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1. Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito. {x : x é par} As pessoas que habitam o planeta Terra. { 1,2,3,.........,1999} { x : x ∈ R e x2 -7x=0} Os meses do ano. 2. Marque a alternativa que prova corretamente que todo número é diferente do seu sucessor. Dado o número natural n, seja P(n): n ¹ s(n). P(1) é verdadeira. De fato: 1 ¹ s(1), já que 1 não é sucessor de número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio. Hipótese de Indução. Supor P(n) verdadeira, ou seja, n ¹ s(n). Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). Dado o número natural n, seja P(n): n ¹ s(n). Etapa Indutiva. s(n) = s(s(n)), pois a função s : N ® N é injetiva. Mas a afirmação s(n) ¹ s(s(n) significa que P(s(n)) é verdadeira. Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). Pelo Princípio da Indução, todos os números naturais gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de seus sucessores. 3. Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈N, a > 0, temos que Lnan = nLna. Seja P(n): Lnan = nLna. Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. Seja P(n): Lnan = nLna. Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade foi verificada. 4. Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito : { x ∈ Z : 2 < x < 7} { x ∈ N : x > 7} { x∈ R : x > 3} { x ∈ R : 3 < x < 5} { x ∈ Z : x > -3 } 5. Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação) Todo conjunto possui um menor elemento. Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um maior elemento. Nenhum subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento. Alguns conjuntos possuem um menor elemento. Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento. 6. Seja a sequência an=1-nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência. 1, 2/3, 5/6, 3/16 0, -1/4, -2/9, -3/16 0, 1/4, 2/9, 3/16 -3/16, 0, -2/9, -1/4 0, -3/16, -2/9, -1/4 7. Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também formular o Principio da Indução como: Se P é uma propriedade dos números naturais tal que: i) P é válida para um número natural n0 ∈ N. ii) A validade de P para n ∈N implica na validade de P para o sucessor n + 1 ∈ N. Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈N tais que: n ≥ n0 n < n0 n ≤ n0 n ≠ n0 n > n0 8. Marque a alternativa onde o enunciado do Princípio da indução está correto. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, P(k) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. P(k+1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
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