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I) Semelhança de triângulos. Definição. Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais. Definição mais "popular". Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro. A BC D EF ∆ABC ∆DEF ~ > A D B E C F e AB AC BC DE DF EF k= = K - razão da semelhança ou constante de proporcionalidade. Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc. II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos) 1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL. Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro. Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacen- tes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângu- lo do outro triângulo. Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois or- denadamente proporcionais. α β α β a b c d e f a b c d e f k= = = α α a c d f a c d f k= = III) Como aplicar a semelhança de triângulos. a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança". b) Desenhar os dois triângulos separados. c) Chamar de α, β e γ os três ângulos de cada triângulo. d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção. e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção. A B C D 12 4 x = α α semelhante Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Aula 08 Semelhança de triângulos. Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o valor de x na figura abaixo. Jeca 84 I) Semelhança de triângulos. Definição. Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais. Definição mais "popular". Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro. A BC D EF ∆ABC ∆DEF ~ > A D B E C F e AB AC BC DE DF EF k= = K - razão da semelhança ou constante de proporcionalidade. Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc. II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos) 1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL. Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro. Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacen- tes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângu- lo do outro triângulo. Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois or- denadamente proporcionais. α β α β a b c d e f a b c d e f k= = = α α a c d f a c d f k= = III) Como aplicar a semelhança de triângulos. a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança". b) Desenhar os dois triângulos separados. c) Chamar de α, β e γ os três ângulos de cada triângulo. d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção. e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção. Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o valor de x na figura abaixo. A B C D 12 4 x = α α semelhante Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Aula 08 Semelhança de triângulos. Jeca 84 A B Cx α 16 αβ θ βθ 4 x Semelhança de triângulos x 4 16 x= 2 x = 64 Portanto x = 8 (resp) A B C D E A B C D E 03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a medida dos segmentos AE e CD. A B C D E 04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De- termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu- lo ACD mede 45 cm. A B CD E 05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD interceptam-se no ponto E. Determine a distância entre o ponto E e a base CD. d A B CD A B C D E 07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD. 02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me- dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg- mentos AD e AE. 06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter- secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de- termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE. Jeca 85 A B C D E 02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me- dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg- mentos AD e AE. A B C D E 03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a medida dos segmentos AE e CD. A B C D E 04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De- termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu- lo ACD mede 45 cm. A B CD E 05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD interceptam-se no ponto E. Determine a distância entre o ponto E e a base CD. d A B CD 06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter- secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de- termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE. A B C D E 07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD. Jeca 85 8 12 x y9 13 Semelhança de triângulos x 9 y 13 8 12 == x = 9 . 8 / 12 = 6 cm y = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp) 7 5 6 x 10 y α β θ β α Semelhança de triângulos. 