EP7 2017 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP7 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 8 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Coloque em ordem crescente os nu´meros reais:
a)
3
4
,
3
5
, −5
3
, −4
3
b) −1, −2, −5, −9
4
b)
2
8
,
2
4
,
3
4
, −4
4
Soluc¸a˜o:
a) −5
3
< −4
3
<
3
5
<
3
4
b) −5 < −9
4
< −2 < −1 (Observe que −9
4
= −2, 25).
c) −4
4
<
2
8
<
2
4
<
3
4
Exerc´ıcio 2 Encontre, na forma de intervalos, os conjuntos resultantes das unio˜es/intersec¸o˜es abaixo:
a) (−5, 10) ∩ [6, 12) b) [10, 30) ∩ (15, 23] c) [−1, 5) ∩ (5, 10] d) [−3, 2) ∪ [1,∞)
Soluc¸a˜o:
a) O primeiro intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores que -5 e menores que 10. O segundo
intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a 6 e menores que doze. A intersec¸a˜o deles
consiste dos nu´meros que sa˜o maiores ou iguais a 6 (e portanto tambe´m sa˜o maiores que -5) e
menores que 10 (logo tambe´m sa˜o menores que 12). Resposta: [6, 10).
Note que a soluc¸a˜o tambe´m pode ser determinada graficamente. Nas co´pias da reta real repre-
sentamos, respectivamente, os subconjuntos (−5, 10), [6, 12) e (−5, 10) ∩ [6, 12). Logo, se x
pertence a (−5, 10) e a [6, 12), segue que 6 ≤ x < 10.
b) O primeiro intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a 10 e menores que 30. O segundo
intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores que 15 e menores ou iguais a 23. A intersec¸a˜o deles
consiste dos nu´meros que sa˜o maiores que 15 (e portanto tambe´m sa˜o maiores que 10) e menores
ou iguais a 23 (logo tambe´m sa˜o menores que 30). Resposta: (15, 23].
Note que a soluc¸a˜o tambe´m pode ser determinada graficamente. Nas co´pias da reta real repre-
sentamos, respectivamente, os subconjuntos [10, 30), (15, 23] e [10, 30) ∩ (15, 23]. Logo, se x
pertence a [10, 30) e a (15, 23], segue que 15 < x ≤ 23.
Me´todos Determin´ısticos I EP7 2
c) O primeiro intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a -1 e menores que 5. O segundo
intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores que 5 e menores ou iguais a 10. Para um nu´mero estar
na intersec¸a˜o destes conjuntos ele tem que ser menor que 5 (para estar no primeiro conjunto)
e ao mesmo tempo, maior que 5 (para estar no segundo intervalo). Como na˜o existe nenhum
nu´mero com esta propriedade, a intersec¸a˜o e´ vazia. Resposta: ∅.
Note que a soluc¸a˜o tambe´m pode ser determinada graficamente. Nas co´pias da reta real repre-
sentamos, respectivamente, os subconjuntos [−1, 5), (5, 10] e [−1, 5) ∩ (5, 10]. Logo, na˜o existe
x tal que x pertenc¸a a [−1, 5) e a (5, 10].
d) O primeiro intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a -3 e menores que 2. O segundo
intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a 1. A unia˜o destes intervalos consiste dos
nu´meros que sa˜o maiores ou iguais a -3. Resposta: [−3,∞).
Note que a soluc¸a˜o tambe´m pode ser determinada graficamente. Nas co´pias da reta real repre-
sentamos, respectivamente, os subconjuntos [−3, 2), [1,∞) e [−3, 2) ∪ [1,∞).
Logo, se x pertence a [−3, 2) ou a [1,∞), segue que x ≥ −3.
Exerc´ıcio 3 Verifique se sa˜o falsas ou verdadeiras as proposic¸o˜es abaixo. Justifique sua resposta.
a) (−3, 4) ⊂ [−3, 4] b) [10, 30) ⊂ (10,∞)
c) [−1, 5) ∪ (5, 10] = [−1, 10] d) (−∞, 5) ∪ [3,∞) = R
Soluc¸a˜o:
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 3
a) Verdadeira. Todos os elementos do primeiro intervalo tambe´m pertencem ao segundo intervalo.
b) Falsa. O nu´mero 10 pertence ao primeiro intervalo mas na˜o ao segundo.
c) Falsa. O nu´mero 5 na˜o pertence nem a [−1, 5) nem a (5, 10], logo na˜o pertence a` unia˜o destes
dois intevalos e 5 ∈ [−1, 10].
d) Verdadeiro. A unia˜o do conjunto de todos os nu´meros menores que 5 com o conjunto de todos
os nu´meros maiores ou iguais a 3 resulta no conjunto de todos os nu´meros reais.
Exerc´ıcio 4 Encontre o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es a seguir. Escreva-os na forma
de intervalos.
a) x+ 10 > 7 b) −x < 34 + 3x c) 7x+ 12 ≤ 0 d) 4x+ 3 ≥ 5x+ 2
e) −0, 2 x ≥ 0, 6 f) x+ 1
3
≥ 4 g) 2− x
5
≤ 4x+ 1
3
h) −1
3
x+
1
7
≥ −x+ 5
Soluc¸a˜o:
a) x+ 10 > 7 ⇐⇒ x > 7− 10 ⇐⇒ x > −3.
