Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP5 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 6 do Caderno Dida´tico. Exerc´ıcio 1 Escreva a expressa˜o decimal associada ao nu´mero racional dado pela frac¸a˜o: a) 12 5 b) −27 18 c) 2 6 d) 1998 6000 Soluc¸a˜o: a) Efetuando, a divisa˜o obtemos 12/5 = 2, 4. b) Efetuando, a divisa˜o obtemos −27/18 = −1, 5. c) Efetuando, a divisa˜o obtemos 2/6 = 0, 33333 . . . . d) Efetuando, a divisa˜o obtemos 1998/6000 = 0, 333. Exerc´ıcio 2 Escreva a expressa˜o decimal associada ao nu´mero racional dado pela frac¸a˜o: a) 7 9 b) 4 33 c) 44 3 d) 16 11 e) 20 7 Soluc¸a˜o: a) Efetuando a divisa˜o, obtemos 7/9 = 0, 77777 . . . . b) Efetuando a divisa˜o, obtemos 4/33 = 0, 121212 . . . . c) Efetuando a divisa˜o, obtemos 44/3 = 14, 66666 . . . . d) Efetuando a divisa˜o, obtemos 16/11 = 1, 454545 . . . . e) Efetuando a divisa˜o, obtemos 20/7 = 2, 857148571485714 . . . . Exerc´ıcio 3 Converta cada uma das d´ızimas dadas a seguir num nu´mero racional. a) 14, 66666 . . . b) 1, 454545 . . . c) 2, 857142857142857142 . . . Soluc¸a˜o: a) Seja x = 14, 66666 . . . , enta˜o 10x = 146, 66666 . . . . Assim, 10x− x = 146, 66666 · · · − 14, 66666 . . . 9x = 132 x = 132/9 x = 44/3 . Me´todos Determin´ısticos I EP5 2 b) Seja x = 1, 454545 . . . enta˜o 100x = 145, 454545 . . . . Assim, 100x− x = 145, 454545 · · · − 1, 454545 . . . 99x = 144. x = 144/99 x = 16/11. c) Seja x = 2, 857142857142857142 . . . enta˜o 1.000.000x = 2.857.142, 857142857142 . . . e 1.000.000x− x = 2.857.142, 857142857142 · · · − 2, 857142857142857142 . . . 999.999x = 2.857.140 x = 2.857.140/999.999 (Simplifique dividindo o numerador e o denominador por 142.857) x = 20/7. Exerc´ıcio 4 (SEFAZ – AM –2005) A frac¸a˜o que representa a d´ızima 3, 0121212 . . . e´: (A) 3012 99 (B) 3012 999 (C) 3012 9999 (D) 2982 990 (E) 2982 999 Soluc¸a˜o: Seja x a frac¸a˜o que representa a d´ızima 3, 0121212 . . . . Isto e´, x = 3, 0121212 . . . , enta˜o 100x = 301, 212121 . . . . Efetuando a diferenc¸a entre 100x e x, temos que 100x− x = 301, 212121 · · · − 3, 012121 . . . 99x = 298, 2 99x = 2982/10 x = 2982/990. Logo, a alternativa correta e´ aquela dada pela letra (D). Exerc´ıcio 5 (ANTT-2005) Ao fazer uma divisa˜o entre dois nu´meros inteiros, numa calculadora, Josimar obteve, no visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a divisa˜o feita por Josimar. (A) 999/1234 (B) 1000/1234 (C) 12/34 (D) 12341234/9000000 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 3 (E) 1234/9999 Soluc¸a˜o: Chamando de x o quociente da divisa˜o entre os dois nu´meros inteiros, temos que x = 0, 123412341234 . . . . Logo, 10000x = 1234, 123412341234 . . . . Fazendo a diferenca entre 10000x e x, obtemos que 10000x− x = 1234, 123412341234 · · · − 0, 123412341234 . . . 