EP1 2017 2 questoes

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 1 do Caderno Dida´tico, bem como comec¸ar a relembrar
algumas operac¸o˜es aritme´ticas e expresso˜es alge´bricas.
Exerc´ıcio 1 Considerando o conjunto C = {a, b, p, q}, complete convenientemente as lacunas com
∈, /∈, ⊂, 6⊂ ou = .
a) q . . . C
b) {q} . . . C
c) w . . . C
d) {p, q, w} . . . C
e) {p, a, b, q} . . . C
Exerc´ıcio 2 Um conjunto A e´ um subconjunto do conjunto B se A ⊂ B, isto e´, se todos os
elementos de A sa˜o elementos de B. Alguns exemplos:
• A = {1, 3} e´ subconjunto de B = {1, 2, 3, 4};
• A e´ subconjunto de A, pois A ⊂ A (todo elemento de A e´ elemento de A, certo?);
• os subconjuntos na˜o vazios de X = {a, b, c} sa˜o {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}.
a) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de A = {a, b}.
b) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de B = {1, 2, 3, 4}.
c) Baseando-se nos itens anteriores, voceˆ consegue dizer quantos subconjuntos na˜o vazios possui
um conjunto de 2 exatamente elementos? E se ele tiver exatamente 3 elementos? E se tiver
exatamente 4?
Me´todos Determin´ısticos I EP1 2
Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 1, produzida pelas
professoras Magda e Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma.
Exerc´ıcio 3 Seja o conjunto U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Explicite os elementos de cada um dos
conjuntos a seguir.
a) A = {x ∈ U | x < 0}
b) B = {x ∈ U | x2 + x− 20 = 0}
c) C = {x ∈ U | − x− 7 = 10}
d) D = {x ∈ U | x2 ≥ 0}
Exerc´ıcio 4 Seja o conjunto U = {3, 5,−1,−7,−5,−2}. Verifique se os conjuntos A e B, a seguir,
sa˜o iguais.
a) A =
{
x ∈ U ∣∣ x− 3
2x
= 0
}
, B =
{
x ∈ U ∣∣ x > 0}.
b) A =
{
x ∈ U ∣∣ x < −2}, B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0}.
Exerc´ıcio 5 Pinte nos diagramas, a seguir, os conjuntos indicados.
a) A ∩ (B − A) b) (A ∩B) ∩ C
c) O complementar de C em A ∩B d) (A ∪B) ∩ C
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP1 3
Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C. Ainda, na˜o conhecemos o
conjunto C.
a) Determine A ∪B.
b) Determine A ∩B.
c) Determine B − A.
d) Determine A−B.
e) Determine B × A.
f) Determine A×B.
g) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C?
h) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e que C ∩ A = {2, 3} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C?
Exerc´ıcio 7 Se A = {−1, 0, 1, 2, 3} e B = {−4,−1, 0, 1, 4},
a) Determine A×B.
b) Determine o conjunto R = {(x, y) ∈ A × B|x2 = y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) com
x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x2 = y).
c) Determine o conjunto S = {(x, y) ∈ A × B|x < y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) com
x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x < y).
Exerc´ıcio 8 Sendo W um conjunto, vamos denotar por n(W), o nu´mero de elementos em W .
Sabendo que A e B sa˜o dois conjuntos em que n(A) = 15, n(B) = 11 e n(A∪B) = 23, determine:
a) n(A ∩B)
b) n(A−B).
c) n(B − A).
Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 2, produzida pela
professora Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP1 4
Exerc´ıcio 9 Em um grupo de 100 crianc¸as:
• 80 sa˜o meninas.
• 50 teˆm menos de 10 anos.