7 12 = x x + 6 10 y= 12x = 7x + 42 5x = 42 x = 42/5 cm 7y = 120 y = 120/7 cm Respostas 5 3 7 Per = 45 cm ACD Semelhança de triângulos. Semelhança de triângulos. Semelhança de triângulos. Semelhança de triângulos. 7 AD 3 CD 5 AC= PerABE PerACD 7 + 5 + 3 45 15 45 1 3= = = = = 5 AC = 1 3 AC = 15 cm 3 CD = 1 3 CD = 9 cm Respostas 8 cm 18 12 12 - d ∆ ABE ~ ∆ CDE 8 18 = 12 - d d 8d = 216 - 18d 26d = 216 d = 108/13 cm Resposta 8 18 12 d 8 =18 d d + 12 18d = 8d + 96 d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta 8 4 x 14 - x β α β α x 14 - x = 4 8 8x = 56 - 4x 12x = 56 x = 56/12 = 14/3 cm Resposta P A B Cx y z50º 40º 45º 13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi- ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor- me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine o valor de z em função de x e y. A B C DE F 08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado desse losango. A B C D E h 10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a medida da altura H do trapézio BCED em função de x, y e h. H x y A B CD E FG h = 6 cm 11) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do perímetro do menor quadrado. 9 cm 6 cm x 12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e DE = 5 cm. Determine a medida de BC. A B C D E Jeca 86 09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua- drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter- mine a medida do lado desse quadrado. (GeoJeca) P A B C x y z50º 40º 45º 13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi- ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor- me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine o valor de z em função de x e y. A B C DE F 08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado desse losango. A B C D E h 10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a medida da altura H do trapézio BCED em função de x, y e h. H x y A B CD E FG h = 6 cm 11) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do perímetro do menor quadrado. 9 cm 6 cm x 12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e DE = 5 cm. Determine a medida de BC. A B C D E Jeca 86 8 12 x x x x 12 - x ∆ABC ~ ∆CDF 12 - x 12 = x 8 12x = 96 - 8x 20x = 96 x = 96/20 = 4,8 cm (resp) Semelhança de triângulos base Base altura Altura= x y h h + H= xh + xH = yh xH = yh - xh H = (yh - xh) / x (resp) ou H = h(y - x) / x (resp) α β α β 8 x 20 - x 5 Semelhança de triângulos. x 5 8 20 - x= > 2 x - 20x + 40 = 0 Resolvendo, tem-se x = 10 + 2 15 cm ou x = 10 - 2 15 cm (resp) 45º 50º 40º D ∆PDC é isósceles DC = PD = z ∆ADP ~ ∆BDP z x z z y= z = x . y (resp) 09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua- drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter- mine a medida do lado desse quadrado. (GeoJeca) x x 12 cm 6 - x Semelhança de triângulos. x 12 6 - x 6= 6x = 72 - 12x 18x = 72 x = 4 cm Resposta 3 6 x6 - x Semelhança de triângulos. x 6 = 6 - x 3 3x = 36 - 6x 9x = 36 x = 4 cm Per = 4.x = 16 cm Resposta IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência. Dada uma circunferência λ e um ponto P, P não pertencente a λ, se A e B são os pontos de intersecção entre λ e a reta secante a λ por P, define-se potência de P em relação a λ o produto PA x PB. Propriedade. Dados λ e P, a potência de P em relação a λ é constante, qualquer que seja a reta AB secante a λ por P. A BP λ Potência = PA x PB 1º caso: O ponto P é interior a λ. 2º caso: O ponto P é exterior a λ. A BP λ C D E F G H PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte O P λ O T A B C D T é ponto de tangência PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2 A B C D P O 14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten- cem à circunferência λ. Sabendo que PA = 6, PB = 8 e que PD = 12, determine a medida do segmento PC. A B C P O 15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência λ. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de- termine a medida do segmento PC. λ λ A B C D P O λ 16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten- cem à circunferência λ. Sabendo que PA = 6, AB = 8 e CD = 5, determine a medida do segmento PD. A B P O λ 17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à circunferência de centro O. Determine a medida do raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e PO = 4. Jeca 87 IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência. Dada uma circunferência λ e um ponto P, P não pertencente a λ, se A e B são os pontos de intersecção entre λ e a reta secante a λ por P, define-se potência de P em relação a λ o produto PA x PB. Propriedade. Dados λ e P, a potência de P em relação a λ é constante, qualquer que seja a reta AB secante a λ por P. A BP λ Potência = PA x PB 1º caso: O ponto P é interior a λ. 2º caso: O ponto P é exterior a λ. A BP λ C D E F G H PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte O P λ O T A B C D T é ponto de tangência PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2 A B C D P O 14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten- cem à circunferência λ. Sabendo que PA = 6, PB = 8 e que PD = 12, determine a medida do segmento PC. A B C P O 15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência λ. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de- termine a medida do segmento PC. λ λ A B C D P O λ 16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten- cem à circunferência λ. Sabendo que PA = 6, AB = 8 e CD = 5, determine a medida do segmento PD. A B P O λ 17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à circunferência de centro O. Determine a medida do raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e PO = 4. Jeca 87 Potência de ponto PA . PC = PB . PD 6 . x = 8 . 12 x = 96/6 = 16 cm (resp) 6 8 12 x C D 6 10 4 R PC = R - 4 PD = R + 4 Potência PA x PB = PC x PD 6 x 10 = (R - 4).(R + 4) 2 2 R - 4 = 60 2 R = 76 R = 2 19 uc (resp) Potência de ponto 2 PA . PB = PC 2 4.(4 + 12) = PC 2 PC = 64 PC = 8 (Resp.) 6 8 5 xPotência de ponto PA x PB = PC x PD 6 . 14 = x.(x + 5) 2 x + 5x - 84 = 0 Raízes x = -12 (não convém) x = 7 cm Resposta A B C D E 18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. Determine a medida do segmento EC. 20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do segmento CD. α α A B C D 21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen- to PC. A B C P 19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa- ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen- te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co- mo mostra a figura abaixo.Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam ? Despreze as espessuras das barras. h 3 m 9 m Jeca 88 A B C D E 18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. Determine a medida do segmento EC. 20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do segmento CD. α α A B C D 21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen- to PC. A B C P 19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa- ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen- te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co- mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam ? Despreze as espessuras das barras. h 3 m 9 m Jeca 88 A B C E D C5 12 3 y x α β βα 2 2 2 Pitágoras y = 5 + 12 y = 13 cm Semelhança de triângulos x = 39/5 cm (resp) x 13 = 3 5 P A B P A Cx + 7 x y y 6 8 α α β β θ θ Semelhança de triângulos x + 7 y y x 8 6 = = y 8x 6= = 4x 3 8y = 6(x + 7) 8.(4x/3) = 6x + 42 32x = 18x + 126 x = 126/14 = 9 uc (resp) A B C D E x y ∆ABE ~ ∆CDE ∆BFE ~ ∆BCD 39 = yx F x x + y h 3== x + y 12 x + y h 3x=x + y = 12x9 = 12x9h 3x h = 9/4 = 2,25 m (resp) β β θ θ 8 10 7 x Semelhança de triângulos x 10 = 10 7 x = 100/7 cm (resp) A B P Q O 22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên- cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa circunferência. Determine a medida do segmento BQ, sabendo que o segmento PQ mede 3 cm. A t B C D E 24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à circunferência no ponto A e paralela ao segmento DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do segmento BD será: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe- rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva- mente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao catero BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale a) b) c) d) e) 63 25 12 5 58 25 56 25 11 5 A B C D E F Jeca 89 A B P Q O 22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên- cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa circunferência. Determine a medida do segmento BQ, sabendo que o segmento PQ mede 3 cm. A t B C D E 24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à circunferência no ponto A e paralela ao segmento DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do segmento BD será: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe- rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva- mente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao catero BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale a) b) c) d) e) 63 25 12 5 58 25 56 25 11 5 A B C D E F Jeca 89 A B P Q A B x x + 3 2 10 2 10 α β βα Semelhança de triângulos x + 3 2 10 = x 2 10 2 x + 3x - 40 = 0 x = -8 ou x = 5 x = 5 cm (resp) 6 5 7 α β θ θ β β P Os ângulos PAB , ADE e BCA são congruentes e iguais a β. PAB e ADE são colaterais internos PAB = β é ângulo de segmento BCA = β é ângulo inscrito Semelhança de triângulos. 