EP5 2017 1 questoes

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP5 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 6 do Caderno Dida´tico.
Conforme sabemos, os nu´meros racionais sa˜o aqueles que podem ser representados por frac¸o˜es em
que o numerador e o denominador sa˜o nu´meros inteiros. Para encontrar a representac¸a˜o decimal de
uma frac¸a˜o basta efetuar a divisa˜o do numerador pelo denominador. Na pro´xima questa˜o, vamos
representar um nu´mero decimal em suas forma racional.
Exerc´ıcio 1 Escreva a expressa˜o decimal associada ao nu´mero racional dado pela frac¸a˜o:
a)
12
5
b) −27
18
c)
2
6
d)
1998
6000
D´ızimas perio´dicas
Ao resolver o Exerc´ıcio 1, voceˆ observara´ que os dois u´ltimos itens teˆm respostas parecidas. Pore´m
fique atento, ha´ um detalhe muito importante. Uma delas e´ um nu´mero com expansa˜o decimal
finita, enquanto a outra e´ uma d´ızima perio´dica, isto e´, tem uma expansa˜o decimal que se repete
infinitamente.
Voceˆ e´ capaz de efetuar a subtrac¸a˜o destes dois resultados para encontrar a diferenc¸a entre eles?
Se o fizer vera´ que e´ um nu´mero bem pequeno (menor que 0,01).
Por que os resultados sa˜o ta˜o pro´ximos, se estamos dividindo, em um caso, dois nu´meros pequenos
(2 e 6) e em outro dois nu´meros grandes (1998 e 6000)?
Voceˆ tem alguma ide´ia?
A resposta a esta pergunta esta´ relacionada a`s proporc¸o˜es: 2 representa um terc¸o de 6, e 1998
esta´ bem pro´ximo de 2000, que tambe´m representa um terc¸o de 6000.
Quando dividimos dois nu´meros estamos buscando a proporc¸a˜o entre eles.
Exerc´ıcio 2 Escreva a expressa˜o decimal associada ao nu´mero racional dado pela frac¸a˜o:
a)
7
9
b)
4
33
c)
44
3
d)
16
11
e)
20
7
Como voceˆ esta´ observando, na˜o ha´ nada de errado nas d´ızimas perio´dicas, elas surgem naturalmente
nas diviso˜es (felizmente a linguagem matema´tica nos permite colocar os treˆs pontinhos para indicar
que a expansa˜o segue se repetindo, sena˜o ter´ıamos que passar a vida toda escrevendo os nu´meros e
nunca terminar´ıamos a divisa˜o).
Entretanto, voceˆ poderia se fazer a seguinte pergunta: “Partindo de uma d´ızima perio´dica, e´ poss´ıvel
Me´todos Determin´ısticos I EP5 2
encontrar uma frac¸a˜o que corresponda a ela? Ou seja, toda d´ızima perio´dica pode ser escrita como
um nu´mero racional?”
Essa pergunta e´ muito pertinente! Ja´ foi tema de alguns concursos, mais adiante encontraremos
duas questo˜es de provas pu´blicas que pediam isso. A resposta a esta pergunta e´ “Sim”.
Para ilustrar o procedimento a ser seguido, quando queremos encontrar o racional correspondente a
uma d´ızima perio´dica, veja os exemplos a seguir.
Exemplo 1: Vamos converter a d´ızima 0,77777777... em um nu´mero racional.
Vamos chamar o nu´mero racional que queremos determinar de x. Logo,
x = 0, 777777 . . .
Nosso objetivo e´ dar um fim na infinidade de casas decimais. Observe o que acontece quando eu
multiplico este nu´mero por 10:
x = 0, 777777 . . .
10x = 7, 777777 . . .
Agora, se voceˆ efetuar a diferenc¸a entre 10x e x, tera´ dado o “passo ma´gico para eliminar as casas
decimais:
10x− x = 7, 777777 · · · − 0, 777777 . . .
9x = 7
E, enta˜o, ja´ sabe qual e´ a frac¸a˜o que representa x?
x = 7/9, e´ claro!
O “truque” utilizado foi multiplicar por 10 e subtrair fazendo desaparecer a infinitude de casas
decimais.
Exemplo 2: Vamos converter a d´ızima 0, 12121212 . . . em um nu´mero racional.
Vamos chamar de x o nu´mero racional que desejamos encontrar. E, em seguida, vamos multiplica´-lo
por 10 a equac¸a˜o resultante, como fizemos no exemplo anterior.
x = 0, 12121212 . . .
