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18 Edescritiva distribuiaaes de probabilidade

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Estatística Descritiva 
Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes – fabiola.moraes@uniube.br 
UNIUBE – Uberaba, MG. 2º Semestre – 2017 11 
 
 UNIVERSIDADE DE UBERABA 
 ENGENHARIAS, TECNOLOGIAS E 
 SISTEMAS DE INFORMAÇÃO 
 
 
Distribuições de Probabilidade – Variáveis Aleatórias. Distribuição Binomial. Distribuição de Poisson. Distribuição 
Normal. 
 
Neste contexto vamos estudar a definição de variáveis aleatórias e, em síntese vamos conhecer qual o 
objetivo de defini-la; isto é, de um modo geral, em muitos experimentos aleatórios, os elementos 
w
 do espaço 
amostral 

 (Lê-se Ômega) já são resultados numéricos, enquanto outros não. Quando 

 não é constituído por 
resultados numéricos, não podemos utilizar diretamente os recursos estabelecidos na Estatística Descritiva. 
Sendo assim, para que estes recursos possam ser utilizados, é necessário estabelecer uma função que transforme 
o espaço amostral não numérico em um espaço amostral numérico. 
 
Variáveis Aleatórias Discretas (V. A. Discretas) 
 
Seja 
E
 um experimento aleatório qualquer e, 

 o seu espaço amostral denotado por 
 1 2, , , na a a
. 
Qualquer função 
X
 que transforma os valores de 

, 
1 2, , , na a a
, em números reais é denotada variável 
aleatória discreta. 
 
Suponha o lançamento de um dado honesto e, 
X
, a variável que representa os pontos obtidos na 
face voltada para cima desse dado. A variável 
X
, pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6; e, sendo 
este dado honesto, cada ponto tem a mesma probabilidade de ocorrência, isto é, 1/6 . 
 
Com estas informações, podemos construir a Tabela 1: 
 
Tabela 1 - Valores obtidos, na face voltada para cima, no lançamento 
de um dado honesto. 
X
 1 2 3 4 5 6 Total 
 P X
 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 
 
 
 
 
 
A função que atribui a cada valor da variável aleatória 
X
 sua probabilidade é denotada de função discreta 
de probabilidade ou, simplesmente, função de probabilidade. A notação a ser utilizada é expressa por: 
 
    , 1,2,i i iP X x p x p i   
 
Ou ainda, 
 
X
 
1x
 
2x
 
3x
 
ip
 
1p
 
2p
 
3p
 
 
 
Uma função de probabilidade satisfaz o intervalo: 
0 1ip 
 e 
1i
i
p 
. 
 
Exemplo 1 
Certo experimento consiste no lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces 
superiores, denotada por 
Z
. Determine o espaço amostral do experimento e a função de probabilidade de 
Z
. 
Resolução: 
1D
: dado 1 e 
2D
: dado 2 
Z
: soma dos pontos das faces superiores 
1E
: lançar dois dados 
 
 
Educação e Responsabilidade social 
Característica importante: a soma das probabilidades 
de todos os valores de 
X
 é sempre igual a 1. 
 
Estatística Descritiva 
Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes – fabiola.moraes@uniube.br 
UNIUBE – Uberaba, MG. 2º Semestre – 2017 12 
 
2E
: observar a soma das faces superiores 
 
Tabela 2 - Valores obtidos, nas faces superiores, no lançamento de 
dois dados honestos. 
 
1D
 1 2 3 4 5 6 
2D
 
1 
 1;1
 
 1;2
 
 1;3
 
 1;4
 
 1;5
 
 1;6
 
2 
 2;1
 
 2;2
 
 2;3
 
 2;4
 
 2;5
 
 2;6
 
3 
 3;1
 
 3;2
 
 3;3
 
 3;4
 
 3;5
 
 3;6
 
4 
 4;1
 
 4;2
 
 4;3
 
 4;4
 
 4;5
 
 4;6
 
5 
 5;1
 
 5;2
 
 5,3
 
 5;4
 
 5;5
 
 5;6
 
6 
 6;1
 
 6;2
 
 6;3
 
 6;4
 
 6;5
 
 6;6
 
 
Espaço amostral: 
        1;1 ; 1;2 ; 1;3 ; ; 6;6
 
 
No lançamento de dois dados honestos, podemos obter a soma dos pontos das faces superiores valores 
variando de 2 até 12, conforme demonstrado na Tabela 2; as probabilidades vão de 1/36 a 6/36 e, a função de 
probabilidade será expressa como, na Tabela 3: 
 
Tabela 3 - Função de probabilidade obtida, no lançamento de dois dados honestos. 
Z
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
( )P Z
 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
 
Média de uma Variável Aleatória Discreta 
 
 
 
A média de uma V. A. Discreta (

) é calculada pela expressão: 
 
 
1
.
n
i i
i
x p x


 
 
Atenção! A média de 
X
 é também usualmente denotada por 
 E X
 (Lê-se Esperança de 
X
). 
 