60 = 6x + 36 6x = 24 x = 4 (resp) 6 12 = 5 x + 6 x A D B C E F G 5 7 4 3 6 x y Potência de ponto EB.EA = EC.ED 5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3) y = 8 Potência de ponto AG.GF = DG.GC 6 . x = 3 . 8 x = 4 Resposta d 4 3 5 3/2h b3 - b Semelhança de triângulos h 4 3 - b 3/2 5= 3 = h = 12/10 b = 21/10 S = b . h 1210 21= . 10 = 252 100 S 6325= Resposta a 01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE. A B C D E 12 cm 8 cm x y 9 cm 11 cm A B C D E 02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE. A B CD E 8 cm 14 cm d 6 cm 03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD. 3 cm 5 cm x 4 cm 04) Na figura abaixo, determinar o valor de x. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Semelhança de triângulos e Potência de ponto. Exercícios complementares da aula 08. Jeca 90 01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE. A B C D E 12 cm 8 cm x y 9 cm 11 cm A B C D E 02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE. A B CD E 8 cm 14 cm d 6 cm 03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD. 3 cm 5 cm x 4 cm 04) Na figura abaixo, determinar o valor de x. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Semelhança de triângulos e Potência de ponto. Exercícios complementares da aula 08. Jeca 90 Semelhança de triângulos x = 9 . 8 / 12 = 6 cm y = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp) x 9 y 11 8 12= = D AEB ~ D CDE 6 - d b B h H= =814 6 - d d d = 42/11 cm (Resp.) α β β α 8 5 10 x y z Pitágoras 2 2 2 x = 8 + 10 2 x = 64 + 100 = 164 x = 2 41 cm Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelo caso AA. 8 5 = 10 y x z= 8.y = 50 y = 50/8 = 25/4 cm 8.z = 5.x = 5 . 2 41 z = 5 41 /4 cm Semelhança de triângulos. 3 5 = x x + 4 5x = 3x + 12 2x= 12 x = 6 cm Resposta 05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE. A B CD E 3 cm 4 cm A B C D 06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e determinar a medida do segmento BC. A B CD E P 07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB. a a 08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC. A B CD E FG h = 8 cm A E x 09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que forneça t como função de x , y e z. B C Dy z t Jeca 91 05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE. A B CD E 3 cm 4 cm A B C D 06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e determinar a medida do segmento BC. A B CD E P 07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB. a a 08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC. A B CD E FG h = 8 cm A E x 09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que forneça t como função de x , y e z. B C Dy z t Jeca 91 α β β β α α 4 cm 2 2 2 Pitágoras (AC) = 3 + 4 = 25 AC = 5 cm Semelhança de triângulos. ∆ADC ~ ∆ABE AD BE = AC AB DC AE= = =3BE 5 4 4 AE BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cm AE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp) A B C D B C 14 x 4 x a a b c c b 4 x x 14 = 2 x = 4 . 14 x = 2 14 cm (Resp.) C é um vértice comum aos dois triângulos. Os triângulos são semelhantes pelo caso AA. α θ θ α β β Os triângulos ABP e DEP são semelhantes pelo caso AA. AP DP = PB PE Portanto AP x PE = DP x PB (CQD) α β θ α β x x 8 - x Os triângulos AGF e ABC são semelhantes pelo caso AA. x 16 = 8 - x 8 16 cm 128 - 16x = 8x 24x = 128 x = 128/24 = 16/3 cm 2 2 2 S = x = (16/3) = (256/9) cm Resposta α 90 - α 90 - αα Os triângulos CDE e ABC são semelhantes pelo caso AA. t y = z x t = y . z x Resposta A B C D E 10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e CE. A B CD E 11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do segmento DE. 12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, determinar a medida do lado AC desse triângulo. 13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 cm, determinar a medida do segmento CN. A B C D N M 14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD. h A B C D E O Jeca 92 A B C D E 10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e CE. A B CD E 11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do segmento DE. 12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, determinar a medida do lado AC desse triângulo. 