9999x = 1234 x = 1234/9999. Portanto, x = 1234 9999 . Logo, a alternativa correta e´ aquela dada pela letra (E). Exerc´ıcio 6 Calcule o valor de cada uma das expresso˜es nume´ricas. a) 4 5 ( 3 + 0, 4 )− 3, 21 b) 4 + 2 [ 1− 1 4 ( 4 6 − 1 3 ) + 2 ] − 61 25 ( 1 2 − 1 ) ÷ (0, 22 + 1) Soluc¸a˜o: a) 4 5 ( 3 + 0, 4 )− 3, 21 = 0, 8(3, 4)− 3, 21 = 2, 72− 3, 21 = −0, 49 = − 49 100 b) Chamando y de 4 + 2 [ 1− 1 4 ( 4 6 − 1 3 ) + 2 ] − 61 25 ( 1 2 − 1 ) ÷ (0, 22 + 1), temos que y = 4 + 2 [ 1− 1 4 ( 4 6 − 1 3 ) + 2 ] − 61 25 ( 1 2 − 1 ) ÷ (0, 22 + 1) = 4 + 2 [ 1− 1 4 ( 2 3 − 1 3 ) + 2 ] − 61 25 ( −1 2 ) ÷ ( 22 100 + 1 ) = 4 + 2 [ 1− 1 4 ( 2 3 − 1 3 ) + 2 ] − 61 25 ( −1 2 ) ÷ ( 22 100 + 1 ) = 4 + 2 [ 1− 1 4 ( 1 3 ) + 2 ] + 61 50 ÷ ( 11 50 + 1 ) = 4 + 2 [ 1− 1 12 + 2 ] + 61 50 ÷ ( 11 50 + 50 50 ) = 4 + 2 [ 12 12 − 1 12 + 24 12 ] + 61 50 ÷ 61 50 = 4 + 2 [ 35 12 ] + 61 50 · 50 61 = 4 + 35 6 + 1 = 24 6 + 35 6 + 6 6 = 65 6 Portanto, y = 65 6 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 4 Exerc´ıcio 7 Numa situac¸a˜o idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento e´ medido por L = 0, 2 x+ 4 0, 5 − 5. Sabendo disso, determine a quantidade que deve ser vendida por este estabelecimento, para que ele obtenha um lucro de 125 reais. Soluc¸a˜o: A fim de determinar a quantidade x vendida pelo estabelecimento, quando L e´ igual a 125 reais, temos de resolver a equac¸a˜o 125 = 0, 2 x+ 4 0, 5 − 5 ⇐⇒ 125 = 2x 10 + 4 5 10 − 5 ( pois 0, 2 = 2 10 e 0, 5 = 5 10 ) ⇐⇒ 125 + 5 = x 5 + 4 1 2 ⇐⇒ 130 = ( x 5 + 4 ) 2 ⇐⇒ 130 2 = ( x 5 + 4 ) 2 2 ⇐⇒ 65 = x 5 + 4 ⇐⇒ 65− 4 = x 5 ⇐⇒ 61 = x 5 ⇐⇒ 61× 5 = x 5 × 5 ⇐⇒ 305 = x ⇐⇒ x = 305 . Portanto, o estabelecimento vende uma quantidade de 305 unidades do produto, quando o lucro deste estabelecimento e´ de 125 reais. Exerc´ıcio 8 (FCC) Em 2001 a fa´brica ABC exportou 44% de sua produc¸a˜o. Em 2002 esse ı´ndice passou para 55%. Nessas condic¸o˜es, o acre´scimo percentual nas exportac¸o˜es da fa´brica ABC foi de: (A) 11% (B) 20% (C) 25% (D) 30% (E) 50% Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P a quantidade produzida. Enta˜o antes a fa´brica exportava 44P/100, e em 2002 passou a exportar 55P/100. A diferenc¸a e´ de 11P/100, quantos porcento de 44P/100 isso representa? Temos que calcular: 11P 100 ÷ 44P 100 = 11P 100 × 100 44P = 25 100 Portanto, a resposta e´ 25%. Uma forma alternativa de resolver este tipo de questa˜o, onde se deseja encontrar um acre´scimo/de- cre´scimo (aumento/diminuic¸a˜o) percentual seria utilizando a regra de treˆs. Neste caso, temos que Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 5 100% corresponde a` quantidade que era exportada antes, ou seja, 44P 100 , e queremos descobrir quanto porcento de 44P 100 o acre´scimo 11P 100 representa. Desta forma, montamos a seguinte regra de treˆs. 100% −−− 44P 100 x% −−− 11P 100 Exerc´ıcio 9 (FCC) Um terreno foi vendido por R$ 27.500,00, com lucro de 10%. Em seguida foi revendido por R$ 33.000,00. O lucro total das duas transac¸o˜es representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de (A) 20% (B) 22% (C) 26% (D) 30% (E) 32% Soluc¸a˜o: Primeiro vamos calcular o valor inicial do terreno. Vamos chamar este valor de V . Se ele foi vendido com lucro de 10%, enta˜o foi vendido por V +0, 1V , isto e´, 1, 1V = 27500. Enta˜o o valor do terreno seria V = 27500/1, 1. Deste valor para 33000, qual o aumento percentual? Chamando de x este aumento, temos: 33000 = 27500 1, 1 + x 100 27500 1, 1 ou, multiplicando tudo por 1, 1, 36300 = 27500 + x 100 27500. Ou seja, 36300− 27500 = x 100 27500 8800 = x 100 27500 8800 27500 = x 100 Isto e´, x 100 = 8800 27500 = 32 