Exemplo 2. Imagine a seguinte distribuição de
X
, uma V. A. Discreta: 
 
 
Tabela 4 - Função de probabilidade 
X
 3 4 5 6 7 8 
 P X
 0,10 0,20 0,30 0,20 0,15 0,05 
 
Suponha que 
X
 represente o número de cirurgias efetuadas diariamente em uma pequena clínica. 
Podemos observar, por exemplo, que a probabilidade de ocorrerem 5 cirurgias em 1 dia é de 30%; de ocorrerem 7 
cirurgias é de 15%, e assim analisamos para os demais valores. 
Para calcularmos a média diária de cirurgias efetuadas, basta calcular 

, ou seja, o somatório do produto de cada 
valor da variável 
X
 pela sua probabilidade: 
 
             
 
 
3.0,10 4.0,20 5.0,30 6.0,20 7.0,15 8.0,05
0,30 0,80 1,50 1,20 1,05 0,40
5,25
E X
E X
E X
     
     

 
Portanto, diariamente, em média, são efetuadas 5,25 cirurgias. 
Estatística Descritiva 
Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes – fabiola.moraes@uniube.br 
UNIUBE – Uberaba, MG. 2º Semestre – 2017 13 
 
Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
 2
 
 
A mesma analogia existe entre a variância e desvio-padrão de uma distribuição de frequência e, a variância 
e desvio-padrão de uma variável aleatória 
X
. 
 A variância, 
 Var X
 é representada pela expressão: 
 
     
2
2
1
.
n
i i
i
Var X x p x 

  
 
 
Exemplo 3. Em relação ao exemplo anterior, em que 
X
 representa o número de cirurgias efetuadas diariamente 
em uma pequena clínica, calcule a variância do número de cirurgias. 
 
Resolução: 
     
2
1
.
n
i i
i
Var X x p x

 
 
       
     
2 2 2
2 2 2
3 5,25 .0,10 4 5,25 .0,20 5 5,25 .0,30
 6 5,25 .0,20 7 5,25 .0,15 8 5,25 .0,05
Var X       
     
 
  5,0625.0,10 1,5625.0,20 0,0625.0,30 0,5625.0.20
 +3,0625.0,15+7,5625.0,05 
Var X      
  0,50625 0,3125 0,0188 0,1125 0,04594 0,3781Var X      
 
  1,7876Var X 
 
 
Logo, o desvio padrão de 
   1,7876 1,3370 1,34X X X     . 
Portanto, concluímos que o número médio de cirurgias realizada nesta clínica é de 5,25 com desvio padrão de 1,34. 
 
 
Modelos Teóricos Discretos de Probabilidade 
 
Quando aplicamos a Estatística na resolução de situações-problema,verificamos que muitas delas 
apresentam as mesmas características; o que nos permite estabelecer um modelo estatístico teórico para a 
determinação da resolução destas situações-problema. 
 Este modelo estatístico teórico, também denotado Distribuição de Probabilidades, apresenta alguns 
componentes principais, entre estes temos: 
 
 Os possíveis valores que a variável aleatória 
X
 pode assumir; 
 A função de probabilidade associada à variável aleatória 
X
; 
 A média (ou valor esperado) da variável aleatória 
X
; 
 A variância e o desvio-padrão da variável aleatória 
X
. 
 
Neste contexto, vamos estudar algumas das principais Distribuições de Probabilidades Discretas entre elas, 
a Distribuição Binomial e a Distribuição de Poisson. 
 
 
Distribuições de Probabilidades Discretas 
 
 Distribuição Binomial 
A distribuição binomial apresenta algumas características fáceis de ser interpretadas, isto é, supor um 
experimento 
E
 repetido 
n
 vezes independentemente; sendo que em cada repetição a probabilidade de sucesso se 
mantém igual a 
p
 e a de fracasso igual a 
q
. 
 Agora imagine que estamos interessados na ocorrência de 
x
 sucessos e 
 n x
 fracassos, independente 
da ordem de ocorrência, desta forma temos que a variável aleatória 
X
 admite distribuição binomial de 
probabilidades. 
Estatística Descritiva 
Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes – fabiola.moraes@uniube.br 
UNIUBE – Uberaba, MG. 2º Semestre – 2017 14 
 
 
A notação utilizada será 
 ,X b n p
 (Lê-se a variável aleatória 
X
 tem distribuição Binomial com 
parâmetros 
n
 e 
p
). 
 Descrevendo temos: 
  k n k
n
P X x p q
k
    
 
, em que 
0,1, ,k n
. 
 
 X np 
 

 Média (ou valor esperado) da variável aleatória 
X
. 
 
   2 e X npq X npq  
 Variância e desvio-padrão, respectivamente, de 
X
. 
 
Exemplo 4. Supor o lançamento de uma moeda honesta 10 vezes, qual a probabilidade de se obter: 
a) 5 vezes o resultado cara. 
b) No máximo 2 vezes o resultado cara. 
c) Pelo menos 3 vezes o resultado cara. 
 