Resposta: (−3,∞).
b) −x < 34 + 3x ⇐⇒ − x− 3x < 34 ⇐⇒ − 4x < 34 ⇐⇒ x > −34
4
⇐⇒ x > −17
2
.
Resposta:
(
−17
2
,∞
)
.
c) 7x+ 12 ≤ 0 ⇐⇒ 7x ≤ −12 ⇐⇒ x ≤ −12
7
.
Resposta:
(
−∞,−12
7
]
d) 4x+ 3 ≥ 5x+ 2 ⇐⇒ 4x− 5x ≥ 2− 3 ⇐⇒ − x ≥ −1 ⇐⇒ x ≤ 1.
Resposta: (−∞, 1]
e) −0, 2 x ≥ 0, 6 ⇐⇒ − 2
10
x ≥ 6
10
⇐⇒ − x
5
≥ 3
5
⇐⇒ x ≤ −3
Resposta: (−∞,−3]
f)
x+ 1
3
≥ 4 ⇐⇒ x+ 1 ≥ 12 ⇐⇒ x ≥ 12− 1 ⇐⇒ x ≥ 11
Resposta: [11,∞)
g)
2− x
5
≤ 4x+ 1
3
⇐⇒ 3(2− x) ≤ 5(4x+ 1) ⇐⇒ 6− 3x ≤ 20x+ 5 ⇐⇒ − 3x− 20x ≤ 5− 6
⇐⇒ − 23x ≤ −1 ⇐⇒ x ≥ 1
23
Resposta:
[
1
23
,∞
)
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 4
h) −1
3
x+
1
7
≥ −x+5 ⇐⇒ − x
3
+x ≥ 5− 1
7
⇐⇒ − x
3
+
3x
3
≥ 35
7
− 1
7
⇐⇒ 2x
3
≥ 34
7
⇐⇒ x ≥ 34
7
· 3
2
⇐⇒ x ≥ 61
7
.
Resposta:
[
61
7
,∞
)
Exerc´ıcio 5 Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os nu´meros reais
que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3).
Soluc¸a˜o:
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3) ⇔
2
(
x2 + x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 + 2x+
1
2
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
< 2x2 + 2x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
− 2x2 − 2x+ 3
2
< 0 ⇔
−3x+ 2 < 0 ⇔
−3x < −2 ⇔
x >
2
3
.
Conclusa˜o: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3),
sa˜o x ∈
(
2
3
,∞
)
.
Exerc´ıcio 6 Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os nu´meros reais
que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2(x− 1)2 + (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1)
Soluc¸a˜o:
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 5
2(x− 1)2 + (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1) +
(
2x2 − x
2
− 4x+ 1
)
> (2x)2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2 + 2x2 − x
2
− 4x+ 1 > 4x2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2 + 2x2 − x
2
− 4x+ 1− 4x2 + 1 > 0
⇔ −8x− x
2
+ 4 > 0
⇔ −16x− x
2
+ 4 > 0
⇔ −17x
2
+ 4 > 0
⇔ −17x
2
> −4
⇔ 17x
2
< 4
⇔ x < 4 · 2
17
⇔ x < 8
17
Assim, os nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade sa˜o
x ∈
(
−∞, 8
17
)
.
Exerc´ıcio 7 Numa situac¸a˜o idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda
de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento e´ medido por
L = 0, 2 x+ 4
0, 5
− 5.
Para que este estabelecimento tenha um lucro maior ou igual a 125 reais, qual deve ser a quantidade
m´ınima vendida do produto?
Soluc¸a˜o: Quando L e´ maior do que 125 reais, temos que
0, 2 x+ 4
0, 5
− 5 ≥ 125 ⇐⇒
2x
10
+ 4
5
10
− 5 ≥ 125
(
pois 0, 2 =
2
10
e 0, 5 =
5
10
)
⇐⇒
x
5
+ 4
1
2
≥ 125 + 5 ⇐⇒
(
x
5
+ 4
)
2 ≥ 130
⇐⇒
(
x
5
+ 4
)
2
2
≥ 130
2
⇐⇒ x
5
+ 4 ≥ 65
⇐⇒ x
5
≥ 65− 4⇐⇒ x
5
≥ 61
⇐⇒ x ≥ 305.
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 6
Portanto, para que este estabelecimento tenha um lucro maior ou igual a 125 reais, ele deve vender
no m´ınimo 305 unidades do produto.
Exerc´ıcio 8 Numa produc¸a˜o caseira de uma quantidade q de bombons sabe-se que o custo C e´
igual ao dobro da quantidade a ser produzida somada a um custo fixo de R$ 16,00. A receita R
obtidapela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que
o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, escreva a inequac¸a˜o que representa uma
produc¸a˜o com lucro superior a R$ 50,00. A seguir, resolva essa inequac¸a˜o. Determine a quantidade
m´ınima de bombons que devera´ ser produzida neste contexto.
