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fundamentos de analise aula 2

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1.
		Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito.
	
	
	
	
	 
	{x : x é par}
	
	
	As pessoas que habitam o planeta Terra.
	
	
	{ 1,2,3,.........,1999}
	
	
	{ x : x ∈ R e x2 -7x=0}
	
	
	Os meses do ano.
	
	
	
		2.
		Marque a alternativa que prova corretamente que  todo número é diferente do seu sucessor.
	
	
	
	
	
	
	
	 
	Dado o número natural n, seja P(n):  n ¹ s(n). P(1) é verdadeira.  De fato:  1 ¹ s(1), já que 1 não é sucessor de número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio.
Hipótese de Indução.  Supor  P(n)   verdadeira,   ou seja, n ¹ s(n).
Assim,  a  verdade  de  P(n)  acarreta   a   verdade  de P(s(n)).  
	
	
	Dado o número natural n, seja P(n):  n ¹ s(n). Etapa Indutiva.  s(n) = s(s(n)), pois a função s : N ® N é injetiva. Mas a afirmação s(n) ¹ s(s(n) significa que P(s(n))  é  verdadeira.   Assim,  a  verdade  de  P(n)  acarreta   a   verdade  de P(s(n)).  Pelo Princípio da Indução, todos os números naturais gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de seus sucessores.
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
		3.
		Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈N, a > 0, temos que Lnan = nLna.
	
	
	
	
	 
	Seja P(n): Lnan = nLna.   Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.  Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	
	 Seja P(n): Lnan = nLna.  Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).  Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	 
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.   Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade     foi verificada.
	
	
	
		4.
		Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito :
	
	
	
	
	 
	{ x ∈ Z : 2 < x < 7}
	
	
	{ x ∈ N : x > 7}
	
	
	{ x∈ R : x > 3}
	
	
	{ x ∈ R : 3 < x < 5}
	
	
	{ x ∈ Z : x > -3 }
	
	
	
		5.
		Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação)
	
	
	
	
	 
	Todo conjunto possui um menor elemento.
	
	
	Todo subconjunto não-vazio A contido em  N possui um maior elemento.
	
	
	Nenhum subconjunto não-vazio A contido em  N possui um menor elemento.
	
	
	Alguns conjuntos possuem um menor elemento.
	
	 
	Todo subconjunto não-vazio A contido em  N possui um menor elemento.
	
	
	
		6.
		Seja a sequência an=1-nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência.
	
	
	
	
	
	1, 2/3, 5/6, 3/16
	
	 
	0, -1/4, -2/9, -3/16
	
	 
	0, 1/4, 2/9, 3/16
	
	
	-3/16, 0, -2/9, -1/4
	
	
	0, -3/16, -2/9, -1/4
	
	
	
		7.
		Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também formular o Principio da Indução como:
Se P é uma propriedade dos números naturais tal que:
i)                    P é válida para um número natural n0 ∈ N.
ii)                  A validade de P para n ∈N  implica na validade de P para
o sucessor n + 1 ∈ N.
Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈N tais que:
	
	
	
	
	 
	n ≥ n0
	
	
	n < n0
	
	
	n ≤ n0
	
	
	n ≠ n0
	
	
	n > n0
	
	
	
		8.
		Marque a alternativa onde o enunciado do Princípio da indução está correto.
	
	
	
	
	 
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:  (1) P(1) é verdadeira.  (2) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:  (1) P(1) é verdadeira.  (2) Para todo inteiro positivo k, P(k) é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:  (1) P(1) é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:   (1) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	 
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições:  (1) P(1) é verdadeira.  P(k+1) é verdadeira.  Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.

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