EP10 2017 2 questoes

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP10 � Métodos Determinísticos I � 2017-2
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aula 10 e 11 do Caderno Didático.
No EP08, definimos a distância entre dois pontos na reta R utilizando o conceito de módulo.
Na aula 11, do Caderno Didático, foi definida a distância entre dois pontos no plano euclidiano R2.
Lá, você deve ter notado que um resultado geométrico fundamental para se definir essa distância foi
o Teorema de Pitágoras (em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos
é igual ao quadrado da medida da hipotenusa). Se você não está bem lembrado deste famoso
teorema, sugerimos que dê uma revisada nele. Você pode fazer isso, por exemplo, revendo seus livros
do Ensino Médio e também através de uma busca na Internet. Basta digitar no Google �Teorema de
Pitágoras� e aparecerão vários resultados. Um deles será a página da Wikipédia. Lá você encontra
também algumas demonstrações deste teorema (a primeira é muito simples, usa só a comparação de
áreas em duas figuras). Outra forma de recordar, esta até divertida, é o quebra-cabeças eletrônico
que indicamos como uma das atividades desta semana na sala de nossa disciplina. Tente montá-lo.
O R2 a distância entre pontos
Como dissemos acima, o Teorema de Pitágoras pode ser muito útil na determinação de distância
entre dois pontos do plano cartesiano (ou plano Euclidiano, plano R2 ou simplesmente R2). Como
você já deve ter visto na Aula 10, o par ordenado (x, y) representa um ponto de coordenadas x e y
no plano cartesiano, isto é, representa um ponto cuja projeção ortogonal sobre o eixo horizontal é x
e cuja projeção ortogonal sobre o eixo vertical é y, como na figura abaixo.
No exemplo acima, x é a abscissa, coordenada horizontal ou, mais informalmente, a coordenada x
do ponto. O número y é a ordenada, coordenada vertical ou coordenada y do ponto.
Como exemplos, temos alguns pontos representados abaixo. Procure entender a relação entre as
coordenadas do ponto e as projeções sobre os eixos. Utilize as retas horizontais e verticais da malha
em cinza para realizar as projeções.
Métodos Determinísticos I EP10 2
Se escrevermos algo como P = (1, 3), por exemplo, estamos dizendo que P é um ponto cujas
coordenadas no plano cartesiano são x = 1 e y = 3. Repare que, dessa forma, pontos do plano se
transformam em pares ordenados e pares ordenados se transformam em pontos. Não há qualquer
problema com isso!
Atenção!!! Aqui precisamos tomar um cuidado com uma confusão de notação, no caso, o perigo
causado por dois objetos diferentes que são representado da mesma forma! Observe que a notação
(a, b) pode representar o intervalo aberto (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, mas também pode repre-
sentar, como acima, o ponto no plano cartesiano que tem como coordenadas x = a e y = b. O
contexto em que a representação é usada é o que esclarece a que notação estamos nos referindo em
cada caso. Por exemplo, quando escrevemos: {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [−1, 1] e y ∈ (1, 2)}, temos que
(x, y) é um par ordenado do plano cartesiano R2, em que x está no intervalo fechado [−1, 1] e y
está no intervalo aberto (1, 2).
Agora vamos voltar a falar de distância entre pontos.
Se considerarmos dois pontos A = (xa, ya) e B = (xb, yb), vamos tentar, utilizando o Teorema de
Pitágoras, determinar a distância entre estes pontos, d(A,B), que chamaremos (para simplificar a
escrita!) de D, como na figura abaixo.
Já vimos que xa e xb são as projeções de A e B, respectivamente, sobre o eixo horizontal. A distância,
na reta, entre xa e xb é |xa−xb| (veja no EP 8!). Da mesma forma, ya e yb são as projeções de A e
B, respectivamente, sobre o eixo vertical, e a distância entre ya e yb é, na reta, |ya − yb|. Com isso,
o triângulo retângulo da figura acima tem catetos de medidas |xa − xb| e |ya − yb|.