Soluc¸a˜o: Consideremos que q e´ a quantidade de bombons a ser produzida.
Como o custo C e´ igual ao dobro da quantidade a ser produzida somada a um custo fixo de R$
16,00, temos a equac¸a˜o
C = 2q + 16.
Como a receita R obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida,
temos
R = 5q.
Como o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, temos
L = R− C = 5q − (2q + 16) = 3q − 16.
Assim, a inequac¸a˜o que representa uma produc¸a˜o com lucro superior a R$ 50,00 e´ escrito por
L > 50 =⇒ 3q − 16 > 50 .
Resolvendo essa inequac¸a˜o, vem que:
3q − 16 > 50
⇐⇒ 3q − 16 + 16 > 50 + 16
⇐⇒ 3q > 66
⇐⇒ 1
3
· 3q > 1
3
· 66
⇐⇒ q > 22
Isto significa, que neste contexto, a quantidade m´ınima de bombons a ser produzida devera´ ser de
23 bombons.
Exerc´ıcio 9 Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A < B e´ verdadeira ou falsa, con-
siderando que
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3 e B = −
√
18√
2
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 7
Soluc¸a˜o:
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3
=
−3√
3 +
√
4
− 9√
3
.
√
3√
3
=
−3√
3 + 2
− 9
√
3
3
=
−3√
3 + 2
.
(
√
3− 2)
(
√
3− 2) − 3
√
3
=
−3√3 + 6
(
√
3)2 − 22 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
3− 4 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
−1 − 3
√
3
= 3
√
3− 6− 3
√
3
= −6
e
B =
−√18√
2
= −
√
18
2
= −
√
9
= −3.
Como −6 < −3, temos que a desigualdade A < B e´ verdadeira.
Exerc´ıcio 10 Racionalize a e b e ordene, do menor para o maior, os treˆs nu´meros reais
a =
4
1−√5 , b =
4
1 +
√
5
e c = 1.
Soluc¸a˜o: Racionalizando a, temos
a =
4
1−√5 =
4
1−√5 ·
1 +
√
5
1 +
√
5
=
4(1 +
√
5)
1− 5 =
4(1 +
√
5)
−4 = −(1 +
√
5) = −
√
5− 1.
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 8
Racionalizando b, temos
b =
4
1 +
√
5
=
4
1 +
√
5
· 1−
√
5
1−√5 =
4(1−√5)
1− 5 =
4(1−√5)
−4 = −(1−
√
5) =
√
5− 1.
Observe que a < 0, logo a < c. Por outro lado, como
√
5 >
√
4 = 2, temos
b =
√
5− 1 > 2− 1 = 1 ∴ b > c.
Com isso, temos
a < c < b.
Os exerc´ıcios abaixo trazem discusso˜es muito importantes!
Exerc´ıcio 11 Se a > b, podemos dizer que a desigualdade a ·c > b ·c e´ verdadeira para todo c ∈ R?
Soluc¸a˜o: Sendo a > b, a desigualdade a · c > b · c sera´ falsa se c ≤ 0.
Se a = 1, b = 2 e c = −1, teremos a = 1 < 2 = b, pore´m a·c = 1·(−1) = −1 e b·c = 2·(−1) = −2,
e portanto teremos a · c > b · c (pois −1 > −2).
Se c = 0, teremos tambe´m ac = 0 = bc, sendo enta˜o falso que ac > bc
Exerc´ıcio 12 Se a > b, podemos dizer que a desigualdade a2 > b2 e´ verdadeira?
Soluc¸a˜o: Falso! Se, por exemplo, a = 1 e b = −2, teremos a > b, pore´m a2 = 1 e b2 = (−2)2 = 4,
logo b2 > a2.
Outro exemplo poss´ıvel de que a afirmac¸a˜o nem sempre vale e´ a = 1 e b = −1, que nos da´ a > b,
pore´m a2 = b2.
Exerc´ıcio 13 Se a > b > 0, podemos dizer que a desigualdade a2 > b2 e´ verdadeira?
Soluc¸a˜o: Sim. Suponhamos a > b > 0. Multiplicando os dois lados da desigualdade a > b por a,
como a > 0 temos a2 > a · b (sendo a positivo, multiplicar por a na˜o muda o sinal da desigualdade).
Assim, a2 > ab. Por outro lado, como a > b, multiplicando a desigualdade por b temos ab > b2
(multiplicar por b > 0 na˜o altera o sinal). Assim temos a2 > ab > b2.
Exerc´ıcio 14 E´ sempre verdade que a2 > a?
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 9
Soluc¸a˜o: Falso! Se a =
1
2
, por exemplo, temos
a2 =
(
1
2
)2
=
1
4
<
1
2
= a,
logo a2 < a.
Um contraexemplo ainda mais interessante e´ a = 1. Neste caso, temos a2 = a.
Exerc´ıcio 15 Se a2 < b2, podemos afirmar que a < b?
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Ela na˜o vale, por exemplo, para a = 0 e b = −1. Temos, neste caso, a2 < b2, mas a > b.
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