APOSTILA GEOTÉCNICA II Prof. André Luís Abitante

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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 
ADENSAMENTO E COMPRESSIBILIDADE 
DRENAGEM E REBAIXAMENTO DE NÍVEL D´ÁGUA 
2015 
GEOTÉCNICA II 
MECÂNICA DOS SOLOS e OBRAS DE TERRA 
Prof. André Luís Abitante 
F A C U L D A D E D E T E C N O L O G I A – F T E C , C A X I A S D O S U L / R S 
2 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
SUMÁRIO: 
 
1. HIDRÁULICA DOS SOLOS 04 
1.1. INTRODUÇÃO 04 
1.2. PRINCIPAIS LEIS – DARCY E BERNOULLI 05 
1.2.1. LEI DE DARCY 05 
1.2.2. LEI DE BERNOULLI 06 
1.3. FLUXO ATRAVÉS DE CAMADAS EXTRATIFICADAS 08 
1.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS QUE REGEM O FLUXO ATRAVÉS DO SOLO 10 
1.5. REDES DE FLUXO 12 
1.5.1. PROPRIEDADES BÁSICAS 12 
1.5.2. MÉTODOS PARA OBTENÇÃO DA REDE DE FLUXO 14 
1.5.3. TRAÇADO DE UMA REDE DE FLUXO – MÉTODO GRÁFICO 14 
1.6. SUGESTÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRAÇADO DE REDE DE FLUXO 16 
1.6.1. CASAGRANDE 16 
1.6.2. TAYLOR 17 
1.7. APLICAÇÕES PARA REDES DE FLUXO 20 
1.7.1. VAZÃO E GRADIENTE HIDRÁULICO 20 
1.7.2. CÁLCULO DE PRESSÕES NEUTRAS HIDRODINÂMICAS 22 
1.7.3. CÁLCULO DA VELOCIDADE DE DESCARGA E FORÇA DE PERCOLAÇÃO 26 
1.8. FLUXO DE ÁGUA EM MEIO NÃO CONFINADO 29 
1.8.1. INTRODUÇÃO 29 
1.8.2. CONDIÇÕES GERAIS DE ENTRADA E SAÍDA DA LINHA FREÁTICA 30 
1.8.2.1. CONDIÇÕES DE ENTRADA 30 
1.8.2.2. CONDIÇÕES DE SAÍDA 31 
1.8.3. TRAÇADO DA LINHA FREÁTICA 32 
1.8.3.1. SOLUÇÃO DE KOZENY PARA TRAÇADO DA LINHA FREÁTICA 32 
1.8.3.2. TRAÇADO DA PARÁBOLA BÁSICA 34 
1.8.3.2.1. SOLUÇÃO DE CASAGRANDE PARA TRAÇADO DA LINHA FREÁTICA 34 
1.9. TEORIA DA SEÇÃO TRANSFORMADA 39 
1.10. REDE DE FLUXO EM MEIO HETEROGÊNEO 40 
1.11. RUPTURAS HIDRÁULICAS 42 
1.11.1. CONCEITO 42 
1.11.2. TIPOS DE RUPTURAS HIDRÁULICAS 43 
1.11.2.1. LEVITAÇÃO – AREIA MOVEDIÇA / LEVANTAMENTO 43 
1.11.2.2. EROSÃO SUPERFICIAL 48 
1.11.2.3. EROSÃO INTERNA (PIPING) OU RETROEROSÃO 50 
 BIBLIOGRAFIA PARA HIDRÁULICA DOS SOLOS 55 
 EXERCÍCIOS SOBRE PERMEABILIDADE 56 
2. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 60 
2.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 60 
2.1.1. TENSÕES NO SOLO 60 
2.1.2. DIAGRAMA DE MOHR 62 
2.1.3. TENSÕES TOTAIS, NEUTRAS E EFETIVAS 67 
2.2. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DOS SOLOS 67 
2.2.1. ATRITO 67 
2.2.2. COESÃO 68 
2.3. CRITÉRIO DE RUPTURA MOHR-COULOMB 70 
2.4. ENSAIOS DE LABORATÓRIO 72 
2.4.1. ENSAIOS DE CISALHAMENTO DIRETO 72 
2.4.2. ENSAIO TRIAXIAL 73 
2.5. SOLUÇÕES DRENADAS 76 
2.5.1. AREIAS 76 
2.5.2. ARGILAS 78 
2.6. SOLICITAÇÕES NÃO DRENADAS 80 
2.6.1. ENSAIOS CU 83 
3 
 
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2.6.2. ENSAIOS UU 85 
2.7. ANÁLISE EM TERMOS DE TENSÕES TOTAIS E EFETIVAS 86 
2.7.1. EXERCÍCIOS 87 
2.8. CONCLUSÕES 88 
BIBLIOGRAFIA PARA CISALHAMENTO DOS SOLOS 88 
3. COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS 89 
3.1. INTRODUÇÃO 89 
3.2. ELEMENTO DE SOLO SUBMETIDO A TENSÕES 89 
3.3. SOLOS FINOS SATURADOS – O PROCESSO DE ADENSAMENTO 90 
3.3.1. MODELO MECÂNICO DE TERZAGHI 90 
3.3.2. TEORIA DO ADENSAMENTO DE TERZAGHI 91 
3.3.3. ALTURA DE DRENAGEM (Hd) 95 
3.3.4. SOLUÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE ADENSAMENTO 96 
3.4. ENSAIO DE COMPRESSÃO CONFINADA 98 
3.4.1. PROCEDIMENTOS E CÁLCULOS 98 
3.4.2. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE ADENSAMENTO (CV) 101 
3.5. PRESSÃO DE PRÉ-ADENSAMENTO (σ’vm) 104 
3.5.1. INTRODUÇÃO 104 
3.5.2. SOLOS PRÉ-ADENSADOS E NORMALMENTE ADENSADOS 106 
3.5.3. SOLOS EM ADENSAMENTO 106 
3.6. RECALQUES 106 
3.6.1. INDICE DE COMPRESSÃO 107 
3.6.2. CÁLCULO DE RECALQUES 107 
3.6.3. RECALQUES DEVIDO AO REBAIXAMENTO DO LENÇOL FREÁTICO 112 
3.7. PROBLEMAS DE AMOSTRAGEM 112 
3.8. COMPRESSÃO SECUNDÁRIA 113 
3.9. SOLOS POUCO COMPRESSÍVEIS (AREIAS) 113 
3.10. SOLO NÃO SATURADOS 113 
3.11. CONCLUSÕES 114 
BIBLIOGRAFIA PARA COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS 114 
4. DRENAGEM E REBAIXAMENTO DO LENÇOL FREÁTICO 115 
4.1. INTRODUÇÃO 115 
4.2. REBAIXAMENTO DO NÍVEL D´ÁGUA 118 
4.2.1. APLICAÇÕES E OBJETIVOS PRINCIPAIS 118 
4.2.2. TIPOS DE SISTEMAS DE REBAIXAMENTO 118 
4.2.3. EQUIPAMENTOS PARA SISTEMAS DE ESGOTAMENTO DE POÇOS E PONTEIRAS 123 
4.2.4. SELEÇÃO DO SISTEMA DE REBAIXAMENTO 125 
4.2.5. INFLUÊNCIA DO REBAIXAMENTO EM ESTRUTURAS VIZINHAS 125 
4.2.6. PROJETO DE REBAIXAMENTO 126 
4.3. DRENAGEM PROFUNDA OU SUBTERRÂNEA 134 
4.3.1. PRINCIPAIS TIPOS DE ESTRUTURAS DE DREANGEM PROFUNDA 135 
4.3.1.1. TRINCHEIRAS DRENANTES 135 
4.3.1.2. DRENAGEM PROFUNDA EM CAMADA - TAPETE DRENANTE 139 
4.3.1.3. DRENAGEM VERTICAL 139 
4.3.1.4. DRENO SUB-HORIZONTAL PROFUNDO 140 
4.3.2. ESTIMATIVA DA CAPACIDADE DE DRENAGEM DE TRINCHEIRAS DRENANTES 141 
BIBLIOGRAFIA PARA DRENAGEM DOS SOLOS E REBAIXAMENTO DO NÍVEL D´ÁGUA 143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
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1. HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
SOLO = FASE SÓLIDA + FASE FLUIDA (AR ou ÁGUA) 
 
 A fase fluida ocupa obviamente os vazios deixados pelas partículas sólidas; 
particularmente, em se tratando de água, esta pode estar no solo nas mais variadas formas: 
 
 Solos grossos – forças de superfície inexpressivas = água livre. A água pode estar sob 
equilíbrio hidrostático ou fluir, sob ação da gravidade, desde que haja uma carga 
hidráulica; 
 
 Solos finos – nestes atuam forças na superfície de grande intensidade, o que forma 
uma camada de água adsorvida. Próximo as partículas esta pode estar solidificada, 
mesmo a temperatura ambiente, e, à medida que vai aumentando a distância, a água 
tende a tornar-se menos viscosa, graças ao decréscimo das pressões. Esses filmes 
de água adsorvida propiciam um vínculo entre as partículas, de forma que lhes 
confere uma resistência intrínseca chamada coesão verdadeira. 
À medida que a distância em relação às partículas aumenta, a água presente em solos 
finos fica livre, podendo fluir desde que haja um potencial hidráulico para tal (figura 01). 
 
 Permeabilidade do solo (k) = propriedade que representa a maior ou menor facilidade 
que a água encontra para fluir entre os vazios do solo. 
 
 ÁGUA ADSORVIDA = é aquela que envolve a partícula de solo, fortemente atraída 
por ligações ainda não muito bem esclarecidas e, necessitam de temperaturas 
superiores a 100ºC para que seja removida; 
 
 ÁGUA LIVRE = existente entre os vazios do solo não afetada pelas forças de 
atração; é regida pelas leis da hidrodinâmica. 
 
 
 
 A molécula de água adsorvida pode movimentar-se em planos paralelos as partículas 
de solo, não podendo fazer o mesmo na direção normal, sendo este movimento liberado 
gradativamente quanto maior for sua distância da partícula e/ou temperatura. As principais 
propriedades (peso específico, viscosidade, constante dielétrica) da água adsorvida são 
diferentes da água livre. 
 
 Enquanto que em um material granular toda água existente é livre, em um solo argiloso 
saturado, 50% da água existente é adsorvida. 
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1.2. PRINCIPAIS LEIS – DARCY E BERNOULLI 
 
1.2.1. LEI DE DARCY 
 
 Utilizando um dispositivo semelhante ao da Figura 02, Darcy foi um dos primeiros a 
estudar as propriedades do fluxo de água através do solo (ano 1850). 
 
