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exercícios resolvidos de geometria plana

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I) Semelhança de triângulos.
Definição.
 Dois triângulos são semelhantes se 
têm os ângulos dois a dois congruentes 
e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais.
Definição mais "popular".
 Dois triângulos são semelhantes se 
um deles é a redução ou a ampliação 
do outro.
A
BC
D
EF
∆ABC ∆DEF ~ >
A D
B E
C F 
 e
AB AC BC
DE DF EF k= =
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer 
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios 
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
 Dois triângulos são semelhantes 
se dois ângulos (AA) de um deles 
são congruentes a dois ângulos do 
outro.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm um ângulo congruente e os 
dois lados de um triângulo adjacen-
tes ao ângulo são proporcionais 
aos dois lados adjacentes ao ângu-
lo do outro triângulo.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm os três lados dois a dois or-
denadamente proporcionais.
α β
α β
a b
c
d e
f
a b c
d e f k= = =
α
α
a
c
d
f
a c
d f k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de α, β e γ os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no 
numerador da proporção.
A
B C
D
12
4
x
=
α
α
semelhante
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o 
valor de x na figura abaixo.
Jeca 84
I) Semelhança de triângulos.
Definição.
 Dois triângulos são semelhantes se 
têm os ângulos dois a dois congruentes 
e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais.
Definição mais "popular".
 Dois triângulos são semelhantes se 
um deles é a redução ou a ampliação 
do outro.
A
BC
D
EF
∆ABC ∆DEF ~ >
A D
B E
C F 
 e
AB AC BC
DE DF EF k= =
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer 
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios 
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
 Dois triângulos são semelhantes 
se dois ângulos (AA) de um deles 
são congruentes a dois ângulos do 
outro.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm um ângulo congruente e os 
dois lados de um triângulo adjacen-
tes ao ângulo são proporcionais 
aos dois lados adjacentes ao ângu-
lo do outro triângulo.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm os três lados dois a dois or-
denadamente proporcionais.
α β
α β
a b
c
d e
f
a b c
d e f k= = =
α
α
a
c
d
f
a c
d f k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de α, β e γ os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no 
numerador da proporção.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o 
valor de x na figura abaixo.
A
B C
D
12
4
x
=
α
α
semelhante
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Jeca 84
A
B Cx
α
16
αβ θ βθ
4
x
Semelhança de triângulos
x
4
16
x=
2
x = 64
Portanto x = 8 (resp)
A
B C
D E
A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm 
e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a 
medida dos segmentos AE e CD.
A B C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-
termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo 
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-
lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD 
interceptam-se no ponto E. Determine a distância 
entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD 
mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-
mentos AD e AE.
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
Jeca 85
A
B C
D E
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-
mentos AD e AE. A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm 
e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a 
medida dos segmentos AE e CD.
A B C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-
termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo 
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-
lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD 
interceptam-se no ponto E. Determine a distância 
entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD 
mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
Jeca 85
8
12
x y9
13
Semelhança de triângulos
x
9
y
13
8
12
==
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)
7
5
6
x
10
y
α
β
θ
β
α
Semelhança de triângulos.
7
12 =
x
x + 6
10
y=
12x = 7x + 42
5x = 42
x = 42/5 cm 
7y = 120
y = 120/7 cm
Respostas
5
3
7
Per = 45 cm ACD
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
7
AD
3
CD
5
AC=
PerABE
PerACD
7 + 5 + 3
45
15
45
1
3= = = = =
5
AC =
1
3 AC = 15 cm
3
CD =
1
3 CD = 9 cm
Respostas
8 cm
18
12
12 - d
∆ ABE ~ ∆ CDE
8
18 =
12 - d
d
8d = 216 - 18d
26d = 216
d = 108/13 cm Resposta
8
18
12
d
8 =18
d
d + 12
18d = 8d + 96
d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta
8
4
x
14 - x
β
α
β
α
x
14 - x =
4
8
8x = 56 - 4x
12x = 56
x = 56/12 = 14/3 cm Resposta
P
A
B
Cx
y
z50º
40º
45º
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-
ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade 
P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-
me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias 
respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine 
o valor de z em função de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango 
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado 
desse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x 
e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base 
BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a 
medida da altura H do trapézio BCED em função de x, 
y e h.
H
x
y
A
B CD E
FG
h 
= 
6 
cm
11) Os quadrados representados na figura abaixo têm 
lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e 
DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 
cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-
drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-
mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
P
A
B
C
x
y
z50º
40º
45º
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-
ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade 
P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-
me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias 
respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine 
o valor de z em função de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango 
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado 
desse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x 
e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base 
BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a 
medida da altura H do trapézio BCED em função de x, 
y e h.
H
x
y
A
B CD E
FG
h 
= 
6 
cm
11) Os quadrados representados na figura abaixo têm 
lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e 
DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
8
12
x
x
x
x 12 - x
∆ABC ~ ∆CDF
12 - x
12 =
x
8
12x = 96 - 8x
20x = 96
x = 96/20 = 4,8 cm (resp)
Semelhança de triângulos
base
Base
altura
Altura=
x
y
h
h + H=
xh + xH = yh
xH = yh - xh
H = (yh - xh) / x (resp)
ou H = h(y - x) / x (resp)
α
β α
β
8
x 20 - x
5
Semelhança de triângulos.
x
5
8
20 - x= >
2
x - 20x + 40 = 0
Resolvendo, tem-se
x = 10 + 2 15 cm ou x = 10 - 2 15 cm (resp)
45º
50º
40º
D
∆PDC é isósceles
DC = PD = z
∆ADP ~ ∆BDP
z
x
z
z
y=
z = x . y (resp)
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 
cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-
drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-
mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
x
x
12 cm
6 - x
Semelhança de triângulos.
x
12
6 - x
6=
6x = 72 - 12x
18x = 72
x = 4 cm Resposta
3
6
x6 - x
Semelhança de triângulos.
x
6 =
6 - x
3
3x = 36 - 6x
9x = 36
x = 4 cm
Per = 4.x = 16 cm Resposta
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
 Dada uma circunferência λ e um ponto P, P não pertencente a λ, 
se A e B são os pontos de intersecção entre λ e a reta secante a λ 
por P, define-se potência de P em relação a λ o produto PA x PB.
