Apol Análise Matemática

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Questão 1/5 - Análise Matemática 
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a 
seguir. 
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x e nos conteúdos estudados 
no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. 
I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ 
II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ 
III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ 
IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ 
V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e 
São corretas apenas as afirmativas: 
Nota: 20.0 
 
A III e V 
Você acertou! 
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e
porque limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque
afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3). 
 
B I e III 
 
C I e IV 
 
D II e V 
 
E II, III e V 
 
Questão 2/5 - Análise Matemática 
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é 
que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro 
x0x0. Esse intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a 
RR ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: 
IMPA, 1999. p.159. 
Considere a expansão da série de 
potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯
(x∈R) 
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. 
Nota: 20.0 
 
A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯ 
 
B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯ 
Você acertou! 
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório 
temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!
base p. 185). 
 
C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯ 
 
 
D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯ 
 
 
E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯ 
 
 
Questão 3/5 - Análise Matemática 
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por 
f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1. 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções 
contínuas e deriváveis, é correto afirmar que: 
 
Nota: 20.0 
 
A Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável. 
 
B Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua. 
 
C Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes. 
 
D Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável. 
Você acertou! 
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e 
 limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). 
Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temos 
que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2
derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4). 
 
E Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável. 
 
 
Questão 4/5 - Análise Matemática 
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma 
função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de 
estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, 
espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem 
sentido falar em limites e continuidades de funções”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de 
Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos 
topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal 
– que se relacionam a cada um dos elementos a seguir: 
 
1. Conjunto aberto 
2. Ponto interior 
3. Conjunto fechado 
4. Ponto de acumulação 
5. Conjunto compacto 
6. Ponto aderente 
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente 
dele. 
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto. 
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 
 
Agora marque a sequência correta: 
 
Nota: 20.0 
 
A 6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1 
 
B 4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3 
 
C 2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3 
 
D 6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5 
 
E 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1 
Você acertou! 
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
Ponto interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado 
pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um po
Conjunto compacto – É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente –
elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3). 
 
Questão 5/5 - Análise Matemática 
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber 
de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista. 
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de 
infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, 
sutil e delicado”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da 
Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o 
Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1. 
 
PORQUE 
 
II. Dados os números 
ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0), 
se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos 
55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: 
Nota: 0.0 
 
A As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira. 
 
B As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da primeira. 
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para 
todo n>2n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode
(livro-base, capítulo 1). 
 
C A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa. 
 
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
E As asserções I e II são proposições falsas.