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Métodos Determinísticos I EP10 3
Pelo Teorema de Pitágoras, teremos então
D2 = |xa − xb|2 + |ya − yb|2.
Observe que, para todo número real k, |k|2 = k2, logo
D2 = (xa − xb)2 + (ya − yb)2.
Com isso, como D não pode ser negativo,
D =
√
(xa − xb)2 + (ya − yb)2.
Assim,
d(A,B) =
√
(xa − xb)2 + (ya − yb)2.
Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, represente, no plano cartesiano R2, os pontos A e B e
calcule a distância entre eles usando o Teorema de Pitágoras.
a) A = (−1, 3) e B = (2, 4)
b) A = (3, 1) e B = (2, 2)
c) A = (2,−1) e B = (−2, 2)
Conjuntos de pontos representados por desigualdades
É muito comum representarmos conjuntos de pontos por meio de propriedades, normalmente igual-
dades ou desigualdades envolvendo suas coordenadas. Vamos ver abaixo alguns exemplos.
Exemplo 1: Vamos representar, no plano cartesiano, o conjunto
{(x, y) ∈ R2;x = 1 e − 1 < y 6 3}.
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Todos os pontos do conjunto acima têm coordenada x igual a 1, ou seja, sua projeção no eixo
horizontal é 1. Isto significa que estes pontos estão sobre a reta vertical da figura abaixo, que é
formada por todos os pontos de coordenada x igual a 1.
Além dessa condição, há uma restrição sobre a coordenada y dos pontos do conjunto. A coordenada
y deve satisfazer −1 < y 6 3. Esta condição sobre y significa que a projeção sobre o eixo vertical
dos pontos do conjunto deve ser maior do que −1 e menor ou igual a 3. Com isso, −1 < y 6 3
representa o conjunto abaixo.
O conjunto que queremos esboçar é o dos pontos que cumprem as duas condições estudadas acima,
representados abaixo.
Exercício 2 Represente geometricamente os conjuntos:
a) {(x, y) ∈ R2; y = 4 e − 2 ≤ x ≤ 2}
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b) {(x, y) ∈ R2;x = 3 e y ∈ (0, 5]}
c) {(x, y) ∈ R2;−1 < x ≤ 2}
d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−1, 1] e y ∈ (1, 2)} Observe que (1, 2) representa, neste caso, um intervalo,
e não um par ordenado. O contexto deixa isto claro, pois o número real y pertence a (1, 2).
Ora, números não pertencem a pares ordenados, mas sim a intervalos!
Exercício 3 Represente algebricamente os conjuntos A, B, C e D representados na figura abaixo.
a) b)
A
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
C
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
D
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Equação da circunferência
Há um importante objeto que é definido a partir do conceito de distância. Dado um ponto C e um
número real positivo R, qual é o conjunto de todos os pontos cuja distância até C é igual a R? Este
conjunto é a circunferência de centro C e raio R.
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A partir desta caracterização da circunferência, podemos pensar em uma forma algébrica de representá-
la. Se o centro C tem coordenadas (x0, y0), isto é, C = (x0, y0), então um ponto X = (x, y) está
na circunferência se, e somente se, d(C,X) = R, que, pelo que vimos acima, é o mesmo que
escrevermos que √
(x− x0)2 + (y − y0)2 = R,
ou ainda
(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2.
Com isso, vemos que a equação da circunferência de centro C = (x0, y0) e raio R > 0 é
(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2.
Ao dizer que a equação acima é a equação da circunferência, estamos dizendo que todo ponto que
satisfaz a equação acima está na circunferência e todo ponto da circunferência satisfaz
a equação acima.
Exercício 4 Determine a equação da circunferência de centro C e raio R em cada um dos itens a
seguir.
a) C = (1, 1) e R = 5
b) C = (0,−1) e R = 3
c) C = (0, 0) e R = 2
Equação da reta
No exercício anterior, você observou que, conhecidos o centro C = (x0, y0) e o raio R de uma
circunferência, ela é representadaalgebricamente pela equação (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2. Além
disso, dada uma equação (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2, o conjunto de pares ordenados (x, y) que a
satisfazem esta equação estão sobre a circunferência de centro C = (x0, y0) e o raio R
E quanto a uma reta, você lembra como podemos representá-la algebricamente?