 A vazão ou quantidade de fluxo (Q) e a velocidade de descarga (v) são 
diretamente proporcionais ao coeficiente de permeabilidade (k), ao gradiente hidráulico 
(i) e a área da seção. 
 
 
 
Q = k * i * A 
 
v = k * i 
 Onde: 
 
 v = velocidade de descarga (m/s); 
 k = coeficiente de permeabilidade (m/s); 
 Q = vazão de percolação; 
 A = área normal (seção) à direção de escoamento (m
2
); 
 i = (ΔH / L) = gradiente hidráulico, perda de carga “ΔH” que decorreu da percolação da 
água numa distância “L”; 
 k (pedregulho limpo) = 10
2
 a 1 cm/s; 
 k (areia grossa) = 1 a 10
-3
 cm/s; 
 k (areiafina, siltes orgânicos, argila estratificada) = 10
-3
 a 10
-7
 cm/s; 
 k (argila pura) = 10
-7
 a 10
-10
 cm/s. 
 
 Neste experimento comprovou-se também que o fluxo de fluidos em solos sempre é 
laminar e se move em camadas, segundo trajetórias retas e paralelas. 
 A velocidade de descarga (v) não é a velocidade de percolação (vP), e é definida como 
sendo a quantidade de fluido que escoa (na unidade de tempo) através da unidade de área 
total do meio poroso: 
v = Q / A 
 
 A velocidade de percolação (vP) é a quantidade de fluido que escoa (na unidade de 
tempo) através da unidade de área total dos poros do meio poroso (vazios): 
 
vP = Q / APOROS 
 
6 
 
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 Sendo “n” a porosidade do solo, podemos afirmar segundo Darcy: 
 
vP = v / n 
 
n = Vv / VT 
 
 Onde: 
 
 Vv = volume de vazios; 
 VT = volume total; 
 
 A figura 03 representa esquematicamente uma amostra de solo submetida a um fluxo 
d´água. Pelo princípio da continuidade, a quantidade de água que entra em uma face é igual a 
quantidade de água que sai na outra, ou seja, podemos relacionar a velocidade de descarga 
(v) com a velocidade de percolação (vP) da seguinte maneira: 
 
Q = (v * A) = (VP * AP) 
 
vP = (v * A) / AP = v * (A * L) / (AP * L) = v * (VT / VV) = v / n 
 
vP = (v / n) = [(k * i) / n] 
 
 
 
 A determinação dos coeficientes de permeabilidade dos solos (k) é pode ser feita via 
ensaios de laboratório (carga constante e carga variável) e no próprio campo, através de 
experimentos de rebaixamento e infiltração, realizados em furos de sondagem conforme 
recomendações da ABGE (1996). 
 
1.2.2. LEI DE BERNOULLI 
 
 A lei de Bernoulli resulta da aplicação do princípio da conservação de energia no 
escoamento de um fluido, em nosso caso a água. A energia de um fluido incompressível, em 
escoamento permanente, consiste em parcelas ocasionadas pela pressão piezométrica, pela 
velocidade (cinética) e pela posição (altimétrica). Assim, na direção do escoamento, é possível 
sintetizar o princípio da conservação de energia por meio da seguinte expressão: 
 
7 
 
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H = (u1 / w) + (v1
2 / 2g) + z1 = (u2 / w) + (v2
2 / 2g) + z2 = cte 
 Nessa expressão tem-se que a soma das parcelas da carga de pressão piezométrica 
(u/w), mais a carga cinética (v
2
/2g), mais a carga altimétrica (z) é constante em qualquer 
posição da seção de escoamento, conforme figura 04: 
 
 Nos solos a velocidade de percolação é muito pequena, ou seja, a parcela de carga 
cinética é desprezível (v2
2
/2g ≈ 0), logo em uma seção de escoamento: 
 
H = (u / w) + z 
 Por outro lado, quando da percolação ocorre uma perda de carga (ΔH), devido ao atrito 
da água com as partículas, este atrito gera o aparecimento das chamadas forças de 
percolação; ajustando-se então a equação de Bernoulli: 
 
H = (u1 / w) + z1 = [(u2 / w) + z2] + ΔH 
 
 A figura 05 mostra esquematicamente uma linha de fluxo de água através de um solo, 
que escoando entre dois pontos pré-determinados gera uma perda de carga: 
 
 
 
ΔH = [(u1 / w) + z1] – [(u2 / w) + z2] 
8 
 
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1.3. FLUXO ATRAVÉS DE CAMADAS EXTRATIFICADAS 
 
 Ao estudarmos o problema do fluxo de água através do solo, devemos considerar sua 
aplicação prática, que se caracteriza por formações estratificadas (camadas), comuns em 
terrenos sedimentares, onde cada estrato é constituída por um material homogêneo e isótropo 
em relação à permeabilidade. 
 Para determinar-se a permeabilidade média constante para depósitos estratificados é 
necessário extrair amostras indeformadas representativas de cada camada de solo e realizar 
ensaios de maneira independente. Conhecidos os coeficientes de permeabilidade (k) de cada 
camada, a permeabilidade média do conjunto de camadas (depósito) pode ser calculado como 
demonstrado a seguir: 
 
 
 
 A vazão para uma das camadas é dada por DARCY: 
 
Q = v * A 
 
 Como (v = k * i), podemos afirmar que a vazão de descarga em cada camada é: 
 
 Q1 = v1 * A1 = (k1 * i) * A1  Q1 = H1* k1 * i 
Q2 = v2 * A2 = (k2 * i) * A2  Q2 = H2* k2 * i 
Q3 = v3 * A3 = (k3 * i) * A3  Q3 = H3* k3 * i 
Q4 = ... 
 
 E assim sucessivamente para “n” camadas, logo, a vazão total (descarga) na direção 
horizontal é representada pela fórmula: 
 
Qh = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 ... 
 
 Considerando-se o gradiente hidráulico (i) constante e o mesmo para todas as 
camadas, podemos determinar um valor de permeabilidade para o solo (kh) como se ele fosse 
homogêneo: 
 
Qh = kh * i * H 
 
Qh = kh * i * (H1 + H2 + H3 + H4...) = (k1 * H1 * i) + ... + (k4 * H4 * i) 
 
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 Como “i” é constante chega-se a: 
 
kh = [(k1 * H1) + (k2 * H2) + (k3 * H3) + (k4 * H4)] / H 
 
 Para uma quantidade de “n” camadas: 
 
kh = ( 𝒌𝒊 ∗ 𝑯𝒊
𝒊=𝒏
𝒊=𝟏 ) / ( 𝑯𝒊)
𝒊=𝒏
𝒊=𝟏 
 
 Para o fluxo na direção vertical, direção normal aos planos estratificados, a vazão de 
descarga (Qv) que cruza a primeira camada é igual a segunda e assim sucessivamente até a 
última camada. Como neste caso L=H, então: 
 
Qv = k1 * (Δh1 / H1) * A = ... = k4 * (Δh4 / H4) * A 
 
 Sendo que Δh1, ..., Δh4, representam as perdas de carga através de cada uma das 
quatro camadas, estas terão os seguintes valores: 
 
Δh1 = (Qv * H1) / (k1 * A), ..., Δh4 = (Qv * H4) / (k4 * A) 
 
 Consideramos agora “h” a perda de carga total e, kv o coeficiente de permeabilidade 
médio do depósito (soma dos estratos), temos: 
 
Qv = kv * (h / H) * A 
 
Onde podemos deduzir: 
 
 H = H1 + H2 + H3 + H4...; 
 h = Δh1 + Δh2 + Δh3 + Δh4... 
 
Substituindo-se na última equação: 
 
kv = H / [(H1/k1) + (H2/k2) + (H3/k3) + (H4/k4)] 
 
 Para “n” camadas tem-se: 
 
kh = ( 𝑯𝒊
𝒊=𝒏
𝒊=𝟏 ) / ( 𝑯𝒊/𝒌𝒊)
𝒊=𝒏
𝒊=𝟏 
 
 Convenciona-se em geotécnica, que o coeficiente de permeabilidade, 
correspondente a um fluxo que atravessa uma série de camadas de solo, é a média 
geométrica dos coeficientes de permeabilidade médios correspondentes às componentes 
de fluxo nas duas direções ortogonais: 
 
 _______ 
k =  kv * kh 
10 
 
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1.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS QUE REGEM O FLUXO ATRAVÉS 
DO SOLO (TRIDIMENSIONAL) 
 
 As hipóteses fundamentais para se estabelecer o fluxo através do solo são: 
 
 O regime está estabelecido; 
 O solo está saturado; 
 A água e as partículas sólidas são incompressíveis; 
 O fluxo não modifica a estrutura de forma nenhuma. 
 
 
 
 A quantidade de água entrando (1) em uma ou de várias direções, em um pequeno 
volume de solo, deverá ser igual a que sai nas outras faces (desse elemento) durante um dado 
intervalo de tempo. Então podemos estabelecer a equação da continuidade nestas condições: 
dQ = vx*dydz + vz*dxdy + vy*dxdz (1) 
 
Onde podemos deduzir: 
 
 dQ = vazão total em um elemento dx dy dz; 
 vx vy vz = velocidade de descarga nas direções x, y e z, correspondente ao plano de 
entrada da água; 
 
 
Nos planos de saída da água (2), temos: 
 
dQ = {[vx + (vx / x)*dx] * dydz} + {[vy + (vy / y)*dy] * dxdz} + {[vz + (vz / z)*dz] * dxdy} 
(2) 
 
11 
 
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 As equações (1) e (2) representamrespectivamente a quantidade de água que entra e 
que sai do elemento dxdydz e, pelo princípio da continuidade mais as hipóteses levantadas, 
devem ser iguais, portanto: 
 
 
vx*dydz + vz*dxdy + vy*dxdz = {[vx + (Vx / x)*dx] * dydz} + {[vy + (Vy / y)*dy] * dxdz} + {[vz + (Vz / z)*dz] * dxdy} 
 
[(vx / x)*dx]*dydz + [(vy / y)*dy]*dxdz + [(vz / z)*dz]*dxdy = 0 
 
 (vx / x) + (vy / y) + (vz / z) = 0 (Eq. da Continuidade) 
 
 
 Supondo-se ainda que a Lei de Darcy é válida (v = k * i e i = ΔH / L), temos: 
 
vX = kx (h / x); vy = ky (h / y); vz = kz (h / z) 
 
 Onde: 
 
 h = carga total no centro do elemento dxdydz; 
 
