exercícios resolvidos de geometria plana

I) Semelhança de triângulos.
Definição.
 Dois triângulos são semelhantes se 
têm os ângulos dois a dois congruentes 
e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais.
Definição mais "popular".
 Dois triângulos são semelhantes se 
um deles é a redução ou a ampliação 
do outro.
A
BC
D
EF
∆ABC ∆DEF ~ >
A D
B E
C F 
 e
AB AC BC
DE DF EF k= =
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer 
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios 
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
 Dois triângulos são semelhantes 
se dois ângulos (AA) de um deles 
são congruentes a dois ângulos do 
outro.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm um ângulo congruente e os 
dois lados de um triângulo adjacen-
tes ao ângulo são proporcionais 
aos dois lados adjacentes ao ângu-
lo do outro triângulo.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm os três lados dois a dois or-
denadamente proporcionais.
α β
α β
a b
c
d e
f
a b c
d e f k= = =
α
α
a
c
d
f
a c
d f k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de α, β e γ os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no 
numerador da proporção.
A
B C
D
12
4
x
=
α
α
semelhante
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o 
valor de x na figura abaixo.
Jeca 84
I) Semelhança de triângulos.
Definição.
 Dois triângulos são semelhantes se 
têm os ângulos dois a dois congruentes 
e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais.
Definição mais "popular".
 Dois triângulos são semelhantes se 
um deles é a redução ou a ampliação 
do outro.
A
BC
D
EF
∆ABC ∆DEF ~ >
A D
B E
C F 
 e
AB AC BC
DE DF EF k= =
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer 
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios 
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
 Dois triângulos são semelhantes 
se dois ângulos (AA) de um deles 
são congruentes a dois ângulos do 
outro.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm um ângulo congruente e os 
dois lados de um triângulo adjacen-
tes ao ângulo são proporcionais 
aos dois lados adjacentes ao ângu-
lo do outro triângulo.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm os três lados dois a dois or-
denadamente proporcionais.
α β
α β
a b
c
d e
f
a b c
d e f k= = =
α
α
a
c
d
f
a c
d f k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de α, β e γ os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no 
numerador da proporção.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o 
valor de x na figura abaixo.
A
B C
D
12
4
x
=
α
α
semelhante
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Jeca 84
A
B Cx
α
16
αβ θ βθ
4
x
Semelhança de triângulos
x
4
16
x=
2
x = 64
Portanto x = 8 (resp)
A
B C
D E
A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm 
e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a 
medida dos segmentos AE e CD.
A B C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-
termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo 
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-
lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD 
interceptam-se no ponto E. Determine a distância 
entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD 
mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-
mentos AD e AE.
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
Jeca 85
A
B C
D E
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-
mentos AD e AE. A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm 
e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a 
medida dos segmentos AE e CD.
A B C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-
termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo 
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-
lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD 
interceptam-se no ponto E. Determine a distância 
entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD 
mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
Jeca 85
8
12
x y9
13
Semelhança de triângulos
x
9
y
13
8
12
==
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)
7
5
6
x
10
y
α
β
θ
β
α
Semelhança de triângulos.
7
12 =
x
x + 6
10
y=
12x = 7x + 42
5x = 42
x = 42/5 cm 
7y = 120
y = 120/7 cm
Respostas
5
3
7
Per = 45 cm ACD
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
7
AD
3
CD
5
AC=
PerABE
PerACD
7 + 5 + 3
45
15
45
1
3= = = = =
5
AC =
1
3 AC = 15 cm
3
CD =
1
3 CD = 9 cm
Respostas
8 cm
18
12
12 - d
∆ ABE ~ ∆ CDE
8
18 =
12 - d
d
8d = 216 - 18d
26d = 216
d = 108/13 cm Resposta
8
18
12
d
8 =18
d
d + 12
18d = 8d + 96
d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta
8
4
x
14 - x
β
α
β
α
x
14 - x =
4
8
8x = 56 - 4x
12x = 56
x = 56/12 = 14/3 cm Resposta
P
A
B
C