Vamos relembrar: a cada reta do plano cartesiano está associada uma equação da forma
a1x + a2y + a3 = 0,
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onde a1, a2 e a3 são constantes reais. Por outro lado, dada a equação a1x+a2y+a3 = 0, onde a1, a2
e a3 são constantes reais, o conjunto de pares ordenados (x, y) que a satisfazem é uma reta. Observe
que se a2 6= 0, podemos escrever a equação da reta como y = −a1
a2
x − a3
a2
, a qual é usualmente
escrita na forma y = ax + b, onde a = −a1
a2
e b = −a3
a2
.
Note que:
• se a2 = 0, temos uma reta vertical, cuja equação é x = k, onde k = −a3
a1
. A equação de um
reta vertical é sempre da forma x = constante.
• se a1 = 0, temos uma reta horizontal, cuja equação é y = b, onde b = −a3
a2
. A equação de
um reta horizontal é sempre da forma y = constante.
• o que caracteriza a equação de uma reta não-horizontal e não-vertical é a presença de duas
variáveis x e y, cada uma delas elevadas ao expoente 1, e que não é hábito escrevê-lo. Dessa
forma, a equação x + 5y − 8 = 0 representa uma reta. Como o coeficiente da variável y é o
número 5, que é um número diferente de zero, podemos colocá-la na forma y = ax+ b. Para
isto, basta isolar y em x+ 5y− 8 = 0, ou seja, 5y = 8− x, que é equivalente a y = 1
5
x+
8
5
.
• para verificar se os pontos A(3, 1), B(−2, 2) e C(1, 3) pertencem à reta r : x + 5y − 8 = 0
basta substiuir x e y na equação dada pelas coordenadas de cada ponto e verificar se a igualdade
obtida é verdadeira ou falsa. Veja
� substituindo as coordenadas de A na equação da reta temos a igualdade 3 + 5(1)−8 = 0
que é verdadeira. Logo, A ∈ r.
� substituindo as coordenadas de B na equação da reta temos a igualdade −2+5(2)−8 = 0
que é verdadeira. Logo, B ∈ r
� substituindo as coordenadas de C na equação da reta temos a igualdade 1+5(3)−8 = 0
que é falsa. Logo, C 6∈ r
• para construir a reta, basta conhecer dois pontos que pertencem à reta, uní-los e estender o
traçado. Observe que se a reta não é horizontal, nem vertical, ela intercecta os eixos horizontal
e vertical do plano cartesiano. É usual escolher estes dois pontos de interseção para construir
a reta. Observe ainda que o ponto de interseção da reta com o eixo horizontal tem sua
segunda coordenada igual a zero (i.e. y = 0) e o ponto de interseção da reta com o eixo
vertical tem sua primeira coordenada igual a zero (i.e. x = 0). Portanto, para descobrirmos a
abcissa x do ponto de interseção da reta com o eixo horizontal, fazemos y = 0, na equação
da reta, e resolvemos a equação resultante em x e, para descobrirmos a ordenada y do ponto
de interseção da reta com o eixo vertical, fazemos x = 0, na equação da reta, e resolvemos
a equação resultante em y. Isto está feito abaixo para o exemplo x + 5y − 8 = 0. Vamos,
então, determinar estes dois pontos de interseção com os eixos coordenados que satisfazem a
equação x + 5y − 8 = 0. Temos que:
para x = 0, temos 0 + 5y − 8 = 0
logo y =
8
5
.
para y = 0, temos x + 5(0)− 8 = 0
logo x = 8.
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Métodos Determinísticos I EP10 8
Ou seja, os pontos
(
0,
8
5
)
e (8, 0) definem a reta que desenhamos na Figura 1.