 Estas equações supõem o caso mais geral, em que o solo apresenta anisotropia em 
relação à permeabilidade (kx ≠ ky ≠ kz). Introduzindo estas equações na equação da 
continuidade tem-se: 
 
kx*(h
2
 / 
2 x) + ky*(h
2
 / 
2 y) + kz*(h
2
 / 
2 z) = 0 
 
 Considerando-se agora solo isotrópico em relação à permeabilidade (kx = ky = kz): 
 
(h2 / 
2 x) + (h2 / 
2 y) + (h2 / 
2 z) = 0 
 
 Nos problemas práticos de Geotecnia é muito freqüente que o fluxo em uma seção 
da região considerada, transversal ao seu eixo longitudinal, seja idêntico ao que se 
tem em qualquer outra, como por exemplo, em barragens de terra. Assim podemos 
desprezar os efeitos nas bordas (laterais) da região de percolação, ou seja, desta 
maneira o problema de fluxo pode ser resolvido de forma bidimensional, contido 
apenas no plano (x, y): 
 
 Meio anisotrópico (kx ≠ ky): 
 
kx*(h
2
 / 
2 x) + ky*(h
2
 / 
2 y) = 0 
 
 Meio isotrópico (kx = ky): 
 
 (h2 / 
2 x) + (h2 / 
2 y) = 2 * h = 0 (Eq. de Laplace) 
Onde: 
 
 
2
 = operador de Laplace. 
12 
 
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 A Eq. de Laplace é amplamente utilizada, pois explica vários fenômenos físicos de 
grande importância prática, entre eles o fluxo elétrico. Considerando-se solo saturado (fluxo 
permanente), esta equação diferencial representa duas famílias de curvas que se interceptam 
em ângulos retos (perpendiculares), que em hidrodinâmica são conhecidas como linhas de 
fluxo e linhas equipotenciais, denominadas em seu conjunto de Rede de Fluxo. 
 A solução analítica da eq. diferencial de Laplace, nos levará portanto a chamada Rede 
de Fluxo da água gravitacional através do solo, nos dando condições de resolver vários 
problemas em “obras de terra” tais como: 
 
 Cálculo das vazões de descarga resultantes da percolação; 
 Cálculo das pressões neutras (u) em qualquer ponta da rede de fluxo; 
 Determinação de diagramas de sub-pressões em barragens de concreto ou em 
estruturas hidráulicas como barragens de terra; 
 Verificação da segurança em relação a potencialidade de levantamento (perda total 
da resistência ao cisalhamento), ocorrência de piping (erosão interna regressiva) e 
liquefação em aterros submetidos a fluxo d´água. 
 
 Este conjunto de informações representa os condicionantes geotécnicos para projeto 
de barragens (em terra, concreto, rejeito, etc.), escavações e estruturas de contenção (muros 
de arrimo, cortinas atirantadas, etc.). 
 
1.5. REDES DE FLUXO 
 
1.5.1. PROPRIEDADES BÁSICAS 
 
 Constituem uma solução gráfica da equação do fluxo ou equação de Laplace, formadas 
pelas linhas de fluxo e linhas equipotenciais que, em um plano, se dispõem geometricamente 
com as seguintes propriedades: 
 A vazão (por unidade de comprimento) entre duas linhas de fluxo é constante em 
qualquer seção entre estas mesmas linhas – este espaço se chama canal de fluxo; 
 
 As linhas de fluxo não se cortam dentro da região de fluxo – se duas linhas de fluxo 
convergirem em um ponto de contato, não haverá área para passagem da água e 
nesta hipótese não se respeitaria a continuidade da vazão, o que é impossível sob as 
hipóteses levantadas na teoria em estudo; 
 
 As linhas equipotenciais também não podem se cruzar jamais, pois nesse ponto a água 
teria duas cargas hidráulicas diferentes; 
 
 A carga total dos pontos de uma linha de fluxo é dada pela equação de Bernoulli, 
levando-se em conta somente as cargas piezométrica e altimétrica. 
 
H = (u / w) + z 
 
 As linhas equipotenciais ligam pontos de igual carga “H”; 
 
 Ao longo de uma linha de fluxo (laminar) através do solo, a carga hidráulica é 
totalmente dissipada pelo atrito viscoso da água com as partículas sólidas deste, 
conforme veremos no exercício a seguir, figura 08; 
13 
 
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Δh = [(u1 / w) + z1] – [(u2 / w) + z2] 
 
 O gradiente hidráulico “i” ao longo de uma linha de fluxo e entre duas linhas 
equipotenciais consecutivas, entre as quais há uma perda de carga Δh, será máximo 
quando a trajetória da linha de percolação for normal às equipotenciais. O escoamento 
sempre seguirá caminhos de maior gradiente, logo as linhas de fluxo serão 
perpendiculares as equipotenciais. 
 
EXERCÍCIO: 
1) Seja o problema abaixo, muito simples, com uma amostra de areia grossa em um 
permeâmetro. O corpo de prova representado tem 12 cm de altura, 08 cm de 
largura e, 01 cm de profundidade (direção perpendicular ao desenho). Calcule a 
vazão de descarga para este caso, sabendo que a literatura indica um coeficiente 
de permeabilidade para o material (areia grossa) de 0,05 cm/s. 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
1.5.2. MÉTODOS PARA OBTENÇÃO DA REDE DE FLUXO 
 
 A solução analítica da equação de Laplace só foi conseguida até hoje para alguns 
poucos casos simples; portanto é recomendável o traçado de fluxo pelos métodos citados 
abaixo, mais práticos e menos complexos: 
 Método gráfico = é o método mais utilizado para solução de problemas práticos de 
fluxo em meios porosos, e será estudado a fundo; 
 
 Método da analogia elétrica = maiores informações sobre este método, que utiliza 
a equação de Laplace, pode ser obtido em Badillo & Rodrigues e/ou M. Vargas; 
 
 Modelos hidráulicos ou físicos = é a construção de modelos em escala reduzida 
para estudos em laboratório sobre a percolação d´água (figura 09). Observa-se o 
fluxo d´água aditivada com corantes e determina-se a zona de fluxo; com uso de 
piezômetros posicionados em pontos estratégicos, mede-se cargas piezométricas 
e, ligando-se pontos de mesma carga, traça-se as linhas equipotenciais; 
perpendiculares a estas, com auxílio dos corantes, traçam-se as linhas de fluxo; 
 
 Instrumentação “in situ” = instalam-se piezômetros para controle da pressão interna 
em aterros construídos, semelhante ao modelo hidráulico. É um procedimento 
caro, mas assim é possível verificarmos a veracidade das hipóteses levantadas em 
projeto, e ajustar-se a rede de fluxo teórica à situação real, permitindo a verificação 
do desempenho e segurança da obra, além da aquisição de experiência para 
futuros projetos. 
 
 
 
1.5.3. TRAÇADO DE UMA REDE DE FLUXO – MÉTODO GRÁFICO 
 
 Define para cada caso particular as condições de fronteira, específicas do problema. 
Cumprindo-se essas condições e as propriedades das linhas de fluxo e linhas equipotenciais 
(já vistas), as duas famílias ortogonais, obtêm-se uma imagem gráfica do problema, 
15 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
obviamente menos precisa que pelos métodos matemáticos, mas suficientemente boa para fins 
de engenharia. Na prática temos os seguintes passos fundamentais: 
 
 Delimitaçãoda zona que se deseja estudar, analisando suas condições de fronteiras; 
 Traçado das duas famílias de curvas ortogonais que satisfaçam as condições de 
fronteira e que constituam solução única para a Eq. de Laplace. 
 
 Não existe regra para definir as fronteiras, por este motivo estudam-se os casos mais 
freqüentes como guia de critério e aprendizagem. Na realidade seria possível traçar-se um 
número tão grande de linhas de fluxo e equipotenciais, que o resultado final seria uma mancha 
sem valor prático, ou seja, traçam-se algumas linhas selecionadas com conveniência. 
 O problema não é novo, já que a representação gráfica de outros campos vetoriais, 
como por exemplo o campo elétrico ou a representação de curvas de nível em topografia, traz 
este mesmo desafio, de fixar-se um ritmo para desenho de somente algumas das infinitas 
linhas possíveis. 
 
 Iniciamos o traçado de uma rede de fluxo pelas condições limites de fronteira, isto 
é, linhas particulares de fluxo e equipotenciais que limitam externamente a 
percolação. Estabelecidas estas condições traçam-se algumas outras linhas 
baseado nas propriedades da rede de percolação (perpendicularidade). 
 
 A figura 10 apresenta um problema clássico que necessita do traçado de uma rede de 
percolação: uma parede impermeável de estacas engastadas (cravadas) num solo permeável. 
 
 
 
 Estabelecido o nível de referencia (RN) na superfície do solo, as condições limites 
serão duas linhas de fluxo e duas equipotenciais. Duas linhas de fluxo são facilmente 
detectáveis: uma contornando a base da estaca prancha (a/d - menor possível nesta rede) e 
outra “deslizando” sobre o maciço rochoso (f/g - de maior comprimento possível para esta 
rede). Duas linhas equipotenciais também são facilmente visualizadas: uma no fundo do 
reservatório, a montante (b/a) e, outra na superfície do solo, a jusante (d/e). 
 
16 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
OBS.: Linhas de fluxo devem incidir perpendicularmente às linhas equipotenciais. 
 
 O problema representado na figura 10 é classificado como de fluxo confinado, pois as 
condições limites podem ser determinadas à priori. A água logicamente fluirá da esquerda para 
a direita, devido a carga hidráulica (H) existente – diferença de cota entre o nível d´água a 
montante e o nível d´água a jusante. 
 
 Completando o traçado da rede de fluxo (solução gráfica de Forchheimer – figura 11) 
para estaca prancha, escolhe-se, entre um número infinito de linhas de fluxo, dentro de uma 
certa área, apenas algumas de tal forma que uma mesma fração “Δq”, de percolação total, 
escoe entre duas delas vizinhas; semelhantemente escolhemos algumas linhas equipotenciais, 
aquelas cujas perdas de carga Δh (entre qualquer par de equipotenciais vizinhas) sejam iguais 
a uma fração de perda de carga “Δh”. Generalizando, teremos uma rede de fluxo resultante 
formada por retângulos, limitados por duas linhas de fluxo e duas linhas equipotenciais, cuja 
relação entre seus lados será constante. Quanto mais linhas de fluxo e equipotenciais 
conseguirmos traçar, cruzando-se em ângulos retos, mais “quadrada” tende a ficar a rede de 
fluxo, o que, satisfazendo-se as condições de contorno, resolve graficamente a Eq. de Laplace. 
 Mediante uma certa prática, o método pode ser aplicado aos mais complicados 
problemas de percolação ou escoamento d´água no solo, em duas dimensões, inclusive com 
superfície livre ou espaço não confinado (caso de barragens de terra – figura 09). 
 
