01IntDuplaRetangulo

Prévia do material em texto

Ca´lculo III
Departamento de Matema´tica - ICEx - UFMG
Marcelo Terra Cunha
Integrais Duplas em Regio˜es Retangulares
As integrais duplas em regio˜es retangulares sa˜o o ana´logo, para func¸o˜es
de duas varia´veis, das integrais definidas, estudadas no ca´lculo I. Comece-
mos revendo estas.
1.1 Revisa˜o de Integral Definida
Se f e´ uma func¸a˜o real (por exemplo, cont´ınua) definida no intervalo fechado
[a, b] (notac¸a˜o adequada f : [a, b] → R) a definic¸a˜o da integral de f no
intervalo [a, b],
∫ b
a
f (x) dx, comec¸a pela defic¸a˜o de uma partic¸a˜o do intervalo
[a, b] da forma x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn = b, com cada intervalo da
partic¸a˜o tendo comprimento ∆xi = xi − xi−1, e da soma de Riemann da
func¸a˜o f , no intervalo [a, b], subordinada a` partic¸a˜o escolhida:
Sf,[a,b] =
n∑
i=1
f (ξi)∆xi,
onde ξi ∈ Ii = [xi−1, xi].
Algumas somas de Riemann ganham nomes especiais, de acordo com a
escolha de ξi. Se o crite´rio de escolha for que ξi e´ ponto de ma´ximo de f
em Ii, essa e´ uma soma superior (de f , no intervalo [a, b], subordinada a`
partic¸a˜o escolhida). Analogamente, se ξi e´ sempre ponto de mı´nimo de f
em Ii, temos uma soma inferior. Se denotarmos por S uma soma superior
e S uma soma inferior, e´ fa´cil ver que, para uma mesma partic¸a˜o, S ≤ S.
Mais interessante e´ mostrar que, sob certas condic¸o˜es em f (por exemplo,
para f cont´ınua), independente das partic¸o˜es trabalhadas, qualquer soma
inferior e´ menor que qualquer soma superior. Ale´m disso, definindo a noc¸a˜o
de refinamento de partic¸a˜o, mostra-se que ha´ um u´nico nu´mero real que e´
maior que, ou igual a, qualquer soma inferior e f em [a, b] e menor que, ou
igual a, qualquer soma superior da mesma func¸a˜o no mesmo intervalo. Este
nu´mero e´ a integral definida de f em [a, b].
1
As te´cnicas posteriormente desenvolvidas nos curso de Ca´lculo I, com
destaque para o Teorema Fundamental do Ca´lculo, nos permitem calcular
integrais definidas sem precisar trabalhar diretamente com somas de Rie-
mann. Assim acontecera´ tambe´m com as integrais duplas.
1.2 Definic¸a˜o da Integral Dupla
Chamaremos de retaˆngulo (fechado) a qualquer produto cartesiano de inter-
valos fechados. De maneira geral, R = [a, b]× [c, d], com o significado usual
R = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.
As func¸o˜es que agora nos interessam sa˜o definidas e bem comportadas
(novamente, digamos, cont´ınuas) em um retaˆngulo como este. Em s´ımbolos,
f : [a, b]× [c, d]→ R.
Queremos definir a integral (dupla) de f no retaˆngulo R. Novamente
procedemos por somas de Riemann e a notac¸a˜o final sera´ sugerida por estas
somas.
Tudo comec¸a por particionarmos o retaˆngulo R. A maneira mais simples e
direta (mas de modo algum u´nica) de fazer isso e´ particionarmos os intervalos
[a, b] e [c, d]: sejam x0 = a < x1 < x2 < . . . < xm = b e y0 = c < y1 < y2 <
. . . < yn = d e denotemos Ii = [xi−1, xi], Jj = [yj−1, yj], ∆xi = xi − xi−1
e ∆yj = yj − yj−1. Com isso, ganhamos uma partic¸a˜o de R em pequenos
retaˆngulos Rij = Ii× Jj, cada qual com a´rea ∆Aij = ∆xi∆yj. Uma soma de
Riemann de f no retaˆngulo R, subordinada a` partic¸a˜o escolhida e´∑
i,j
f (pij)∆Aij, (1.1)
onde pij ∈ Rij. Somas superiores e somas inferiores sa˜o definidas de maneira
ana´loga ao que foi feito para uma varia´vel. Os mesmos resultados de la´ se
aplicam aqui e o u´nico nu´mero real maior que, ou igual a, todas as somas
inferiores e menor que, ou igual a, todas as somas superiores e´ chamado in-
tegral dupla da func¸a˜o f no retaˆngulo R. Existem algumas notac¸o˜es padra˜o
para este nu´mero, as mais comuns:
∫
R
f (x, y) dA e
∫ ∫
R
f (x, y) dA (a se-
gunda notac¸a˜o enfatiza o fato de ser uma integral dupla, enquanto a primeira
notac¸a˜o deixa isso indicado na regia˜o de integrac¸a˜o, no fato da func¸a˜o de-
pender de duas varia´veis e no elemento de integrac¸a˜o, dA).