Resolução: 
No geral, denotamos cara por 
k
 e coroa por 
c
. 
 
(a) Desejamos calcular a probabilidade de sair o resultado cara 
 k
 5 vezes. 
Logo, 
10n 
 e 
0,5p 
 (probabilidade de se obter cara 
 k
 em cada lançamento de moeda). 
Assim, 
  k n k
n
P X x p q
k
    
 
 
 
     
5 10 510
5 0,5 1 0,5
5
P X
 
   
 
 
 
 
 
   
5 10 510!
5 0,5 1 0,5
5! 10 5 !
P X

  

 
 
     
5 510.9.8.7.6.5!
5 0,5 1 0,5
5!5!
P X   
 
 
         
5 510.9.8.7.6
5 0,5 1 0,5 3.2.7.6. 0,03125 . 0,03125
5.4.3.2.4.1
P X    
 
 
 5 0,2461P X  
 
 
De forma análoga vamos utilizar a Tabela A com valores tabelados para a variável aleatória discreta que 
apresentar distribuição binomial, disponível ao final desta apostila. A vantagem da utilização dos valores 
tabelados é viabilizar mais rápido e direto o resultado. 
 Sendo assim, vamos fazer a leitura da intersecção destes valores, isto é, temos que para 
10n 
, 
0,5p 
 
(que corresponde à última coluna dos valores de 
p
, à sua direita) e para o valor de 
5k 
 (na coluna de 
k
); a 
intersecção da linha de 
5k 
 com a coluna em 
0,5p 
, concluímos o resultado 0,2461. 
 Portanto: 
     
5 510
5 0,5 1 0,5 0,2461
5
P X
 
    
 
 ou 
24,61%
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hum!!! Mas este cálculo é muito fácil!!! Não 
temos que fazer contas; basta realizar a 
leitura correta da tabela da Distribuição 
Binomial. 
Estatística Descritiva 
Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes – fabiola.moraes@uniube.br 
UNIUBE – Uberaba, MG. 2º Semestre – 2017 15 
 
b) O resultado cara 
 k
 deve ser obtido no máximo 2 vezes. Teoricamente o lançamento da moeda poderia 
apresentar o resultado cara até 10 vezes, iniciando em “0” caras (nenhuma vez). Portanto, 
k
 pode variar de 0 até 
10; queremos no máximo 2, isto é, 
0,1 e 2k 
. 
  k n k
n
P X x p q
k
    
 
 
             
0 10 0 1 10 110 10
0 1 2 0,5 1 0,5 0,5 1 0,5
0 1
P X P X P X
    
            
   
 
 
 
     
2 10 210
2 0,5 1 0,5
2
P X
 
    
 
 
 
Observe que o número de caras 
 k
 é sempre igual a 10 no exemplo, portanto 
10n 
e, realizando, da 
mesma forma, na tabela da binomial, temos: 
 
( 0) 0,0010P X  
, 
( 1) 0,0098P X  
 e 
( 2) 0,0439P X  
. 
Portanto, 
     0 1 2 0,0547P X P X P X     
 ou 
5,47%
. 
 
c) Pelo menos 3 vezes o resultado cara 
 k
; isto significa que você não pode obter resultados 0, 1 ou 2 (do item 
(b)). Portanto, pelo evento complementar: 
 
       3 1 0 1 2P X P X P X P X         
 
 3 1 0,0547 0,9453P X    
 ou 
94,53%
. 
 
Exemplo 5. Qual a probabilidade de uma família de 4 filhos ter: 
 
a) nenhum filho homem 
b) 1 filho homem 
c) 2 filhos homens 
d) 3 filhos homens 
e) 4 filhos homens 
 
Resolução: 
A probabilidade de nascer um filho homem é de 0,50 (1/2) em cada nascimento de uma criança. Temos então: 
4n 
, 
0,50p 
 e 
0,1,2,3 e 4k 
. 
 
Considerando 
k
 representando o número de filhos homens, teremos: 
 
 
 
0 4 4
4 1 1 4! 1 1 1
0 1 .1. 1.
0 2 2 0! 4 0 ! 2 16 16
P X
      
           
      
 
 
 
 
1 3 1 3
4 1 1 4! 1 1 4.3! 1 1 1 4
1 1 . . . . 4.
1 2 2 1! 4 1 ! 2 2 1!3! 2 8 16 16
P X
        
              
        
 
 
 
 
2 2 2 2
4 1 1 4! 1 1 4.3.2! 1 1 1 6
2 1 . . . . 6.
2 2 2 2! 4 2 ! 2 2 2!2! 4 4 16 16
P X
        
              
        
 
 
 
 
3 1 3 1
4 1 1 4! 1 1 4.3! 1 1 1 4
3 1 . . . . 4.
3 2 2 3! 4 3 ! 2 2 3!1! 8 2 16 16
P X
        
              
        
 
 
Estatística Descritiva 
Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes – fabiola.moraes@uniube.br 
UNIUBE – Uberaba, MG. 2º Semestre – 2017 16 
 
 
 
4 0 4 0
4 1 1 4! 1 1 1 1
4 1 . . 1. .1
4 2 2 4! 4 4 ! 2 2 16 16
P X
        
             
        
 
 
Interpretando, por exemplo, 
 2 6 /16P X  
 temos que a probabilidade de uma família de 4 filhos ter 2 
filhos homens é 6/16. Também podemos interpretar este resultado da seguinte forma, imagine que você tem 16 
famílias com 4 filhos. Você espera, pela probabilidade, que 6 dessas famílias tenham 2 filhos homens. 
 
 
 
 
 
Exemplo 6. Em um lote de peças, 5% são defeituosos. Calcule a probabilidadede, em 20 dessas peças, haver, 
exatamente, uma defeituosa. 
 
Resolução: 
Seja 
 perfeita 0,95P 
 e 
 defeituosa 0,05P 
, logo 2 eventos com probabilidades constantes. Portanto, 
sendo 
1k 
 o número de peças defeituosas temos, 
 
  k n k
n
P X x p q
k
    
 
 
     
1 1920
1 0,05 0,95 0,3774
1
P X
 
   
 
 
 
Na Tabela A: Distribuição Binomial, vamos fazer a leitura da intersecção destes valores, isto é, temos que 
para 
20n 
, 
0,05p 
 e para o valor de 
1k 
; a intersecção da linha de 
1k 
 com a coluna em 
0,05p 
, 
concluímos o resultado 0,3774. 
 Portanto, em um lote de peças onde 5% são defeituosos, sorteadas 20 dessas peças, a probabilidade de 
haver, exatamente, uma defeituosa é em torno de 37,74%. 
 
 
 Distribuição de Poisson 
 
Uma variável aleatória 
X
 admite distribuição de Poisson sendo expressa por: 
 
 
 
!
k
e
P X k
k
 
 
, 
0,1,2,k 
 
 
Em que, 
 

: denota o parâmetro de interesse, sendo usualmente tratado como a taxa de ocorrência. 

: denota a média 
  E X  
. 
k
: denota o número de ocorrências. 
 
A notação utilizada será 
 X Po 
 (Lê-se a variável aleatória 
X
 tem distribuição de Poisson com 
parâmetro lambda 
 
). 
 Temos que o único parâmetro 
 
 é a média 
 
, que pode assumir valores contínuos, enquanto o 
número de ocorrências é sempre um espaço discreto, ou apenas valores inteiros. E, para entendermos melhor esta 
ideia supor, a seguinte situação-problema: 
Em uma central telefônica, o número de telefonemas, em média, podem chegar a 2 chamadas por minuto 
ou 2,5 chamadas por minuto, ou 3 ou 3,5, e assim por diante. Percebemos então, que a média não precisa ser 
composta apenas por valores inteiros. Entretanto, em um minuto, por exemplo, podem chegar 2, 3, 4, 5 chamadas; 
sempre números inteiros. 
Neste exemplo, não buscamos “conferir” o valor obtido através dos 
cálculos e, compará-los com o valor tabelado. Portanto, confira você este 
resultado direto, utilizando a leitura da Tabela A. É muito fácil, não é? 
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Exemplo 7. Em um minuto, na central telefônica citada, chegam 2 chamadas, em outro minuto, chegam 3. 
Determine a média de chamadas. 
1 2 3 2,5
2
n
i
i
x
Média X
n
    

 
 
 
A média da distribuição de Poisson pode assumir qualquer valor, mas o número de ocorrências é 
sempre um número inteiro. 
 Outros exemplos da distribuição de Poisson: 
 
∙ O número de sacos de cimento consumidos em uma construção civil é de 5, em média, por dia. 
∙ O número de DVDs vendidos em uma loja é 6, em média, por dia. 
∙ O número de colisões de veículos em certo cruzamento é de 3, em média, por semana. 
∙ O número de pacientes atendidos por um médico é de 4 pacientes, em média, por hora. 
 
Uma Propriedade importante da distribuição de Poisson é a da aditividade das médias, ou seja, se em um 
minuto chegam 2 chamadas em uma central telefônica, em média; em 2 minutos a média será de 4 chamadas. 
 
0,5min 1x   
 chamadas 
1,0min 2x   
 chamadas 
2,0min 4x   
chamadas 
 
Exemplo 8. 
8.1) O número de clientes atendidos pelo caixa de um banco é de 4, em média, por hora. Qual a probabilidade de 
se atender: 
 
a) Exatamente 4 clientes em uma hora. 
b) No máximo 2 clientes em uma hora. 
c) Pelo menos 2 clientes em uma hora. 
 
Para resolver estas situações sem ter que efetuar as contas, é possível obter os resultados consultando a 
Tabela B no final desta apostila. Basta procurar a média desejada (

, na tabela) e, em seguida, ler o valor 
correspondente de 
k
. A probabilidade é obtida pela intersecção da coluna de 

 com a linha de 
k
. 
 
Resolução: 
a) Como informado no enunciado a média de atendimento, pelo caixa de um banco é de 4 clientes por hora, logo 
4 
 e, deseja-se saber qual a probabilidade de se atender, exatamente, 4 em uma hora, daí 
4k 
. 
 
 
 
 
 
44 4
4 0,1954
! 4!
k
e e
P X k P X
k
  
      
 Tabela B 
 
b) Com a mesma linha de raciocínio apresentada em (a), porém pede-se agora a probabilidade de se atender, no 
máximo, 2 clientes em uma hora, daí 
2k 
. 
 
 
 
       2 0 1 2
!
k
e
P X k P X P X P X P x
k
 
         
 
 
0,0183 0,0733 0,1465 0,2381   
 
 
c) O item (c) pede pelo menos atender 2, em uma hora; isto significa atender 2 ou mais clientes. Neste caso, são 
várias as possibilidades, logo faremos o cálculo utilizando a propriedade complementar. 
 
 
 
 
 
Atenção: para esta situação, o caixa do banco somente não 
poderá atender ‘0” ou “1” cliente. Não se esqueça do zero!!! 
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Portanto: 
 
       2 1 0 1 1 0,0183 0,0733 1 0,0916 0,9084P X P X P X             
 
 2 1 0,0916 0,9084P X    
. 
 
8.2) Um taxista atende, em média, dois clientes por hora. Qual a probabilidade de atender: 
 
a) 1 ou 2 clientes, em 1 hora. 
b) 4 ou 5 clientes, em 2 horas. 
c) nenhum cliente em meia hora. 
 
Resolução: 
 
a) Como informado no enunciado a média de atendimento, pelo taxista é de 2 clientes por hora, logo 
2 
. Logo, 
1 ou 2 clientes, em uma hora temos, 
 
 
 
     2 1 2
!
k
e
P X k P X P X P X
k
 
       
 
 2 0,2707 0,2707 0,5414P X    
 
 
b) Com a déia da Propriedade da aditividade das médias, podemos escrever: 
1 2hora 
 clientes 
2 4horas X   
 clientes. Logo, na Tabela B temos, 
 
 
 
!
k
e
P X k
k
 
 
 
   4 5 0,1954 0,1563 0,3517P X P X     
 

 Tabela B 
 
c) Da mesma forma que em (b) temos, 
 
1 2hora 
 clientes 
0,5 1hora X   
cliente 
 
 
 
!
k
e
P X k
k
 
 
 
   00 1 0 0,3679P X P X    
 
 
 
Distribuições de Probabilidades Contínua 
 
 Distribuição Normal 
 
Uma variável aleatória contínua 
X
 tem distribuição Normal com parâmetros 

 e 
2
. É considerada a mais 
importante e frequente distribuição utilizada na Estatística e, em quase todos os processos industriais o 
comportamento da variável, em estudo, é semelhante ao apresentado pela distribuição Normal, ou seja, num 
processo qualquer, com média 

 e desvio padrão 

, observamos: 
 
∙ A maioria dos valores se concentra ao redor da média. 
∙ 50% dos valores estão acima da média, e 50% abaixo da média. 
∙ Os valores distribuem-se simetricamente à esquerda e à direita em relação à média. 
∙ É praticamente nula a probabilidade de um valor afastar-se muito da média. 
 
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Figura 1: Densidade Normal 
 
 
Considere 
 2,X N  
 (Lê-se a variável aleatória 
X
 tem distribuição Normal com média 

 e variância 
2
) e, defina uma nova variável 
X
Z




. Pelas propriedades do valor esperado e da variância, segue que: 
 
     
1 1
0
X
E Z E E X E X
    
 
         
 
. 
 
     2 2
1 1
1
X
Var Z Var Var X Var X
   
 
     
  
 
 
 
 
 
 
Para determinarmos a probabilidade da variável aleatória 
 ,X a b
 (Lê-se 
X
 pertence ao intervalo 
fechado de 
a
 até 
b
), observe o desenvolvimento a seguir: 
 
   P a X b P a X b          
 
a X b
P
  
  
   
   
 
 
 
a b
P Z
 
 
  
   
 
 
 
E, desta forma, quaisquer que sejam os valores de 

 e 

, utilizamos a Normal Padrão para obter 
probabilidades com distribuição Normal. Os valores para a probabilidade 
 0 , 0P Z z z  
 são tabelados e 
apresentados na Tabela C, no final desta apostila. 
 
 
 
 
 
Exemplo 9. Considerando 
 2,9X N
 temos, 
 
   P a X b P a X b          
 
Observe que a transformação realizada não “afeta” a normalidade e, assim a 
variável terá distribuição Normal com média 0 e variância 1, isto é, 
 0,1Z N
 e, será denotada de Normal Padrão ou Normal Reduzida. 
 
 
Note que a simetria também implica que a probabilidade de estar 
acima (ou abaixo) de zero é 0,5. E como probabilidade é sempre 
um valor entre 0 e 1; a Tabela C contém apenas a parte decimal. 
 
 
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a X b
P
  
  
   
  
 
 

 No exemplo, 
2 
 e 
 
2 29 9 9       
a b
P Z
 
 
  
  
 
 
 
Supondo, 
 2,5X 
 
   
2 2 2 5 2
2 5 0 1 0,3413
9 9 9
X
P X P P Z
   
         
 
 
 
Portanto, o valor encontrado na Tabela C corresponde à área sombreada no gráfico 1. 
 
 
Gráfico 1: Cálculo da área de 
 2 5P X 
 
 
 
Exemplo 10. Encontre a 
 0 2P X 
, supor 
 2,9X N
. 
 
Resolução: 
Considerando o mesmo desenvolvimento realizado passo a passo, no exemplo anterior, em síntese temos, 
 
   
0 2 2 2
0 2 2 3 0
3 9
P X P Z P Z
  
         
 
 
 
 0 2 3 0,2486P Z   
 
 
 
Gráfico 2: Cálculo da área de 
 2 5P X 
 
 
 
Saiba também que podemos calcular as probabilidades de intervalos com extremos negativos, 
utilizando os correspondentes intervalos na parte positiva. Outro recurso importante no uso da Tabela C é a 
utilização do complementar. Assim observe o exemplo que se segue: 
 
 Exemplo 11. Considerando a mesma distribuição supracitada, 
 2,9X N
, encontre a probabilidade a seguir: 
 
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   
3 2
3 1 3
3
X
P X P P Z


  
     
 
 
 
1
0,5 0 0,5 0,1293 0,3707
3
P Z
 
       
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Tabela C também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é, considere certa probabilidade e, 
desejamos obter o valor que a originou. Por exemplo, quanto vale 
l
 tal que 
 0 0,4P Z l  
? No corpo da 
Tabela C, a probabilidade que mais se aproxima de 0,4 é o valor 0,3997; correspondendo a 1,28 que representa o 
valor de 
l
. Suponha, agora, outro exemplo. 
 
Exemplo 12. Encontrar 
c
 tal que 
  0,8P Z c 
. 
Fácil não é? 
Você observa que 
c
 precisa ser negativo, pois a probabilidade desejada é maior que 
1 2
, que é o valor de 
 0P Z 
. Desta forma, o intervalo 
 ,0c
 precisa ter probabilidade assumindo valor 0,3. Não esquecendo da 
simetria da Normal, o intervalo 
 0, c
 também tem probabilidade 0,3. Da Tabela C, segue que 
0,84 0,84c c    
. 
 
 
Para encontrar o valor 0,1293; resultante da probabilidade 
 0 1 3P Z 
 na Tabela C, basta realizar a intersecção da coluna 
0z
 correspondente ao valor 0,3 
 1 3 0,33
, com a linha 
assumindo valor 3 também; resultado da aproximação da razão 
1 3
. 
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 Tabela A - Distribuição Binomial. 
10n 
 
 
k
 
p
 
 
0,02 0,05 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 
0 0,8171 0,5987 0,3487 0,1074 0,0563 0,0282 0,0060 0,0010 10 
1 0,1667 0,3151 0,3874 0,2684 0,1877 0,1211 0,0403 0,0098 9 
2 0,0153 0,0746 0,1937 0,3020 0,2816 0,2335 0,1209 0,0439 8 
3 0,0008 0,0105 0,0574 0,2013 0,2503 0,2668 0,2150 0,1172 7 
4 0,0000 0,0010 0,0112 0,0881 0,1460 0,2001 0,2508 0,2051 6 
5 0,0001 0,0015 0,0264 0,0584 0,1029 0,2007 0,2461 5 
6 0,0000 0,0001 0,0055 0,0162 0,0368 0,1115 0,2051 4 
7 0,0000 0,0008 0,0031 0,0090 0,0425 0,1172 3 
8 0,0001 0,0004 0,0014 0,0106 0,0439 2 
9 0,0000 0,0000 0,0001 0,0016 0,0098 1 
10 0,0000 0,0001 0,0010 0 
20n 
 
 
0 0,6676 0,3585 0,1216 0,0115 0,0032 0,0008 0,0000 20 
1 0,2725 0,3774 0,2702 0,0577 0,0211 0,0068 0,0005 0,0000 19 
2 0,0528 0,1887 0,2852 0,1369 0,0669 0,0278 0,0031 0,0002 18 
3 0,0065 0,0596 0,1901 0,2054 0,1339 0,0716 0,0123 0,0011 17 
4 0,0006 0,0133 0,0898 0,2182 0,1897 0,1304 0,0350 0,0046 16 
5 0,0000 0,0022 0,0319 0,1746 0,2023 0,1789 0,0746 0,0148 15 
6 0,0003 0,0089 0,1091 0,1686 0,1916 0,1244 0,0370 14 
7 0,0000 0,0020 0,0545 0,1124 0,1643 0,1659 0,0739 13 
8 0,0004 0,0222 0,0609 0,1144 0,1797 0,1201 12 
9 0,0001 0,0074 0,0271 0,0654 0,1597 0,1602 11 
10 0,0000 0,0020 0,0099 0,0308 0,1171 0,1762 10 
11 0,0005 0,0030 0,0120 0,0710 0,1602 9 
12 0,0001 0,0008 0,0039 0,0355 0,1201 8 
13 0,0000 0,0002 0,0010 0,0146 0,0739 7 
14 0,0000 0,0002 0,0048 0,0370 6 
15 0,0000 0,0013 0,0148 5 
16 0,0003 0,0046 4 
17 0,0000 0,0011 3 
18 0,0002 2 
19 0,0000 1 
20 0 
 
0,98 0,95 0,90 0,80 0,75 0,70 0,60 0,50 
k
 
p
 
 
 
 
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Tabela B - Distribuição de Poisson. 
k
 

 
0,1 0,2 0,5 1 1,5 2 2,5 
0 0,9048 0,8187 0,6065 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 
1 0,0905 0,1637 0,30330,3679 0,3347 0,2707 0,2052 
2 0,0045 0,0164 0,0758 0,1839 0,2510 0,2707 0,2565 
3 0,0002 0,0011 0,0126 0,0613 0,1255 0,1804 0,2138 
4 0,0000 0,0001 0,0016 0,0153 0,0471 0,0902 0,1336 
5 0,0000 0,0002 0,0031 0,0141 0,0361 0,0068 
6 0,0000 0,0005 0,0035 0,0120 0,0278 
7 0,0001 0,0008 0,0034 0,0099 
8 0,0000 0,0001 0,0009 0,0031 
9 0,0000 0,0002 0,0009 
10 0,0000 0,0002 
k
 

 
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 
0 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067 0,0041 0,0025 
1 0,1494 0,1057 0,0733 0,0500 0,0337 0,225 0,0149 
2 0,2240 0,1850 0,1465 0,1125 0,0842 0,0618 0,0446 
3 0,2240 0,2158 0,1954 0,1687 0,1404 0,1133 0,0892 
4 0,1680 0,1888 0,1954 0,1898 0,1755 0,1558 0,1339 
5 0,1008 0,1322 0,1563 0,1708 0,1755 0,1714 0,1606 
6 0,0504 0,0771 0,1042 0,1281 0,1462 0,1571 0,1606 
7 0,0216 0,0385 0,0595 0,0813 0,1044 0,1234 0,1377 
8 0,0081 0,0169 0,0298 0,0463 0,0653 0,0849 0,1033 
9 0,0027 0,0066 0,0132 0,0232 0,0363 0,0519 0,0668 
10 0,0008 0,0023 0,0053 0,0104 0,0181 0,0285 0,0413 
11 0,0002 0,0007 0,0019 0,0043 0,0082 0,0143 0,0225 
12 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0034 0,0065 0,0113 
13 0,000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0013 0,0028 0,0052 
14 0,0000 0,0001 0,0002 0,0005 0,0011 0,0022 
15 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 0,0009 
16 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 
17 0,0000 0,0001 
18 0,0000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Tabela C - Distribuição Normal - Valores de 
 00P Z z 
 
0z
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4965 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 
 
 
 
 
 
 
Estatística Descritiva 
Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes – fabiola.moraes@uniube.br 
UNIUBE – Uberaba, MG. 2º Semestre – 2017 25 
 
Exercícios 
 
1) Discuta a validade do modelo Binomial nas seguintes situações-problema: 
 
A) Quinze automóveis 
0km
 de uma mesma marca e tipo são submetidos a um teste antipoluição e, contamos o 
número deles que passaram no teste. 
B) Dos alunos da UNIUBE, sorteamos e contamos quantos se declararam usuários do transporte coletivo. 
C) Um experimento é realizado e, um motorista é submetido a um teste em que deve estacionar seu veículo num 
pequeno espaço (isto é, popularmente chamado de realizar baliza). Em 10 tentativas, contamos o número de 
vezes em que o motorista estacionou corretamente. 
D) Vinte lâmpadas foram escolhidas ao acaso na prateleira da Elétrica Center, sendo deis de uma empresa de 
representação e deis de outra. Contamos o número total de lâmpadas defeituosas. 
 
2) Numa colheita mecanizada de cana-de-açúcar existem várias colheitadeiras de certo tipo. Depois de muitas 
observações chegou-se à conclusão que o número de colheitadeiras que se avariam em cada mês é uma variável 
aleatória 
T
 com distribuição de Poisson de média 
3 
, 
 3T Po
. Qual a probabilidade para que durante um 
mês se avariem sete ou mais colheitadeiras? 
 
3) Em relação ao Exercício 2, determine a capacidade mínima que deve ter o setor de reparação de modo a ser 
pelo menos 
0,9
 a probabilidade de não haver colheitadeiras aguardando reparo. 
 
4) Considere 
 3,9X N
. Determine 
 2 5P X 
. 
 
Referencial de Respostas – Exercícios 
1) 
 
A) O modelo Binomial é aplicável. 
B) A aplicação do modelo binomial é possível, supondo independência e mesma probabilidade de resposta 
positiva. 
C) Neste caso, é não aplicável; pois o motorista aprende a cada teste. 
D) Não deveria ser aplicado. 
 
2) Como fornecido 
 T Po 
, 
3 
. 
Deseja-se saber qual a probabilidade para que durante um mês se avariem sete ou mais colheitadeiras. 
 
 
 
, 0,1,2,
!
k
e
P T k k
k
 
  
 
 
T
: número de colheitadeiras que se avariam em cada mês. 

: média 
k
: número de ocorrências 
 
 
 
 
 3
7
3
7
! !
k k
k
e e
P T k P T
k k
  

    
 

 Tabela B 
 
Para obter o resultado consultando a Tabela B no final desta apostila; basta procurar a média desejada, 
3 
 (

, na tabela) e, em seguida, ler o valor correspondente de 
k
. A probabilidade é obtida pela intersecção da 
coluna de 

 com a linha de 
k
. 
 
 
 
 7 0,0216 0,0081 0,0027 0,00080,0002 0,0001P T       
 
 
Observe que, neste caso, como 
7T 
 vamos somar todas as intersecções da coluna de 

 com a linha de 
k
 a partir de 
7k 
 até o final da coluna de 
3 
. E, na Tabela 
B para 
3 
 o último valor tabelado para 
k
 corresponde a 13 (valor 
0,000
). 
 7 0,0335P T  
Estatística Descritiva 
Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes – fabiola.moraes@uniube.br 
UNIUBE – Uberaba, MG. 2º Semestre – 2017 26 
 
 
 Concluímos que durante um mês a probabilidade que se avariem sete ou mais colheitadeiras de cana-de-
açúcar é de 3,35%. 
 
 
3) Em relação ao Exercício 2, para determinar a capacidade mínima que deve ter o setor de reparação de modo a 
ser pelo menos 
0,9
 a probabilidade de não haver colheitadeiras aguardando reparação fazemos: 
 
 
 
, 0,1,2,
!
k
e
P T k k
k
 
  
 
 
T
: número de colheitadeiras que se avariam em cada mês. 

: média 
k
: número de ocorrências 
 
 3
0
3
0,9
!
k
k
e
P T k
k


  
 

 Tabela B 
Conforme podemos verificar na Tabela B a capacidade desejada é 
5k 
. Pois, deseja-se determinar a 
capacidade mínima que deve ter o setor de reparação de modo a ser pelo menos 
0,9
 a probabilidade de não 
haver colheitadeiras aguardando reparação; assim 
 5 0,916P T  
. Desenvolvendo os cálculos temos: 
 5 0,0498 0,1494 0,2240 0,2240 0,1680 0,1008P T       
 
 5 0,916P T  
E, para confirmar temos que 
 4 0,8312P T  
; com valor de probabilidade inferior a 0,9. 
4) Como fornecido, 
 2,X N  
, isto é, 
 3,9X N
. 
E, desejamos saber 
 2 5 ?P X  
 Para isto calculamos: 
     2 5 5 2P X P X P X     
 
Realizando os cálculos separadamente temos, 
 
5 3 2
5
39
X
P X P P Z


    
      
  
 
   
2
5 0,7486 0,2486 0,5
3
P X P Z
 
     
 
 
 
 
Referências básicas: 
CRESPO, Antonio Arnot, Estatística Fácil, 19. ed. – São Paulo: Saraiva, 2010. 
DOUGLAS, C. Montgomery, George C. Runger ; tradução: Verônica Calado Estatística aplicada e probabilidade 
para engenheiros. 2ª edição. Rio de Janeiro, Editora LTC, 2003. 
FONSECA, Jairo S. e Martins, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística: 6.ª edição. São Paulo, Editora Atlas, 
2010. 
MORAES, Fabíola E. A. Estatística descritiva. 1.ed. São Paulo, Ed. Pearson Prentice Hall, 2010. 
 
Referências complementares: 
DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. 2 ed. São Paulo, Saraiva, 2005. 
MOORE, D. A Estatística Básica e Sua Prática. 3. ed. Rio de Janeiro, LTC, 2005. 
TOLEDO, Geraldo Luciano e OLVALLE, Ivo Izidoro, Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 2008. 
 
Para encontrar o valor 0,7486; resultante da 
probabilidade 
 2 3P Z 
 na Tabela C, basta realizar 
a leitura da coluna 
0z
 correspondente ao valor 0,67 
 2 3 0,67
 e, somar 0,5 ao valor encontrado; 
resultado da aproximação da razão 
2 3
.

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