13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 cm, determinar a medida do segmento CN. A B C D N M 14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD. h A B C D E O Jeca 92 A B C A D E α β α θ α β θβ θ θ β 12 8 9 5 AB AE = AC AD BC DE= = =12AE 9 AD 8 5 AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cm AD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp) P 5 5 5 5 6 11 60º 120º60º 120º Seja P ponto médio de BC. Então MP // AC MP = AC/2 = 10/2 = 5 cm DBMP é equilátero.. Então os ângulos MPD e NCD são congruentes. Semelhança de triângulos ∆MPD ~ ∆NCD NC = 30/11 cm (resp) 5 NC 5 6 11= 3 4 3x α β α β Os triângulos são semelhantes pelo caso AA. Pitágoras 2 2 2 y = 3 + 4 = 25 y = 5 y Semelhança de triângulos x 3 = 3 5 x = 9/5 cm Resposta A B C E F 4 5 6 cm C F 4 B E 5 A α β α β 6 cm Semelhança de triângulos x x 6 4 5= x = 24/5 cm Resposta α α β β 10 30 6 Semelhança de triângulos. ∆ ABD ~ ∆ ACE 6 30 = h 10 h = 2 cm Resposta Observação - Os ângulos ABC e AEC são congruentes pois são ângulos inscritos no mesmo arco AC. 15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm e 8 cm. 12 cm 8 cm 8 cm 5 cm x x xt y 16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e de y. 17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do perímetro do menor quadrado. A B CD M P h 18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP. A M N B PQ C 4 cm 19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse retângulo. 20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de ABCD. A B CD Jeca 93 15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm e 8 cm. 12 cm 8 cm 8 cm 5 cm x x xt y 16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e de y. 17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm.Determinar a medida do perímetro do menor quadrado. A B CD M P h 18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP. A M N B PQ C 4 cm 19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse retângulo. 20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de ABCD. A B CD Jeca 93 5 8 - 5 = 3 Semelhança de triângulos. x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp) 5 3 5 5 x = y y t - y y x = t - y y Semelhança de triângulos 2 y = x.(t - y) 2 x = y /(t - y) Resposta 4 8 - x x x 8 = 8 8 - x 4 Semelhança de triângulos 4x = 64 - 8x 12x = 64 x = 64/12 = 16/3 cm Per = 2p = 4x = 64/3 cm Resposta 9 x x α β αβ 9 - h 2xOs triângulos ABP e MCP são semelhantes pelo caso AA. 2x x = 9 - h h 2h = 9 - h 3h = 9 h = 3 cm Resposta 4 cm x y 4 - xSemelhança de triângulos. y 4 = 4 - x 4 x + y = 4 Per = 2p = x + y + x + y Per = 4 + 4 = 8 cm Resposta 8 14 6 hSemelhança de triângulos. h h + 6 = 8 14 14h = 8h + 48 6h = 48 h = 8 cm d = h + 6 d = 8 + 6 d = 14 cm Resposta 21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3 A B C O O O1 2 3 r 22) Na figura abaixo, determine o valor de x. x1 2 cm 14 cm 10 cm 15 cm 23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine a medida do perímetro desse retângulo. 12 c m 16 cm A B CD a a 24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE. A B C D E 16 cm 5 cm 9 cm 11 cm 25) Na figura abaixo, determinar o valor de x. x 6 cm 5 cm 7 cm a a 26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE. A B C D E x x Jeca 94 21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3 A B C O O O1 2 3 r 22) Na figura abaixo, determine o valor de x. x1 2 cm 14 cm 10 cm 15 cm 23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine a medida do perímetro desse retângulo. 12 c m 16 cm A B CD a a 24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE. A B C D E 16 cm 5 cm 9 cm 11 cm 25) Na figura abaixo, determinar o valor de x. x 6 cm 5 cm 7 cm a a 26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE. A B C D E x x Jeca 94 R R R R R R R x Semelhança de triângulos. x = 3R / 5 2 2 2 Pitágoras R = y + (3R/5) 2 2 2 2 y = R - 9R /25= 16R /25 BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5 Resposta 3R 5R = x Ry 12 24 x 14 15 α β θ β θ α Semelhança de triângulos x 12 = 15 24 x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24 x = 15/2 cm Resposta h 2h 12 - h Semelhança de triângulos 2h 16 = 12 - h 12 24h = 192 - 16h 40 h = 192 h = 192/40 Perímetro = 2p = 6h 2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm Resposta x y Semelhança de triângulos x x + 9 y = y + 11 5 16= 16x = 5x + 45 11x = 45 x = 45/11 cm 16y = 5y + 55 11y = 55 y = 55/11 = 5 cm cm Respostas 5 6 6 + x 12 α α ββ θ θ Semelhança de triângulos 6 + x 5 = 12 6 36 + 6x = 60 6x = 24 x = 24/6 = 4 x = 4 cm Resposta 7 15 916 x y α β θ θ α β Semelhança de triângulos x 9 = y 16 7 15= x = 9 . 7 / 15 x = 21 / 5 cm y = 16 . 