A
B
C
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1
1
8
5
2
3
y
Figura 1: A reta x+ 5y − 8 = 0
Exercício 5 Construa as retas representadas por cada uma das equações listadas nos itens abaixo.
a) y = −2 b) y = 0 c) x = −3/2 d) −x + 2y = 4 e) y = 3x + 1
2
Exercício 6 Um operário tem seu salário representado pela equação y = 2000 +
15x
4
, onde y
representa o valor do salário e x, com x ≥ 0, representa o tempo de horas extras trabalhadas em um
mês.
a) Represente graficamente a equação do salário do operário.
b) Quando o salário é igual a R$ 2030,00 qual a quantidade de horas extras trabalhadas naquele
mês?
c) Quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, qual o valor do salário?
A equação da parábola
Vamos continuar a trabalhar no plano cartesiano R2.
Você, com certeza, já ouviu, e até, deve ter trabalhado com parábolas. Vamos relembrar?
Uma parábola é representada por uma equação do segundo grau da forma y = ax2 + bx + c, onde
a 6= 0. Além disso, pode ser mostrado que, os pontos que satisfazem a equação y = ax2 + bx + c,
com a, b, c constantes reais e a 6= 0 pertencem a uma parábola.
Para desenhar uma parábola temos de determinar a sua concavidade, o seu vértice e onde ela
intercepta os eixos coordenados.
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Métodos Determinísticos I EP10 9
a) a > 0: Concavidade para cima b) a < 0: Concavidade para baixo
-1 1 2 3 4 5 6
x
-6
-4
-2-2
2
4
6
y
-1 1 2 3 4 5 6
x
-6
-4
-2-2
2
4
6
y
Figura 2: Concavidade de y = ax2 + bx+ c
Dependendo do coeficiente de x2 temos que: se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para
cima e se a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Note que, quando um ponto (x, y) está sobre o eixo y, sua primeira coordenada é igual a zero. Assim,
para determinar os valores y em que os pontos da parábola y = ax2 + bx + c intercepta o eixo y,
fazemos x = 0 nesta equação. Desta forma, os valores y procurados devem ser as soluções da equa-
ção y = a(0)2+b(0)+c = 0, ou seja, y = c. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0, c).
Note que, quando um ponto (x, y) está sobre o eixo x, sua segunda coordenada é igual a zero.
Assim, para determinar os valores x em que os pontos da parábola y = ax2 + bx + c intercepta o
eixo x, fazemos y = 0 nesta equação. Desta forma, os valores x procurados devem ser as soluções
da equação do segundo grau ax2 + bx+ c = 0, estudada na Aula 12, páginas 140 a 155, cuja solução
é dada pela fórmula de Bhaskara
x =
−b±√∆
2a
, onde ∆ = b2 − 4ac.
De acordo com o valor de ∆ podemos ter três tipos de soluções para a equação ax2 + bx + c = 0.
Caso 1: ∆ = b2 − 4ac > 0
Neste caso, a equação ax2 + bx + c = 0 tem como solução dois valores distintos
x1 =
−b−√∆
2a
e x2 =
−b+√∆
2a
.
Portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos (x1, 0) e (x2, 0).
Fazendo uma análise de sinal para os pontos (x, y) da parábola, temos que:
Quando a > 0 :
• y > 0, para x < x1 e x > x2.
• y < 0, para x1 < x < x2.
Quando a < 0 :
• y > 0, para x1 < x < x2.
• y < 0, para x > x1 e x < x2.
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Métodos Determinísticos I EP10 10
a) ∆ > 0 e a > 0 b) ∆ > 0 e a < 0
x=-
b
2 a
V
x1 x2
x
x=-
b
2 a
V
x2 x1
x
Figura 3: A parábola y = ax2 + bx+ c no caso em que ∆ > 0
Caso 2: ∆ = b2 − 4ac = 0.
Neste caso, a equação ax2 + bx + c = 0 tem uma única solução.
x1 = x2 =
−b
2a
.
Portanto, a parábola intercepta o eixo x no ponto (x1, 0).
Fazendo uma análise de sinal para os pontos (x, y) da parábola, temos que:
• Quando a > 0, y > 0, para x 6= − b
2a
.