 
 
 
1.6. SUGESTÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRAÇADO DE 
REDE DE FLUXO 
 
1.6.1. CASAGRANDE 
 
 Para quem ainda não tem prática no traçado de redes de fluxo, Casagrande sugere as 
seguintes regras: 
 
17 
 
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1) Nunca perder a oportunidade de estudar (visualizar) o aspecto de redes de fluxo já 
construídas; 
 
2) Quatro ou cinco canais de fluxo são, quase sempre, suficientes para as primeiras 
tentativas; o traçado de um número excessivo de canais de fluxo pode desviar o foco 
de aspectos essenciais, como detalhes em zonas de transição; 
 
3) Graficamente falando, com freqüência há porções da rede que aparentam as linhas 
não se cruzarem em ângulo reto e/ou paralelas. Independentemente devemos 
considerá-las de tal maneira, para que a largura e os quadrados (retângulos) sejam 
uniformes em seu tamanho; 
 
4) As redes de fluxo em áreas confinadas, limitadas por contornos paralelos, é 
freqüentemente simétrica, sendo constituída de curvas em forma elíptica; 
 
5) Ter em mente que todas as transições são suaves (elíptica ou parábola) e os 
“quadrados”, em canal, variam sempre gradualmente; 
 
6) Se, por preciosismo, desejar-se transformar toda a rede de forma que apareçam 
literalmente quadrados, torna-se necessário mudar o número de canais de fluxo, seja 
por interpolação e/ou refazendo o desenho; 
 
7) Uma superfície de percolação que não seja horizontal, em contato com o ar, não é nem 
uma linha de fluxo nem uma linha equipotencial, portanto, as malhas de fluxo 
adjacentes a essa superfície podem ser incompletas; 
 
8) Na construção de uma rede de fluxo contendo uma superfície livre, dever-se-á começar 
traçando-se esta superfície e o ponto de descarga, hipoteticamente, e então construir a 
rede na direção da face montante. 
 
1.6.2. TAYLOR 
 
 Taylor considera que as instruções de Casagrande são incompletas e acrescentou 
algumas recomendações: 
1) Traçar uma primeira linha tentativa de fluxo ou equipotencial, adjacente a uma linha 
extrema, respectivamente, de fluxo ou equipotencial; 
 
2) Após procede-se a uma extensão gradual do desenho, esboçando-se outras linhas, 
formando “quadrados” e sem dar atenção à linha extrema inferior; 
 
3) Obteremos assim uma primeira rede tentativa, que pode ser correta por acaso, ou não; 
por exemplo: pode ser que uma linha de fluxo intercepte a linha de fluxo inferior; 
 
4) Verificando-se que a rede não está correta, conclui-se que a primeira linha tentativa foi 
mal escolhida, e o próprio resultado final indicará onde houve a falha, o que permitirá a 
escolha de nova linha tentativa, mais adequada que a primeira. 
 NOTAS: 
a) A expansão gradual (item 02 de Taylor) é feita iniciando-se da esquerda para 
direita, e subdividindo-se o canal de fluxo obtido, em quadradinhos. Deve-se 
procurar obter um número inteiro de quadradinhos; se isto não for possível, muda-
18 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
se ligeiramente a primeira linha tentativa, de modo a consegui-lo. Na figura 12, a 
parte hachurada é maior que os demais quadrados; para correção dever-se ia 
descer a primeira linha tentativa, de modo a espaçar mais as linhas equipotenciais. 
 
 
 
b) Note que as figuras de canto, com formato irregular, são chamados “quadrados 
singulares”; a condição básica para que uma figura seja considerada quadrado, é 
que, por subdivisão sucessiva, se obtenha novas figuras aproximadamente 
quadradas – as duas linhas da subdivisão devem ter comprimentos 
aproximadamente iguais, conforme figura abaixo; 
 
c) Feita a divisão da via superior em quadradinhos, prolonga-se as equipotenciais e 
passa-se ao traçado da segunda via de fluxo, levando em conta as dimensões 
obtidas/determinadas. Fazer o desenho com traços leves, de modo a apagar e 
substituir qualquer irregularidade. Só passar a nova via quando a superior estives 
concluída de forma satisfatória; 
 
d) Idem para as novas vias de fluxo; 
 
e) Chegar-se-á a um traçado final, muito provavelmente compatível com a linha de 
fluxo limiteda base. Não sendo compatível haverá necessidade de se repetir tudo, 
iniciando por nova 1ª linha tentativa. Muito provavelmente as últimas linhas não 
formarão “quadrados”, porém, se a relação (a:L) for contante, a rede de fluxo obtida 
é satisfatória. 
 
 
 A SEGUIR EXEMPLOS (Figura 14) DE REDES DE FLUXO PARA OS CASOS 
MAIS COMUNS DA ENGENHARIA CIVIL, DESENVOLVIDOS POR TERZAGHI, 
NO ANO DE 1930: 
19 
 
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GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
1.7. APLICAÇÕES PARA REDES DE FLUXO 
 
1.7.1. VAZÃO E GRADIENTE HIDRÁULICO 
 
 Conforme visto na Figura 11 e 14, todas representam redes de fluxos, constituídas de 
“quadrados”. Podemos destacar duas propriedades características: 
 
a) As perdas de carga (Δh) são iguais (constante) entre os vários quadrados da rede; 
b) A vazão (Q) através dos vários canais de fluxo é igual (constante). 
 
 Consideremos então um elemento isolado do meio permeável (Figura 15), formado por 
quatro linhas de fluxo, distantes “a” entre si no plano, e de uma unidade de profundidade, 
sentido normal ao papel. Essas linhas formam o seguinte canal de fluxo: 
 
 
 
 Pela Lei de Darcy, vimos que a vazão através de um canal de fluxo por unidade de 
comprimento do elemento será: 
 
q = k * i * A = k * (Δh / b) * (a * 1) 
 
 Onde: 
 
 k = coeficiente de permeabilidade (m/s); 
 q = vazão por unidade de comprimento (m
3
/s); 
 A = área média da seção transversal do canal de fluxo (m
2
); 
 i = gradiente hidráulico; 
 Δh = perda de carga entre duas equipontenciais adjacentes; 
 a = distância entre duas linhas de fluxo; 
 b = distância entre duas linhas equipotenciais. 
 
 Na figura 11 tomamos conhecimento de que uma rede de fluxo é formada por “n” 
canais de fluxo (nf) e por “n” quedas de potencial (ne). Vimos também que o ideal é formarmos 
quadrados (cujos lados são iguais) nesta rede, portanto ΔL = b = a, logo: 
 
q = k * Δh 
21 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
 A vazão total na rede de fluxo (Q) será a soma das vazões de todos os canais de fluxo 
(nf): 
 
Q = k * Δh * nf 
 
 A carga total disponível “h” (diferença entre os níveis de montante e jusante) é 
dissipada através das “n” equipotenciais (ne), de forma que entre duas equipotenciais 
consecutivas teremos: 
 
Δh = h / ne 
 
 Assim a vazão total (Q) de descarga por unidade de comprimento será: 
 
Q = k * h * nf / ne 
 
 A relação (nf / ne) é denominada de Fator de forma e depende de cada rede traçada. 
Esses quadrados são “acomodados” em cada problema, mesmo assim temos uma solução 
ótima e única da Eq. de Laplace para cada caso. 
 
 
 
 A figura acima representa um elemento de uma rede de fluxo, formando um 
“quadrado”, com piezômetros instalados ao longo de duas linhas equipotenciais seguidas; 
estes equipamentos mostram igual carga total, ou seja, a água dentro dos tubos atinge a 
mesma altura (nível) para uma mesma linha equipotencial – assim como já definimos, uma 
linha equipotencial representa o lugar geométrico dos pontos de mesma carga total. 
 
 No elemento da rede (figura 16) o gradiente hidráulico é expresso como: 
 
i = Δh / ΔL 
 
 A equação diz que o gradiente hidráulico é a perda de carga (Δh) dividido pela 
distância que uma partícula d´água percola através do meio poroso (ΔL); o gradiente terá 
22 
 
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valor máximo perpendicular as linhas equipotenciais com menor ΔL (quanto menor for o 
valor de ΔL maior o gradiente hidráulico para uma perda de carga Δh). 
 Nos próximos capítulos comprovaremos que deve-se dar especial atenção ao valor 
do gradiente hidráulico na região de saída da rede de fluxo (Ortigão, 1993). 
 
1.7.2. CÁLCULO DE PRESSÕES NEUTRAS HIDRODINÂMICAS 
 
 A pressão neutra no ponto é a carga piezométrica, expressa em altura de coluna 
d‟água. 
 Para que haja fluxo de água entre dois pontos é necessário que a energia total em 
cada ponto seja diferente. A água fluirá sempre de um ponto de maior energia para o ponto de 
menor energia total. Especialmente sob estruturas de concreto (por exemplo: vertedouros de 
barragens), as pressões neutras atuam como uma força de empuxo sobre as fundações. 
 Consideremos o caso ilustrado abaixo (figura 17), em que água se infiltra em uma 
região permeável, sob a estrutura impermeável de uma barragem de concreto. 
 
 
 
 Identificadas as linhas de fluxo procede-se o traçado da rede de fluxo, que permitirá o 
que cálculo das pressões da água em qualquer ponto subjacente à estrutura (1 e 3) ou na zona 
(camada) permeável (2). 
 As linhas limites serão (AB) e (CD). As linhas de fluxo superiores serão (AA) e (BB), 
respectivamente, que também representam as equipotenciais de carga hidráulica máxima 
(inicio da percolação) e mínima (final). A linha de fluxo (AB) representa o contorno da base da 
barragem. 
 Estabelecido o RN (referência de nível) na horizontal da superfície permeável, as 
cargas dessas equipotenciais (AA e BB) serão, respectivamente, a soma das cargas 
altimétricas (z) e piezométricas (u/w) dos pontos desses limites. Ou seja: 
 
 Á esquerda (AA): 
 H0 = u / w = h; (z = 0)  carga hidráulica total inicial 
 
23 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
 Á direita (BB): 
 Hf = 0; (“z = 0” ou “uf/w = 0”)  carga hidráulica total final 
 
 A perda de carga por percolação já vimos que se trata do desnível de água entre 
montante e jusante: 
 
H0 – Hf = h 
 
 Essa perda se dá em parcelas iguais Δh = h / ne, em cada espaço equipotencial da 
rede de fluxo. O fator “ne” vai depender da rede traçada. 
 Para calcular as pressões neutras (u) em qualquer ponto da rede (1, 2 e 3), devemos 
considerar as perdas de carga que ocorrem até cada um destes pontos. 
 