Propriedade.
 Dados λ e P, a potência de P em relação a λ é constante, 
qualquer que seja a reta AB secante a λ por P.
A
BP
λ
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a λ. 2º caso: O ponto P é exterior a λ.
A
BP
λ
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
O
P
λ
O
T
A
B
C
D
T é ponto de tangência
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência λ. Sabendo que PA = 6, PB = 8 
e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
A
B
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência λ. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-
termine a medida do segmento PC.
λ
λ
A B
C
D
P
O λ
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência λ. Sabendo que PA = 6, AB = 8 
e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
λ
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à 
circunferência de centro O. Determine a medida do 
raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e 
PO = 4.
Jeca 87
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
 Dada uma circunferência λ e um ponto P, P não pertencente a λ, 
se A e B são os pontos de intersecção entre λ e a reta secante a λ 
por P, define-se potência de P em relação a λ o produto PA x PB.
Propriedade.
 Dados λ e P, a potência de P em relação a λ é constante, 
qualquer que seja a reta AB secante a λ por P.
A
BP
λ
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a λ. 2º caso: O ponto P é exterior a λ.
A
BP
λ
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
O
P
λ
O
T
A
B
C
D
T é ponto de tangência
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência λ. Sabendo que PA = 6, PB = 8 
e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
A
B
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência λ. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-
termine a medida do segmento PC.
λ
λ
A B
C
D
P
O λ
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência λ. Sabendo que PA = 6, AB = 8 
e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
λ
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à 
circunferência de centro O. Determine a medida do 
raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e 
PO = 4.
Jeca 87
Potência de ponto
PA . PC = PB . PD
6 . x = 8 . 12
x = 96/6 = 16 cm
 (resp)
6
8
12
x
C
D
6
10
4
R
PC = R - 4
PD = R + 4
Potência
PA x PB = PC x PD
6 x 10 = (R - 4).(R + 4)
2 2
R - 4 = 60
2
R = 76
R = 2 19 uc (resp)
Potência de ponto
2
PA . PB = PC
2
4.(4 + 12) = PC
2
PC = 64
PC = 8 (Resp.)
6 8
5
xPotência de ponto
PA x PB = PC x PD
6 . 14 = x.(x + 5)
2
x + 5x - 84 = 0
Raízes
x = -12 (não convém)
x = 7 cm Resposta
A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. 
Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC 
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é 
a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do 
segmento CD.
α
α
A
B
C
D
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o 
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o 
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao 
triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-
to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-
ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-
te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram 
escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-
mo mostra a figura abaixo.Sabendo que os muros têm 
alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do 
nível do chão as duas barras se interceptam ? 
Despreze as espessuras das barras.
h
3 m
9 m
Jeca 88
A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. 
Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC 
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é 
a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do 
segmento CD.
α
α
A
B
C
D
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o 
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o 
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao 
triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-
to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-
ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-
te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram 
escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-
mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm 
alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do 
nível do chão as duas barras se interceptam ? 
Despreze as espessuras das barras.
h
3 m
9 m
Jeca 88
A
B C
E
D
C5
12
3
y
x
α
β
βα
2 2 2
Pitágoras y = 5 + 12
 y = 13 cm
Semelhança de triângulos
x = 39/5 cm (resp)
x
13 =
3
5
P
A B
P
A
Cx + 7
x
y y
6
8
α
α
β
β θ θ
Semelhança de triângulos
x + 7
y
y
x
8
6 = =
y 8x
6= =
4x
3
8y = 6(x + 7)
8.(4x/3) = 6x + 42
32x = 18x + 126
x = 126/14 = 9 uc (resp)
A
B C
D
E
x y
∆ABE ~ ∆CDE ∆BFE ~ ∆BCD
39 = yx
F
x
x + y
h
3== x + y
12
x + y
h
3x=x + y = 12x9
= 12x9h
3x
h = 9/4 = 2,25 m (resp)
β β
θ
θ
8
10
7 x
Semelhança de triângulos
x
10 =
10
7
x = 100/7 cm (resp)
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-
cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa 
circunferência. Determine a medida do segmento BQ, 
sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à 
circunferência no ponto A e paralela ao segmento 
DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do 
segmento BD será:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-
rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa 
circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-
mente. A corda AF da circunferência intercepta o 
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, 
GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é 
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o 
ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao 
catero BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal 
forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, 
então a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63
25
12
5
58
25
56
25
11
5
A
B C
D
E
F
Jeca 89
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-
cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa 
circunferência. Determine a medida do segmento BQ, 
sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à 
circunferência no ponto A e paralela ao segmento 
DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do 
segmento BD será:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-
rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa 
circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-
mente. A corda AF da circunferência intercepta o 
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, 
GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é 
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o 
ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao 
catero BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal 
forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, 
então a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63
25
12
5
58
25
56
25
11
5
A
B C
D
E
F
Jeca 89
A B
P
Q
A B
x
x + 3
2 10
2 10
α
β
βα
Semelhança de triângulos
x + 3
2 10
=
x
2 10
2
x + 3x - 40 = 0
x = -8 ou x = 5
x = 5 cm (resp)
6 5
7
α
β θ
θ
β
β
P
Os ângulos
PAB , ADE e BCA são
congruentes e iguais a β.
PAB e ADE são colaterais internos
PAB = β é ângulo de segmento
BCA = β é ângulo inscrito
Semelhança de triângulos.