O nu´mero m´ınimo de meninas com 10 ou mais anos nesse grupo e´:
(a) 0 (b) 10 (c) 20 (d) 30 (e) 50.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova para te´cnico em administrac¸a˜o geral da Eletroba´s em 2007. Prova
elaborada pelo CNE/UFRJ
Exerc´ıcio 10 Em uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os jornais que costumam ler, obteve-se o
seguinte resultado:
1100 leˆem o JB;
1300 leˆem o Estado;
1500 leˆem a Folha;
300 leˆem a JB e o Estado;
500 leˆem a Folha e o Estado;
400 leˆem a Folha e o JB;
100 leˆem a Folha, o JB e o Estado;
E´ correto afirmar que:
(a) 600 pessoas leˆem apenas o JB.
(b) 500 pessoas leˆem apenas o Estado.
(c) 900 pessoas na˜o leˆem nenhum dos treˆs jornais.
(d) 400 pessoas leˆem apenas o Estado e a Folha.
(e) 1200 pessoas leˆem mais de um dos treˆs jornais.
Ao final desta EP, encontra uma sugesta˜o para a resoluc¸a˜o desta questa˜o.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado
pela ESAF.
Exerc´ıcio 11 Numa pesquisa sobre o consumo de ervilhas, milho e palmito foram entrevistadas 3000
pessoas em um supermercado, sendo constatado que:
1440 consomem ervilhas;
1350 consomem milho;
1500 consomem palmito;
540 consomem ervilhas e milho;
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP1 5
750 consomem milho e palmito;
450 ervilhas e palmito;
150 na˜o consomem nenhum dos produtos selecionados;
a) Determine a quantidade de entrevistados que consomem os treˆs produtos.
b) Determine quantos entrevistados consomem um e apenas um dos produtos selecionados.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado
pela ESAF.
Exerc´ıcio 12 A operadora de telefonia mo´vel Chabu oferece diversas opc¸o˜es de pacotes de dados e
minutos de voz. As opc¸o˜es de pacote de dados, em gigabytes, sa˜o 0.5, 1, 2, 5, 10 e as opc¸o˜es de
minutos de voz sa˜o 100, 150, 200, 300, 500 e 1000.
Um plano comercializado e´ um par ordenado (p, v) formado por um pacote de dados p e uma
escolha de minutos de voz v, dentre os oferecidos pela empresa (listados acima) e de forma que
sejam satisfeitas, ao mesmo tempo, as desigualdades:
v ≥ 100p e v ≤ 300p.
Por exemplo, (2, 300) e´ um plano comercializado, pois, nele, p = 2 e v = 300, e temos 300 ≥ 100 · 2
e 300 ≤ 300 · 2, de modo que as desigualdades v ≥ 100p e v ≤ 300p sa˜o ambas satisfeitas. Por
outro lado, (0.5, 300) na˜o e´ um plano comercializado, pois a desigualdade 300 ≤ 300 · 0.5 e´ falsa e,
com isso, na˜o e´ satisfeita a segunda condic¸a˜o, v ≤ 300p. Da mesma forma, (10, 100) tambe´m na˜o e´
um plano comercializado, pois a desigualdade 100 ≥ 100 · 10 e´ falsa, na˜o sendo portanto satisfeita a
primeira condic¸a˜o v ≥ 100p. Lembre-se de que, em um plano comercializado, as duas desigualdades
precisam ser satisfeitas.
a) Determine o conjunto PD de pacotes de dados.
b) Determine o conjunto MV de minutos de voz.
c) Determine o conjunto dos planos comercializados pela Chabu.
Exerc´ıcio 13 A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funciona´rio em uma viagem a um cliente,
para agilizar a aprovac¸a˜o de alguns contratos pendentes. O funciona´rio deve embarcar para o cliente
na semana que comec¸a no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar na semana que comec¸a no dia 8
e termina no dia 14.
Chamaremos de poss´ıvel viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v nos crite´rios acima.
Por exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 e´ uma poss´ıvel viagem, ida em 3 e volta em 9 e´ outra
poss´ıvel viagem. Ida em 1 e volta em 6 na˜o e´ uma poss´ıvel viagem, pois a volta na˜o esta´ na semana
de 8 a 14.