10x = 1, 21212121 . . .
Ops, se voceˆ olhar bem, vai ver que a situac¸a˜o na˜o ficou prop´ıcia para fazer a subtrac¸a˜o e eliminar
as casas decimais. Elas na˜o esta˜o bem alinhadas, ou seja, x tem uma repetic¸a˜o de 12 e 10x
tem uma repetic¸a˜o de 21. E agora? Veja o que acontece se em vez de multiplicar a equac¸a˜o
x = 0, 12121212 . . . por 10 multiplicarmos por 100:
x = 0, 12121212 . . .
100x = 12, 1212121 . . .
Ufa, muito melhor, na˜o? Agora podemos facilmente subtrair 100x − x e descobrir que 99x = 12.
Da´ı, descobrimos que x = 12/99. Simplificando essa frac¸a˜o encontramos, x = 4/33.
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 3
Exemplo 3: Vamos converter a d´ızima 3, 47531531531 . . . em um nu´mero racional.
Vamos chamar de x o nu´mero racional que desejamos encontrar
x = 3, 47531531531 . . . .
Como o 47 na˜o faz parte das casas decimais que se repetem, vamos multiplicar a equac¸a˜o anterior
por 100 para que ele passe para a parte inteira da d´ızima. Ou seja,
100x = 347, 531531531 . . . .
Em seguida, multiplicamos a equac¸a˜o acima por 1000 para que possamos cancelar a parte decimal,
obtemos
100000x = 347531, 531531 . . . .
Fazendo a diferenc¸a entre 100000x e 100x segue que
100000x− 100x = 347531, 531531 · · · − 347, 531531 . . .
99900x = 347184
x = 347184/99900
x = 9644/2775.
Exerc´ıcio 3 Converta cada uma das d´ızimas dadas a seguir num nu´mero racional.
a) 14, 66666 . . . b) 1, 454545 . . . c) 2, 857142857142857142 . . .
Exerc´ıcio 4 A frac¸a˜o que representa a d´ızima 3, 0121212 . . . e´:
(A)
3012
99
(B)
3012
999
(C)
3012
9999
(D)
2982
990
(E)
2982
999
Observac¸a˜o: Esta questa˜o fez parte do concurso da Secretaria da Fazenda do estado de Amazonas em
2005 (SEFAZ – AM –2005).
Exerc´ıcio 5 Ao fazer uma divisa˜o entre dois nu´meros inteiros, numa calculadora, Josimar obteve,
no visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a divisa˜o feita por
Josimar.
(A) 999/1234
(B) 1000/1234
(C) 12/34
(D) 12341234/9000000
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 4
(E) 1234/9999
Observac¸a˜o: Esta foi uma questa˜o de concurso pu´blico para a Ageˆncia Nacional de Transportes Terrestres
(ANTT-2005).
Expresso˜es nume´ricas
As pro´ximas duas questo˜es abordam a simplificac¸a˜o e manipulac¸a˜o de expresso˜es nume´ricas, envol-
vendo va´rias operac¸o˜es entre nu´meros racionais.
Exerc´ıcio 6 Calcule o valor de cada uma das expresso˜es nume´ricas.
a)
4
5
(
3 + 0, 4
)− 3, 21
b) 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1)
Exerc´ıcio 7 Numa situac¸a˜o idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda
de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento e´ medido por
L = 0, 2 x+ 4
0, 5
− 5.
Sabendo disso, determine a quantidade que deve ser vendida por este estabelecimento, para que ele
obtenha um lucro de 125 reais.
Porcentagem
Os exerc´ıcios a seguir sa˜o relativos ao conceito de porcentagem. O s´ımbolo % representa ta˜o simples-
mente um denominador 100, de forma que, por exemplo, o nu´mero 23% (lido “23 por cento”) deve
ser entendido como a frac¸a˜o
23
100
. Um aumento de 23%, por exemplo, corresponde a um aumento
de 23 em cada 100.
Antes de prosseguir para os exerc´ıcios abaixo, certifique-se de ter estudado as sesso˜es “Porcentagem
ou Frac¸a˜o Decimal”e “Aumentos e Reduc¸o˜es Porcentuais”da Aula 6 do Caderno
Dida´tico, e resolvido os respectivos exerc´ıcios.