60 = 6x + 36
6x = 24
x = 4 (resp)
6
12 =
5
x + 6
x
A
D
B
C
E
F
G
5
7
4
3
6
x
y
Potência de ponto 
EB.EA = EC.ED
5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3)
y = 8
Potência de ponto
AG.GF = DG.GC
6 . x = 3 . 8
x = 4 Resposta d
4
3
5
3/2h
b3 - b
Semelhança de triângulos
h
4
3 - b 3/2
5= 3 =
h = 12/10
b = 21/10
S = b . h 1210
21= . 10 =
252
100
S 6325= Resposta a
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são 
semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y
9 
cm
11 cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e 
calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d
6 
cm
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, 
CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e 
determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x
4 
cm
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Semelhança de triângulos e
Potência de ponto.
Exercícios complementares da aula 08.
Jeca 90
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são 
semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y
9 
cm
11 cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e 
calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d
6 
cm
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, 
CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e 
determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x
4 
cm
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Semelhança de triângulos e
Potência de ponto.
Exercícios complementares da aula 08.
Jeca 90
Semelhança de triângulos
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp)
x
9
y
11
8
12= =
D AEB ~ D CDE
6 - d b
B
h
H=
=814
6 - d
d
d = 42/11 cm (Resp.)
α
β
β
α
8
5
10
x
y
z
Pitágoras
2 2 2
x = 8 + 10
2
x = 64 + 100 = 164
x = 2 41 cm
 Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelo
caso AA.
8
5 =
10
y
x
z=
8.y = 50
y = 50/8 = 25/4 cm
8.z = 5.x = 5 . 2 41
z = 5 41 /4 cm
Semelhança de triângulos.
3
5 =
x
x + 4
5x = 3x + 12
2x= 12
x = 6 cm Resposta
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE 
e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E
3 
cm
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e 
determinar a medida do segmento BC. 
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos 
ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF 
são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
A
B CD E
FG
h 
= 
8 
cm
A
E
x
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que 
forneça t como função de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE 
e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E
3 
cm
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e 
determinar a medida do segmento BC. 
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos 
ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF 
são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
A
B CD E
FG
h 
= 
8 
cm
A
E
x
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que 
forneça t como função de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
α β
β
β α
α
4 cm
2 2 2
Pitágoras (AC) = 3 + 4 = 25
 AC = 5 cm
Semelhança de triângulos.
∆ADC ~ ∆ABE
AD
BE =
AC
AB
DC
AE=
= =3BE
5
4
4
AE
BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cm
AE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp)
A
B C
D
B C
14
x
4
x
a
a
b
c
c
b 4
x
x
14
=
2
x = 4 . 14
x = 2 14 cm (Resp.)
C é um vértice comum aos
dois triângulos.
Os triângulos são semelhantes
pelo caso AA.
α θ
θ
α
β
β
Os triângulos ABP e DEP são semelhantes pelo caso AA.
AP
DP =
PB
PE
Portanto AP x PE = DP x PB (CQD)
α β
θ
α β
x
x
8 - x
Os triângulos AGF e ABC são semelhantes pelo caso AA.
x
16 =
8 - x
8
16 cm
128 - 16x = 8x
24x = 128
x = 128/24 = 16/3 cm
2 2 2
S = x = (16/3) = (256/9) cm Resposta
α
90 - α
90 - αα
Os triângulos CDE e ABC são semelhantes pelo caso AA.
t
y =
z
x
t =
y . z
x Resposta
A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são 
congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos 
AE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. 
Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do 
segmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, 
determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 
cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B C D
N
M
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um 
diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, 
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
h
A
B C
D
E
O
Jeca 92
A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são 
congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos 
AE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. 
Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do 
segmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, 
determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 
cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B C D
N
M
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um 
diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, 
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
h
A
B C
D
E
O
Jeca 92
A
B C
A
D
E
α
β
α
θ
α
β
θβ
θ θ
β
12
8
9
5
AB
AE =
AC
AD
BC
DE=
= =12AE
9
AD
8
5
AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cm
AD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp)
P
5
5
5 5 6
11
60º
120º60º
120º
Seja P ponto médio de BC.
Então MP // AC 
MP = AC/2 = 10/2 = 5 cm
DBMP é equilátero..
Então os ângulos MPD e NCD são congruentes.
Semelhança de triângulos ∆MPD ~ ∆NCD
NC = 30/11 cm (resp)
5 NC
5
6
11=
3 4
3x
α β
α
β
 Os triângulos são semelhantes pelo caso AA.
Pitágoras
2 2 2
y = 3 + 4 = 25
y = 5
y
Semelhança de triângulos
x
3 =
3
5
x = 9/5 cm Resposta
A
B C
E
F
4
5
6 
cm
C
F
4
B
E
5
A
α
β
α
β
6 
cm
Semelhança de triângulos
x
x
6
4
5=
x = 24/5 cm Resposta
α
α
β β 10
30
6
Semelhança de triângulos.
 ∆ ABD ~ ∆ ACE
6
30 =
h
10
h = 2 cm Resposta
Observação - Os ângulos ABC e AEC são
congruentes pois são ângulos inscritos no 
mesmo arco AC.
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm 
e 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e 
de y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, 
provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A M N B
PQ
C
4 
cm
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa 
base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem 
ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse 
retângulo.
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm 
e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não 
paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de 
ABCD. 
A B
CD
Jeca 93
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm 
e 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e 
de y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm.Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, 
provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A M N B
PQ
C
4 
cm
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa 
base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem 
ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse 
retângulo.
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm 
e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não 
paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de 
ABCD. 