7 / 15 y = 112 / 15 cm Respostas 27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do exercício. A B C DP O A B C D M O 28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício. A B C D P O 29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício. A C B P D 30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício. A B C D E F 31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, determine t em função de x, y e z. Jeca 95 27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do exercício. A B C DP O A B C D M O 28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício. A B C D P O 29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício. A C B P D 30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício. A B C D E F 31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, determine t em função de x, y e z. Jeca 95 Potência de ponto. PA x PC = PB x PD 4 . 6 = PB . 8 PB = 24 / 8 = 3 cm (resp) 4 6 8 Potência de ponto. AM x MC = BM x MD 9 . 4 = x . x 2x = 36 x = 6 cm BD = 2.x = 12 cm Resposta x x 9 4 Potência de ponto. PA x PD = PB x PC 5 . (5 + 9) = x . (x + 10) 2x + 10x - 70 = 0 Raízes x = - 95 - 5 (não convém) x = ( 95 - 5) cm Resposta 5 9 10 x Potência de ponto. 2 (PD) = PA x PB 2 x = 17 . 5 x = 85 cm Resposta 6 x 5 6 x y z t Potência de ponto. AD x AB = AF x AE x.(x + y) = z.(z + t) 2 x.(x + y) = z + z.t 2 x.(x + y) - z = z.t 2 t = [x.(x + y) - z ] / z Resposta Respostas dos exercícios da Aula 08. 01) 8 02) 6 cm e (26 / 3) cm 03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm 04) 15 cm e 9 cm 05) (108 / 13) cm 06) (48 / 5) cm 07) (14 / 3) cm 08) 24 / 5 09) 4 cm 10 ) h(y - x) / x 11) 16 cm 12) (10- 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm 13) x . y 14) 16 15) 8 16) 7 17) 2 19 18) (39 / 5) cm 19) (9 / 4) m 20) (100 / 7) cm 21) 9 22) 5 cm 23) a 24) c 25) d Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 96 Respostas dos exercícios complementares da Aula 08. 01) 6 cm e (22 / 3) cm 02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm 03) (42 / 11) cm 04) 6 cm 05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm 06) 2 14 cm 07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos prova-se que os triângulos são semelhantes. 208) (256 / 9) cm 09) y . z / x 10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm 11) (9 / 5) cm 12) (24 / 5) cm 13) (30 / 11) cm 14) 2 cm 15) (25 / 3) cm 216) y / (t - y) 17) (64 / 3) cm 18) 3 cm 19) 8 cm 20) 14 cm 21) 8R / 5 22) (15 / 2) cm 23) (144 / 5) cm 24) (45 / 11) cm e 5 cm 25) 4 cm 26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm 27) 3 cm - potência de ponto. 28) 12 cm - potência de ponto. 29) ( 95 - 5) cm - potência de ponto. 30) 85 cm - potência de ponto. 231) [x(x + y) - z ] / z Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 97 I) Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema. Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original. A B CH b c a m n h 2 2 2 c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c II) Teorema de PItágoras. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A B C bc a 2 2 2 a = b + c A B CH III) Exercícios. 01) Na figura abaixo, sabendo-se que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter- mine as medidas de BC, BH, HC e AH. A B CH 02) Na figura abaixo, sabendo-se que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter- mine as medidas de BC, AC, AB e AH. A B CH 03) Na figura abaixo, sabendo-se que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter- mine as medidas de HC, HB, AB e BC. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Aula 09 Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras. Jeca 98 I) Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema. Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original. A B CH b c a m n h 2 2 2 c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c II) Teorema de PItágoras. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A B C bc a 2 2 2 a = b + c A B CH III) Exercícios. 01) Na figura abaixo, sabendo-se que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter- mine as medidas de BC, BH, HC e AH. A B CH 02) Na figura abaixo, sabendo-se que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter- mine as medidas de BC, AC, AB e AH. A B CH 03) Na figura abaixo, sabendo-se que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter- mine as medidas de HC, HB, AB e BC. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Aula 09 Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras. Jeca 98 5 9 m n h a 2 2 2 a = b + c 2 2 = 9 + 5 = 81 + 25 = 106 a = BC = 106 cm 2 c = a . m 2 5 = 106 . BH BH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm 2 b = a . n 2 9 = 106 . HC HC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm a . h = b . c 106 . h = 9 . 5 h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm 3 9 cm BC = 3 + 9 = 12 cm 2 (AC) = 12 . 9 = 108 AC = 108 = 6 3 cm 2 (AB) = 12 . 3 = 36 AB = 6 cm 2 (AH) = 3 . 9 = 27 AH = 3 3 cm 2 b = a . n 2 c = a . m 2 h = m . n 3 5 cm Pitágoras 2 2 2 5 = 3 + (HC) HC = 4 cm 2 3 = 4 . BH BH = 9/4 cm 2 (AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16 AB = 225/16 = 15/4 cm BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm 2 h = m . n 2 c = a . m 06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos P e Q ? a) 83 b) 4 5 c) 78 d) 2 19 e) 89 05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas diagonais medem 12 cm e 6 cm ? a) 4 39 b) 12 5 c) 16 3 d) 8 13 e) 8 14 07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre os pontos P e Q ? A B CD a) 274 b) 269 c) 2 14 d) 5 10 e) 246 08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta secante que dista 5 cm do centro da mesma, determina nessa circunferência uma corda de comprimento 24 cm ? a) 8 cm b) 13 cm c) 15 cm d) 17 cm e) 19 cm a b c d 09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, c, e d, é : 2 2 2a) a = b + c + d 2 2 2b) a = b + c - d 2 2 2c) a = b - c - d 2 2 2d) a = d - b - c 2 2 2 e) a = d - b + c x13 cm 10 cm 04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai- xo. Jeca 99 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos P e Q ? a) 83 b) 4 5 c) 78 d) 2 19 e) 89 05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas diagonais medem 12 cm e 6 cm ? a) 4 39 b) 12 5 c) 16 3 d) 8 13 e) 8 14 07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre os pontos P e Q ? A B CD a) 274 b) 269 c) 2 14 d) 5 10 e) 246 08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta secante que dista 5 cm do centro da mesma, determina nessa circunferência uma corda de comprimento 24 cm ? a) 8 cm b) 13 cm c) 15 cm d) 17 cm e) 19 cm a b c d 09) Na figura abaixo, medida dea, em função de b, c, e d, é : 2 2 2a) a = b + c + d 2 2 2b) a = b + c - d 2 2 2c) a = b - c - d 2 2 2d) a = d - b - c 2 2 2 e) a = d - b + c x13 cm 10 cm 04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai- xo. Jeca 99 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) Pitágoras 2 2 2 13 = 10 + x 2 x = 169 - 100 = 69 x = 69 cm (resp) 3 6 cm x Pitágoras 2 2 2 x = 3 + 6 2 x = 9 + 36 = 45 x = 45 = 3 5 cm Perímetro = 2p = 4 . x 2P = 12 5 cm Resposta b A B CD 3 12P 3 4 8 8 cm8 x Q Pitágoras 2 2 2x = 8 + 4 2x = 64 + 16 = 80 x = 80 = 4 5 cm Resposta b 2 5 1 8 15 cm x Pitágoras 2 2 2x = 5 + 15 2x = 25 + 225 = 250 x = 250 = 5 10 cm Resposta d 5 12 c m R Pitágoras 2 2 2 R = 5 + 12 2 R = 25 + 144 = 169 R = 13 cm Resposta b x Pitágoras 2 2 2 x = a + b 2 2 2 2 2 2 d = x + c = a + b + c 2 2 2 2 a = d - b - c 2 2 2 a = d - b - c Resposta d A B CD E F G H P1 11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, então a mede: a) b) c) d) e) 2 2 - 1 2 3 - 1 2 2 - 1 2 2 2 10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate- tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon- to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a distância AP ? 13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM Calcule: a) o raio da circunferência; b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência. 4 3= 3 . P Q R M O A B CD d d d 12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De- termine a distância d entre P e A sabendo que o ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD. P 8 cm x 24 cmpresilha parede tubo parafuso 15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare- de por meio de uma presilha retangular, como mostra a figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, vale: a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cm d) 19 cm e) 20 cm A B C D E 12 c m 16 cm 14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir- cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor destacada. Determine o raio da circunferência menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de tangência. Jeca 100 A B CD E F G H P1 11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, então a mede: a) b) c) d) e) 2 2 - 1 2 3 - 1 2 2 - 1 2 2 2 10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate- tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon- to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a distância AP ? 13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM Calcule: a) o raio da circunferência; b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência. 4 3= 3 . P Q R M O A B CD d d d 12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De- termine a distância d entre P e A sabendo que o ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD. P 8 cm x 24 cmpresilha parede tubo parafuso 15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare- de por meio de uma presilha retangular, como mostra a figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, vale: a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cm d) 19 cm e) 20 cm A B C D E 12 c m 16 cm 14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir- cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor destacada. Determine o raio da circunferência menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de tangência. Jeca 100 A B C P E d d 4 3 - d 3 β α 2 2 2 Pitágoras (BC) = 3 + 4 BC = 5 cm Semelhança de triângulos. 