100 Logo o lucro total foi de 32%. Exerc´ıcio 10 (CESPE-94) Um trabalhador gastava 30% de seu sala´rio com aluguel. Apo´s certo per´ıodo seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu sala´rio foi reajustado em 500%. Enta˜o, a porcentagem do sala´rio que ele passou a gastar com aluguel foi: (A) 34% (B) 38% (C) 40% (D) 52% (E) 45% Fundac¸a˜o CECIERJConso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 6 Soluc¸a˜o: Vamos chamar de s o sala´rio inicial. Enta˜o o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel. Se o aluguel teve um aumento de 700%, enta˜o o aluguel passou ao valor de 8× 0, 3s, isto e´, 2, 4s. Por outro lado, o sala´rio foi reajustado em 500%, isto e´, o trabalhador passou a receber 6s. Precisamos ver que porcentagem deste novo sala´rio e´ gasta com o aluguel. Chamando esta porcentagem de x temos: 2, 4s = x 100 6s x 100 = 2, 4s 6s x 100 = 0, 4 = 40 100 Portanto, o aluguel representa agora 40% do sala´rio do trabalhador. Outra soluc¸a˜o: Vamos chamar de s o sala´rio inicial, de S o sala´rio final, de a o aluguel inicial e de A o aluguel final. Enta˜o, de acordo com o enunciado, temos a = 0, 3s (pois o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel). Temos tambe´m A = a+ 7a = 8a e S = s+ 5s = 6s (pois o aluguel aumentou 700% e o sala´rio foi reajustado em 500%). Queremos saber qual a porcentagem do novo sala´rio que e´ gasta com o novo aluguel, logo devemos descobrir quanto vale A/S: A S = 8a 6s = 8× 0, 3s 6s = 2, 4 0, 6 = 0, 4 Portanto, o trabalhador passou a gastar com aluguel 40% de seu sala´rio. Exerc´ıcio 11 Foi publicada no Globo de 12/08/09 uma not´ıcia sobre a variac¸a˜o das taxas de juros na qual podemos ler as seguintes frase: “Cinco das seis principais linhas de cre´dito do pa´ıs reduziram suas taxas mensais para pessoas f´ısicas de junho para julho, segundo pesquisa divulgada nesta quarta-feira pela Associac¸a˜o Nacional dos Executivos de Financ¸as, Administrac¸a˜o e Contabilidade (Anefac). O cheque especial foi a linha de cre´dito em que houve a maior reduc¸a˜o de juros no per´ıodo: a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano) para 7,44% (136,59% ao ano), menor patamar da se´rie histo´rica iniciada em janeiro de 1995.” (O Globo, 12/08/09) Explique como foi calculada a queda percentual de 1,33% relativa a` variac¸a˜o da taxa de juros do cheque especial. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 7 Soluc¸a˜o: A not´ıcia diz: “ a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano) para 7,44% (136,59% ao ano)”. Se passou de 7,54% para 7,44%, recuou em 0,1%. Mas isso significa uma queda de quantos porcento da taxa anterior? Temos que calcular quantos porcento de 7,54 e´ 0,1. Por regra de treˆs, dir´ıamos que 7,54 esta´ para 100% assim como 0,1 esta´ para x%. Ficamos com: x = (0, 1× 100)/7, 54 ≈ 1, 326 Assim foi calculada a queda de 1,33% relativa a` variac¸a˜o da taxa de juros do cheque especial. Exerc´ıcio 12 Um gerente forneceu um desconto de 20% sobre o prec¸o de venda de uma televisa˜o e, mesmo assim, conseguiu para a loja um lucro de 15% sobre o prec¸o de custo da televisa˜o. Ao ver um outro cliente muito interessado no mesmo televisor, ele resolveu na˜o dar