Tópico 14

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Tópico 14 – Modelos de Cortes 
Transversais ao Longo do 
Tempo Método Simples de 
Dados em Painel
Bibliografia:
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 13).
Teste Chow
Teste Chow (simplesmente um teste F): pode ser utilizado para
determinar se uma função de regressão múltipla difere entre
dois grupos.
Podemos aplicar esse teste em dois períodos de tempo
diferentes.
Uma forma do teste é obter a soma dos quadrados dos resíduos
(SQR) da estimação agrupada como a SQR restrita. A SQR sem
restrições é a soma dos SQRs dos dois períodos de tempo
estimadas separadamente (ver capítulo 7).
Outra forma de calcular o teste para dois períodos de tempo.
Também há uma versão da estatística robusta em relação à
heterocedasticidade.
Teste Chow
Teste de Chow pode ser computada por mais de dois períodos
de tempo.
É geralmente mais interessante para permitir que os
interceptos mudem ao longo do tempo e, em seguida, testar
se o coeficientes de inclinação mudaram ao longo do tempo.
Podemos testar a constância de inclinação coeficientes
geralmente a interação de todas as dummies do período de
tempo com uma, várias, ou todas as variáveis ​​explicativas e
verificar a significância conjunta dos termos de interação.
Testar variações nos parâmetros de um modelo.
Análise de decisão de políticas com 
agrupamentos de cortes transversais
Cortes transversais agrupados podem ser muitos úteis para a
avaliação do impacto de determinado evento ou decisão
política.
O próximo exemplo mostra como dois conjuntos de dados de
cortes transversais, coletados antes e depois da ocorrência
deum evento, podem ser usados para determinar seu efeito
sobre resultados econômicos.
Exemplo 13.3: Efeito da localização de um incinerador de lixo
sobre os preços de imóveis
Experimento Natural
Experimento natural (ou um quase-experimento): ocorre
quando algum evento exógeno - uma mudança na política do
governo - altera o ambiente em que indivíduos, famílias ou
empresas operam.
Um experimento natural sempre tem:
➢Grupo de controle: não é afetado pela mudança de política, e;
➢Grupo de tratamento: é afetado pela mudança.
Para controlar diferenças sistemáticas entre os grupos de
controle e de tratamento, necessitamos de dois anos de dados:
➢Um período anterior a mudança na política;
➢Um período após a mudança na política.
Experimento Natural
Assim, nossa amostra será convenientemente dividida em
quatro grupos:
➢Grupo de controle antes da mudança;
➢Grupo de controle após a mudança;
➢Grupo de tratamento antes da mudança;
➢Grupo de tratamento após a mudança.
Experimento Natural
Definindo:
A= grupo de controle;
B= grupo de tratamento;
𝑑𝐵 → dummy de tratamento (igual à unidade para os do grupo 𝐵
de tratamento e zero, caso contrário);e
𝑑2 → variável dummy para o segundo período de tempo (após a
mudança política).
Logo, a equação de interesse é:
𝑦 = 𝛽0 + 𝛿0𝑑2 + 𝛽1 𝑑𝐵 + 𝛿1𝑑2 ∗ 𝑑𝐵 + 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
Onde: 𝑦 é a variável de interesse resultante.
𝛿1 mede o efeito da decisão de política do governo (diff-in-diff)
Experimento Natural
Sem outros fatores na regressão, መ𝛿1 será o estimador de
diferenças em diferenças:
መ𝛿1 = ത𝑦2,𝐵 − ത𝑦2,𝐴 − (ത𝑦1,𝐵 − ത𝑦1,𝐴)
Em que a barra significa a média, o primeiro subscrito
representa o ano e o segundo subscrito representa o grupo.
Antes Depois Diferença
Controle 𝛽0 𝛽0 + 𝛿0 𝛿0
Tratamento 𝛽0 + 𝛽1 𝛽0 + 𝛿0 + 𝛽1 + 𝛿1 𝛿0 + 𝛿1
Diferença 𝛽1 𝛽1 + 𝛿1 𝛿1
Exemplo
Efeito da localização de um incinerador de lixo sobre os preços
de imóveis.
Construção do novo incinerador: 1981-1985.
Anos: 1978 e 1981 (preço dos imóveis).
Hipótese: os preços dos imóveis localizados próximos do
incinerador cairiam em relação aos preços dos imóveis mais
distantes.
Variáveis:
rprice: preço dos imóveis;
nerinc: dummy localização próximo ao incinerador (1= sim; 0
= caso contrário).
Exemplo
O preço médio de venda dos imóveis para o primeiro grupo era 
de 30.688,77 dólares a menos que para o segundo grupo.
 
