Derivadas e integrais das funções transcendentes

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Derivadas das funções trigonométricas 
 
As regras de derivação das funções trigonométricas estão na tabela a seguir: 
 
Regra Função Função derivada 
Derivada da função seno 
( ) ( )f x sen x
 
'( ) cos( )f x x
 
Derivada da função cosseno 
( ) cos( )f x x
 
'( ) ( )f x sen x 
 
Derivada da função 
tangente 
( ) ( )f x tg x
 
2'( ) sec ( )f x x
 
Derivada da função 
cotangente 
( ) ( )f x cotg x
 
2'( ) ( )f x cossec x 
 
Derivada da função secante 
( ) sec( )f x x
 
'( ) ( ).sec( )f x tg x x
 
Derivada da função 
cossecante 
( ) ( )f x cossec x
 
'( ) ( ). ( )f x cotg x cossec x 
 
 
Exemplo: 
1) Calcule a derivada da função 
 2( ) 3 1f x sen x 
. 
Solução: 
A função 
 2( ) 3 1f x sen x 
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u v x
 entre 
as funções 
( ) ( )f u sen u
, 
( )u v v
 e 
2( ) 3 1v x x 
 (observe que todas as três funções 
utilizadas na decomposição de 
( )f x
 têm derivadas fáceis de calcular). 
Como as derivadas de 
'( )f u
, 
'( )u v
 e 
'( )v x
 são, respectivamente: 
'( ) cos( )f u u
, 
1
'( )
2
u v
v

 e 
'( ) 6v x x
, 
calcula-se a derivada 
'( )f x
 da seguinte forma: 
'( ) '( ). '( ). '( )f x f u u v v x
 
1
'( ) cos( ). .6
2
f x u x
v

 
3 .cos( )
'( )
x u
f x
v

. 
Como 
( )u v v
, realiza-se essa substituição na expressão obtida: 
 3 .cos
'( )
x v
f x
v

. 
Realiza-se também a substituição 
2( ) 3 1v x x 
, para obter finalmente: 
 2
2
3 .cos 3 1
'( )
3 1
x x
f x
x



 , 
que é a derivada da função 
( )f x
 em relação à variável x. 
 
2) Calcule a derivada da função 
 ( ) cos ( )f x sen x
. 
Solução: 
A função 
 ( ) cos ( )f x sen x
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u x
 entre as 
funções 
( ) cos( )f u u
 e 
( ) ( )u x sen x
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
 e 
'( )u x
 são, respectivamente: 
'( ) ( )f u sen u 
 e 
'( ) cos( )u x x
, 
a derivada 
'( )f x
 será: 
'( ) '( ). '( )f x f u u x
 
'( ) ( ).cos( )f x sen u x 
. 
Como 
( ) ( )u x sen x
, então: 
 '( ) ( ) .cos( )f x sen sen x x 
. 
 
3) Calcule a derivada da função 
 ( )f x tg x
. 
Solução: 
A função 
 ( )f x tg x
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u x
 entre as 
funções 
( ) ( )f u tg u
 e 
( )u x x
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
 e 
'( )u x
 são, respectivamente: 
2'( ) sec ( )f u u
 e 
1
'( )
2
u x
x

, 
a derivada 
'( )f x
 será: 
'( ) '( ). '( )f x f u u x
 
2 1'( ) sec ( ).
2
f x u
x

. 
Como 
( )u x x
, então: 
2sec ( )
'( )
2
x
f x
x

. 
 
4) Calcule a derivada da função 
 2( ) 1f x cotg x x  
. 
Solução: 
A função 
 2( ) 1f x cotg x x  
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u x
 entre 
as funções 
( ) ( )f u cotg u
 e 
2( ) 1u x x x  
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
 e 
'( )u x
 são, respectivamente: 
2'( ) ( )f u cossec u 
 e 
'( ) 2 1u x x 
 , 
a derivada 
'( )f x
 será: 
'( ) '( ). '( )f x f u u x
 
   2 2'( ) ( ). 2 1 2 1 ( )f x cossec u x x cossec u     
. 
Como 
2( ) 1u x x x  
, então: 
   2 2'( ) 2 1 1f x x cossec x x    
 
 
Derivadas das funções exponencial e logarítmica 
 
Regra Função Função derivada 
Derivada da função logarítmica 
( ) log ( )af x x
 
1
'( ) log ( )af x e
x

 
Caso particular de função 
logarítmica, quando 
a e
 
( ) ln( )f x x
 
1
'( )f x
x

 
Derivada da função exponencial 
( ) xf x a
, com 
 1a  
 
'( ) .ln( )xf x a a
 
Derivada da função 
exponencial composta 
 
( )
( ) ( )
v x
f x u x
 1'( ) ' '.ln( )v vf x vu u u v u  
 
 Exemplo: 
5) Calcule a derivada da função 
 2( ) logf x x
. 
Solução: 
A função 
 2( ) logf x x
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u x
 entre as 
funções 
2( ) log ( )f u u
 e 
( )u x x
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
 e 
'( )u x
 são, respectivamente: 
2
1
'( ) log ( )f u e
u

 e 
1
'( )
2
u x
x

, 
a derivada 
'( )f x
 é obtida com: 
'( ) '( ). '( )f x f u u x
 
2
1 1
'( ) log ( ).
2
f x e
u x

 
2log ( )'( )
2
e
f x
u x

. 
Ao realizar a substituição 
( )u x x
, obtém-se: 
2log ( )'( )
2
e
f x
x x

 
2log ( )'( )
2
e
f x
x

, 
que é a derivada procurada. 
 