• Quando a < 0, y < 0, para x 6= − b
2a
.
Caso 3: ∆ = b2 − 4ac < 0
Neste caso, a equação ax2 + bx + c = 0 não possui soluções reais. Portanto, a parábola não
intercepta o eixo x.
Fazendo uma análise de sinal para os pontos (x, y) da parábola, temos que y = ax2 + bx + c
tem o sinal de a, isto é,
• Quando a > 0, y > 0.
• Quando a < 0, y < 0.
O vértice V = (xv, yv) de uma parábola y = ax
2 + bx+ c é ponto em que xv representa o valor em
que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo, yv, dependendo da concavidade da parábola.
Sabe-se que a coordenada xv é calculada pela fórmula:
xv = − b
2a
.
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Métodos Determinísticos I EP1011
a) ∆ = 0 e a > 0 b) ∆ = 0 e a < 0
x=-
b
2 a
V
x
x=-
b
2 a
V
x
Figura 4: A parábola y = ax2 + bx+ c no caso em que ∆ = 0
A coordenada yv é calculada pela fórmula:
yv = −∆
4a
ou yv = ax
2
v + bxv + c.
Exercício 7 Construa, no R2, a parábola representada por cada equação a seguir e, quando possível,
fatore-a.
a) y = x2 − 2x− 3 b) y = −3x2 + 6x− 3
c) y = 3x2 − 4x + 2 d) y = −x
2
2
− x− 3
2
Exercício 8 Em uma certa plantação, a produção, P, de tomate depende da quantidade, q, de
fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa pela equação
P = −q2 + 28 q + 60,
onde a produção é medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2.
a) Determine em que ponto(s) o gráfico da equação corta o eixo q e em que ponto(s) corta o eixo
P . Faça um esboço do gráfico no plano cartesiano.
b) Determine o valor da produção, quando o fertilizante não é utilizado.
c) Determine a quantidade de fertilizante que deve ser usado para que a produção seja máxima, bem
como o valor da produção máxima.
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a) ∆ < 0 e a > 0 b) ∆ < 0 e a < 0
x=-
b
2 a
V
x
x=-
b
2 a
V
x
Figura 5: A parábola y = ax2 + bx+ c no caso em que ∆ < 0
d) Determine a partir de que quantidade de fertilizante utilizada, a planta é prejudicada e impedida
de produzir.
Regiões do plano limitadas por circunferências
Vimos acima que a equação
(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2
representa a circunferência de centro C = (x0, y0) e raio R, isto é, o conjunto de todos os pontos
cuja distância ao centro C é igual a R. E o que representam as inequações abaixo?
(x− x0)2 + (y − y0)2 < R2
(x− x0)2 + (y − y0)2 6 R2
(x− x0)2 + (y − y0)2 > R2
(x− x0)2 + (y − y0)2 > R2
Como R > 0, fazendo X = (x, y), as equações podem ser reescritas como
(x− x0)2 + (y − y0)2 < R2 ⇔
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < R⇔ d(X,C) < R
(x− x0)2 + (y − y0)2 6 R2 ⇔
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 6 R⇔ d(X,C) 6 R
(x− x0)2 + (y − y0)2 > R2 ⇔
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 > R⇔ d(X,C) > R
(x− x0)2 + (y − y0)2 > R2 ⇔
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 > R⇔ d(X,C) > R
Com isso, observamos que
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Métodos Determinísticos I EP10 13
• A equação (x−x0)2+(y−y0)2 < R2 representa os pontos cuja distância ao centro C = (x0, y0)
é menor do que R, isto é, os pontos do interior do círculo, representados abaixo:
• A equação (x−x0)2+(y−y0)2 6 R2 representa os pontos cuja distância ao centro C = (x0, y0)
é menor do que ou igual a R, isto é, os pontos no interior do círculo ou sobre a circunferência,
representados abaixo:
• A equação (x−x0)2+(y−y0)2 > R2 representa os pontos cuja distância ao centro C = (x0, y0)
é maior do que R, isto é, os pontos exteriores ao círculo, representados abaixo:
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Métodos Determinísticos I EP10 14
• A equação (x−x0)2+(y−y0)2 > R2 representa os pontos cuja distância ao centro C = (x0, y0)
é maior do que ou igual a R, isto é, os pontos exteriores ao círculo ou sobre a circunferência,
representados abaixo:
Exercício 9 Represente, no plano cartesiano, o conjunto descrito por
a) (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9 b) (x− 2)2 + (y + 1)2 6 25
c) (x− 4)2 + (y + 1)2 > 4 d) x2 + y2 + 4x− 2y > 4
Agora vamos misturar algumas das condições vistas acima!!!