 _cons 101307.5 3093.027 32.75 0.000 95192.43 107422.6
 nearinc -30688.27 5827.709 -5.27 0.000 -42209.97 -19166.58
 
 rprice Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 1.6367e+11 141 1.1608e+09 Root MSE = 31238
 Adj R-squared = 0.1594
 Residual 1.3661e+11 140 975815069 R-squared = 0.1653
 Model 2.7059e+10 1 2.7059e+10 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 140) = 27.73
 Source SS df MS Number of obs = 142
. reg rprice nearinc if year==1981
Exemplo
O valor médio de um imóvel próximo do local era 18.824,37
dólares menor que o do outro distante do local (82.517,23
dólares).
 
 _cons 82517.23 2653.79 31.09 0.000 77280.09 87754.37
 nearinc -18824.37 4744.594 -3.97 0.000 -28187.62 -9461.117
 
 rprice Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 1.6696e+11 178 937979126 Root MSE = 29432
 Adj R-squared = 0.0765
 Residual 1.5332e+11 177 866239953 R-squared = 0.0817
 Model 1.3636e+10 1 1.3636e+10 Prob > F = 0.0001
 F( 1, 177) = 15.74
 Source SS df MS Number of obs = 179
. reg rprice nearinc if year==1978
Exemplo
Para verificar se a construção de um novo incinerador reduz os
valores dos imóveis podemos verificar como o coeficiente de
𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑛𝑐𝑖𝑛 mudou entre 1978 a 1981.
A diferença na média dos valores dos imóveis era maior em 1981 do
que em 1978 (30.688,27 dólares contra 18.824,37 dólares).
A diferença nos dois coeficientes de 𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑛𝑐𝑖𝑛 é:
መ𝛿1 = −30.688,27 − (−18.824,37) = −11.863.903
Essa é a estimativa do efeito do incinerador sobre os valores dos
imóveis próximos de sua localização.
Em economia empírica, መ𝛿1 tornou-se conhecido como estimador de
diferença em diferenças.
 መ𝛿1 = 𝑟𝑝𝑟𝑒ç𝑜81,𝑝𝑟 − 𝑟𝑝𝑟𝑒ç𝑜81,𝑎𝑓 − 𝑟𝑝𝑟𝑒ç𝑜78,𝑝𝑟 − 𝑟𝑝𝑟𝑒ç𝑜78,𝑎𝑓
Exemplo
Em economia empírica, መ𝛿1 tornou-se conhecido como estimador de
diferença em diferenças.
መ𝛿1 = 𝑟𝑝𝑟𝑒ç𝑜81,𝑝𝑟 − 𝑟𝑝𝑟𝑒ç𝑜81,𝑎𝑓 − 𝑟𝑝𝑟𝑒ç𝑜78,𝑝𝑟 − 𝑟𝑝𝑟𝑒ç𝑜78,𝑎𝑓
"𝑝𝑟" significa "𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟”
"𝑎𝑓" significa "𝑎𝑓𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟”
Em outras palavras, መ𝛿1 é a diferença, ao longo do tempo, das
diferenças das medidas dos preços dos imóveis nas duas
localizações.
Para testar se መ𝛿1 é estatisticamente diferente de zero, precisamos
encontrar seu erro-padrão utilizando uma análise de regressão.
Análise de dados em painel de dois períodos
O que acontece se usarmos o corte transversal de 1987 e
executarmos uma regressão de 𝑡𝑥𝑐𝑟𝑖𝑚sobre 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝? Obteremos
෣𝑡𝑥𝑐𝑟𝑖𝑚 = 128,38 − 4,16𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚
20,76 3,42
𝑛 = 46, 𝑅2 = 0,033
Sinal de 𝛽1= “negativo”. Coeficiente não é significativo.
Se interpretarmos a equação estimada de forma causal, ela implica
um aumento na taxa de desemprego que reduz a taxa de
criminalidade.
A regressão acima possui problemas relativos à omissão de
variáveis.
Possíveis soluções:
Maior número de controles.
Controles dos fatores não-observáveis → constante em 𝑡 ou variando
em 𝑡.
Análise de dados em painel de dois períodos
Os dados do painel pode ajudar a reduzir o problema de
variáveis omitidas.
𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛿0𝑑2𝑡 + 𝛽1 𝑥𝑖𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡 𝑡 = 1,2
Na notação 𝑦𝑖𝑡, 𝑖 é a pessoa, empresa, cidade etc., e 𝑡 é o
período de tempo. 𝑑2 =variável 𝑑𝑢𝑚𝑚𝑦 = 0 quando 𝑡 = 1 e
𝑑𝑢𝑚𝑚𝑦 = 1 quando 𝑡 = 2 (ela não muda ao longo de 𝑖, razão
pela qual ela não tem o subscrito 𝑖).
O intercepto de 𝑡 = 1 é 𝛽0, e o intercepto de 𝑡 = 2 é 𝛽0 + 𝛿0.
Neste modelo, permite-se que o intercepto mude ao longo do
tempo, o que é importante na maioria das aplicações.
Análise de dados em painel de dois períodos
𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛿0𝑑2𝑡 + 𝛽1 𝑥𝑖𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡 𝑡 = 1,2