 Ponto 01: 
 
 Aqui a carga total inicial é “H0” e o ponto em questão localiza-se sobre a 2ª linha 
equipotencial da rede. Logo, da equipotencial que passa por “A” até a equipotencial que passa 
por “1” houve uma perda de carga Δh. Ou seja: 
 
H1 = H0 – Δh 
 
 Pela Lei de Bernoulli (carga altimétrica + carga piezométrica): 
 
H1 = (u1 / w) + z1 
 
 Igualando-se estas duas últimas equações: 
 
(u1 / w) = H0 – Δh – z1 
 
 Considerando-se w = 1 gf/cm
3
 ou 1 t/m
3
, a pressão de água no ponto “1” será: 
 
u1 = (H0 – Δh – z1) * w (t/m
2
) 
 
 Ponto 02: 
 
 Este ponto encontra-se em uma posição qualquer dentro da massa de solo permeável, 
e as pressões neutras serão calculadas de modo análogo, ou seja, o ponto localiza-se entre a 
2ª e a 3ª linha equipotencial da rede. Logo a perda de carga até o local foi “Δh + ½ Δh” em 
relação à inicial: 
H2 = H0 – 1,5*Δh 
 
H2 = (u2 / w) + z2  (u2 / w) = H2 – 1,5*Δh – z2 
 
 u2 = (H0 – 1,5*Δh – z2) * w (t/m
2
) 
24 
 
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 Ponto 03: 
 Neste caso a pressão seria calculada de forma análoga também. A particularidade aqui 
é de estar posicionado junto a base da estrutura e, portanto, nessa situação a pressão neutra 
hidrodinâmica é denominada na literatura de sub-pressão. 
 Observem que as cargas altimétricas devem ser consideradas positivas acima do RN e 
negativas abaixo do mesmo. Isso leva a um processo gráfico prático para o cálculo das 
pressões, a partir da perda total de carga (H0 – Hf = ne * Δh). Isto é, sabendo-se que a perdade 
carga entre duas equipotenciais consecutivas é constante e igual a [Δh = (H0 – Hf) / ne], essas 
perdas de carga Δh podem ser transformadas em cotas se dividirmos a diferença (H0 – Hf = h), 
em “ne” partes iguais, como na figura 17. Cada uma das divisões corresponderá a uma perda 
ocorrida em cada espaço equipotencial: 
 
(ui / w) = H0 – (ni * Δh) – zi 
Onde: 
 
 ni = número de perdas de carga até o ponto i; 
 H0 = carga total em relação ao RN; 
 
 Como o ponto (3) está abaixo do RN todas as cargas altimétricas (z) serão negativas. 
 Então, determinar a pressão neutra de um ponto “i” corresponde em cotas a subtrair de 
“H0” o valor de “ni * Δh” e acrescentar a cota “z”. 
 As cotas u1, u2 e u3 em metros, são respectivamente as pressões neutras em t/m
2
 dos 
pontos 1, 2 e 3, mostradas na figura 17. Na base da estrutura impermeável a distribuição das 
pressões neutras (sub-pressões), formam um diagrama cuja área será o empuxo; o ponto de 
aplicação desta força é no centro geométrico do diagrama traçado com os valores de “u”. 
 
 EXERCÍCIOS: 
2) Calcular a vazão através da amostra da figura abaixo, sabendo que o coeficiente de 
permeabilidade do solo é igual a 5 x 10
-4 
m/s. 
 
 
 
25 
 
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3) Para a cortina de estacas-pranchas apresentada na Fig. 5.16, determinar as sub- 
pressões d‟água na cortina, a vazão que percola e, o gradiente de saída. A 
permeabilidade do terreno é de 3 × 10-7 m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Para a rede de fluxo na fundação da barragem de concreto de gravidade da Fig. 5.17, 
obter o diagrama de subpressões e calcular a vazão e o gradiente de saída. A 
permeabilidade da fundação é de 5 × 10-9 m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
1.7.3. CÁLCULO DA VELOCIDADE DE DESCARGA E FORÇA DE 
PERCOLAÇÃO 
 
 Via redes de fluxo também é possível encontrarmos a velocidade da água em qualquer 
ponto desejado, desde que tracemos passando pelo ponto um segmento de linha de fluxo que 
deverá estar contida dentro do “quadrado” respectivo. A perda de carga Δh, dividida entre a 
longitude da linha de fluxo em que ocorre esta perda, proporciona o gradiente hidráulico médio, 
no tramo em que inclui o ponto. Maior aproximação do gradiente específico no ponto, pode ser 
obtido subdividindo-se o quadrado em outros menores, cada vez mais em torno do ponto 
escolhido. 
 Com o gradiente hidráulico em um ponto qualquer da rede, basta multiplicá-lo pelo 
coeficiente de permeabilidade do solo (k), para termos a velocidade da água em magnitude. 
Segundo Darcy, esta velocidade será tangente no ponto à linha de fluxo que passe por ele e, 
em meio poroso como solo, estará dirigida no sentido do fluxo. O cálculo da velocidade não 
tem valor prático, uma vez que a percolação em meio poroso é baixíssima. 
 Pode ser interessante obter-se a força de percolação, que são originárias da 
transferência de energia que se processa quando do fluxo de água através do solo. Essas 
forças são efetivas, tem a direção e sentido do fluxo, dimensão de peso específico e são 
tangentes às linhas de fluxo. 
 Novamente peguemos a figura abaixo: 
 
 Na superfície de descarga (de), à jusante, o gradiente hidráulico será “i = Δh / ΔL”, 
onde ΔL será o comprimento do menor quadrado desta superfície. Neste caso específico 
(figura 18) o maior valor do gradiente hidráulico ocorre junto a base da cortina (hachura), pois é 
ali onde o ΔL apresenta menor comprimento. 
 A pressão de água exercida sobre o elemento da rede, destacado na figura acima, 
provocada pela percolação, já vimos que será: 
us = Δh * w 
Onde: 
 Δh = perda de carga devido ao atrito viscoso. 
27 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
 Essa pressão produz no elemento um empuxo hidrodinâmico igual a: 
Es = Δh * w * (as*1) 
 A força de percolação (Fp) por unidade de volume desse elemento considerado será: 
Fp = (Es / Vol) = [(Δh * w * as* 1) / (as * 1 * ΔLs)] = Δh / ΔLs * w = i * w 
 Notem que a força de percolação (Fp) depende do peso específico da água (w) e do 
gradiente hidráulico (i) atuante no quadrado (malha) em questão, mas é independente da 
velocidade do fluxo (v) e do coeficiente de permeabilidade do solo (k), de modo que é a mesma 
em solos coesivos ou não coesivos. 
 A força de percolação é devida a resistência viscosa que a estrutura sólida do solo 
gera no fluido percolante. 
 Através desta estrutura a água consome energia na forma de pressão hidrodinâmica, 
capaz de vencer esta resistência, conforme comprova a equação acima, na qual o empuxo 
hidrodinâmico é devido a perda de carga da água (Δh) durante o percurso no quadrado (ΔL) 
 A força de percolação é proporcional ao gradiente hidráulico, tem a direção do fluxo, e 
nunca deverá ultrapassar a resistência de atrito entre as partículas, caso contrário 
provocará o fenômeno chamado de retroerosão ou erosão tubular (piping), forma comum de 
ruptura hidráulica. 
Condicionante  Fp ≤ Força atrito das partículas 
 
 Todas as formas de ruptura hidráulica estão associadas às forças de percolação. Para 
combater este fenômeno destrutivo existem os filtros de proteção (figura 19), que são 
estruturas porosas colocadas convenientemente dentro de um maciço com a finalidade de: 
a) Recolher a água que percola através do maciço orientando sua saída e evitando assim 
a formação de gradientes hidráulicos elevados e forças de percolação altas; 
b) Evitar o carreamento de partículas do maciço para fora do mesmo, diminuindo assim a 
possibilidade de erosão tubular (piping). 
 
 Outro recurso muito utilizado para diminuirmos o gradiente hidráulico, e por 
conseqüência as forças de percolação ao longo de uma fundação permeável, é construir-se um 
elemento de vedação que alongue o caminho percorrido pela água ou impeça a percolação, 
chamados de tapetes impermeáveis e cortinas (trincheiras) de vedação. Quando bem 
projetados formam uma vedação segura à fuga de água pela fundação, estabilizando o maciço. 
28 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
 Os filtros, tapetes e cortinas de vedação, alteram significativamente as redes de fluxo, 
conforme próxima ilustração: 
 
29 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
1.8. FLUXO DE ÁGUA EM MEIO NÃO CONFINADO 
 
 O fluxo de água através de barragens de terra se constitui num dos casos de maior 
importância na aplicação das redes de fluxo e, nestes casos específicos, a percolação de água 
apresenta características especiais. 
 
 
1.8.1. INTRODUÇÃO 
 
 Como os demais casos de percolação, em maciços de barragens deveremos identificar 
as condições de fronteira para calcularmos a vazão, os gradientes hidráulicos, as velocidades e 
as pressões hidrodinâmicas. O grande problema aqui está em determinarmos as linhas 
limites da rede de fluxo, que não conhecemos à priori como já visto para meios confinados. 
 Considerem o maciço de terra abaixo, suposto material homogêneo e isótropo, então: 
 
 
 
 
 Onde: 
 
 1-2  Linha equipontencial com carga (ui / w) + zi; 
 1-3  Linha de fluxo; 
 2-4  Linha freática (LF); 
 4-3  Não representa linha de fluxo nem linha equipontencial. 
 
 A zona limitada pelos pontos 1, 2, 3 e 4 representa a região saturada da barragem, ou 
seja, onde haverá uma perda de carga gradual do ponto 2 até o 3, sendo assim a região onde 
ocorre o fluxo. 
 A linha 1-2 é limite nesta zona de fluxo e equipotencial, pois em todos os seus pontos 
temos a mesmasoma: 
 
(ui / w) + zi = H 
 
 A linha 1-3 também é limite, porém linha de fluxo, já que não há penetração de água na 
fundação. A linha 2-4 limita a zona de fluxo dentro do maciço e recebe o nome de Linha 
freática, linha com características próprias e sua determinação depende o traçado da rede de 
fluxo. 
30 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
 A linha freática (LF) é uma linha de fluxo, acima da qual não há 
saturação/percolação, isto é, as pressões neutras são nulas ao longo desta linha – se nesta 
linha tivéssemos pressões diferentes de “0”, a água subiria acima deste limite e a linha freática 
seria uma linha de fluxo comum da rede, contra a hipótese inicial de linha limite. 
 