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Métodos Determinísticos I EP10 15
Exercício 10 Represente, no plano cartesiano, os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9 e x ∈ (1, 5]}
b) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9 e y ∈ [2, 5)}
c) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [1, 4] e y ∈ (2, 5] e x + y = 5}
d) {(x, y) ∈ R2; (x− 3)2 + (y − 3)2 6 4 e x− y = 0}
Exercício 11 Uma empresa fará investimentos nas áreas de produção e publicidade. Na reunião em
que se iria decidir como o dinheiro seria investido,
• o diretor de produção disse que investir R$6.000,00 na área seria a opção mais adequada em
termos de custo-benefício, mas que também pode-se trabalhar com a margem de R$2.000,00,
para mais ou menos, a depender das escolhas estratégicas a serem adotadas;
• o diretor de marketing disse que pesquisas apontam o valor de R$5.000,00 como o ideal a ser
investido em publicidade. Ele acredita, porém, que seja razoável considerar uma margem de
erro, para mais ou para menos, de R$1.000,00 neste número;
• e o diretor financeiro lembrou que a soma do investimento nas duas áreas deve ser R$10.000,00.
Podemos representar o investimento a ser feito como um ponto no plano cartesiano, com o investi-
mento em produção representando coordenada horizontal x e o investimento em publicidade repre-
sentando a coordenada vertical y. Um investimento, que chamaremos de I1, de R$2.000 em produção
e R$7.000,00 em publicidade, por exemplo, seria representado pelo ponto I1 = (2.000, 7.000). Um
investimento I2, de R$1.000 em produção e R$5.000,00 em publicidade, por exemplo, seria repre-
sentado pelo ponto I2 = (1.000, 5.000). Estes pontos estão representados no plano abaixo.
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Métodos Determinísticos I EP10 16
Um investimento que se adequasse à proposta do diretor de produção satisfaria à inequação modular
|x− 6.000| 6 2.000
e estaria na região do plano representada abaixo:
Note que a região acima é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 4.000 6 x 6 8.000, isto
é, o investimento em produção (coordenada horizontal) esteja dentro da margem de R$2.000,00 do
proposto pelo diretor da área. Repare ainda que, na região acima, y > 0, pois não se cogita fazer
um investimento negativo!
A partir disso,
(a) Dê a inequação modular satisfeita por todos os investimentos (x, y) que satisfazem à condição
imposta pelo diretor de marketing.
(b) Represente a região do plano onde podem estar os investimentos (x, y), de acordo com o diretor
de marketing.
(c) Expresse, por meio de uma equação em x e y, a condição lembrada pelo diretor financeiro e
represente os pontos correspondentes no sistema de coordenadas.
(d) Esboce o conjunto dos pontos do plano que cumprem, simultaneamente, com as três condições
lembradas pelos diretores.
(e) Quase ao final da reunião, o dono da empresa chegou e alertou que a distância, no sistema de
coordenadas, entre o ponto (4.000, 6.000) e o investimento a ser feito não poderia ser maior
do que 10.000. Dê a inequação satisfeita pelo conjuntos dos investimentos (isto é, dos pontos
(x, y)) que cumprem a condição imposta pelo dono, e esboce a região correspondente no plano.
(f) Represente o conjunto dos investimentos (pontos (x, y)) que cumprem todas as condições im-
postas pelos diretores e pelo dono.
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