Capítulo 9 Centro de Gravidade

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Características Geométricas das Superfícies Planas 
Momento Estático 
 
Momento Estático de um Elemento de Superfície 
 O momento estático de um elemento de superfície é definido através 
do produto entre a área do elemento e a distância que o separa do eixo de 
referência. 
 
 
 Mx = y.dA 
 My = x.dA 
Momento Estático de uma Superfície Plana 
 
 O momento estático de uma superfície plana é definido através da 
integral de área dos momentos estáticos dos elementos de superfície que 
formam a superfície total. 
 
 Mx = ʃ ydA 
 
 
 My = ʃ xdA 
A 
A 
Centro de Gravidade de uma Superfície Plana 
 É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se 
concentra a superfície. 
 A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas XG e YG, que 
serão obtidas através da relação entre o respectivo momento estático de 
superfície e a área total desta. 
 
 ʃ XdA 
 XG = 
 ʃ dA 
 
 
 
 ʃ YdA 
 YG = 
 ʃ dA 
A 
A 
A 
A 
 Para simplificar a determinação do centro de gravidade, divide-se a 
superfície plana em superfícies geométricas cujo centro de gravidade é 
conhecido, tais como retângulos, triângulos, quadrados, etc. 
 Através da relação entre somatório dos momentos estáticos dessa 
superfície e a área total das mesmas, determinam-se coordenadas do centro 
de gravidade. 
XG = A1X1 + ...AnXn 
 A1 +...An 
YG = A1Y1 + ...AnYn 
 A1 +...An 
 i = n 
 ∑AiXi 
 i = 1 
XG = 
 i = n 
 ∑Ai 
 i = 1 
 i = n 
 ∑AiYi 
 i = 1 
YG = 
 i = n 
 ∑Ai 
 i = 1 
Tabela do Centro de Gravidade de Superfícies Planas 
 Superfície Coordenadas do C.G 
XG = b/2 
YG = h/2 
XG = YG = a/2 
Superfície Coordenadas do C.G 
XG = b/3 
YG = h/3 
XG = 0 
YG = 0 
XG = 4r 
 3π 
 
YG = 4r 
 3π 
XG = 0 
 
YG = 4r 
 3π 
Superfície Coordenadas do C.G 
Pontos Importantes 
• O centróide representa o centro geométrico de um corpo. 
Esse ponto coincide com o centro de massa ou o centro de 
gravidade apenas se o material que compõe o corpo é 
uniforme ou homogêneo. 
 
• As fórmulas utilizadas para localizar o centro de gravidade 
ou o centróide simplesmente representam uma 
equivalência entre a soma dos momentos de todas as 
partes do sistema e o momento da ‘resultante’ do sistema. 
 
• Em alguns casos, o centróide encontra-se em um ponto que 
não se localiza no objeto, como no caso de um anel, no 
qual ele está no centro. Esse ponto deverá se localizar em 
algum eixo de simetria do corpo. 
Exercícios 
1- Determinar as coordenadas do centro de gravidade do 
topázio representado na figura a seguir. 
Solução: 
Na resolução deste exercício, denomina-se o quadrado de lado “a” como figura 
(1), e o triângulo de catetos igual “a” como figura (2). 
2- Determinar as coordenadas do CG da superfície hachurada representada na 
figura. 
3- Determinar as coordenadas do 
centro de gravidade de cantoneira de 
abas desiguais representada na 
figura a seguir. 
4- Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil U representado 
na figura a seguir. 
5- Determinar as coordenadas do CG da superfície hachurada representada na 
figura. (r = 100 mm) 
6- Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfície hachurada 
representada na figura. (r = 30 cm) 
7- Determinar as coordenadas do CG da superfície hachurada da figura. 
(r = 75 mm) 
8- Determinar as coordenadas do CG da superfície hachurada na figura (mm). 
9- Determinar as coordenadas do CG da superfície hachurada na figura. 
10- O perfil representado na figura é composto por uma viga I 125x25,7 mm e 
uma chapa 120x10 mm. Determinar o CG do conjunto. A peça é simétrica em 
relação a y.