6) Calcule a derivada da função 
 2( ) ln 1f x sen x    
. 
Solução: 
A função 
 2( ) ln 1f x sen x    
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u v w x
 
entre as funções 
( ) ln( )f u u
, 
( ) ( )u v sen v
, 
( )v w w
 e 
2( ) 1w x x 
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
, 
'( )u v
, 
'( )v w
 e 
'( )w x
 são, respectivamente: 
1
'( )f u
u

, 
'( ) cos( )u v v
; 
1
'( )
2
v w
w

 e 
'( ) 2w x x
 , 
calcula-se a derivada 
'( )f x
 da seguinte forma: 
'( ) '( ). '( ). '( ). '( )f x f u u v v w w x
 
1 1
'( ) .cos( ). .2
2
f x v x
u w

 
cos( )
'( )
x v
f x
u w

. 
Como 
( ) ( )u v sen v
, realiza-se essa substituição na expressão obtida: 
cos( )
'( )
. ( )
x v
f x
w sen v

. 
Realiza-se também a substituição 
( )v w w
: 
 
 
cos
'( )
.
x w
f x
w sen w

. 
E, por fim, realiza-se a substituição 
2( ) 1w x x 
, para obter finalmente: 
 
 
2
2 2
cos 1
'( )
1. 1
x x
f x
x sen x


 
 
 2
2
. 1
'( )
1
x cotg x
f x
x



, 
que é a derivada da função 
 2( ) ln 1f x sen x    
. 
 
OBS.:Você sabia que a derivada da função 
( ) xf x e
 é a própria função 
( ) xf x e
? De 
fato, ao utilizar-se a regra para derivada da função exponencial, obtém-se 
'( ) ln( )xf x e e
 
e, como 
ln( ) 1e 
, então 
'( ) xf x e
. 
 
7) Calcule a derivada da função 
2( ) xf x e
. 
Solução: 
A função 
2( ) xf x e
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u v x
 entre as 
funções 
( ) uf u e
, 
( )u v v
 e 
( ) 2v x x
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
, 
'( )u v
 e 
'( )v x
 são, respectivamente: 
'( ) uf u e
, 
1
'( )
2
u v
v

 e 
'( ) 2v x 
, 
então a derivada 
'( )f x
 é calculada por: 
'( ) '( ). '( ). '( )f x f u u v v x
 
1
'( ) . .2
2
uf x e
v

 
'( )
ue
f x
v

. 
Como 
( )u v v
, realiza-se essa substituição na expressão obtida: 
'( )
ve
f x
v

. 
Realiza-se também a substituição 
( ) 2v x x
, para obter: 
2
'( )
2
xe
f x
x

, 
que é a derivada da função 
2( ) xf x e
. 
 
Outras regras de derivação 
 
Veja as regras para a derivação de funções trigonométricas inversas. Lembre-se que 
você estudou funções trigonométricas inversas na disciplina de Introdução ao Cálculo 
Diferencial e Integral, e que essas funções necessitavam de restrições sobre seus 
domínios para existirem. 
 
Derivadas das funções trigonométricas inversas 
Regra Função Função derivada 
Derivada da funçãoarco seno 
( ) ( )f x arcsen x
 
2
1
'( )
1
f x
x


 
Derivada da função arco cosseno 
( ) cos( )f x arc x
 
2
1
'( )
1
f x
x



 
Derivada da função arco tangente 
( ) ( )f x arctg x
 
2
1
'( )
1
f x
x


 
Derivada da função arco cotangente 
( ) ( )f x arccotg x
 
2
1
'( )
1
f x
x



 
Derivada da função arco secante 
( ) sec( )f x arc x
 
2
1
'( )
1
f x
x x


 
Derivada da função arco cossecante 
( ) ( )f x arccossec x
 
2
1
'( )
1
f x
x x



 
 
 Exemplo: 
1) Calcule a derivada da função 
 2( ) ln 1f x arc sen x   
. 
Solução: 
A função 
 2( ) ln 1f x arc sen x   
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u v x
 
entre as funções 
( ) ( )f u arcsen u
, 
 ( ) lnu v v
 e 
2( ) 1v x x 
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
, 
'( )u v
 e 
'( )v x
 são, respectivamente: 
2
1
'( )
1
f u
u


, 
1
'( )u v
v

 e 
'( ) 2v x x
, 
então a derivada 
'( )f x
 é calculada por: 
'( ) '( ). '( ). '( )f x f u u v v x
 
2
1 1
'( ) . .2
1
f x x
vu


 
2
2
'( )
1
x
f x
v u


. 
Como 
 ( ) lnu v v
, realiza-se essa substituição na expressão obtida: 
2
2
'( )
1 ln ( )
x
f x
v v


. 
Realiza-se também a substituição 
2( ) 1v x x 
, para obter: 
2 2 2
2
'( )
( 1) 1 ln ( 1)
x
f x
x x

  
, 
que é a derivada da função 
 2( ) ln 1f x arc sen x   
. 
 