O nu´mero de dia´rias de uma poss´ıvel viagem e´ a diferenc¸a entre as datas de ida e volta, isto e´, v− i,
onde i e´ a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a poss´ıvel viagem que comec¸a no dia 2 e termina
no dia 11 tem 11− 2 = 9 dia´rias.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP1 6
i. Explique como e por que uma poss´ıvel viagem pode ser representada por um par ordenado.
Este par ordenado pertence ao produto cartesiano de quais conjuntos?
ii. De acordo com sua resposta ao item acima, determine o conjunto V de todas as poss´ıveis
viagens.
iii. Como o funciona´rio tera´ muito trabalho em sua ida ao cliente, uma poss´ıvel viagem e´ consi-derada proveitosa se tiver a durac¸a˜o de, no m´ınimo, 9 dia´rias. Se P e´ o conjunto de todas
as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que
P ⊂ V .
iv. Represente o conjunto P enumerando seus elementos.
O prec¸o da passagem de ida no dia i e´ representado por p(i). Assim, p(2) e´, por exemplo, o prec¸o da
passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o prec¸o da passagem de volta no dia v e´ representado
por p′(v). Assim, p′(10) e´ o prec¸o da passagem de volta no dia 10. Os prec¸os das passagens, para
cada dia, sa˜o dados abaixo:
Viagem de ida:
Dia da viagem 1 2 3 4 5 6 7
Prec¸o em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00
Viagem de volta:
Dia da viagem 8 9 10 11 12 13 14
Prec¸o em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00
Como exemplo, temos p(3) = 1000, 00 e p′(12) = 800, 00.
O custo de uma poss´ıvel viagem e´ dado pela soma dos prec¸os das passagens de ida e de volta,
adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria.
Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo
p(3) + p′(12) + (12− 3)× 300, 00 = 1000, 00 + 800, 00 + 9× 300, 00 = 4.500, 00.
Note que 12− 3 e´ o nu´mero de dia´rias.
O custo-benef´ıcio de uma poss´ıvel viagem e´ obtido dividindo o custo pelo nu´mero de dia´rias. Assim,
a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benef´ıcio igual a 4500, 00/9 = 500, 00.
Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel,
se o custo benef´ıcio for menor do que R$ 500,00.
v. Qual e´ o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benef´ıcio
desta viagem?
vi. Se A e´ o conjunto das viagens via´veis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade.
Diga por que A ⊂ V .
vii. A empresa quer que a viagem de seu funciona´rio seja proveitosa e via´vel. Represente, por meio
de uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V , P e A (na˜o necessariamente todos), bem como
as operac¸o˜es entre conjuntos, o conjunto das viagens que se enquadram nestes crite´rios.
Por razo˜es de foro ı´ntimo, o funciona´rio diz que na˜o pode voar a`s quintas-feiras e sextas-feiras, que
caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As poss´ıveis viagens que possuem algum voo nestas datas sa˜o chamadas,
pelo funciona´rio, de amaldic¸oadas, e o conjunto das viagens amaldic¸oadas e´ denotado por M .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP1 7
viii. Represente, por uma propriedade, o conjunto M .
ix. Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M .
x. A empresa resolveu compreender as questo˜es ı´ntimas de seu funciona´rio e na˜o deseja sub-
meteˆ-lo a uma viagem amaldic¸oada, afinal, ele na˜o seria nada produtivo nessas circunstaˆncias.
Determine, por uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V, P,A e M (na˜o necessariamente
todos) e suas operac¸o˜es, o conjunto D das viagens que o funciona´rio podera´ fazer.
xi. Represente o conjunto
D
enumerando seus elementos. [Em algum momento, voceˆ precisara´ calcular o custo-benef´ıcio
das viagens. Se prestar atenc¸a˜o ao que esta´ sendo pedido, voceˆ na˜o precisara´ calcular o
custo-benef´ıcio de todas as poss´ıveis viagens (que sa˜o muitas!!!)]
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