mais desconto algum. Apo´s realizar esta venda nestas condic¸o˜es (sem desconto), seu lucro, em porcentagem, foi de quanto? Soluc¸a˜o: Vamos chamar de V o prec¸o de venda da televisa˜o e de P o prec¸o custo da televisa˜o. Vamos listar as informac¸o˜es que temos: • na primeira transac¸a˜o comercial, como o gerente forneceu um desconto de 20% sobre o prec¸o de venda da TV, ela foi vendida por 0.8 V ; • na segunda transac¸a˜o comercial, como o gerente na˜o forneceu desconto sobre o prec¸o de venda da TV, ela foi vendida por V . Para resolver o exerc´ıcio, temos que encontrar o lucro na segunda transac¸a˜o comercial, ou seja, precisamos escrever V como o produto entre um nu´mero centesimal e P . Como sabemos que na primeira transac¸a˜o comercial, houve um lucro de 15% sobre o prec¸o custo da TV, temos a seguinte uma relac¸a˜o entre V e P 0.8 V = 1.15 P . Desta forma, encontramos que V = 1.15 0.8 P = 115 80 P = 1, 4375 P = 143, 75 100 P . Descobrimos portanto que V = 143, 75% P . Conclu´ımos, assim, que houve um lucro de 43, 75% na segunda transac¸a˜o comercial. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 8 Exerc´ıcio 13 Numa certa localidade foi introduzida uma quantidade inicial de coelhos. No primeiro ano, a populac¸a˜o de coelhos aumentou de 90% em relac¸a˜o a quantidade inicial. No segundo ano essa populac¸a˜o sofreu um decre´scimo de 70% em relac¸a˜o ao primeiro ano. (a) Determine, em termos percentuais, o quanto diminuiu a populac¸a˜o de coelhos nos dois primeiros anos em relac¸a˜o a quantidade inicial. (b) Considerando que inicialmente havia 100 coelhos. Determine qual a quantidade atual de coelhos. Soluc¸a˜o: (a) O primeiro passo e´ identificar a quantidade inicial de coelhos. Como essa quantidade na˜o foi mencionada, vamos supor que Q e´ essa quantidade. O segundo passo e´ aplicar os acre´scimos e os decre´scimos percentuais a quantidade de coelhos conforme descrito no enunciado da questa˜o. Desta forma, temos: • acre´scimo de 90% em relac¸a˜o a quantidade Q de coelhos. Isto significa que o acre´scimo e´ calculado por 90% de Q = 90 100 · Q = 9Q 10 = 0.9M assim, a nova quantidade de coelhos e´: Q + 0.9Q = 1.9Q • descre´scimo de 70% em relac¸a˜o a quantidade 1.9Q. Isto significa que o decre´scimo e´ cal- culado por 70% de 1.9Q = 70 100 · 1.9Q = 7 10 · 1.9Q = 1.33Q assim, a nova quantidade de coelhos e´: 1.9Q - 1.33Q = 0.57Q Desta forma, para determinar o decre´scimo percentual em relac¸a˜o a quantidade inicial de coelhos, faz-se: quantidade inicial−quantidade final = Q− 0.57Q = 0.43Q = 43 100 Q = 43%Q Resposta: A populac¸a˜o de coelhos teve uma diminuic¸a˜o de 43% nos dois primeiros anos em relac¸a˜o a quantidade inicial. (b) Como a quantidade inicial de coelhos e´ Q= 100, temos que a quantidade atual de coelhos e´ igual a 0.57Q, ou seja, 0.57·(100) = 57 coelhos. Exerc´ıcio 14 Se um prec¸o e´ aumentado em 10% para depois ser reduzido em 10%, qual sera´ a variac¸a˜o porcentual final deste prec¸o? Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P o prec¸o inicial do produto. O primeiro aumento sera´ dado por 10% de P = 10 100 · P = 10P 100 = P 10 . logo, o prec¸o se torna P + P 10 = 10P + P 10 = 11P 10 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 9 A reduc¸a˜o de 10% sobre este novo prec¸o sera´ dada por 10% de 11P 10 = 10 100 · 11P 10 = 11P 100 , logo, o novo prec¸o e´ 11P 10 − 11P 100 = 110P − 11P 100 = 99P 100 . Repare que a diferenc¸a entre este prec¸o e o anterior e´ de 99P 100 − P = 99P − 100P 100 = − P 100 = −1% · P. Assim, a variac¸a˜o no prec¸o foi de −1%, isto e´, uma reduc¸a˜o de 1% no prec¸o. Outra poss´ıvel soluc¸a˜o: Um aumento de 10% no prec¸o P resulta em um novo prec¸o dado por (10% + 1)× P = ( 10 100 + 1 ) × P = ( 10 100 + 100 100 ) × P = 110 100 × P = 11 10 × P. Uma reduc¸a˜o de 10% neste prec¸o resulta no prec¸o dado por (1− 10%)× 11 10 × P = ( 1− 10 100 ) × 11 10 × P = ( 100 100 − 10 100 ) × 11 10 × P = = 90 100 × 11 10 × P = 990 1000 × P = 99 100 × P. O novo prec¸o e´ enta˜o dado por 99 100 × P , ou ainda 99 100 × P = ( 100 100 − 1 100 ) × P = (1− 1%)× P, ou seja, e´ o prec¸o original apo´s uma reduc¸a˜o de 1%. Exerc´ıcio 15 Uma camiseta custava R$200,00 e, apo´s dois aumentos sucessivos de a%, seu prec¸o foi para R$246,42. Determine a. Observac¸a˜o: Para ajudar nas contas, segue uma pequena taboada: 1, 012 = 1, 0201 1, 062 = 1, 1236 1, 112 = 1, 2321 1, 162 = 1, 3456 1, 022 = 1, 0404 1, 072 = 1, 1449 1, 122 = 1, 2544 1, 172 = 1, 3689 1, 032 = 1, 0609 1, 082 = 1, 1664 1, 132 = 1, 2769 1, 182 = 1, 3924 1, 042 = 1, 0816 1, 092 = 1, 1881 1, 142 = 1, 2996 1, 192 = 1, 4161 1, 052 = 1, 1025 1, 102 = 1, 2100 1, 152 = 1, 32251, 202 = 1, 4400 Soluc¸a˜o: Apo´s o primeiro aumento de a%, o prec¸o da camisa, antes R$200,00, se tornara´ P1 = 200 · ( 1 + a 100 ) . Apo´s novo aumento de a%, teremos o prec¸o Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 10 P2 = P1 · ( 1 + a 100 ) = ( 200 · ( 1 + a 100 )) · ( 1 + a 100 ) = 200 · ( 1 + a 100 )2 . Mas o prec¸o P2 calculado acima, apo´s o segundo aumento, e´ de R$246,42. Logo, 200 · ( 1 + a 100 )2 = 246, 42, e enta˜o ( 1 + a 100 )2 = 246 200 = 1, 2321. Com isso, consultando a taboada fornecida, vemos que 1 + a 100 = 1, 11, logo a 100 = 0, 11 ∴ a = 11. Exerc´ıcio 16 Para a pro´xima black friday, as Lojas Tabajaras S.A. estudam a possibilidade de dar um grande desconto no prec¸o de um certo modelo de televisa˜o. O percentual deste desconto ainda na˜o foi definido pela equipe de marketing, e e´ denotado apenas por d%. Pore´m, para que tal desconto na˜o pese muito em seu faturamento, as Lojas Tabajaras pretendem aumentar, alguns meses antes, o prec¸o da mesma televisa˜o, em um percentual a%. Determine o valor m´ınimo de a para que, apo´s o aumento de a% e o desconto de d% da black friday, o prec¸o da televisa˜o na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial. Atenc¸a˜o!!! Observe que a resposta que voceˆ encontrara´ estara´ em func¸a˜o de d, isto e´, inevitavel- mente o d aparecera´ em sua resposta. Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P o prec¸o da televisa˜o antes do aumento e do desconto da black friday (tambe´m conhecida como black fraude!). Vamos inicialmente interpretar nosso problema, enquanto identificamos o que e´ dado e o que esta´ sendo pedido. Temos um certo modelo de televisa˜o que possui um prec¸o inicial P . Este prec¸o P sofrera´ um aumento de a%, e a televisa˜o tera´ um prec¸o novo, que chamaremos de Pa. Durante a black friday, este novo prec¸o Pa, sofrera´ um desconto de d%, e a televisa˜o passara´ aa ter prec¸o final, que chamaremos de Pf . Deseja-se que o prec¸o final Pf na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial P . Em outras palavras, queremos que o prec¸o final Pf seja maior ou igual a 80% do prec¸o inicial P . Pronto. Ja´ traduzimos nosso problema. Precisamos agora relacionar nossas varia´veis. Isto na˜o sera´ complicado, pois sabemos que nossas varia´veis foram sendo alteradas atrave´s de aumentos/diminuic¸o˜es percentuais. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 11 Vamos comec¸ar determinando quem e´ Pa. Observe que Pa resulta de um aumento de a% no prec¸o inicial P . Desta forma, o prec¸o no Pa e´ obtido efetuando-se um acre´scimo de a% em P . Sendo assim, apo´s um aumento de a%, novo prec¸o Pa da televisa˜o e´ dado por Pa = P + a%P = P + a 100 P = ( 1 + a 100 ) P = 100 + a 100 P. (1) Vamos agora descobrir quem e´ Pf . Observe que Pf resulta de um desconto de d% no novo prec¸o Pa. Portanto, o prec¸o final Pf e´ obtido aplicando-se uma subtrac¸a˜o de d% em Pa. Temos enta˜o, que apo´s um desconto de d%, o prec¸o final Pf da televisa˜o e´ dado por Pf = Pa − d%Pa = Pa − d 100 Pa = ( 1− d 100 ) Pa = 100− d 100 Pa. (2) Observe que nosso objetivo recai em uma relac¸a˜o entre o prec¸o final Pf e o prec¸o inicial P . Entretanto, na Equac¸a˜o (2) obtivemos Pf em func¸a˜o Pa. Mas, isto na˜o e´ problema, pois, em (1), obtivemos que Pa em func¸a˜o de P . Substituindo, enta˜o (1) em (2), temos que Pf = 100− d 100 Pa = 100− d 100 · 100 + a 100 P = (100− d)(100 + a) 1002 P. logo Pf = (100− d)(100 + a) 1002 P. (3) Voltando agora ao nosso objetivo, queremos que Pf na˜o seja inferior a 80% do prec¸o original, isto e´, queremos que o prec¸o final Pf seja maior ou igual a 80% do prec¸o inicial P . Matematicamente, nossa condic¸a˜o se traduz em Pf > 80 100 P. (4) Substituindo-se na inequac¸a˜o (4) o valor obtido para Pf em (3), temos (100− d)(100 + a) 1002 P > 80 100 P. (5) Dividindo-se por P (que e´ positivo) a inequac¸a˜o (5), temos (100− d)(100 + a) 1002 > 80 100 . (6) Podemos multiplicar ambos os lados da inequac¸a˜o (6) por 1002, resultando em (100− d)(100 + a) > 100 · 80. (7) Observe que a inequac¸a˜o (7), embora apresente uma relac¸a˜o entre a e d, na˜o deixa muito claro qual deve ser o valor de a para um determinado d dado. Para termos esta relac¸a˜o clara, precisaremos isolar a. Para isto, temos que dividir por 100− d ambos os lados da inequac¸a˜o. Teremos enta˜o que nos certificar que 100− d > 0. De fato, como d e´ um desconto percentual, temos que 0 < d < 100. De fat, se d = 0, na˜o ha´ desconto e se d = 100, a televisa˜o e´ dada e na˜o vendida. Dividindo-se enta˜o (7) por 100− d (que ja´ sabemos ser positivo), temos 100 + a > 100 · 80 100− d. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP5 12 Assim, a > 100 · 80 100− d − 100. Simplificando, temos a > 100 · 80− 100(100− d) 100− d ∗ = 100(d− 20) 100− d . (Observe que em (*), utilizamos que BC − BE = B(C − E), B, C,E ∈ R. No caso, B = 100, C = 80 e E = 100− d.) Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar