Series numericas

Prévia do material em texto

Aula 2
SÉRIES NUMÉRICAS
2.1 INTRODUÇÃO
Nessa aula estaremos interessados em definir alguns conceitos sobre séries numéricas.
Definição 2.1. Dada uma sequência de números a1, a2, . . . , an, . . . uma expressão da forma
a1 + a2 + . . .+ an + . . . =
∞∑
n=1
an.
é uma série infinita. O número an é o n-ésimo termo da série.
Exemplo 2.1. Determine o n-ésimo termo das séries abaixo:
a) 2 +
2
3
+
2
9
+ . . .
b) 1 +
1
2
+
1
3
+ . . .
c) 1 +
1
4
+
1
9
+ . . .
Definição 2.2. Considerando a série
a1 + a2 + . . .+ an + . . . =
∞∑
n=1
an
A sequência definida por s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . ., sn = a1 + a2 + . . . + an =
n∑
k=1
ak, . . .,
é a sequência de somas parciais da série, o número sn sendo a n-ésima soma parcial. Se a
sequência de somas parciais convergir para um limite L, dizemos que a série converge e que a
soma é L. Nesse caso, também escrevemos
a1 + a2 + . . .+ an + . . . =
∞∑
n=1
an = L.
Se a sequência de somas parciais da série não converge, dizemos que a série diverge.
10
Vamos verificar as definições sobre o seguinte problema:
Exemplo 2.2. Seu Jorge soltou uma bolinha de ping-pong da altura de 1 metro. Observou-se
que a cada vez que a bolinha toca o solo ela rebate a metade da altura anterior. Qual será a
distância vertical total percorrida pela bolinha pulando para cima e para baixo?
1
1
2
1
4
2.2 SÉRIES GEOMÉTRICAS
Definição 2.3. Séries Geométricas são séries da forma
a+ ar + ar2 + . . .+ arn + . . . =
∞∑
n=0
arn
onde a e r são números reais com a 6= 0.
Exemplo 2.3. Determine a e r das séries geométricas abaixo:
a) 1 +
1
2
+
1
4
+ . . .
b) 1− 1
3
+
1
9
− . . .
c) 5− 5
4
+
5
16
− . . .
11
Teorema 2.1. Dada a série geométrica a+ ar + ar2 + . . .+ arn + . . . temos que:
• se |r| < 1 então a série é convergente e
∞∑
n=0
arn =
a
1− r .
• se |r| ≥ 1 então a série diverge.
Exemplo 2.4. A qual valor corresponde a dizima periódica 1, 4141414141 . . .?
Exemplo 2.5. Encontre a soma da série "telescópia"
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
.
2.3 TESTE DO N-ÉSIMO TERMO
Teorema 2.2. Se a série a1 + a2 + . . .+ an + . . . é convergente então an → 0.
Quando n é grande, tanto sn quanto sn−1 estão próximos do valor de convergência L, assim
a diferença delas an, está proxima de zero. Mais formalmente,
an = sn − sn−1 → L− L = 0.
12
Exemplo 2.6. As séries abaixo são convergentes ou divergentes?
a)
∞∑
n=1
n+ 1
n
b)
∞∑
n=0
(−1)n
c)
∞∑
n=3
3n
5n− 10
Não confunda o teorema com "se an → 0 então a série é convergente".
Exemplo 2.7. A série harmônica
∞∑
n=1
1
n
é convergente ou divergente?
Veja que,
1 +
1
2
+ (
1
3
+
1
4
) + (
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
) + (
1
9
+
1
10
+
1
11
+
1
12
+
1
13
+
1
14
+
1
15
+
1
16
) + . . . .
A soma dos dois primeiros termos é 1, 5 a soma dos dois termos seguintes é maior que 0, 5.
A soma dos próximos 4 termos é também maior que 0, 5, prosseguindo o raciocínio a soma dos
próximos 8 termos émaior que 0, 5 e assim por diante. Portanto, a soma dessa série não possui
um limite superior, logo é divergente.
Teorema 2.3. Um série determos não negativos converge, se e somente se, suas somas parciais
são limitadas superiormente.
Em geral, uma série da forma
∞∑
n=1
1
np
é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1.
13
2.4 TESTE DA COMPARAÇÃO
Agora que conhecemos algumas séries convergentes e outras divergentes podemos comparar
com outras séries conforme o teorema a seguir:
Teorema 2.4. Sejam
∑
an,
∑
bn e
∑
cn séries com termos não negativos. Supondo que para
algum inteiro N
an ≤ bn ≤ cn para todon > N
.
• Se ∑ cn converge então ∑ bn também converge.
• Se ∑ an diverge então ∑ bn também diverge.
Exemplo 2.8. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
a)
∞∑
n=1
cos2(n)
n3/2
b)
∞∑
n=1
n− 1
n4 + 2
c)
∞∑
n=2
n+ 2
n2 − n
d)
∞∑
n=3
ln(n)
n
14
2.5 TESTE DA RAZÃO
O teste da razão mede a taxa de crescimento (ou decrescimento) de uma série examinando
a razão
an+1
an
. Para a série geométrica
∑
arn, essa taxa é uma constante
arn+1
arn
= r, e a série
converge se, e somente se, sua razão é menor que 1 em valor absoluto. O teste da razão é uma
regra poderosa que estende esse resultado.
Teorema 2.5. Seja
∑
an uma série com termos positivos e suponha que
lim
an+1
an
= ρ.
Então,
• a série converge se ρ < 1.
• a série diverge se ρ > 1 ou ρ é infinito.
• o teste é inconcludente se ρ = 1.
Exemplo 2.9. Determine se as séries convergem ou divergem pelo teste da razão
a)
∞∑
n=1
2n
n!
b)
∞∑
n=1
n3
3n
c)
∞∑
n=2
2n + 5
5n
15
2.6 TESTE DA RAIZ
Teorema 2.6. Seja
∑
an uma série com termos positivos e suponha que
lim n
√
an = ρ.
Então,
• a série converge se ρ < 1.
• a série diverge se ρ > 1 ou ρ é infinito.
• o teste é inconcludente se ρ = 1.
Exemplo 2.10. Determine se as séries convergem ou divergem pelo teste da raiz.
a)
∞∑
n=1
n2
2n
b)
∞∑
n=1
2n
n3
c)
∞∑
n=2
(
1
1 + n
)n
16
2.7 VÍDEO AULAS
• SÉRIES
https://www.youtube.com/watch?v=JiWKLACcRME
https://www.youtube.com/watch?v=sDuXrXqXuZ0
https://www.youtube.com/watch?v=Xkhk7a7a4tU
https://www.youtube.com/watch?v=q3gRvnx4VTA
https://www.youtube.com/watch?v=PHwhMtdTK3Y
17
Aula 3
SÉRIES DE POTÊNCIAS
3.1 INTRODUÇÃO
Agora que podemos testar a convergência de algumas séries infinitas, podemos estudar as
somas que se parecm com "Polinômios infinitos".
Definição 3.1. Uma série de potências centradas em a é uma série da forma
c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + . . .+ cn(x− a)n + . . . =
∞∑
n=1
cn(x− a)n,
onde os coeficientes c0, c1, c2, . . ., cn, . . . são constantes. Em partícular, quando a = 0 temos
∞∑
n=1
cnx
n = c0 + c1x+ c2x
2 + . . .+ cnx
n + . . .
Exemplo 3.1. Verifique a série de potência
1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . .
Exemplo 3.2. Verifique a série de potência
1− 1
2
(x− 2) + 1
4
(x− 2)2 + . . .+
(
1
2
)n
(x− 2)n + . . . .
18
Exemplo 3.3. Para quais valores de x as séries de potências a seguir convergem?
a)
∞∑
n=1
(−1)n−1x
n
n
b)
∞∑
n=1
(−1)n−1 x
2n−1
2n− 1
c)
∞∑
n=1
xn
n!
d)
∞∑
n=1
n!xn
19
3.2 DERIVADAS E INTEGRAIS DE SÉRIES
Agora que já conhecemos algumas séries de potências vamos derivar e integrar algumas
delas.
Teorema 3.1. Se
∞∑
n=0
cn(x− a)n possui um raio de convergência R > 0, isso define uma função
f(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n
no intervalo a−R < x < a+R. Essa função f possui derivadas de todas as ordens dentro do
intervalo, e obtemos as derivadas através da derivação termo a termo:
f ′(x) =
∞∑
n=1
ncn(x− a)n−1,
f ′′(x) =
∞∑
n=2
n(n− 1)cn(x− a)n−2,
e assim por diante. Cada uma dessas séries converge dentro do intervalo a−R < x < a+R.
Exemplo 3.4. Encontre a série para f ′(x) e f ′′(x) se
f(x) = 1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . .
Teorema 3.2. Se
∞∑
n=0
cn(x− a)n possui um raio de convergência R > 0, isso define uma função
f(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n
no intervalo a−R < x < a+R. Essa função f possui uma integral através da integração termo
a termo: ˆ
f(x)dx =
∞∑
n=0
cn
(x− a)n+1
n+ 1
+ k.
Essa série converge dentro do intervalo a−R < x < a+R.
20
Exemplo 3.5. Encontre a série para
´
f(x)dx onde
f(x) = 1− x+ x2 − x3 + . . .
3.3 SÉRIES DE TAYLOR E DE MAUCLAURIN
Podemos verificar que se f(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n então f (n)(a) = n!cn, assim, cn = f
(n)(a)
n!
.
Teorema 3.3. Seja f uma função comderivadas de todas as ordens em algum intervalo con-
tendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em a é
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
(x− a)n = f(a) + f ′(a)(x− a) + f
′′(a)
2
(x− a)2 + . . .+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n + . . .
Em partícular, quando a = 0 temos a série de Maclaurin
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
xn = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2
x2 + . . .+
f (n)(0)
n!
xn + . . .
Exemplo 3.6. Determine a série de Maclaurin das seguintes funções:
a) f(x) = ex
b) f(x) = sen (x)
c) f(x) = cos(x)
21
3.4 RESTO E APLICAÇÕES DE SÉRIES DE TAYLOR
Teorema 3.4. Se existir uma constante M tal que |fn+1(t)| ≤M para todo t entre x e a, então
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f
′′(a)
2
(x− a)2 + . . .+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n +Rn(x),
onde,
|Rn(x)| = M |x− a|
n+1
(n+ 1)!
.
Exemplo 3.7. Calcule o erro se P (x) = 1 + x+
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
é utilizado para estimar o valor
de ex em x =
1
2
.
Exemplo 3.8. Determine uma série para
ˆ
sen (x2)dx.
22
3.5 VÍDEO AULAS
• SÉRIES DE POTÊNCIAS https://www.youtube.com/watch?v=C3-eiJ6fzF4
https://www.youtube.com/watch?v=rOyHhOcOlZE
https://www.youtube.com/watch?v=MdS-SS64yK8
https://www.youtube.com/watch?v=0dqWoZs3erM
23
Aula 4
SÉRIES DE FORIER
4.1 INTRODUÇÃO
As séries de Fourier elas são análogas às séries Taylor, no sentido que ambos os tipos de
séries fornecem um modo de se expressar funções bastante complicadas em certas de funções
elementares elementares.
Uma série de fourier (quando convergente) de uma função definida sobre −L ≤ x ≤ L e
períodica de período 2L (f(x+ 2L) = f(x)) é a série dada por
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
(npix
L
)
+ bnsen
(npix
L
))
.
Onde,
a0 =
1
L
ˆ L
−L
f(x)dx; an =
1
L
ˆ L
−L
f(x) cos
(npix
L
)
dx para n = 1, 2, . . . ;
bn =
1
L
ˆ L
−L
f(x)sen
(npix
L
)
dx para n = 1, 2, . . .
Exemplo 4.1. Encontre a Série de Fourie da função dada:
a) f(x) =
{
−x, −2 ≤ x < 0,
x, 0 ≤ x ≤ 2, com f(x+ 4) = f(x).
b) f(x) =

0, −3 ≤ x < −1,
1, −1 ≤ x < 1,
0− x, 1 ≤ x ≤ 3, .
com f(x+ 6) = f(x).
24