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Física I para Engenharia 1º Semestre de 2014 Instituto de Física- Universidade de São Paulo Aula – 9 Rotação, momento inércia e torque Professor: Valdir Guimarães E-mail: valdir.guimaraes@usp.br Fone: 3091.7104 Variáveis da rotação Neste tópico, trataremos da rotação em torno de um eixo fixo no espaço, ou em torno de um eixo que se move sem alterar sua direção no espaço. Corpo Rígido Eixo Fixo Eixo de Rotação Seja um corpo rígido de massa M, que gira em torno de um eixo fixo. Cada ponto deste corpo descreve um círculo, cujo raio ri é a distância entre o ponto e o eixo de rotação. A posição angular dessa reta é o ângulo que a reta de referência faz com a reta fixa. drdS ii Posição angular Cinemática Rotacional O ângulo é medido em radiandos. Deslocamento angular É positivo no sentido anti-horário. Quando o corpo gira de um ângulo dθ, o ponto descreve um arco de comprimento dSi 12 A taxa de variação do ângulo é a mesma para todas as posições no corpo e é chamada de velocidade angular ω. Velocidade angular dt d rrv Cinemática Rotacional rddS dt d r dt rd dt dS Dividindo-se por t r v Para os valores médios temos: t med velocidade angular instantânea rS notação dt d Analogamente, a taxa de variação da velocidade angular é a mesma para todas as posições no corpo e é chamada de aceleração angular α. aceleração angular 2 2 dt d dt d Se α é constante: t 0 2 00 2 1 tt 2202 Exemplo Um CD gira, do repouso até 500 rpm, em 5,5 s. (a)Qual a aceleração angular suposta constante? (b)Quantas voltas o disco dá em 5,5 s? (c)Qual a distância percorrida por um ponto a 6,0 cm do centro, nestes 5,5 s? (b) = 22,9 voltas t 0 2 00 2 1 tt sradrpm 36,5260/2500500 5,5036,52 2/5,9 srad 2)5,5(5,9 2 1 00 rad7,143 (c) (a) mrS 62,87,14306,0 Acelerações e velocidades angulares no movimento circular (r=R=constante) Já vimos que: Analogamente, para a aceleração temos: rv dt d R dt d r dr dr dt rd dt dv a tt )( RR dt d Rat rddS rv Para movimento circular r=R=constante temos: Rv Aceleração tangencial: Como o movimento é circular, existe uma aceleração centrípeta 22 22 )( RR R R R v a tc 22 RRac aceleração centrípeta Para Movimento Circular: RRat Coordenadas Polares ! ! Um pêndulo está suspenso por um longo poste em algum lugar do hemisfério norte. Quando o pêndulo está em repouso, a ação combinada da gravidade e da rotação da Terra faz com que o pêndulo: 1. Aponte diretamente para baixo, para o centro da Terra. 2. Desvie para o leste. 3. Desvie para o oeste. 4. Desvie para o norte. 5. Desvie para o sul. 6. Nenhuma das alternativas anteriores. Aceleração centrípeta ou centrífuga ? Naturalmente, devido à inércia, os corpos se movem em linha reta. Trajetórias curvas envolvem acelerações e forças centrípetas. Para t pequeno, h é desprezível frente a 2r 22 22222 222 )2( 2 )()( tvhrh rtvhhrr rvthr Movimento de um satélite em órbita terrestre Considere que o satélite esteja a 200 km da superfície da Terra, onde o valor de g é próximo ao da superfície. Se não houvesse g, a trajetória seria P1-P2. Devido à g, a trajetória é P1-P2’ . 22 2 22 2 1 2 1 2 att r v h tvrh r v mF r v a res 2 2 Portanto, Força centrípeta Aceleração centrípeta Tratamento vetorial rjRiRa jRiR dt vd a jRiR dt rd v 22 22 )ˆsinˆcos( ˆsinˆcos ˆcosˆsin Movimento Circular Uniforme r r v r r v rac ˆ 2 2 2 2 t jRiRr ˆsinˆcos Considere um corpo de massa m, suspenso por um fio, fazendo um movimento circular de raio r e com rapidez constante v. Movimento Pendular Cônico Chamamos de Força Centrípeta a componente da resultante que é responsável pelo movimento circular. r g maT mgT amFT sin 0cos sin 2 2 T r v mF r v a cp r Caso do movimento pendular Movimento Circular Pêndulo dt dv at Além da aceleração centrípeta, podemos ter também uma componente da aceleração paralela à direção do movimento (aceleração tangencial) Aceleração total tr aaa Força centrípeta versus força centrifuga Força centrípeta = força necessária para que um objeto faça uma curva ou movimento curvo. Alguma força deve fazer o papel da força centrípeta. Força centrífuga = força que você sente quando está num referencial girante. Força fictícia ou não-inercial já que o referencial não é inercial. Força centrípeta versus força centrifuga Gravidade artificial ? Mostrar video TR v mPP 2 0 TR v gg 2 0 No equador velocidade angular é uma grandeza vetorial Definimos a direção do vetor velocidade angular como perpendicular ao plano de rotação e o sentido dado pela regra da mão direita. Movimento de rotação de uma partícula em torno de um eixo de rotação com velocidade v. ii rv i i r v ou Energia Cinética Rotacional A energia cinética de uma partícula que gira em torno de um eixo fixo é dada por: 2 2 1 mvKi )( 2 1 2 1 2 1 22222 mrmrmvK momento de inércia (I) 2rmI 2 2 1 IK Energia Cinética Rotacional Exemplo Um corpo consiste de 4 partículas pontuais, com massas m, ligadas por hastes sem massa, como na figura ao lado. O sistema gira com velocidade angular ω em torno do centro do corpo. (a) Determine o momento de inércia do corpo. (b) Determine a energia cinética do corpo. i iirmI 2 2 2 1 IK 24maI 224 maK Repetir os cálculos para a nova configuração ao lado. i iirmI 2 2 2 1 IK 22 822 maamI 222 maK Energia Cinética Rotacional Cálculos do Momento de Inércia Para sistemas discretos: Se subdividirmos o corpo em pequenas porções, no limite quando a massa de cada porção vai a zero, a somatória acima se transforma na integral: i iirmI 2 Corpos contínuos dmrI 2 Onde r é a distância ao eixo, de cada parcela dm do corpo.
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