 A linha 4-3 é uma linha limite de saída não horizontal, com perdas de carga Δh iguais 
entre os pontos da mesma, cortados por linhas equipotenciais. Toda a fronteira 2-4-3 da rede 
de fluxo é considerada à pressão atmosférica e, em tais superfícies existe uma condição 
teórica que deve ser cumprida, conforme traduzido pela figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 Na figura acima, a linha A-B é o limite do maciço de terra, e a linha freática indicada é a 
linha de fluxo limite da rede, com pressões neutras nulas. Notem que dois pontos na linha 
freática, cortados por uma equipotencial cada um, sucessivamente, estão separados na vertical 
pela distância Δh, que representa a perda de carga devida apenas à carga altimétrica (zi), uma 
vez que a carga piezométrica (ui /w) é nula nessa fronteira. O ilustrado na Figura 22 mostra o 
que seria um trecho de uma rede de fluxo em um maciço de terra, semelhante ao que vimos 
anteriormente, ou seja, uma rede de quadrados formada por linhas equipotenciais e linhas de 
fluxo. 
 
 Comprovado que as perdas de carga são iguais, podem-se obter equipotenciais 
cortando-se a linha freática por horizontais eqüidistantes entre si. 
 
 
1.8.2. CONDIÇÕES GERAIS DE ENTRADA E SAÍDA DA LINHA 
FREÁTICA NO MACIÇO DE TERRA 
 
 
1.8.2.1. CONDIÇÕES DE ENTRADA 
 
 A face à montante (1-2) de uma barragem de terra, sempre será uma linha 
equipotencial e, para praticamente todos os tipos de seções transversais típicas, a linha 
freática deverá entrar no maciço formando um ângulo de 90º (perpendicular) com a superfície: 
 
31 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
 
 Com a face à montante (1-2) conforme figura abaixo, característica, por exemplo, de 
barragens de enrocamento com núcleo de argila, a linha freática igualmente entrará no maciço 
formando um ângulo de 90º com a superfície: 
 
 
 Excepcionalmente na última condição (figura 25), chamada de talude invertido, a 
entrada da freática formará uma ângulo menor que 90º, pois para manutenção desta 
característica (perpendicularidade ao talude) a água teria “que subir”, impossível já que as sub-
pressões neste limite são “0”. 
 
1.8.2.2. CONDIÇÕES DE SAÍDA 
 
 Seguindo as determinações de Forchheimer para redes de fluxo, as condições de 
saída da linha freática são as seguintes: 
 Se o talude de jusante for inclinado em ângulo menor ou igual à 90º, a linha de 
percolação sempre será tangente a superfície. 
 
 
 
32 
 
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 Se a face de saída no talude à jusante é inclinada em um ângulo maior que 90º, como 
por exemplo com filtro no pé da barragem, para mantermos as perdas de carga constantes 
(Δh), propriedade das redes de fluxo, a freática deverá sair tangente à vertical: 
 
 
 
 
 
1.8.3. TRAÇADO DA LINHA FREÁTICA 
 
 Já sabemos que estamos lidando agora com fluxo de água em meio não confinado, ou 
seja, a região de fluxo é desconhecida à priori e a fronteira que falta é justamente a linha 
freática, que corresponde a uma superfície submetida à pressão atmosférica. 
 
 Dupuit (1863) – estabeleceu as primeiras bases para solução de fluxos não confinados; 
 Schaffernack (1916) – iniciou o estudo do traçado da freática p/ taludes com  < 60º; 
 Van Iterson (1917) – fez descobertas importantes p/ freática em taludes com  < 60º; 
 Leo Casagrande (1932) – definiu a freática em taludes com  < 60º; 
 Kozeny (1931) – fez estudos rigorosos para < 180º, ou seja, maciços com filtros ao 
pé de jusante (figura 27). 
 
 Casagrande, em 1937 resumiu em um artigo todos estes estudos e recomendou a 
metodologia usada até hoje (Badillo e Rodrigues, 1980), que veremos a seguir. 
 
1.8.3.1. SOLUÇÃO DE KOZENY PARA TRAÇADO DA LINHA 
FREÁTICA COM SUPERFÍCIE HORIZONTAL DE 
SAÍDA ( = 180º) 
 
 Kozeny propôs uma solução rigorosa para o problema bi-dimensional de fluxo sobre 
uma superfície horizontal impermeável, que termina em uma superfície horizontal permeável 
(filtro), conforme próxima figura: 
 
33 
 
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 A solução de Kozeny admite que as linhas de fluxo e as equipotenciais, duas famílias 
de parábolas confocais com o ponto “F”, ou seja, local onde as seções permeáveis e 
impermeáveis se encontram como foco. 
 A equação para a linha freática pode ser expressa pela fórmula: 
 
x = (y2 – z0
2) / (2 * z0) 
 Onde: 
 
 “x” e “y” = são as coordenadas, tendo origem com o foco; 
 y0 = coordenada do foco para x =0; 
 Se a linha freática tem um ponto (M) conhecido, conforme figura abaixo, de 
coordenadas “d” e “h”, então a distância focal “a0” e a ordenada “y0” podem ser calculadas pela 
equação: 
a0 = (z0 / 2) = ½ * [( d
2 + h2) - d)] 
 
 
 Conhecidos os pontos “M” e “F”, respectivamente, um ponto na linha freática e o foco, 
essa linha limite fica determinada. Na realidade este sistema de drenagem é bastante comum, 
constituído de uma superfície horizontal de saída, pois soluciona matematicamente este 
problema. A parábola de Kozeny é freqüentemente chamada de parábola básica, já que a 
partir dela evoluiu-se para soluções coerentes e seguras para taludes de jusante com saídas 
não horizontais. 
34 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
1.8.3.2. TRAÇADO DA PARÁBOLA BÁSICA 
 
 Veremos agora um processo gráfico para traçarmos a parábola básica, conhecidos 
apenas um ponto dela (D) e seu foco (F), de acordo com a figura 30 (abaixo). 
 Esta curva definirá o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam de uma reta 
denominada diretriz (EG) e de um ponto denominado foco: 
 
 
 
 Para traçado da “parábola base”, devemos seguir estes passos: 
 
1) DC = 1/3 a 1/4 de AC; 
2) Partindo de um círculo cujo centro é D e o raio DF, prolongando-se a horizontal do 
nível d´água, determinamos o ponto E; 
3) Traçar uma vertical passando em E, determinando-se a diretriz EG; 
4) Divide-se GF ao meio, marcando-se o ponto N; 
5) Traçar uma vertical passando em N, gerando o segmento NM; 
6) Dividir NM e DN em partes iguais e números iguais de segmentos; 
7) Unir os pontos gerados em DM ao ponto N; 
8) Passar horizontais pelos pontos de NM; 
9) Marcar escalonadamente as horizontais na interseção com as retas geradas no item 7. 
 
 As demonstrações para o traçado da parábola básica baseiam-se em propriedades 
dessa curva e podem ser vistas nos textos básicos sobre o assunto. 
 
1.8.3.3. SOLUÇÃO DE CASAGRANDE PARA TRAÇADO DA 
LINHA FREÁTICA 
 
 Arthur Casagrande (1937), analisando não só resultados experimentais, bem como 
soluções matemáticas, propôs um método prático para determinação da linha freática em 
maciços permeáveis, válido e preciso para todos os casos onde o ângulo do elemento () de 
saída está compreendido entre 30ºe 180º. 
35 
 
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 Sua solução consiste em adotar como primeira aproximação para a forma da freática, a 
linha parábola de Kozeny e corrigir, numa etapa seguinte, a entrada e a saída, a fim de que a 
linha de fluxo limite da rede satisfaça condições teórico-práticas. 
 
 
 Dado um maciço permeável, como o da figura acima (com o talude de jusante entre 30º 
e 180º), traça-se a parábola básica por qualquer um dos processos existentes, tendo como 
foco “F” o ponto limite de saída de fluxo, que será nesse caso o pé do talude de jusante; o 
ponto “D” da parábola, é obtido dividindo-se a distância “m”, que é a projeção horizontal da 
distância 1-2 (linha equipontencial) do talude de montante, em três partes iguais. 
 A linha de fluxo limite da rede, sempre entra em ângulo de 90º na zona permeável, em 
relação à primeira linha equipotencial (1-2); sendo assim fica fácil a concordância entre a 
parábola e a entrada da linha freática (conforme figura 23). 
 A próxima correção diz respeito ao talude de jusante, ou seja, determinar a posição do 
ponto de saída da linha freática (ponto 4). 
 Comparando uma série de redes de fluxo com a solução de Kozeny, Casagrande 
obteve uma correlação entre a parábola básica, a freática e o ângulo de inclinação () do 
talude de jusante. Sendo (a‟) a distância entre o foco (F) e a interseção da parábola com o 
talude de jusante, de forma que (a‟ = a + Δa), essas distâncias podem ser correlacionadas com 
o ângulo , através do ábaco abaixo: 
 
 
36 
 
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 De forma que, conhecida a parábola básica e o ângulo , conhece-se a‟: 
 
a' = a + Δa 
 
 Do ábaco, tiramos a correlação (C): 
 
C = Δa / (a + Δa) 
 
Δa = C * a’ 
 
 Notem que a correlação decresce quando o ângulo  cresce, ou seja, quando o 
talude for invertido ( = 180º), Δa = 0. 
 
 Algumas das diferentes condições de saída, isto é, de localização do foco “F”, e de 
valores do ângulo  são ilustradas a seguir, na figura 33. 
 Podemos afirmar que as condições limites estão intimamente ligadas ao tipo de 
proteção ou filtro dado ao talude de jusante. Esses elementos serão estudados a fundo mais 
adiante e tem a finalidade de dar fluxo rápido às águas de percolação, aliviando assim as 
pressões neutras. 
 
 Localizada a linha de fluxo limite, o próximo passo será traçarmos a rede de 
percolação com linhas equipotenciais e de fluxo, obedecendo às mesmas leis e 
recomendações já vistas; 
 As equipotenciais podem ser facilmente localizadas se as perdas de carga ao 
longo da linha freática forem determinadas apenas como perdas de carga 
altimétricas, conforme mostrado anteriormente na figura 22; 
 A figura 34 ilustra o traçado de uma rede de fluxo; 
 A figura 35 ilustra uma rede de fluxo já traçada; 
 A figura 36 ilustra o traçado da freática para diversos tipos de barragens com filtro. 
 