𝑎𝑖 captura todos os fatores não observados, constantes no
tempo que afetam 𝑦𝑖𝑡 . Ele é chamado de efeito não
observado ou efeito fixo ou heterogeneidade não observada.
Este modelo é chamado de modelo de efeitos fixos.
O 𝑢𝑖𝑡 é chamado de erro idiossincrático ou erro de variação
temporal, porque ele representa fatores não observados que
mudam ao longo do tempo e afetam 𝑦𝑖𝑡 .
A principal razão para a recolha de dados em painel é permitir
que o efeito não observado, 𝑎𝑖, seja correlacionado com as
variáveis ​​explicativas.
Análise de dados em painel de dois períodos
No modelo de crime:
𝑡𝑥𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛿0𝑑87𝑡 + 𝛽1𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑖𝑡 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡
Em que 𝑑87 é uma variável dummy para 1987.
Como 𝑖 representa cidades diferentes, chamamos 𝒂𝒊 de efeito não
observado da cidade ou efeito fixo da cidade (efeito específico da
cidade).
Efeitos fixos da cidade: Características geográficas (como a localização da
cidade), idade, raça, educação, fatores históricos.
Como estimar corretamente 𝛽1 a partir de dois anos de dados em painel?
Agrupar os dois anos e usar MQO - 2 inconveniência:1) para MQO
agrupado produzir estimadores consistentes de 𝛽1, teremos que assumir que
𝑎𝑖 não está correlacionado com 𝑥𝑖𝑡.
𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛿𝑜𝑑2 + 𝛽1𝑥𝑖𝑡 + 𝑣𝑖𝑡 , 𝑡 = 1,2,
Sendo: 𝑣𝑖𝑡 = 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖𝑡 (termo de erro composto).
Análise de dados em painel de dois períodos
Para estimarmos 𝛽1 consistentemente, precisamos assumir
𝐶𝑜𝑣 𝑣𝑖𝑡, 𝑥𝑖𝑡 = 0
Mesmo se assumirmos que 𝐶𝑜𝑣 𝑣𝑖𝑡, 𝑥𝑖𝑡 = 0 , MQO
agrupado será viesado e inconsistente se 𝐶𝑜𝑣 𝑎𝑖 , 𝑥𝑖𝑡 ≠ 0.
O viés resultante no MQO agrupado algumas vezes é chamado
de viés de heterogeneidade, mas na realidade é apenas uma viés
causado pela omissão de uma variável constante no tempo.
Exemplo
Exemplo 3: Utilizando os dados CRIME2.RAW para estimar pelo
MQO agrupado
46 cidades, 2 anos, 92 observações
෣𝑡𝑥𝑐𝑟𝑖𝑚 = 93,42 + 7,94𝑑87 + 0,427𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝
(12,74) (7,98) (1,188)
n=92, 𝑅2 = 0.12
Os coeficientes de 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝, embora positivo, tem uma estatística
𝑡muito pequena.
Assim, o uso de MQO agrupado dos dois anos não mudou nada,
substancialmente, em relação ao uso de um único corte
transversal.
𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝 continua sem significância.
MQO agrupado não resolve o problema de variáveis omitidas.
Os fatores não observados das cidades (𝑎𝑖) estão afetando 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝.
Modelos de Efeitos Fixos
Como 𝑎𝑖 é constante em 𝑡, podemos tirar a diferença dos dados entre os dois 
anos:
𝑦𝑖1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖1 𝑡 = 1
𝑦𝑖2 = 𝛽0 + 𝛿0 + 𝛽1𝑥𝑖2 + 𝑎𝑖 + 𝑢𝑖2 𝑡 = 2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
𝑦𝑖2 − 𝑦𝑖1 = 𝛿0 + 𝛽1 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖1 + 𝑢𝑖2 − 𝑢𝑖1
Ou
∆𝑦𝑖 = 𝛿0 + 𝛽1∆𝑥𝑖 + ∆𝑢𝑖
O efeito não observado, 𝑎𝑖, foi “descartado pela diferenciação”.
O intercepto é, na realidade a mudança no intercepto de 𝑡 = 1 para 𝑡 = 2.
Equação em primeiras diferenças: 𝐶𝑜𝑣 ∆𝑥𝑖 , ∆𝑢𝑖 = 0 em ambos os períodos 
𝑡 = 1 e 𝑡 = 2.
Exogneidade estrita.
𝛽1 é o estimador em primeiras diferenças.
Modelos de Efeitos Fixos
Equação de Primeiras Diferenças:
∆𝑦𝑖 = 𝛿0 + 𝛽1∆𝑥𝑖 + ∆𝑢𝑖
Onde ∆ representa a mudança de 𝑡 = 1 para 𝑡 = 2. O efeito
não observado 𝑎𝑖 não aparece nesta equação, ele foi
“descartado pela diferenciação”. Além disso, o intercepto passa
a ser a mudança no intercepto de 𝑡 = 1 para 𝑡 = 2.
Esta equação chamamos de Equação de Primeiras
Diferenças. Ela é apenas uma equação única de corte
transversal, mas cada variável é diferencia ao longo do tempo.