CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Prévia do material em texto

FACULDADE ESTÁCIO DE JOÃO PESSOA
ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROF. MILARÉ
LIMITES
Motivação
A idéia intuitiva de limite é uma das mais antigas tendo sido usada com vários propósitos.
Sabemos que, por exemplo, para se calcular o comprimento de uma circunferência C de
raio R, um dos métodos é aproximá-lo pelo perímetro dos polígonos regulares nela inscritos,
isto é conhecido como método da exaustão. Não é difícil de ver que o perímetro de um polígono
regular de n lados inscrito em uma circunferência de raio R é dado por p  2nRsen 180ºn .
Perímetro do triângulo inscrito: n  3  p  2  3  R  sen 180º
3
 6  R  0,8660  5,1962R
Perímetro do quadrado inscrito: n  4  p  2  4  R  sen 180º
4
 8  R  0,7071  5,6569R
Perímetro do pentágono inscrito: n  5  p  2  6  R  sen 180º
5
 12  R  0,5878  5,8779R
Perímetro do hexágono inscrito: n  6  p  2  6  R  sen 180º
6
 12  R  0,5  6R
Vamos considerar R  1.Para n  10 temos p  6,180339888, para n  100 temos
p  6,282151816 e para n  1.000 temos p  6,283174972, agora se fizermos n  1.000.000
teremos p  6,283185307 que é o número 2 com precisão de 8 casas decimais.
Definição (intuitiva) de limite.
Se os valores de uma função fx se aproximarem cada vez mais do número L, enquanto a
variável x se aproxima cada vez mais do número a, diz-se que L é o limite de fx quando x
tende a a.
Notação: lim
xa
fx  L.
Obs. Os limites descrevem o comportamento da função perto de um certo ponto e, não,
neste ponto.
Exemplo 1.
Seja fx  x  1x e a  1.Vamos fazer uma tabela para fx com valores de x próximos de
1.
a) para valores de x maiores que 1.
MILARÉ 23/02/2016 1
x fx
1,5 1,6667
1,1 1,9091
1,01 1,9901
1,001 1,9990
1,0001 1,9999
1,00001 1,99997
Vemos que os valores de fx se aproximam cada vez mais de 2. Dizemos, neste caso, que
o limite lateral à direita de fx é 2. Notação: lim
x1
fx  2.
b) Para valores de x menores que 1.
x fx
0,5 3
0,9 2,1111
0,99 2,010101
0,999 2,001001
0,9999 2,00010001
0,99999 2,000001
Vemos que os valores de fx se aproximam cada vez mais de 2. Dizemos, neste caso, que
o limite lateral à esquerda de fx é 2. Notação: lim
x1
fx  2.
Como em ambos os casos, tanto para x  1 quanto para x  1,os valores da função fx se
aproximam de 2, temos que lim
x1
fx  lim
x1
x  1
x  2. Vale observar que f1 existe e também
vale 2. Vemos no gráfico abaixo, além da função fx  x  1x ,as retas y  1 e y  2.
Gráfico de fx  x  1x
Exemplo 2.
Seja agora fx  x
2  2x  3
x  1
.
Observe que nesta função não podemos fazer x  1, pois teríamos uma expressão
indeterminada 0
0
.
Podemos fazer duas tabelas como no exemplo 1.
MILARÉ 23/02/2016 2
x fx
1,5 4,5
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
1,00001 4,00001
x fx
0,5 3,5
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
0,9999 3,9999
0,99999 3,99999
Note que em ambas as tabelas os valores de fx se aproximam de 4, .à medida que x se
aproxima cada vez mais de 1. Então podemos deduzir que lim
x1
fx  lim
x1
x2  2x  3
x  1
 4.
Vamos tentar simplificar a expressão de fx.
Temos fx  x
2  2x  3
x  1

x  1x  3
x  1
 x  3, desde que x  1 seja diferente de zero,
ou seja, as duas funções fx e gx  x  3 coincidem se x  1. Agora, como para se calcular o
limite, não importa o que ocorre no ponto a  1, mas somente com os pontos que estão
próximos a ele, então as duas funções possuem o mesmo limite, quando x tende a 1, isto é,
lim
x1
fx  lim
x1
x2  2x  3
x  1
 lim
x1
x  1x  3
x  1
 lim
x1
x  3  4.
Observe que na expressão de gx podemos fazer x  1 e g1  1  3  4.
Propriedades dos limites.
Se lim
xa
fx e lim
xa
gx existem, então:
 lim
xa
fx  gx  lim
xa
fx  lim
xa
gx.
 lim
xa
fx  gx  lim
xa
fx  lim
xa
gx.
 lim
xa
fx  gx  lim
xa
fx  lim
xa
gx
Se lim
xa
fx e lim
xa
gx existem, e lim
xa
gx  0, então;
 lim
xa
fx
gx