2) Calcule a derivada da função 
 ( )f x arctg sen x   
. 
Solução: 
A função 
 ( )f x arctg sen x   
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u x
 entre 
as funções 
( ) ( )f u arctg u
 e 
 ( )u x sen x
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
 e 
'( )u x
 são, respectivamente: 
2
1
'( )
1
f u
u


 e 
'( ) cos( )u x x
, 
então a derivada 
'( )f x
 é calculada por: 
'( ) '( ). '( )f x f u u x
 
2
1
'( ) .cos( )
1
f x x
u


 
2
cos( )
'( )
1
x
f x
u


. 
Para obter a forma final da derivada procurada, efetua-se a substituição 
 ( )u v sen x
: 
2
cos( )
'( )
1 ( )
x
f x
sen x


. 
 
3) Calcule a derivada da função 
 2( ) 2f x arccotg x x 
. 
Solução: 
A função 
 2( ) 2f x arccotg x x 
 pode ser reescrita como a composição 
 ( )f u x
 entre 
as funções 
( ) ( )f u arccotg u
 e 
2( ) 2u x x x 
. 
Como as derivadas de 
'( )f u
 e 
'( )u v
 são, respectivamente: 
2
1
'( )
1
f u
u



 e 
'( ) 4 1u x x 
, 
então a derivada 
'( )f x
 é calculada por: 
'( ) '( ). '( )f x f u u x
 
 
2
1
'( ) . 4 1
1
f x x
u

 

 
2
1 4
'( )
1
x
f x
u



. 
Para obter a forma final da derivada procurada, efetua-se a substituição 
2( ) 2u x x x 
: 
 
2
2
1 4
'( )
1 2
x
f x
x x


 
. 
 
Integrais imediatas: trigonométricas 
Regra Função Integral 
Integral da 
função seno 
( ) ( )f x sen x
 
( ) ( )sen x dx cos x C  
 
Integral da 
função cosseno 
( ) ( )f x cos x
 
( ) ( )cos x dx sen x C 
 
 
2( ) ( )f x sec x
 
2 ( ) ( )sec x dx tg x C 
 
 
2( ) ( )f x cossec x
 
2( ) ( )cossec x dx cotg x C  
 
 
( ) ( ). ( )f x sec x tg x
 
( ). ( ) ( )sec x tg x dx sec x C 
 
 
( ) ( ). ( )f x cossec x cotg x
 
( ). ( ) ( )cossec x cotg x dx cosec x C  
 
TABELA 2 – Integrais trigonométricas imediatas. 
 
Integrais indefinidas das funções exponencial e logarítmica 
 
As regras de integração imediatas, para as funções exponencial e logarítmica, estão na 
tabela a seguir: 
 
Regra Função Integral 
 
1
( )f x
x

 
ln( ) , 0
dx
x C x
x
  
 
Integral da função exponencial 
( ) xf x a
, com 
 1a  
 
ln( )
x
x aa dx C
a
 
 
Integral da função 
exponencial natural 
( ) xf x e
 
x xe dx e C 
 
TABELA 3 – Integrais imediatas das funções exponencial e logarítmica. 
 
Inserir hipertexto[ Você sabia que a integral da função 
( ) xf x e
 é a própria função 
( ) xf x e
? De fato, derivando a função exponencial 
( ) xf x e
, obtém-se
'( ) xf x e
. Ou 
seja, a função 
( ) xf x e
 é igual à sua primitiva 
( ) xF x e
.]fim do Hipertexto 
 
Integrais indefinidas das funções trigonométricas inversas 
A partir das regras para a derivação de funções trigonométricas inversas, é possível 
obter mais algumas regras para integração imediatas. Lembre-se apenas que essas 
funções necessitam de restrições sobre seus domínios para existirem. Caso tenha 
dúvidas, converse com seu professor tutor. 
 
 Função Função derivada 
 
2 2
1
( )f x
a x


 
2 2
; 0
dx x
arcsen C a
aa x
 
   
 

 
 
1
( )
² ²
f x
a x


 
1
; 0
² ²
dx x
arctg C a
a x a a
 
   
  

 
 
2
1
( )
²
f x
x x a


 
2
1
sec ; 0
²
dx x
arc C a
a ax x a
 
   
 

 
TABELA 4 – Integrais imediatas envolvendo funções trigonométricas inversas.