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Aula 9 Rotacao centripeta

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Física I para Engenharia
1º Semestre de 2014
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 9 Rotação, momento inércia e torque
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: valdir.guimaraes@usp.br 
Fone: 3091.7104
Variáveis da rotação 
Neste tópico, trataremos da rotação em torno de um eixo fixo no espaço, ou 
em torno de um eixo que se move sem alterar sua direção no espaço.
Corpo Rígido
Eixo Fixo
Eixo de Rotação
Seja um corpo rígido de massa M, que gira em torno 
de um eixo fixo. Cada ponto deste corpo descreve 
um círculo, cujo raio ri é a distância entre o ponto e 
o eixo de rotação.
A posição angular dessa reta é o ângulo que a reta 
de referência faz com a reta fixa.
drdS ii 
Posição angular
Cinemática Rotacional
O ângulo é medido em radiandos.
Deslocamento angular
É positivo no sentido anti-horário.
Quando o corpo gira de um ângulo dθ, o ponto 
descreve um arco de comprimento dSi
12  
A taxa de variação do ângulo é a mesma para todas as posições no
corpo e é chamada de velocidade angular ω.
Velocidade angular
dt
d
 
 rrv  
Cinemática Rotacional
rddS 
dt
d
r
dt
rd
dt
dS 

Dividindo-se por t
r
v

Para os valores médios temos:
t
med





velocidade angular instantânea
 rS
notação


 
dt
d
Analogamente, a taxa de variação da velocidade
angular é a mesma para todas as posições no
corpo e é chamada de aceleração angular α.
aceleração angular
 
2
2
dt
d
dt
d
Se α é constante:
t  0
2
00
2
1
tt  
  2202
Exemplo
Um CD gira, do repouso até 500 rpm, em 5,5 s.
(a)Qual a aceleração angular suposta constante?
(b)Quantas voltas o disco dá em 5,5 s?
(c)Qual a distância percorrida por um ponto a 6,0
cm do centro, nestes 5,5 s?
(b)
= 22,9 voltas
t  0
2
00
2
1
tt  
sradrpm 36,5260/2500500  
5,5036,52 
2/5,9 srad
2)5,5(5,9
2
1
00  rad7,143
(c)
(a)
mrS 62,87,14306,0  
Acelerações e velocidades angulares no movimento circular 
(r=R=constante)
Já vimos que:
Analogamente, para a aceleração temos:
rv 
dt
d
R
dt
d
r
dr
dr
dt
rd
dt
dv
a tt
  )(
 RR
dt
d
Rat 
rddS 
rv 
Para movimento circular r=R=constante temos:
Rv 
Aceleração tangencial:
Como o movimento é circular, 
existe uma aceleração centrípeta
22
22 )(  RR
R
R
R
v
a tc 
22  RRac 
aceleração centrípeta
Para Movimento Circular:
 RRat 
Coordenadas Polares ! !
Um pêndulo está suspenso por um longo poste em algum lugar do
hemisfério norte. Quando o pêndulo está em repouso, a ação
combinada da gravidade e da rotação da Terra faz com que o
pêndulo:
1. Aponte diretamente para baixo, para o centro da Terra.
2. Desvie para o leste.
3. Desvie para o oeste.
4. Desvie para o norte.
5. Desvie para o sul.
6. Nenhuma das alternativas anteriores.
Aceleração centrípeta ou centrífuga ?
Naturalmente, devido à inércia, os corpos se movem em linha reta. 
Trajetórias curvas envolvem acelerações e forças centrípetas.
Para t pequeno, h é 
desprezível frente a 
2r
22
22222
222
)2(
2
)()(
tvhrh
rtvhhrr
rvthr



Movimento de um satélite em órbita terrestre
Considere que o satélite esteja a 200 km da superfície
da Terra, onde o valor de g é próximo ao da superfície.
Se não houvesse g, a trajetória seria P1-P2. 
Devido à g, a trajetória é P1-P2’ . 22
2
22
2
1
2
1
2
att
r
v
h
tvrh








r
v
mF
r
v
a
res
2
2


Portanto,
Força centrípeta
Aceleração 
centrípeta
Tratamento vetorial
rjRiRa
jRiR
dt
vd
a
jRiR
dt
rd
v





22
22
)ˆsinˆcos(
ˆsinˆcos
ˆcosˆsin






Movimento Circular Uniforme
r
r
v
r
r
v
rac ˆ
2
2
2
2 
 
t
jRiRr



 ˆsinˆcos

Considere um corpo de massa m, suspenso por um
fio, fazendo um movimento circular de raio r e
com rapidez constante v.
Movimento Pendular Cônico
Chamamos de Força Centrípeta a
componente da resultante que é
responsável pelo movimento circular.
r
g
maT
mgT
amFT





sin
0cos

sin
2
2
T
r
v
mF
r
v
a
cp
r


Caso do movimento pendular
Movimento Circular
Pêndulo
dt
dv
at 
Além da aceleração
centrípeta, podemos ter
também uma componente
da aceleração paralela à
direção do movimento
(aceleração tangencial)
Aceleração total
tr aaa


Força centrípeta versus força centrifuga
Força centrípeta = força necessária para que um objeto faça uma
curva ou movimento curvo. Alguma força deve fazer o papel da força
centrípeta.
Força centrífuga = força que você sente quando está num referencial
girante. Força fictícia ou não-inercial já que o referencial não é
inercial.
Força centrípeta versus força centrifuga
Gravidade artificial ?
Mostrar video
TR
v
mPP
2
0 
TR
v
gg
2
0 
No equador
velocidade angular é uma grandeza vetorial
Definimos a direção do vetor velocidade angular como perpendicular
ao plano de rotação e o sentido dado pela regra da mão direita.
Movimento de rotação de uma partícula em torno
de um eixo de rotação com velocidade v.
ii rv 
i
i
r
v

ou
Energia Cinética Rotacional
A energia cinética de uma partícula que gira em torno de um eixo fixo é dada por:
2
2
1
mvKi 
)(
2
1
2
1
2
1 22222 mrmrmvK  
momento de inércia (I)
 2rmI 
2
2
1
IK 
Energia Cinética Rotacional
Exemplo
Um corpo consiste de 4 partículas pontuais, com massas m, ligadas por hastes
sem massa, como na figura ao lado. O sistema gira com velocidade angular ω em
torno do centro do corpo. (a) Determine o momento de inércia do corpo. (b)
Determine a energia cinética do corpo.
 
i
iirmI
2
2
2
1
IK 
24maI 
224 maK 
Repetir os cálculos para a nova configuração ao lado.
 
i
iirmI
2
2
2
1
IK 
  22 822 maamI 
222 maK 
Energia Cinética Rotacional
Cálculos do Momento de Inércia
Para sistemas discretos:
Se subdividirmos o corpo em pequenas porções, no limite quando a massa de 
cada porção vai a zero, a somatória acima se transforma na integral:
 
i
iirmI
2
Corpos contínuos
 dmrI
2
Onde r é a distância ao eixo, de cada parcela dm do corpo.

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