A B
CD
Jeca 93
5
8 - 5 = 3
Semelhança de triângulos.
x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp)
5
3
5
5
x
=
y
y
t - y
y
x =
t - y
y
Semelhança de triângulos
2
y = x.(t - y)
2
x = y /(t - y) Resposta
4
8 - x x
x
8 =
8
8 - x
4
Semelhança de triângulos
4x = 64 - 8x
12x = 64
x = 64/12 = 16/3 cm
Per = 2p = 4x = 64/3 cm Resposta
9
x x
α β
αβ
9 - h
2xOs triângulos ABP e MCP são semelhantes pelo caso AA.
2x
x =
9 - h
h
2h = 9 - h
3h = 9
h = 3 cm Resposta
4 cm
x
y
4 - xSemelhança de triângulos.
y
4 =
4 - x
4
x + y = 4
Per = 2p = x + y + x + y
Per = 4 + 4 = 8 cm Resposta
8
14
6
hSemelhança de triângulos.
h
h + 6 =
8
14
14h = 8h + 48
6h = 48
h = 8 cm
d = h + 6
d = 8 + 6
d = 14 cm Resposta
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da 
corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3
A
B
C
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x1
2 
cm
14 cm
10 cm
15 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine 
a medida do perímetro desse retângulo.
12
 c
m
16 cm
A B
CD
a
a
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9 
cm 11 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6 
cm
5 cm
7 cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.
A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da 
corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3
A
B
C
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x1
2 
cm
14 cm
10 cm
15 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine 
a medida do perímetro desse retângulo.
12
 c
m
16 cm
A B
CD
a
a
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9 
cm 11 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6 
cm
5 cm
7 cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.
A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
R R R R R
R
R
x
Semelhança de triângulos.
x = 3R / 5
2 2 2
Pitágoras R = y + (3R/5)
2 2 2 2 y = R - 9R /25= 16R /25
BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5 Resposta 
3R
5R =
x
Ry
12
24
x 14
15
α
β
θ
β θ
α
Semelhança de triângulos
x
12 =
15
24
x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24
x = 15/2 cm Resposta
h
2h
12 - h
Semelhança de triângulos
2h
16 =
12 - h
12
24h = 192 - 16h
40 h = 192
h = 192/40
Perímetro = 2p = 6h
2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm Resposta
x y
Semelhança de triângulos
x
x + 9
y
= y + 11
5
16=
16x = 5x + 45
11x = 45
x = 45/11 cm
16y = 5y + 55
11y = 55
y = 55/11 = 5 cm cm
Respostas
5
6
6 
+ 
x 12
α
α
ββ
θ
θ
Semelhança de triângulos
6 + x
5 =
12
6
36 + 6x = 60
6x = 24
x = 24/6 = 4
x = 4 cm Resposta
7
15
916
x
y
α β
θ
θ
α
β
Semelhança de triângulos
x
9 =
y
16
7
15=
x = 9 . 7 / 15
x = 21 / 5 cm
y = 16 . 7 / 15
y = 112 / 15 cm
Respostas
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, 
PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do 
exercício.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do 
segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na 
solução do exercício.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm 
e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência 
no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, 
determine t em função de x, y e z.
Jeca 95
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, 
PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do 
exercício.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do 
segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na 
solução do exercício.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm 
e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência 
no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, 
determine t em função de x, y e z.
Jeca 95
Potência de ponto. 
PA x PC = PB x PD
4 . 6 = PB . 8
PB = 24 / 8 = 3 cm (resp)
4
6
8
Potência de ponto. 
AM x MC = BM x MD
9 . 4 = x . x
2x = 36
x = 6 cm
BD = 2.x = 12 cm Resposta
x
x
9
4
Potência de ponto. 
PA x PD = PB x PC
5 . (5 + 9) = x . (x + 10)
2x + 10x - 70 = 0
Raízes
x = - 95 - 5 (não convém)
x = ( 95 - 5) cm Resposta
5
9
10 x
Potência de ponto. 
2
(PD) = PA x PB
2
x = 17 . 5
x = 85 cm Resposta
6
x
5
6
x
y
z
t
Potência de ponto. 
AD x AB = AF x AE
x.(x + y) = z.(z + t)
2
x.(x + y) = z + z.t
2
x.(x + y) - z = z.t
2
t = [x.(x + y) - z ] / z Resposta
Respostas dos exercícios da Aula 08.
01) 8
02) 6 cm e (26 / 3) cm
03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm
04) 15 cm e 9 cm
05) (108 / 13) cm
06) (48 / 5) cm
07) (14 / 3) cm
08) 24 / 5
09) 4 cm
10 ) h(y - x) / x
11) 16 cm
12) (10- 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm
13) x . y
14) 16
15) 8
16) 7
17) 2 19
18) (39 / 5) cm
19) (9 / 4) m
20) (100 / 7) cm
21) 9
22) 5 cm
23) a 
24) c
25) d
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 96
Respostas dos exercícios complementares da Aula 08.
01) 6 cm e (22 / 3) cm
02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm
03) (42 / 11) cm
04) 6 cm
05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm
06) 2 14 cm
07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos 
prova-se que os triângulos são semelhantes.
208) (256 / 9) cm
09) y . z / x
10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm
11) (9 / 5) cm
12) (24 / 5) cm
13) (30 / 11) cm
14) 2 cm
15) (25 / 3) cm
216) y / (t - y)
17) (64 / 3) cm
18) 3 cm
19) 8 cm
20) 14 cm
21) 8R / 5
22) (15 / 2) cm
23) (144 / 5) cm
24) (45 / 11) cm e 5 cm
25) 4 cm
26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm
27) 3 cm - potência de ponto.
28) 12 cm - potência de ponto.
29) ( 95 - 5) cm - potência de ponto.
30) 85 cm - potência de ponto.
231) [x(x + y) - z ] / z
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
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 Jeca
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Jeca 97
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema.
 Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à 
hipotenusa divide o triângulo original em dois 
triângulos menores, que são semelhantes entre 
si e semelhantes ao triângulo original.
A
B CH
b
c
a
m n
h
2 2 2
c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos.
