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Formulário Fenômenos de Transporte Mecânica dos Fluidos Parte 2

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Forma diferencial do balanço de massa: 
∇. (𝜌𝑣) +
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 
Nas coordenadas cartesianas 
𝜌 (
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
) + 𝑣𝑥
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝜌
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑦
𝜕𝜌
𝜕𝑧
+
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 
 
Nas coordenadas cilíndricas: 
𝜌 (
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑣𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
) + 𝑣𝑟
𝜕𝜌
𝜕𝑟
+
𝑣𝜃
𝑟
𝜕𝜌
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝑧
+
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 
 
Forma diferencial do balanço de momento (Equação de Navier-
Stokes): 
𝜌
𝐷𝒗
𝐷𝑡
= −∇P + 𝜌𝒈 + 𝜇∇2𝒗 
Nas coordenadas cartesianas: 
Na direção de x: 
𝜌 (
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑔𝑥 + 𝜇 (
𝜕2𝑣𝑥
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣𝑥
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣𝑥
𝜕𝑧2
) 
Na direção de y: 
𝜌 (
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑔𝑦 + 𝜇 (
𝜕2𝑣𝑦
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣𝑦
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣𝑦
𝜕𝑧2
) 
Na direção de z: 
𝜌 (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑔𝑧 + 𝜇 (
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑧2
) 
 
Nas coordenadas cilíndricas: 
Na direção de r: 
𝜌 (
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑟
+
𝑣𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
−
𝑣𝜃
2
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑧
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑟
+ 𝜌𝑔𝑟 + 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟𝑣𝑟)) +
1
𝑟2
𝜕2𝑣𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑣𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑣𝑟
𝜕𝑧2
] 
Na direção de θ: 
𝜌 (
𝜕𝑣𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝜃
𝜕𝜃
+
𝑣𝑟𝑣𝜃
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝜃
𝜕𝑧
) = −
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝜌𝑔𝜃 + 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟𝑣𝜃)) +
1
𝑟2
𝜕2𝑣𝜃
𝜕𝜃2
+
2
𝑟2
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑣𝜃
𝜕𝑧2
] 
Na direção de z: 
𝜌 (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝑣𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑔𝑧 + 𝜇 [
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑧2
] 
 
O método Buckingham 
1. Liste as variáveis dimensionais envolvidas; 
2. Determine as dimensões fundamentais das variáveis; 
3. Liste as variáveis dimensionais em termos das suas dimensões fundamentais; 
4. Selecione um conjunto de r de variáveis dimensionais que incluem todas as dimensões 
fundamentais; (ou seja não escolha aquelas cujo efeito deseja-se isolar, normalmente, não escolha 
aquelas que são mais difíceis de medir) 
5. Determine e resolva os sistemas de equações das dimensões primárias. 
6. Verifique se cada grupo (π) obtido é adimensional. 
7. Expressar a forma final como uma relação entre os termos Π. Tipicamente, temos: 
Π1 = 𝜙(Π2, … , Π𝑛−𝑟) 
Teorema dos π de Buckingham 
O número de parâmetros adimensionais usados para descrever uma situação envolvendo n 
variáveis é igual a (𝑛 − 𝑟), onde 𝑟 é a classificação da matriz dimensional de variáveis. 
Então, 𝑖 = 𝑛 − 𝑟 
Onde: 𝑖 = nº de grupos adimensionais independentes 
 𝑛 = nº de variáveis envolvidas 
 𝑟 = classificação da matriz dimensional 
A matriz dimensional é, simplesmente, a matriz formada pelo tabelamento dos expoentes das 
dimensões fundamentais 𝑀, 𝐿 𝑒 𝑡, ocorrentes nas variáveis envolvidas. 
A classificação da matriz é a maior ordem de uma matriz menor complementar obtida com essas 
variáveis, cuja determinante não é zero. 
Coeficiente de atrito de Darcy-Weisbach 
ℎ𝐿 = 𝑓𝐷
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
 
Perda de carga localizada 
∑ ℎ𝐿 = ∑ 𝐾𝐿
𝑣2
2𝑔
 
 
Número de Reynolds 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
=
𝑣𝐷
𝜈
 
 
Rugosidade relativa 
𝑟 =
𝜀
𝐷
 
 
NPSH 
𝑁𝑃𝑆𝐻 +
𝑃𝑣𝑎𝑝
𝜌𝑔
=
𝑣𝑖
2
2𝑔
+
𝑃𝑖
𝜌𝑔
 
𝑣𝑖 e 𝑃𝑖 são avaliados na entrada da bomba. 
Pvap é a pressão de vapor do líquido. 
Eficiência da bomba 
𝜂 =
energia fornecida ao fluido
energia fornecida ao rotor
=
�̇�𝑆útil
�̇�𝑆necessária
 
 
Tipo de Escoamento Equação 
Laminar 
Equação de Hagen-Poisseuille 
𝑓𝐷 =
64
𝑅𝑒
 
Turbulento em tubos lisos (𝑟 = 0) 1
√𝑓𝐷
= 2,0 × log10(𝑅𝑒 √𝑓𝐷) − 0,8 
Turbulento em tubos rugosos 
Equação de Colebrook 
1
√𝑓𝐷
= −2,0 × log10 (
𝑟
3,7
+
2,51
𝑅𝑒 √𝑓𝐷
) 
Turbulência completa 1
√𝑓𝐷
= −2,0 × log10(𝑟) + 1,14 
Turbulento em tubos rugosos (forma explícita) 
Equação de Haaland 𝑓𝐷 = {−1,8 × log10 [(
𝑟
3,7
)
1,11
+
6,9
𝑅𝑒
]}
−2

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