 EXERCÍCIO: 
5) A Fig. abaixo apresenta a rede de fluxo para uma barragem homogênea de terra com 
filtro de pé, onde foram instalados três piezômetros Casagrande (P1, P2 e P3) para 
controle de subpressões. Sabendo que a permeabilidade do maciço é de 2*10
-8
 m/s, 
realize a previsão de leituras piezométricas nos pontos P1, P2 e P3, calcule a vazão e 
determine o gradiente hidráulico no elemento X. 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
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39 
 
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1.9. TEORIA DA SEÇÃO TRANSFORMADA 
 
 Na maioria dos casos práticos a percolação ocorre em solos anisotrópicos, já que em 
solos sedimentares, bem como nos maciços compactados, por exemplo, ocorre uma 
orientação das camadas, resultando em permeabilidades diferentes nas duas direções 
ortogonais. É comum em aterros compactados que a permeabilidade na direção horizontal seja 
até 10 vezes maior que na vertical, devido à execução do aterro em camadas de 20 a 30 cm. 
 Vimos que em meio anisotrópico e análise bidimensional, a forma genérica da equação 
de fluxo é esta, sendo (kx ≠ ky): 
 
kx* (h
2 / 2x) + ky* (h
2 / 2y) = 0 
 
Para se chegar à Equação de Laplace e resolver novamente o problema de forma gráfica, 
utiliza-se o artifício da Seção Transformada (Sansioe, 1930), que transforma uma das 
coordenadas (x ou y) modificando assim as dimensões da zona de fluxo, permitindo a solução 
por quadrados (Método de Forchheimer), tal qual a figura 37. 
 Tanto nos maciços quanto nas fundações, a solução do problema é a mesma, pois com 
este artifício (de transformação), a equação diferencial acima torna-se a equação de Laplace, 
que representa o fluxo d´água em meio homogêneo. 
 
 De acordo com Sansioe, para se levar em conta a anisotropia do solo, se transforma 
previamente a escala do desenho da estrutura em que se vai traçar a rede de fluxo, 
introduzindo uma nova variável “xt”, onde: 
 
 _______ _______ 
xt = x * (ky / kx) x = xt * (kx / ky) 
 
 
 Dividindo-se a equação diferencial acima por ky ≠ 0, tem-se: 
 
 
[h2 / (kx / ky)* (
2x)] + (h2 / 2y) = 0 
 
 
 Consideremos agora a nova variável “xt”, fazendo: 
 
(kx / ky)* (
2x) = 2 xt 
 
xt
2 = x2 * (ky / kx) 
Então: 
 _______ 
xt = x * (ky / kx), onde (ky / kx) = cte. 
 
 
 Esta expressão representa o escoamento bidimensional em solo homogêneo e isótropo 
em coordenadas. 
 
 Pode-se, portanto, traçar uma rede de fluxo de um certo problema, em solo 
anisotrópico, como se tratasse de solo isotrópico, simplesmente tranformando-se a 
escala “x” na escala “xt”, ou seja, multiplicando-se a escala dos “x” pelo fator (ky / kx). 
 
40 
 
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 É importante ressaltar que qualquer uma das coordenadas pode ser transformada (x, y 
e z). A rede de fluxo na seção transformada é desenhada com quadrados, em seguida retorna-
se ao problema original desdobrando as dimensões da direção que foi reduzida. Na seção real 
as figuras da rede passam a assumir a aparência de retângulos e/ou losangos, dependendo da 
relação de permeabilidades. 
 Para o cálculo das vazões permanecem os mesmos conceitos já estipulados, devendo-
se apenas considerar a permeabilidade equivalente do sistema (k‟), conforme abaixo: 
 
Q = k’ * H * (nf / ne) 
 ________ 
k' =  kx * ky 
 
 A relação (nf / ne) é a mesma, tanto na seção transformada e quanto na seção real. 
 
1.10. REDE DE FLUXO EM MEIO HETEROGÊNEO 
 
 Para construção de uma barragem, sempre procuramos conciliar os materiais 
existentes na região com a seção típica, ou seja, é comum projetarmos a seção da barragem 
com materiais de permeabilidades diferentes. Por exemplo, podemos ter um núcleo argiloso 
(baixa permeabilidade) e espaldares de material arenoso (alta permeabilidade). 
 Para o traçado de uma rede numa situação destas, permanecem válidas as condições 
estabelecidas para o fluxo em meio homogêneo, porém, devemos acrescentar condições de 
transferência das linhas de fluxo de um meio para outro. Esta transferência pode ser 
quantificada como segue: 
 
 Sejam os meios 1 e 2 de permeabilidade k1 > k2, conforme figura abaixo: 
 
 
41 
 
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 q = k1 * (Δh / a) * (a * 1) = k2 * (Δh / d) * (c * 1) 
(k1 / k2) = (c / d) 
 
 q = k1 * (Δh / BD) * (AB * 1) = k2 * (Δh / AC) * (CD * 1) 
 
(k1 / k2) = (CD /AC) / (AB / BD) 
 
(k1 / k2) = (tg tg ) 
 
 No meio 2 (de permeabilidade menor) os canais deverão se alargar para passagem da 
mesma vazão que percolava no canal do meio 1. Ocorre então uma mudança de geometria do 
canal de fluxo, conforme determina as relações (equações) expressas acima. 
 Caso contrário (k1 < k2), figura 39, pode-se notar que os canais se estreitam no meio 
dois para dar passagem à mesma vazão que percola nos canais do meio 1. 
 Essas condições gerais de transferência estão esquematizadas na figura 40, para 
várias situações diferentes. 
 
 
Nestas condições: 
 
PQ = (a / cos ) = (d / cos ) 
RQ = (a / sen ) = (d / sen ) 
 
(k1 / k2) = c / d = (tg tg ) 
 
 As deflexões das linhas de fluxo são tais, que as tangentes dos ângulos de interseção 
com a fronteira são inversamente proporcionais aos coeficientes de permeabilidade. Essa 
teoria é semelhante a lei da refração da luz. Essas condições devem ser observadas 
42 
 
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principalmente na linha freática dos maciços de terra, uma vez que esta é o limite da zona de 
fluxo. 
 A figura abaixo ilustra as determinações de Casagrande, baseado nas propriedades 
gerais das redes de fluxo e na condição geral de transferência das linhas de fluxo. 
 
 
 
1.11. RUPTURAS HIDRÁULICAS 
 
1.11.1. CONCEITO 
 
 Trata-se da perda de resistência e estabilidade do solo que, como conseqüência, 
danifica a estrutura construída com este e/ou sobre ele fundada, ocasionada pelas pressões 
(Forças de percolação  FP = i * w) de percolação da água (Vargas, 1981). 
43 
 
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 A força de percolação aparece em todas as redes de fluxo, é expressa por unidade de 
volume, aplicada na estrutura do solo, na direção das linhas de fluxo, proporcional ao gradiente 
hidráulico e causadora de todo e qualquer fenômeno de ruptura hidráulica. 
 
1.11.2. TIPOS DE RUPTURAS HIDRÁULICAS 
 
1.11.2.1. LEVITAÇÃO – AREIA MOVEDIÇA (LEVANTAMENTO) 
 
 É um fenômeno de levantamento que pode ocorrer quando há um fluxo ascendente de 
água, de tal forma que a força de percolação gerada venha a igualar ou superar a força efetiva 
devida ao peso do solo (maciço) 
 
 É como se o solo perdesse o seu peso = a força de percolação vertical ascendente 
e o peso do solo dão uma resultante nula. 
 
 O fenômeno da areia movediça (ou levantamento) pode ocorrer sempre que o solo 
(e/ou areia) esteja submetido a um fluxo ascendente conforme figura abaixo: 
 
 
 
 Podemos notar que a água percola do ramo da esquerda para a direita, em virtude da 
carga “h”, que é dissipada por atrito viscoso na areia. 
 
 A tensão no ponto “A” é seguinte: 
 
σA = (w * h1) + (sat * L) 
 
 A pressão neutra vale: 
 
uA = w * (h + h1 + L) 
 
 Se a altura da carga “h” for aumentada até que a pressão neutra iguale a tensão total, 
obviamente a tensão efetiva (s) será “0” [s = (σ – u) * tg ϕ = 0]. A partir daí o solo terá as 
propriedades de um líquido, não oferecendo condições de suporte para qualquer coisa que 
venha a apoiar-se sobre ele. 
44 
 
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 O valor da carga “h” neste instante é chamado de altura crítica (hc), e para obtenção 
deste valor igualemos a tensão total e a pressão neutra: 
 
(w * h1) + (sat * L) = w * (hc + h1 + L) 
 
hc = (L * sat) / w 
 
 O valor do gradiente hidráulico crítico (ic) será, utilizando w = 1g/cm
3
 e, numericamente 
igual ao peso específico submerso (‟): 
 
ic = hc / L 
ic = [(L * sat) / w] / L 
 
ic = (sat - w) / w 
 
ic = ’ / w 
 
 A ocorrência da areia movediça pode ser evitada pela construção de algum elemento 
que proporcione um acréscimo de tensões efetivas sem aumentar as pressões neutras. 
 Tais elementos denominados FILTROS são compostos, normalmente, por materiais 
granulares (areia), ou seja, aumentam a tensão efetiva (peso) e mantém as partículas de areia 
em suas posições originais: 
 
 
 
 As definições vistas em relação ao ic e hc foram objeto de intenção investigação, por 
Terzaghi (1930). A próxima figura (43) representa as condições de contorno de um problema, 
onde considera-se uma rede de fluxo parcialmente obstruída por uma cortina de estacas 
prancha (impermeável), para estudo do equilíbrio da porção de saída da água, abaixo e 
adjacente a cortina de estacas. 
45 
 
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 Empiricamente (tentativa e erro), através da experiência acumulada em obras 
construídas, sabia-se que a areia fina, nesta zona de estudo, permanecia em equilíbrio desde 
que a carga hidráulica (h) permanecesse menor que um valor limite (hc – altura de carga 
crítica). 
 Ao atingir-se hc, a descarga na saída aumentava bruscamente, como se a 
permeabilidade da areia houvesse aumentado, e instantaneamente iniciava-se o carreamento 
de partículas, produzindo a “levitação”, seguido de um processo de entubamento (“piping”). 
Das experiências negativas observou-se que a máxima concentração de fluxo ascendente se 
dava a uma distância “D / 2” da cortina de estacas, tal como ilustrado na próxima figura. 
 O processo de levantamento tinha início quando a pressão hidrodinâmica da água 
ascendente superava o peso submerso do solo na zona em que começava a surgir o 
fenômeno. 
 
 
 
 Pela figura 43, note que a areia começa a “levitar” em um prisma com dimensões 
definidas (D/2 x D3); a tendência ao arraste neste prisma está contrastada pelo seu peso 
próprio (no mesmo instante em que o arraste se inicia a pressão efetiva nos lados do prisma de 
solo e, portanto, a resistência ao cisalhamento, são praticamente nulas). Assim o prisma se 
move de baixo para cima quando a pressão hidrodinâmica ascendente provocada pela água 
vence a pressão descendente, produzida pelo peso submerso do material, representado pelo 
peso específico submerso (‟), que corresponde a diferença entre o peso específico saturado e 
o peso específico da água (sat - w). 
 Ao nível da base do prisma a condição de instabilidade ficará determinada pela 
condição de que a carga crítica (hc) seja mínima, devido ao fato que o arraste ocorrerá 
naturalmente com uma carga mínima de água capaz de produzi-lo – na figura supõe-se que 
este nível esteja representado pela altura D3. 
 Na coluna de solo acima de D3 o peso de solo (w) é dado pela equação: 
 
 w = (D / 2) * D3 * ’ 
 
 A pressão neutra num ponto “P” qualquer (como o da figura 43), dentro da zona de 
fluxo, pode ser determinada pela teoria correspondente, onde a queda de potencial (Δh), 
representa a perda de carga devido à circulação da água entre linhas equipotencias: 
 
Δh = h / ne 
 
 Para se conhecer a pressão neutra hidrodinâmica (u) nesse ponto “P”, deve-se 
determinar a pressão de água nesta profundidade, dada pelo valor de “hW” na figura, que é a 
46 
 
GEOTÉCNICA II – PROF. ANDRÉ LUÍS ABITANTE, FTEC CAXIAS DO SUL / RS 
altura que sobe a água dentro de um tubo piezométrico instalado em “P”, multiplicado pelo 
peso específico da água. A altura “hw” está composta da soma “h1 + z”, desta maneira a 
pressão neutra em “P” será: 
 
uP = (z *w)+ (h1 * w) 
 
 A primeira parcela (z * w) representa a pressão hidrostática na profundidade “P”; seu 
efeito reduz o peso da areia do valor sat para ‟, correspondente a condição submersa. A 
segunda soma da equação (h1 * w) é a pressão na água acima da pressão hidrostática 
(sobrepressão hidrostática neutra). 
 O excesso de pressão (sobrepressão neutra) sobrea hidrostática “P” pode ser 
calculado pela rede de fluxo e vale segundo visto: 
 
(h1 *w) = (nd * Δh * w) 
 
h1 = (nd / ne)* h 
 Onde: 
 
 nd = é o número de quedas de potencial ou sua fração que vai de “P” até a saída da 
rede de fluxo (linha externa da descarga). 
 
 Com isto pode-se determinar a distribuição de pressões hidrodinâmicas na base do 
prisma (0a). Por meio da equação acima chegamos a distribuição da carga “h1” sobre a base 
do prisma “0a”, representado pelas ordenadas da curva “C”. A pressão média na base do 
prisma se denominara “ha * w” (h = u / w), nossa famosa carga piezométrica. Assim o empuxo 
hidrodinâmico (como visto anteriormente) ascendente na base do prisma é: 
 
 Ue = ½ * 1 * D * ha * w 
 
Ue = (D * ha * w) / 2 
 
 A carga hidrostática “h1” em um ponto qualquer da areia (solo), está determinada pela 
equação vista pouco mais acima: 
 
h1 = (h / ne) * nd = hconstante 
 
 O fator (nd / ne) depende unicamente da posição do ponto em questão (P) na rede de 
fluxo. Logo as ordenadas da curva “C” aumentam em relação direta com a carga “h” e a carga 
hidrodinâmica média correspondente “ha" pode ser expressa pelo produto: 
 
ha = m * h 
 
 Em que “m” é independente da carga e os valores “ha" (atua na base do prisma “0a”) e 
“h” podem ser obtidos diretamente na rede de fluxo; de onde o valor “m” pode ser calculado (na 
realidade para isto será preciso conhecer D3), assim: 
 
m = ha / h 
 
47 
 
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 Para ser factível o levantamento do prisma de solo, o empuxo hidrodinâmico 
(sobrepressão hidrostática) “Ue" sobre a base “0a” deve ser igual ao peso submerso da camada 
(de espessura D3 e largura D/2) de solo; assim: 
 
½ * D * ha * w = ½ * D * D3 * ’ 
 
 De onde tem-se: 
 
ha = D3 * (’ / w) 
 
 No instante em que o prisma de solo se levanta (s = 0), a carga “h” será a mesma que 
a carga crítica; fazendo-se a devida substituição: 
 
 (m * hc) = D3 * (’ / w) 
 
 hc = (D3 / m) * (’ / w) (1) 
 
 Esta equação (1) pode ser aplicada para diferentes valores de “D3”, sempre que se 
tenha desenhada a rede de fluxo, que também permite calcular “m” – assim obtemos 
diversos valores de “hP” correspondentes a diferentes “D3”. A carga crítica “hc” 
obviamente é determinada pela condição de que este seja mínimo, sendo a seção 
crítica aquela que corresponde a horizontal em que se registra esse mínimo. Esta 
seção representa a base da massa de areia, que está sujeita a levantamento e, que 
pode ser o estado inicial do fenômeno de erosão interna ou “piping”. 
 
 Para a situação representada na figura 43, investigações em modelos e casos reais 
(Terzaghi, 1930), têm demonstrado que a seção horizontal crítica passa quase exatamente 
pela borda inferior da cortina de estacas, ou seja, D3 = D. 
 De acordo com a equação (1), a carga crítica para uma estrutura de retenção de água, 
é praticamente independente do ângulo de atrito interno (ϕ) da areia, aumentando em relação 
direta com o peso específico submerso (‟). 
 
 Para uma carga hidráulica “h” dada, o fator de segurança (Fs) contra levantamento 
(levitação) é obtido pela relação entre o peso (w) da massa de solo submerso, localizada acima 
da linha horizontal “0a” e o empuxo hidrodinâmico da água “Ue", ou seja: 
 
Fs = W / Ue 
Fs = [(D / 2) * D3 * ’] / [(D * ha * w) / 2] 
 
Fs = hc / h1 
 
 Somente devem ser consideradas satisfatórias as condições em que Fs seja da ordem 
de 3 a 4. Tudo que foi dito e modelado matematicamente, leva em consideração que o 
solo de fundação seja hidraulicamente isótropo; na prática devem ser consideradas as 
estratificações do solo, as quais tem influência na rede de fluxo. 
 
 Podemos obter o valor médio do gradiente hidráulico crítico (ic), ou seja, o gradiente 
hidráulico médio que atua no nível crítico no instante em que o solo começa a levantar, da 
seguinte maneira: 
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ic = ha / D3 
 
ic = ’ / w 
 
 Sabendo que o valor de ’ na prática varia entre 1,0 e 1,2 t/m
3
, se deduz que para 
haver levantamento no nível D3, suposto crítico, é preciso que: 
 
ic = 1 
 
 O gradiente de saída corresponde ao gradiente hidráulico na região de saída da 
rede de fluxo e seu valor máximo dever ser controlado em todos os projetos de 
engenharia. Como vimos, o gradiente limite de valor “1,0”, conduz a condição de ruptura 
hidráulica (levantamento, liquefação ou erosão interna) por percolação. O fator de 
segurança recomendado para esse tipo de problema é de “3,0”; conseqüentemente o 
valor de saída deverá ser inferior a “0,3” (Ortigão, 1993). 
 Altos gradientes hidráulicos internos à obra (região de fluxo) não representam grandes 
problemas, porém, um projeto contemplando gradientes menores é sempre mais seguro. 
 
1.11.2.2. EROSÃO SUPERFICIAL 
 
 É o resultado do arrancamento e arrastamento dos grãos (ou torrões) do solo pela 
pressão trativa de uma lâmina d´água em escoamento, devido à chuvas e correntes de água 
em fundos de canais e rios (Vargas, 1990). Por conseqüência há a formação de sulcos de 
profundidades variáveis e grandes extensões. Esta ocorrência é mais visível em solos 
arenosos, que apresentam pouca ou nenhuma coesão. São fenômenos progressivos, de 
evolução contínua e que ocorrem com mais intensidade em relevos ondulados e/ou com 
declividade acentuada. 
 As voçorocas, processo de erosão linear acelerada, são muito complexas, pois estão 
associadas às águas pluviais de superfície (chuvas) bem como aquelas provenientes do lençol 
freático (subsuperfície), formando grandes sulcos de erosão (ravinamento) provocados pelo 
escoamento d´água concentrado e erosão interna (piping) – deslizamentos de taludes laterais, 
subpressões em trincas, erosão remontante e abatimentos súbitos de taludes. 
 
 
 As voçorocas inicialmente apresentam seção em “V”, passando a ter seção em “U”, 
quando intervém as águas de superfície; podem atingir mais de 50m de profundidade, algumas 
dezenas de metros de largura e, comprimentos que podem ultrapassar 1km. Progride de 
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poucos metros por ano, durante o período de transição entre as fases de deficiência hídrica a 
saturada do solo (elevação do lençol freático) e, de forma acelerada durante as estações 
chuvosas, por ação predominante do escoamento superficial (Poçano e Pradini, 1987). 
 Este processo ocorre em extensas áreas do território nacional, prejudicando terras 
agrícolas e afetando estradas; quando ocorrem junto a núcleos urbanos se constituem em 
indesejáveis fontes de risco e deseconomias, seja quando ativa, pela sua espantosa 
velocidade de crescimento destrutivo, seja quando estabilizada, pela criação de um notável 
acidente geográfico de difícil transposição e de recuperação onerosa. Uma voçoroca em área 
urbana resulta ainda em glebas desvalorizadas, sujeita a invasões por habitações precárias 
e/ou áreas de lixões, contaminando águas superficiais e subterrâneas, pois sua grande maioria 
se desenvolve em situações de cabeceiras dos cursos d´água (Prandini, 1990). 
 É extenso o histórico do dispêndio de recursos em sucessivas tentativas de contenção 
de voçorocas, obras muito onerosas, principalmente se comparada aos parcos orçamentos 
municipais. Mesmo quando executadas com muitos recursos, essas obras tendem a sofrer 
colapsos anos após entrarem em funcionamento. 
 As voçorocas, assim como a maioria absoluta dos fenômenos e comportamento dos