A
B C
bc
a
2 2 2
a = b + c
A
B CH
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, BH, HC 
e AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-se 
que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, AC, AB e 
AH.
A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-
mine as medidas de HC, HB, AB 
e BC.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Jeca 98
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema.
 Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à 
hipotenusa divide o triângulo original em dois 
triângulos menores, que são semelhantes entre 
si e semelhantes ao triângulo original.
A
B CH
b
c
a
m n
h
2 2 2
c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos.
A
B C
bc
a
2 2 2
a = b + c
A
B CH
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, BH, HC 
e AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-se 
que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, AC, AB e 
AH.
A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-
mine as medidas de HC, HB, AB 
e BC.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Jeca 98
5 9
m n
h
a
2 2 2
a = b + c
2 2
 = 9 + 5 = 81 + 25 = 106
a = BC = 106 cm
2
c = a . m
2
5 = 106 . BH
BH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm
2
b = a . n
2
9 = 106 . HC
HC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm
a . h = b . c
 106 . h = 9 . 5
h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm
3 9 cm
BC = 3 + 9 = 12 cm
2
(AC) = 12 . 9 = 108
AC = 108 = 6 3 cm
2
(AB) = 12 . 3 = 36
AB = 6 cm
2
(AH) = 3 . 9 = 27
AH = 3 3 cm 
2
b = a . n
2
c = a . m
2
h = m . n
3
5 cm
Pitágoras
2 2 2
5 = 3 + (HC)
HC = 4 cm
2
3 = 4 . BH
BH = 9/4 cm
2
(AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16
AB = 225/16 = 15/4 cm
BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm 
2
h = m . n
2
c = a . m
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. 
Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que 
PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de 
modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos 
P e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas 
diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e 
BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal 
que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto 
Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre 
os pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta 
secante que dista 5 cm do centro da mesma, 
determina nessa circunferência uma corda de 
comprimento 24 cm ?
a) 8 cm
b) 13 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, 
c, e d, é :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d 
2 2 2c) a = b - c - d 
2 2 2d) a = d - b - c 
2 2 2 e) a = d - b + c
x13 
cm
10 cm
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-
xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. 
Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que 
PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de 
modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos 
P e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas 
diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e 
BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal 
que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto 
Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre 
os pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta 
secante que dista 5 cm do centro da mesma, 
determina nessa circunferência uma corda de 
comprimento 24 cm ?
a) 8 cm
b) 13 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida dea, em função de b, 
c, e d, é :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d 
2 2 2c) a = b - c - d 
2 2 2d) a = d - b - c 
2 2 2 e) a = d - b + c
x13 
cm
10 cm
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-
xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Pitágoras
2 2 2
13 = 10 + x
2
x = 169 - 100 = 69
x = 69 cm (resp)
3
6 cm
x
Pitágoras
2 2 2
x = 3 + 6
2
x = 9 + 36 = 45
x = 45 = 3 5 cm 
Perímetro = 2p = 4 . x 
2P = 12 5 cm Resposta b
A B
CD
3 12P
3 4 8
8 cm8 x
Q
Pitágoras
2 2 2x = 8 + 4 
2x = 64 + 16 = 80
x = 80 = 4 5 cm Resposta b
2
5
1
8
15 cm
x
Pitágoras
2 2 2x = 5 + 15 
2x = 25 + 225 = 250
x = 250 = 5 10 cm Resposta d
5
12 c
m
R
Pitágoras
2 2 2
R = 5 + 12
2
R = 25 + 144 = 169
R = 13 cm Resposta b
x
Pitágoras
2 2 2
x = a + b
2 2 2 2 2 2
d = x + c = a + b + c
2 2 2 2
a = d - b - c
2 2 2
a = d - b - c Resposta d
A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH 
tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º 
do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, 
então a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 - 1
2
3 - 1
2
2 - 1
2
2
2
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-
tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-
to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a 
distância AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto 
médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O 
segmento RM é perpendicular a PQ e RM 
Calcule:
a) o raio da circunferência;
b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da 
circunferência.
4 3=
3
.
P
Q
R
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-
termine a distância d entre P e A sabendo que o 
ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cmpresilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-
de por meio de uma presilha retangular, como mostra a 
figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, 
vale:
a) 16 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
d) 19 cm
e) 20 cm
A
B
C D
E
12
 c
m
16 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-
cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma 
menor destacada. Determine o raio da circunferência 
menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de 
tangência.
Jeca 100
A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH 
tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º 
do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, 
então a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 - 1
2
3 - 1
2
2 - 1
2
2
2
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-
tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-
to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a 
distância AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto 
médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O 
segmento RM é perpendicular a PQ e RM 
Calcule:
a) o raio da circunferência;
b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da 
circunferência.
4 3=
3
.
P
Q
R
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-
termine a distância d entre P e A sabendo que o 
ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cmpresilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-
de por meio de uma presilha retangular, como mostra a 
figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, 
vale:
a) 16 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
d) 19 cm
e) 20 cm
A
B
C D
E
12
 c
m
16 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-
cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma 
menor destacada. Determine o raio da circunferência 
menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de 
tangência.
Jeca 100
A
B
C
P
E
d
d
4
3 
- d
3 β
α
2 2 2
Pitágoras (BC) = 3 + 4
BC = 5 cm
Semelhança de triângulos.