lim
xa
fx
lim
xa
gx
.
Se existe lim
xa
fx, então,
 lim
xa
fxp  lim
xa
fxp,para qualquer p real, desde que as expressões fxp e
lim
xa
fxp façam sentido.
As duas propriedades seguintes referem-se aos limites de duas funções elementares com
as quais todas as outras funções algébricas podem ser construídas.
 Se k é uma constante,
lim
xa
k  k,
Assim, o limite de uma constante é a própria constante.
A próxima propriedade afirma que a altura da função linear fx  x tende a a, quando x
tende a a.
lim
xa
x  a.
Cálculo de limites.
MILARÉ 23/02/2016 3
Os exemplos seguintes ilustram como as propriedades de limites podem ser usadas para
calcular limites de funções algébricas.
a lim
x2
x2  3x  2  lim
x2
x
2
 lim
x2
3  lim
x2
x  lim
x2
2  22  3  2  2  4  6  2  0.
b lim
x0
3x2  8
x  2
, como lim
x0
x  2  2  0, podemos usar a regra do quociente para obtermos:
lim
x0
3x2  8
x  2

lim
x0
3x2  8
lim
x0
x  2
 8
2
 4
No próximo exemplo, o denominador da função racional dada tende a zero, o que não
acontece com o numerador. Daí podemos concluir que o limite não existe. O valor absoluto
deste quociente cresce indefinidamente; por isso, não se aproxima de nenhum número (finito).
Calcule lim
x3
x  2
x  3
.
A regra do quociente não se aplica neste caso, pois o limite do denominador é:
lim
x3
x  3  0. Como o limite do numerador é: lim
x3
x  2  5, que é diferente de zero, podemos
concluir que o limite deste quociente, lim
x3
x  2
x  3
, não existe. Observe seu gráfico:
Gráfico de fx  x  2
x  3
.
No proximo exemplo, tanto o numerador quanto o denominador da função racional dada
tende a zero. Quando isto acontece, precisamos simplificar algebricamente a função, para
encontrar o limite desejado.
Calcule lim
x1
x2  x  2
x  1
.
Quando x  1, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero; asssim sendo,
nada podemos concluir a respeito do limite do quociente.
Observe que a função dada não é definida e x  1,mas, em todos os outros valores de x,
podemos então simplificar a função, dividindo o numerador e o denominador por x  1,
obtendo:
x2  x  2
x  1

x  1x  2
x  1
 x  2.
(como x  1, não estamos dividindo por zero). Agora podemos calcular o limite, quando x tende
(mas não é igual) a 1, obtendo
lim
x1
x2  x  2
x  1
 lim
x1
x  1x  2
x  1
 lim
x1
x  2  3.
MILARÉ 23/02/2016 4
Gráfico de fx  x
2  x  2
x  1
O gráfico de fx  x
2  x  2
x  1
, é uma linha reta com um "buraco" no ponto 1,3.
Observação importante
Em geral, quando o numerador e o denominador de um quociente tendem a zero, quando x
tende a a, devemos simplificar algebricamente o quociente. Na maioria dos casos, a forma
simplificada do quociente será válida para todos os valores de x, exceto x  a. Como estamos
interessados no comportamento do quociente perto de x  a e, não, em x  a, podemos usar
a forma simplificada do quociente para calcularmos o limite.
Vejamos outro exemplo.
Calcule lim
x1
x  1
x  1
.
Como tanto o numerador quanto o denminador tendem a zero, quando x tende a 1,
devemos simplificar o quociente, multiplicando o numerador e o denominador por x  1, para
obtermos
x  1
x  1