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 5
Exerc´ıcio 8 Em 2001 a fa´brica ABC exportou 44% de sua produc¸a˜o. Em 2002 esse ı´ndice passou
para 55%. Nessas condic¸o˜es, o acre´scimo percentual nas exportac¸o˜es da fa´brica ABC foi de:
(A) 11% (B) 20% (C) 25% (D) 30% (E) 50%
Observac¸a˜o: Esta questa˜o sobre porcentagem foi desenvolvida pela Fundac¸a˜o Carlos Chagas (FCC).
Dica: Nesta questa˜o, caso na˜o se preste a devidaatenc¸a˜o, pode-se tentar simplesmente subtrair os dois
percentuais dados para achar o acre´scimo percentual. E´ necessa´rio, entretanto, ter cuidado. Quanto a
fa´brica exportava antes? E depois, quanto passou a exportar? Para encontrar o acre´scimo percentual
e´ necessa´rio descobrir quantos porcento aumentou em relac¸a˜o ao que exportava antes. O acre´scimo
percentual da exportac¸a˜o e´ o acre´scimo na exportac¸a˜o dividido pelo quanto era exportado antes.
Exerc´ıcio 9 (FCC) Um terreno foi vendido por R$ 27.500,00, com lucro de 10%. Em seguida foi
revendido por R$ 33.000,00. O lucro total das duas transac¸o˜es representa sobre o custo inicial do
terreno um percentual de
(A) 20% (B) 22% (C) 26% (D) 30% (E) 32%
Dica: Veja que novamente a dificuldade na˜o esta´ no ca´lculo de percentuais, mas sim em saber sobre o
que estamos calculando percentuais. Primeiro e´ necessa´rio encontrar o valor inicial do terreno. Para isso
sabemos apenas que foi vendido por 27.500 com um lucro de 10%. Atenc¸a˜o que a´ı tem pegadinha: lucro
de 10% significa 10% a mais sobre o valor inicial do terreno, e na˜o 10% do valor pelo qual ele foi vendido.
Se voceˆ conseguir chegar corretamente ao valor inicial, ficara´ fa´cil saber o lucro total das duas transac¸o˜es
ja´ que voceˆ sabe que o valor final foi 33.000.
Exerc´ıcio 10 (CESPE-94) Um trabalhador gastava 30% de seu sala´rio com aluguel. Apo´s certo
per´ıodo seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu sala´rio foi reajustado em 500%. Enta˜o, a
porcentagem do sala´rio que ele passou a gastar com aluguel foi:
(A) 34% (B) 38% (C) 40% (D) 52% (E) 45%
Dica: Aqui a dificuldade esta´ no fato de que todos os valores sa˜o dados em percentuais relativos a um valor
que desconhecemos: o valor do sala´rio inicial. Nestes casos, um bom procedimento e´ o seguinte: chame de
s o sala´rio inicial e a partir disso represente os valores necessa´rios. O valor inicial do aluguel, por exemplo,
seria 0, 3s (30% do sala´rio inicial).
Exerc´ıcio 11 Foi publicada no Globo de 12/08/09 uma not´ıcia sobre a variac¸a˜o das taxas de juros
na qual podemos ler as seguintes frase:
“Cinco das seis principais linhas de cre´dito do pa´ıs reduziram suas taxas mensais
para pessoas f´ısicas de junho para julho, segundo pesquisa divulgada nesta quarta-feira
pela Associac¸a˜o Nacional dos Executivos de Financ¸as, Administrac¸a˜o e Contabilidade
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 6
(Anefac). O cheque especial foi a linha de cre´dito em que houve a maior reduc¸a˜o de
juros no per´ıodo: a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano)
para 7,44% (136,59% ao ano), menor patamar da se´rie histo´rica iniciada em janeiro
de 1995.” (O Globo, 12/08/09)
Explique como foi calculada a queda percentual de 1,33% relativa a` variac¸a˜o da taxa de juros do
cheque especial.
Exerc´ıcio 12 Um gerente forneceu um desconto de 20% sobre o prec¸o de venda de uma televisa˜o
e, mesmo assim, conseguiu para a loja um lucro de 15% sobre o prec¸o de custo da televisa˜o. Ao ver
um cliente muito interessado no mesmo televisor, ele resolveu na˜o dar mais desconto algum. Apo´s
realizar esta venda nestas condic¸o˜es (sem desconto), seu lucro, em porcentagem, foi de quanto?