5d = 12 - 4d
9d = 12
d = 12/9 = 4/3 
3 - d
β
5 =
d
4
R
R - 8
12
Pitágoras
2 2 2
R = (R - 8) + 12
Resolvendo, tem-se
R = 13 cm
x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm Resposta c
1a
(Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2
a 2 = 1 + a + 1
a 2 = a + 2
a 2 - a = 2
a = 2
2 - 1
Resposta e
16
8
16 - d
8
Pitágoras
2 2 2
d = 8 + (16 - d)
2 2
d = 64 + 256 - 32d + d
32d = 320
d = 10 cm Resposta
4
4
R
R - 
Pitágoras
2 2 2
R = 4 + (R - )
2 2
R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3
R 3 = 8
R = 8 3 /3 cm Resposta
b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2 MOQ = 60º
Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120º Resposta
4 3
3
4 3
3
4 3
3
a)
44 4 4
R
R 
+ 
4 8 - R
Pitágoras
2 2 2
(R + 4) = (8 - R) + 4
2 2
R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16
24R = 64
R = 64/24 = 8/3 cm Resposta
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de 
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a 
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio 
da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
3
1 +
1 + 7
3
1 + 7
4
7
4
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência 
sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência 
nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e 
AE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito 
na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm 
e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.
O
P
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de 
centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as 
distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm 
e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 101
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de 
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a 
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio 
da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
3
1 +
1 + 7
3
1 + 7
4
7
4
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência 
sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência 
nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e 
AE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito 
na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm 
e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.
O
P
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de 
centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as 
distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm 
e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 101
1 m
3/4 m
x
Pitágoras
2 2 2
1 = x + (3/4)
2 x = 1 - 9/16 = 7/16
x = 7 / 4
h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp) 
R
2
9
9 - R
R - 2
2Pitágoras
2 2 2
R = (R - 2) + (9 - R)
2 2 2
R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R
2
R - 22R + 85 = 0
Raízes
R = 17 cm (não convém porque é maior que 9)
R = 5 cm Resposta
3 
 1
0
3 3
Pitágoras
2 2 2
(3 10 ) = h + 3
2
90 = h + 9
2
h = 81
h = 9 cm
Pitágoras
h
R
9 - R
2 2 2
R = 3 + (9 - R)
2 2
R = 9 + 81 - 18R + R
18R = 90
R = 5 cm Resposta
15cm
9
R
R
Pitágoras
2 2 2
(R + 9) = R + 15
2 2
R + 18R + 81 = R + 225
18R = 144
R = 8 cm Resposta
A
B CH
D
E
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem 
catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem 
centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no 
ponto H. Determine a área da região sombreada na 
figura. A
B CD
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC 
que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. 
Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e 
raio AB e uma circunferência de centro em E, que 
tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a 
medida do raio da circunferência.
O
A
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D 
estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-
cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e 
AE = 15 cm.
Jeca 102
A
B CH
D
E
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem 
catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem 
centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no 
ponto H. Determine a área da região sombreada na 
figura. A
B CD
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC 
que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. 
Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e 
raio AB e uma circunferência de centro em E, que 
tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a 
medida do raio da circunferência.
O
A
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D 
estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-
cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e 
AE = 15 cm.
Jeca 102
12 16h
a
2 2 2
Pitágoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400
a = 20 cm
20 . h = 16 . 12
h = 192 / 20 = 48 / 5 cm
mas h = raio do setor circular
2
S = S - S = 12 . 16 / 2 - pi . (48/5) / 4Triâng Setor
2
S = (96 - 576pi/25) cm (resp)
a . h = b . c
r x
r
16
AC = diagonal
AC = 16 2
EC = diagonal
EC = r 2
AC = 16 + r + r 2
16 2 = 16 + r + r 2
2
r = 16( 2 - 1) 
r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp)
5 7
10
h
x 10 - x
Pitágoras
2 2 2 2 2
5 = h + x h + x = 25
2 2 2
7 = h + (10 - x)
2 2
49 = h + 100 - 20x + x
2 2
49 = (h + x ) - 20x + 100
49 = 25 - 20x + 100
20x = 125 - 49 = 76
x = 76/20 = 19/5
2 2
h + (19/5) = 25
2
h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25
h = 264/25 = 2 66 /5 cm Resposta
9
8 cm
7 
R R
x
Pitágoras
2 2 2
15 = 9 + x
2
x = 225 - 81 = 144
x = 12 cm
Semelhança de triângulos
2R
15 =
8
12
2R = 120/12 = 10
R = 5 cm Resposta
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6 
cm
8 cm
a
A
B C
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y z
t
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
x
y
zt
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
x
7 
cm
9 cm
13 cm
12 cm
x
x12 
cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Exercícios complementares da aula 09.
Jeca 103
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6 
cm
8 cm
a
A
B C
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y z
t
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
x
y
zt
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
x
7 
cm
9 cm
13 cm
12 cm
x
x12 
cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Exercícios complementares da aula 09.