x  1 x  1
 x  1 x  1

x  1 x  1
x  1
  x  1,para x  1
Calculando o limite:
lim
x1
x  1
x  1
 lim
x1
 x  1  1  1  1  1  2.
Fácil, não!!!
Limites infinitos
Já vimos que, se ga  0,para calcular o limite de fx/gx para x tendendo a a, basta
substituir x por a, ou seja, o limite vale fa/ga.
Quando ocorre o caso de fa  ga  0, devemos simplificar a expressão fx/gx.
Vamos agora ver o caso em que ga  0 mas fa  0, ou seja o denominador se anula
mas o numerador não.
Exemplos.
a) Considere a função fx  1/x  12,cujo gráfico é apresentado a seguir.
MILARÉ 23/02/2016 5
Gráfico de fx  1
x  12
Se x tende a 1 pela esquerda, fx se torna arbitrariamente grande. Se x tende a 1 pela
direita, fx também se torna arbitrariamente grande. Indicamos estes dois fatos por:
lim
x1
1
x  12
  e lim
x1
1
x  12
 
Neste caso como o comportamento é o mesmo para x tendendo a 1 pela esquerda e pela
direita,escrevemos:
lim
x1
1
x  12
 
b) Considere gx  1
x2
, x  0, o gráfico de g está representado abaixo
Função gx  1
x2
Neste caso os seguintes símbolos são usados para indicar o comportamento da função.
lim
x0
1
x2
  e lim
x0
1
x2
 ,
no sentido de que, se x tende a 0 pela esquerda ou pela direita, gx  1/x2, .que é sempre
negativo, se torna arbitrariamente grande em valor absoluto. Como o comportamento é o
mesmo para x tendendo a 0 pela esquerda e pela direita, escrevemos
lim
x0
1
x2
 
c) Considere hx  1x , x  0, o gráfico de h está representado abaixo.
MILARÉ 23/02/2016 6
Função hx  1x
Neste caso o comportamento da função não é o mesmo se x tende a 0 pela esquerda ou
pela direita. Assim temos:
lim
x0
1
x   e limx0
1
x  .
As situações que podem ocorrer quanto ao comportamento de fx 
gx
hx
, em um ponto
a, que anula o denominador mas não anula o numerador são indicados pelos símbolos:
lim
xa
gx
hx
  lim
xa
gx
hx
  lim
xa
gx
hx
 
lim
xa
gx
hx
  lim
xa
gx
hx
  lim
xa
gx
hx
 , .
sendo que,em cada linha,os dois primeiros equivalem ao terceiro.
Par decidir a situação, não é preciso representar o gráfico. Basta estudar o sinal de
fx 
gx
hx
, para x perto de a, lateralmente se for necessário. Se este sinal for positivo, o
limite é , se for negativo é .
Exemplos
a) lim
x1
2x2  5
x  1
 , pois, 2x2  5 é negativo para x próximo de 1,agora quando x tende a 1
pela esquerda, x  1, logo x  1  0,portanto o sinal do quociente 2x
2  5
x  1
é positivo para
x  1.
b) lim
x1
2x2  5
x  1
 , pois, 2x2  5 é negativo para x próximo de 1,agora quando x tende a 1
pela direita, x  1, logo x  1  0,portanto o sinal do quociente 2x
2  5
x  1
é negativo para x  1.
c) lim
x1
x
x  13
 , pois, quando x se aproxima de 1, tanto pela direita como pela
esquerda, o numerador x é sempre negativo, mas quando x tende a 1 pela esquerda, x  1,
logo x  1  0,portanto o denominador x  13 é negativo, assim o sinal do quociente x
x  13
é positivo para x tendendo -1 pela esquerda, (x  1.
d) lim
x1
x
x  13
 , pois, quando x se aproxima de 1, tanto pela direita como pela
esquerda, o numerador x é sempre negativo, mas quando x tende a 1 pela direita, x  1,
logo x  1  0,portanto o denominador x  13 é positivo, assim o sinal do quociente x
x  13
é
negativo para x tendendo -1 pela direita, (x  1.
Limites no infinito
MILARÉ 23/02/2016 7
Exemplo
Seja fx  1
x3
, x  0.
Vejamos o que acontece quando x cresce arbitrariamente, além de qualquer número
positivo, o que simbolicamente se indica por x  . Nesse caso x3 também cresce
arbitrariamente; logo, 1/x3 se aproxima de 0. (por exemplo: f10  1/103  0,001;
f100  1/1003  0,000001; etc.
Indicamos
lim
x
1
x3
 0
Vejamos o que acontece se x  , símbolo que quer dizer que x torna-se arbitrariamente
negativo, aquém de qualquer número negativo, Novamente x3 se aproxima de 0. (por exemplo:
f10  1/103  0,001; f100  1/1003  0,000001; etc.
Indicamos
lim
x
1
x3
 0
Observação: Quando, para x   e x   obtemos a mesma resposta, costuma-se
abreviar usando x  . Assim, os resultados acima podem ser condensados em uma única
forma;
lim
x
1
x3
 0
Em geral:
a) Se n é um número inteiro positivo, temos:
i lim
x
1
xn
 0 ii lim
x
xn   iii lim
x
xn 
, .se n é par
, se n é ímpar
b) Seja c um número real. Em i podemos substituir 1/xn por c/xn. Em ii e iii podemos
substituir xn
por cxn se c  0, mas se c  0,  e  devem ser permutados.
Para estudar o comportamento de uma função polinomial e de uma função racional quando
x   ou x  ,usamos o seguinte resultado:
lim
x
anxn  an1xn1   a1x  a0  lim
x
anxn, an  0.
lim
x
anxn  an1xn1   a1x  a0
lim
x
bmxm  bm1xm1   b1x  b0

