ou mais variáveis explicativas.
Se o erro de medida for apenas um erro de informação aleatório que
seja independente das variáveis explicativas, como muitas vezes é
presumido, o método MQO é perfeitamente apropriado.
Erros de Medida na Variável Explicativa
O erro de medida em uma variável explicativa tem sido considerado
um problema mais importante do que o erro de medida em uma
variável dependente.
Um modelo de regressão simples que satisfaz pelo menos as quatro
hipóteses de Gauss-Markov produz estimadores de 𝛽0 e 𝛽1 não
viesados e consistentes:
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1
∗ + 𝑢 (19)
O problema é que 𝑥1
∗ não é observado.
Por exemplo, ao invés da verdadeira renda (𝑥1
∗), temos somente a
renda declarada (𝑥1).
O erro de medida na população é: 𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥1
∗.
E pode ser positivo, negativo ou zero. Assumimos que o erro de
medida médio na população é zero: 𝐸 𝑒1 = 0.
Além disso, assumimos que 𝑢 é não-correlacionado com 𝑥1
∗ e 𝑥1.
Erros de Medida na Variável Explicativa
Em termos de expectativa condicional, podemos escrevê-la
como 𝐸 𝑦 𝑥1
∗, 𝑥1 = 𝐸(𝑦|𝑥1
∗) → 𝑥1não afeta 𝑦 após ter-se
controlado 𝑥1
∗.
Queremos saber as propriedades de MQO se substituirmos 𝑥1
∗
por 𝑥1 e executarmos a regressão de 𝑦 sobre 𝑥1.
As propriedades dependerão das suposições que fizermos sobre
o erro de medida (𝑒1).
Duas hipóteses opostas têm sido enfatizadas na literatura
econométrica.
Erros de Medida na Variável Explicativa
A primeira hipótese: 𝐶𝑜𝑣 𝑥1, 𝑒1 = 0 → 𝑒1 é não correlacionada
com a medida observada 𝑥1.
Da relação 𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥1
∗, se 𝐶𝑜𝑣 𝑥1, 𝑒1 = 0 for verdadeira, então
𝑒1deve ser correlacionado com a variável não observada 𝑥1
∗.
Para determinar as hipóteses de MQO neste caso, escrevemos 𝑥1
∗ =
𝑥1 − 𝑒1 e inserimos na equação (19):
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + (𝑢 − 𝛽1𝑒1) (21)
Como assumimos que tanto 𝑢 quanto 𝑒1têm média zero e são não-
correlacionados com 𝑥1, então 𝑢 − 𝛽1𝑒1 tem média zero e é não
correlacionado com 𝑥1.
Então, a estimação de MQO com 𝑥1 em lugar 𝑥1
∗ produz um
estimador consistente de 𝛽0 e 𝛽1.
Erros de Medida na Variável Explicativa
Como 𝑢 é não correlacionado com 𝑒1, a variância do erro na
equação anterior é 𝑉𝑎𝑟 𝑢 − 𝛽1𝑒1 = 𝜎𝑢
2 + 𝛽1
2𝜎𝑒1
2 . Assim,
Exceto quando 𝛽1 = 0, o erro de medida aumenta a variância
do erro.
Porém, isso não afeta nenhuma das propriedades MQO, mas as
variâncias dos betas estimados (e os erros-padrão) serão
maiores do que se observarmos 𝑥1
∗ diretamente.
Erros de Medida na Variável Explicativa
Segunda hipótese : erro clássico nas variáveis (ECV) é o erro de
medida não correlacionado com a variável explicativa não-observada
x1
∗ : 𝐶𝑜𝑣 𝑥1
∗, 𝑒1 = 0.
Neste caso, a medida observada é a soma da variável explicativa
verdadeira com o erro de medida: 𝑥1 = 𝑥1
∗ + 𝑒1.
 E em seguida presumindo que os dois componentes de 𝑥1 são não
correlacionados (sempre supomos que 𝑢 é não correlacionado com
𝑥1
∗ e 𝑥1, e , portanto, com 𝑒1).
Então, se a hipótese: 𝐶𝑜𝑣 𝑥1
∗, 𝑒1 = 0 for válida, então 𝑥1 e 𝑒1
devem ser correlacionado.
𝐶𝑜𝑣 𝑥1, 𝑒1 = 𝐸 𝑥1𝑒1 = 𝐸 𝑥1
∗𝑒1 + 𝐸 𝑒1
2 = 0 + 𝜎𝑒1
2 = 𝜎𝑒1
2 (22)
Assim, a covariância entre 𝑥1 e 𝑒1 é igual à variância do erro de
medida sob a hipótese erro clássico nas variáveis .
Erros de Medida na Variável Explicativa
Considerando a equação 21, podemos ver que a correlação entre 𝑥1
e 𝑒1causará problemas. Como 𝑢 e 𝑥1 são não correlacionadas, a
covariância entre 𝑥1 e o erro composto 𝑢 − 𝛽1𝑒1 é :
𝐶𝑜𝑣 𝑥1, 𝑢 − 𝛽1𝑒1 = −𝛽1𝐶𝑜𝑣 𝑥1, 𝑒1 = −𝛽1𝜎𝑒1
2 (23)
Assim, no caso de erro clássico nas variáveis , a regressão de MQO de
𝑦 sobre 𝑥1 produz um estimador viesado e inconsistente, pois 𝑒1 é
correlacionado com 𝑥1 . Isso significa que, em geral, todos os
estimadores MQO serãoviesados, e não somente መ𝛽1.
 SobCEV: 𝑝𝑙𝑖𝑚 መ𝛽1 = 𝛽1(
𝜎
𝑥1
∗
2
𝜎
𝑥1
∗
2 +𝜎𝑒1
2 )
Assim 𝑝𝑙𝑖𝑚 está sempre mais perto de zero que 𝛽1 . Este é o
chamado viés de atenuação no MQO devido erros clássico nas
variáveis: em médias média (ou em amostras de grandes dimensões),
o efeito estimado de MQO será atenuado.
Soluções para o viés de erros nas variáveis
A melhor forma de resolver o problemas de erros nas variáveis
é obter uma medida precisa de 𝑥.
Se for impossível, contudo, há métodos econométricos que
podem ser utilizados para diminuir o viés de erros nas
variáveis.
 Um desses métodos é a regressão de variáveis instrumentais
(VI). Isso depende de haver outra variável (“a variável
instrumental”) correlacionada ao valor efetivo 𝑥𝑖 , mas não
correlacionada ao erro de medida.
Um segundo método é o desenvolvimento de um modelo
matemático do erro de medida e, se possível, a utilização das
fórmulas resultantes para ajustar as estimativas.