Jeca 103
2 2 2
a = b + c
2 2
 = 8 + 6 = 100
a = 10 cm (resp)
2
b = a . n
2
c = a . m
a . h = b . c
2
8 = 10 . n
n = 64/10 = 32/5 cm (resp)
2
6 = 10 . m
m = 36/10 = 18/5 cm (resp)
10 . h = 8 . 6
h = 48/10 = 24/5 cm (resp)
x = 9 + 3 = 12 cm
2
y = 9 . 3 = 27
y = 3 3 cm
2
h = m . n
Pitágoras
2 2 2
t = y + 9 = 27 + 81 = 108
t = 108 = 6 3 cm
2
z = 12 . 3 = 36
z = 6 cm
2 2 2
a = b + c
2
b = a . n
9
12
Pitágoras
2 2 2
x = 9 + 12 = 225
x = 15 cm
2
9 = 15 . y
y = 81 / 15 = 27/5 cm
2 2 2
a = b + c
2
b = a . n
2
c = a . m
a . h = b . c
2
12 = 15 . z
z = 144 / 15 = 48 / 5 cm
15 . t = 9 . 12
t = 108 / 15 = 36 / 5 cm
Pitágoras
2 2 2
x = 7 + 9
2
x = 49 + 81 = 130
x = 130 cm Resposta
Pitágoras
2 2 2
13 = x + 12
2
x = 169 - 144 = 25
x = 5 cm Resposta
Pitágoras
2 2 2
12 = x + 9
2
x = 144 - 81 = 63
x = 3 7 cm Resposta
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
x
y
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
da a
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a a
h
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1 
cm
1 cm
1 cm
1 c
mx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
14
6
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre 
o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e 
BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
x
y
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
da a
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a a
h
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1 
cm
1 cm
1 cm
1 c
mx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
14
6
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre 
o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e 
BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
2 2 2
y = x + z
2 2 2
x = y - z
2 2
x = y - z (resp)
A B
CD
I
J
x
x
x
x
25 - x
1515
Pitágoras
2 2 2
x = 15 + (25 - x)
Resolvendo, tem-se
x = 17 cm (Resposta)
Pitágoras
2 2 2 2
d = a + a = 2a
2
d = 2a
d = a 2 Resposta
a/2
Pitágoras
2 2 2
a = h + (a/2)
2 2 2
h = a - (a/2)
2 2
h = 3.a /4
h = a 3 /2 Resposta
Pitágoras
2 2 2
x = 1 + 1 = 2
x = 2
2 2 2
y = x + 1 = 2 + 1 = 3
y = 3
2 2 2
z = y + 1 = 3 + 1 = 4
z = 4 = 2 Respostas
Pitágoras
2 2 2
6 = x + y
2 2
x + y = 36
2 2 2
14 = x + (y + 10)
2 2
196 = x + y + 20y + 100
196 = + 20y + 100
20y = 196 - 100 - 36 = 60 y = 3
2
x = 36 - 9 = 27 x = 3 3 Resposta
36
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo,o triângulo ABC é 
eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se 
AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio 
de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E 
é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-
de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se 
também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a 
medida de AD.
A
B C
D
E
60º
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos 
médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. 
Determine o raio da circunferência inscrita no 
quadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k 
e duas circunferências interiores tangentes entre si e 
tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-
ferência menor em função de k.
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, 
determine a medida da diagonal AC sabendo-se que 
AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência 
da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo 
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, 
determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 105
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é 
eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se 
AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio 
de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E 
é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-
de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se 
também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a 
medida de AD.
A
B C
D
E
60º
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos 
médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. 
Determine o raio da circunferência inscrita no 
quadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k 
e duas circunferências interiores tangentes entre si e 
tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-
ferência menor em função de k.
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, 
determine a medida da diagonal AC sabendo-se que 
AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência 
da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo 
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, 
determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 105
8 8
4 4
2 2 2
(AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48
AD = 48 = 4 3 cm
DM = AD/2 = 2 3 cm
2 2 2
(CM) = (DM) + (CD)
2 2 2
(CM) = (2 3 ) + 4 
2
(CM) = 12 + 16 = 28
CM = 28 = 2 7 cm
 (resp)
α
tg α = 3 /1 = 3
α = 60º
Pitágoras
2 2 2
y = ( 3 ) + 1 = 4
y = 2
O triângulo ADB é retângulo
2 2 2
x = ( 3 ) + 2
Portanto x = 7 (Resposta)
= 30º
x
y
10 cm
6
R
RPitágoras
2 2 2
(R + 6) = R + 10
2 2
R + 12R + 36 = R + 100
12R = 64
R = 64/12 = 16/3 cm Resposta
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
2R
2R
Pitágoras
2 2 2
(2R) = (1/2) + (1/2)
2
4R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
2
R = 1/8
R = 1/8
R = 1 / 2 2
R = 2 /4 Resposta
6 cm
5 cm
6 4
h
Pitágoras
2 2 2
5 = 4 + h h = 3 cm
2 2 2
(AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45
AC = 45 = 3 5 cm Resposta
r
r 2
r
r
k/2O
A
E
E
A
OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2)
k/2
k 2
2 =
k
2
+ r 2r + k( 2 - 1)
2
r(1 + 2 )=
r = k(3 - 2 2 )2 Resposta
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a 
um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse 
trapézio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância 
entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, 
sendo P e Q pontos de tangência.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância 
entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de 
tangência, calcule a distância PQ. 
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. 
Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T 
ponto de tangência.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são 
tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência 
maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, 
determine o raio da circunferência menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a 
um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse 
trapézio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância 
entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, 
sendo P e Q pontos de tangência.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância 
entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de 
tangência, calcule a distância PQ. 
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. 
Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T 
ponto de tangência.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são 
tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência 
maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, 
determine o raio da circunferência menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
4
1
3
2 2 2
5 = 3 + h
2
h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
3
2
9 cm
5
2
2
d
d
Pitágoras
2 2 2
9 = 7 + d
2
d = 81 - 49 = 32
d = 4 2 cm (Resposta)
y
Pitágoras
2 2 2 2 2 6 = x + y x + y = 36
2 2 2
12 = y + (x + 8)
2 2
144 = y + x + 16x + 64
144 = 36 + 16x + 64
16x = 144 - 100
x = 44/16 = 11/4 Resposta
>
5
3 3
13 cm
x
x
Pitágoras
2 2 2
13 = 5 + x
2
x = 169 - 25 = 144
x = 12 cm Resposta
4 4
R 8 - R
R
Pitágoras
2 2 2
R = 4 + (8 - R)
2 2
R = 16 + 64 - 16R + R
16R = 80
R = 5 cm Resposta
2 2
2
R
R
4 - R
Pitágoras
2 2 2
(2 + R) = 2 + (4 - R)
2 2
4 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R
12R = 16
R = 16/12 = 4/3 Resposta
10 cm
3 cm 3 cm
A
B D C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois 
círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e 
tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a 
medida do lado AD do retângulo.
A B
CD
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num 
triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do 
triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados 
desse triângulo e o seu perímetro.
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são 
tangentes externamente. Determine a medida de um 
segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da 
reta AB com as circunferências. 8 cm
y
7 c
m
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
8 6
x
A B
C
D
E
6 6 
2 
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e 
ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
10 cm
3 cm 3 cm
A
B D C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois 
círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e 
tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a 
medida do lado AD do retângulo.