lim
x
anxn
lim
x
bmxm
, an  0, bm  0 .
Para compreender o primeiro resultado basta colocarmos anxn em evidência:
anxn  an1xn1   a1x  a0  anxn 1 
an1
anx  
a0
anxn
.
Note que se x   ou x   cada parcela do termo entre parênteses, exceto 1, tende a
0; logo, o termo entre parênteses tende a 1. Assim, quem decide é anxn.
No segundo caso, fazemos o mesmo com o numerador e o denominador.
Exemplos.
a) lim
x
4x3  5x2  x  9  lim
x
4x3  
b) lim
x
4x6  5x3  3x2  5  lim
x
4x6  
c) lim
x
6x5  5x4  x2  8  lim
x
6x5  
d) lim
x
2x4  5x3  x  7  lim
x
6x5  
e) lim
x
8x4  3x3  5x2  x  6
2x3  2x2  5x  9
 lim
x
8x4
2x3
 lim
x
4x  
MILARÉ 23/02/2016 8
f) lim
x
5x3  3x3  5x2  x  6
3x3  5x2  2x  6
 lim
x
5x3
3x3
 lim
x
5
3
 5
3
g) lim
x
5x3  3x3  5x2  x  6
4x7  3x5  5x3  8x  8
 lim
x
5x3
4x7
 lim
x
5
4x4
 0
MILARÉ 23/02/2016 9
Exercícios
1) Calcule o limite indicado, se existir
1 lim
x2
3x2  5x  2, 2 lim
x1
x3  2x2  5x  5, 3 lim
x1
x7  x4  2,
4 lim
x1
2x  1
x2  1
, 5 lim
x2
3x2  2x
x  1
6 lim
x1
4x3  3
x2  1
,
7 lim
x1
2x  1
x  1
, 8 lim
x2
3x2  2x  2
x  2
, 9 lim
x2
4x3  6
2x2  8
,
10 lim
x1
x2  1
x  1
, 11 lim
x3
x2  9
x  3
, 12 lim
x4
x  4
x  2
,
13 lim
x0
x2  2x
x , 14 limx3
x2  4x  3
x  3
, 15 lim
x2
x2  x  2
x  2
,
16 lim
x0
x3  2x2  x
x , 17 limx3
x2  5x  6
x  2
, 18 lim
x4
x2  7x  12
x  4
.
2) Limites infinitos. discuta os limites, (faça x tender a a pela esqerda e pela diteita).:
19 lim
x1
x  1
x  1
20 lim
x1
x7  1
x  12
21 lim
x2
1  x2
x  2
22 lim
x1
x5  1
x2  1
3) Limites no infinito. Calcule os limites:
23 lim
x
x5  2x  8 24 lim
x
x7  2x4  8x3  5
25 lim
x
7x8  5x4  2x
2x4  x3  x  9
26 lim
x
7x3  3x2  2x  1
2x4  2x3  4
27 lim
x
7x3  3x2  1
3x3  2x2  4
28 lim
x
5x3  x2  2x  1
3x4  2x3  4
29 lim
x
4x5  x2  x  1
x4  x3  2x  1
30 lim
x
4x4  x2  x  1
8x4  x3  2x  1
MILARÉ 23/02/2016 10