Aumentos ou Reduc¸o˜es Porcentuais Consecutivas
E´ muito comum nos depararmos com situac¸o˜es nas quais um prec¸o ou quantidade sofre va´rios au-
mentos/reduc¸o˜es consecutivos. Um erro muito comum neste caso e´ simplesmente somarmos os
aumentos porcentuais. Veja no exemplo abaixo:
Exemplo 4: Um produto que custava R$ 1000,00 sofre, em um meˆs, um aumento de 10%. No meˆs
seguinte, seu prec¸o e´ novamente reajustado, desta vez em 5%. Qual o novo prec¸o do produto?
No primeiro meˆs, o aumento foi de 10%, logo,
Primeiro aumento = 10% de 1000 =
10
100
· 1000 = 10000
100
= 100.
Com isso, o prec¸o apo´s o primeiro aumento e´ de
Prec¸o apo´s o primeiro aumento: 1000 + 100 = 1100.
No segundo meˆs, o aumento foi de 5%. Note que este aumento e´ sobre o novo prec¸o, isto e´,
o prec¸o apo´s o primeiro aumento. Assim,
Segundo aumento = 5% de 1100 =
5
100
· 1100 = 5500
100
= 55.
Com isso, o prec¸o apo´s o segundo aumento e´ de
Prec¸o apo´s o segundo aumento: 1100 + 55 = 1155.
Assim, o produto passou a custar, apo´s os dois aumentos, R$ 1.155,00.
Como errar esta questa˜o: Repare que, se tive´ssemos simplesmente somado os porcentuais de
aumento, ter´ıamos 10% + 5% = 15%, e chegar´ıamos a um aumento de
15% de 1000 =
15
100
· 1000 = 15000
100
= 150,
e o prec¸o final seria incorretamente calculado como 1000 + 150 = 1150 = R$ 1.150,00.
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Exerc´ıcio 13 Numa certa localidade foi introduzida uma quantidade inicial de coelhos. No primeiro
ano, a populac¸a˜o de coelhos aumentou de 90% em relac¸a˜o a quantidade inicial. No segundo ano
essa populac¸a˜o sofreu um decre´scimo de 70% em relac¸a˜o ao primeiro ano.
(a) Determine, em termos percentuais, o quanto diminuiu a populac¸a˜o de coelhos nos dois primeiros
anos em relac¸a˜o a quantidade inicial.
(b) Considerando que inicialmente havia 100 coelhos. Determine qual a quantidade atual de coelhos.
Exerc´ıcio 14 Se um prec¸o e´ aumentado em 10% para depois ser reduzido em 10%, qual sera´ a
variac¸a˜o porcentual final deste prec¸o?
Exerc´ıcio 15 Uma camiseta custava R$200,00 e, apo´s dois aumentos sucessivos de a%, seu prec¸o
foi para R$246,42. Determine a.
Observac¸a˜o: Para ajudar nas contas, segue uma pequena taboada:
1, 012 = 1, 0201 1, 062 = 1, 1236 1, 112 = 1, 2321 1, 162 = 1, 3456
1, 022 = 1, 0404 1, 072 = 1, 1449 1, 122 = 1, 2544 1, 172 = 1, 3689
1, 032 = 1, 0609 1, 082 = 1, 1664 1, 132 = 1, 2769 1, 182 = 1, 3924
1, 042 = 1, 0816 1, 092 = 1, 1881 1, 142 = 1, 2996 1, 192 = 1, 4161
1, 052 = 1, 1025 1, 102 = 1, 2100 1, 152 = 1, 3225 1, 202 = 1, 4400
Exerc´ıcio 16 Para a pro´xima black friday, as Lojas Tabajaras S.A. estudam a possibilidade de dar
um grande desconto no prec¸o de um certo modelo de televisa˜o. O percentual deste desconto ainda
na˜o foi definido pela equipe de marketing, e e´ denotado apenas por d%. Pore´m, para que tal desconto
na˜o pese muito em seu faturamento, as Lojas Tabajaras pretendem aumentar, alguns meses antes, o
prec¸o da mesma televisa˜o, em um percentual a%.
Determine o valor m´ınimo de a para que, apo´s o aumento de a% e o desconto de d% da black friday,
o prec¸o da televisa˜o na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial.
Atenc¸a˜o!!! Observe que a resposta que voceˆ encontrara´ estara´ em func¸a˜o de d, isto e´, inevitavel-
mente o d aparecera´ em sua resposta.
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