A B
CD
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num 
triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do 
triângulo é 8 cm, determinaras medidas dos lados 
desse triângulo e o seu perímetro.
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são 
tangentes externamente. Determine a medida de um 
segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da 
reta AB com as circunferências. 8 cm
y
7 c
m
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
8 6
x
A B
C
D
E
6 6 
2 
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e 
ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
2 2 2
10 = 6 + y 
2
y = 100 - 36 = 64
y = 8 cm
2 2 2
x = 3 + 8 
2
x = 9 + 64 = 73
x = 73 cm (resp)
xy
8
x
5
8 + 5 = 13
8 5y
8 + y + 5 = 20
y = 20 - 13 = 7
Pitágoras
2 2 2
13 = 7 + x
2
x = 169 - 49 = 120
x = 120 = 2 30
AD = 8 + x + 5
AD = (13 + 2 30 ) cm (resp) 
142
x
Pitágoras
2 2 2
14 = 2 + x
2
x = 196 - 2 = 192
x = 8 3 cm
Resposta
Pitágoras
2 2 2
(x + y) = 7 + 8 = 113
x + y = 113 cm
Relações métricas no triângulo retângulo.
2
c = a . m
2
b = a . n
2
7 = 113 . x
x = 49 . 113 / 113 cm
2
8 = 113 . y
y = 64 . 113 / 113 cm
Respostas
3
5
3
x
Pitágoras
2 2 2
5 = 3 + x
x = 4 cm
y
Semelhança de triângulos
3
y
x
8=
3
y
4
8=
y = 6 cm
Pitágoras
2 2 2
(AB) = 6 + 8 AB = 10 cm
AB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm
Perímetro = AB + AC + BC = 32 cm Respostas
RR - 2
Pitágoras
2 2 2
R = (R - 2) + 6
2 2
R = R - 4R + 4 + 36
4R = 40
R = 10 cm 
CD = R - 2 = 10 - 2
CD = 8 cm Resposta
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de 
raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência 
menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio 
da circunferência menor.
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5 c
m 2 13 cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retângulo ABCD da figura abaixo tem lados AB = 
40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a 
medida do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 
cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são 
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem 
base na reta AB. Determine a medida do lado desse 
quadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com 
dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices 
diagonalmente opostos coincidam. Determine o 
comprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de 
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus 
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a 
de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-
ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-
tância de A a D’.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BD’x
 Determine a função que expressa a área do triângulo 
sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
Jeca 108
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de 
raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência 
menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio 
da circunferência menor.
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5 c
m 2 13 cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retângulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cm 
e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida 
do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 
cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são 
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem 
base na reta AB. Determine a medida do lado desse 
quadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com 
dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices 
diagonalmente opostos coincidam. Determine o 
comprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de 
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus 
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a 
de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-
ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-
tância de A a D’.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BD’x
 Determine a função que expressa a área do triângulo 
sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
Jeca 108
x 9 - x
2 2 2
x + h = 5 = 25
2 2 2 2 2
(2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x 
2 2
52 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 81
18x = 54
x = 3
2 2
3 + h = 25
2
h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
α
α
90 - α
6
y
x
8 - 2y
8 - y 6
y
y
8 - yA B
CD
E
F
G
6
Os triângulos AEF e ADG são congruentes pelo caso A.L.A.
2 2 2
Pitágoras (8 - y) = 6 + y
y = 7/4
O triângulo FGH é retângulo
Pitágoras
2 2 2
x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4
 x = FG = 15/2 Resposta
yH
8
8
8 8
8
8
2r
Diagonal do quadrado de
lado 16 cm
d = 16 2 cm
Mas d = 8 + 2r + 8
 d = 16 + 2r
Então 16 2 = 16 + 2r
2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1)
r = 8( 2 - 1) cm Resposta
x x
10 10 - x
10 - (x/2)
Pitágoras
2 2 2
10 = (10 - x) + [10 - (x/2)]
2
x - 24x + 80 = 0
Raízes 
x = -20 (não convém pois é maior que o raio)
x = 4 cm Resposta
x/2
Resolução na próxima página
Pitágoras
2 2 2
(BD) = (AB) + (BC)
2 2 3
(BD) = 40 + 30 
2
(BD) = 2 500
 BD = 50 cm
Semelhança de triângulos 
∆ ABF ~ ∆ DEF
x
50 
- x
α
αβ
β
θ
θ
1030
40
40
30
x
50 - x=
2 000 - 40 x = 30 x
2 000 = 70 x
x = 2 000/70 = 200/7 cm Resposta
Jeca 109
figura 2
A BD’x
y
21
 - 
y
21
21 - y
Pitágoras
2 2 2
(21 - y) = y + x
2 2 2
441 - 42y + y = y + x
2
-42y = x - 441
2
42y = 441 - x
2
y = (441 - x ) / 42
Área do triângulo
S = b . h /2 = x . y /2
S =
x .
2
(441 - x )
42
2 =
3
441x - x
84
Respostas dos exercícios da Aula 09.
01) 
 106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm 
e (45 106 / 106) cm
02)
12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm
03) 
4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm
04) 69 cm
05) b
06) b
07) d
08) b
09) d
10) 4 / 3
11) e
12) 10 cm
13) 
a) 8 3 / 3
b) 120º
14) (8 / 3) cm
15) c
16) e
17) 5 cm
18) 5 cm
19) 8 cm
220) (96 - (576pi / 25)) cm 
21) (2 66 / 5) cm
22) 16(3 - 2 2 ) cm
23) 5 cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 110
Respostas dos exercícios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 2 05) x = y - z 
06) d = a 2
07) h 
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 3
2=
= k(3 - 2 2 )2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=
3-x + 441x
84
21)

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