2
1.3 Integrais Iteradas
A pro´pria forma espec´ıfica da soma de Riemann (1.1) nos aponta para um
importante resultado do Ca´lculo que se torna a principal estrate´gia para
calcularmos integrais dupla. Se os pontos pij forem escolhidos da forma
pij = (xi, yj), temos∑
i,j
f (pij)∆Aij =
∑
i
∑
j
f (xi, yj)∆xi∆yj =
∑
i
(∑
j
f (xi, yj)∆yj
)
∆xi,
onde na u´ltima expressa˜o percebemos a estrutura de somas de Riemann “a-
ninhadas”: para cada valor de i, a soma em j e´ uma soma de Riemann
envolvendo apenas uma func¸a˜o de uma varia´vel. Feita essa soma em j, seu
resultado e´ uma func¸a˜o apenas de xi e a soma em i tem novamente a estrutura
de uma soma de Riemann para uma func¸a˜o de uma varia´vel. Com um pouco
mais de cuidado nas definic¸o˜es e manipulac¸o˜es, podemos mostrar que para f
cont´ınua temos (ainda com R = [a, b]× [c, d]):∫ ∫
R
f (x, y) dA =
∫ b
a
(∫ d
c
f (x, y) dy
)
dx, (1.2)
onde no termo da direita reconhecemos a ide´ia de integrais iteradas: primeiro
calcula-se uma integral na varia´vel y, tratando x como uma paraˆmetro con-
stante em cada integrac¸a˜o e depois tomamos este resultado, que e´ natural-
mente uma func¸a˜o de x, e integramos na varia´vel x, obtendo a integral dupla
que se desejava calcular. Em geral, o pareˆnteses que inclu´ımos na notac¸a˜o
para destacar a integral simples que e´ a primeira a ser calculada, e´ econo-
mizado, como faremos abaixo. Se voceˆ preferir manteˆ-lo, esteja a vontade.
Note que, de maneira ana´loga poder´ıamos usar que∑
i,j
f (pij)∆Aij =
∑
j
∑
i
f (xi, yj)∆xi∆yj =
∑
j
(∑
i
f (xi, yj)∆xi
)
∆yj,
para concluir ∫ ∫
R
f (x, y) dA =
∫ d
c
∫ b
a
f (x, y) dx dy. (1.3)
As expresso˜es (1.2) e (1.3), bem como sua consequ¨eˆncia∫ b
a
∫ d
c
f (x, y) dy dx =
∫ d
c
∫ b
a
f (x, y) dx dy, (1.4)
3
resumem o chamado Teorema de Fubini (para regio˝es retangulares).
Exemplo: sejam R = [−1, 1] × [0, 1] e f : R → R dada por f (x, y) =
2− x2 − y2. Queremos calcular a integral dupla de f em R. Pelo que vimos
acima, basta fazermos:∫ ∫
R
2− x2 − y2 dA =
∫ 1
−1
∫ 1
0
2− x2 − y2 dy dx
=
∫ 1
−1
[(
2− x2) y − 1
3
y3
]y=1
y=0
dx
=
∫ 1
−1
2− x2 − 1
3
dx =
[
5
3
x− 1
3
x3
]x=1
x=−1
=
10
3
− 2
3
=
8
3
.
1.4 Interpretac¸o˜es e Aplicac¸o˜es
Perguntas naturais e importantes sa˜o: o que significa a conta que acabamos
de fazer? ou ainda para que servem as integrais duplas?.
Como as integrais duplas generalizam as integrais definidas, podemos
novamente nos inspirar nestas para entender aquelas.
Lembre que se g : [a, b] → R fosse uma func¸a˜o na˜o-negativa, ∫ b
a
g (x) dx
podia ser interpretado como a a´rea sob o gra´fico de g (e acima do eixo
x). Como o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis e´ uma superf´ıcie, se
f : R → R e´ uma func¸a˜o na˜o-negativa de duas varia´veis, ∫ ∫
R
f (x, y) dA
pode ser interpretado como o volume abaixo do gra´fico de f (e acima do plano
xy). Portanto, no exemplo acima, calculamos o volume do so´lido acima do
retaˆngulo [−1, 1]× [0, 1] e abaixo do parabolo´ide 2− x2− y2 (note que, para
(x, y) ∈ R, f (x, y) ≥ 0).
Devemos nos lembrar tambe´m de poss´ıveis aplicac¸o˜es das integrais definidas
para generaliza´-las para integrais duplas. Excelentes exemplos esta˜o rela-
cionados a` ide´ia de densidade. Se ρ (x) e´ uma densidade linear de carga, por
exemplo, ao integrarmos ρ em um segmento, obtemos a carga total naquele
segmento. O mesmo acontece para regio˜es planas. Assim, se agora ρ (x, y)
denota uma densidade superficial de carga, por exemplo em uma chapa
diele´trica retangular, a integral dupla desta densidade na regia˜o R dara´ a
carga total desta placa.
4