5d = 12 - 4d 9d = 12 d = 12/9 = 4/3 3 - d β 5 = d 4 R R - 8 12 Pitágoras 2 2 2 R = (R - 8) + 12 Resolvendo, tem-se R = 13 cm x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm Resposta c 1a (Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2 a 2 = 1 + a + 1 a 2 = a + 2 a 2 - a = 2 a = 2 2 - 1 Resposta e 16 8 16 - d 8 Pitágoras 2 2 2 d = 8 + (16 - d) 2 2 d = 64 + 256 - 32d + d 32d = 320 d = 10 cm Resposta 4 4 R R - Pitágoras 2 2 2 R = 4 + (R - ) 2 2 R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3 R 3 = 8 R = 8 3 /3 cm Resposta b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2 MOQ = 60º Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120º Resposta 4 3 3 4 3 3 4 3 3 a) 44 4 4 R R + 4 8 - R Pitágoras 2 2 2 (R + 4) = (8 - R) + 4 2 2 R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16 24R = 64 R = 64/24 = 8/3 cm Resposta 16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é: h a) b) c) d) e) 1 + 7 7 2 3 1 + 1 + 7 3 1 + 7 4 7 4 1 + 2,5 C A D E B O 17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e AE = 9 cm. A B C O 18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência. O P T A 19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência. Jeca 101 16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é: h a) b) c) d) e) 1 + 7 7 2 3 1 + 1 + 7 3 1 + 7 4 7 4 1 + 2,5 C A D E B O 17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e AE = 9 cm. A B C O 18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência. O P T A 19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência. Jeca 101 1 m 3/4 m x Pitágoras 2 2 2 1 = x + (3/4) 2 x = 1 - 9/16 = 7/16 x = 7 / 4 h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp) R 2 9 9 - R R - 2 2Pitágoras 2 2 2 R = (R - 2) + (9 - R) 2 2 2 R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R 2 R - 22R + 85 = 0 Raízes R = 17 cm (não convém porque é maior que 9) R = 5 cm Resposta 3 1 0 3 3 Pitágoras 2 2 2 (3 10 ) = h + 3 2 90 = h + 9 2 h = 81 h = 9 cm Pitágoras h R 9 - R 2 2 2 R = 3 + (9 - R) 2 2 R = 9 + 81 - 18R + R 18R = 90 R = 5 cm Resposta 15cm 9 R R Pitágoras 2 2 2 (R + 9) = R + 15 2 2 R + 18R + 81 = R + 225 18R = 144 R = 8 cm Resposta A B CH D E 20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no ponto H. Determine a área da região sombreada na figura. A B CD 21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. Determine a medida da altura AD do triângulo ABC. A B CD E 22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 16 cm, um arco de circunferência com centro em A e raio AB e uma circunferência de centro em E, que tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a medida do raio da circunferência. O A B C D E 23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D estão alinhados. Determine a medida do raio da cir- cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e AE = 15 cm. Jeca 102 A B CH D E 20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no ponto H. Determine a área da região sombreada na figura. A B CD 21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. Determine a medida da altura AD do triângulo ABC. A B CD E 22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 16 cm, um arco de circunferência com centro em A e raio AB e uma circunferência de centro em E, que tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a medida do raio da circunferência. O A B C D E 23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D estão alinhados. Determine a medida do raio da cir- cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e AE = 15 cm. Jeca 102 12 16h a 2 2 2 Pitágoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400 a = 20 cm 20 . h = 16 . 12 h = 192 / 20 = 48 / 5 cm mas h = raio do setor circular 2 S = S - S = 12 . 16 / 2 - pi . (48/5) / 4Triâng Setor 2 S = (96 - 576pi/25) cm (resp) a . h = b . c r x r 16 AC = diagonal AC = 16 2 EC = diagonal EC = r 2 AC = 16 + r + r 2 16 2 = 16 + r + r 2 2 r = 16( 2 - 1) r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp) 5 7 10 h x 10 - x Pitágoras 2 2 2 2 2 5 = h + x h + x = 25 2 2 2 7 = h + (10 - x) 2 2 49 = h + 100 - 20x + x 2 2 49 = (h + x ) - 20x + 100 49 = 25 - 20x + 100 20x = 125 - 49 = 76 x = 76/20 = 19/5 2 2 h + (19/5) = 25 2 h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25 h = 264/25 = 2 66 /5 cm Resposta 9 8 cm 7 R R x Pitágoras 2 2 2 15 = 9 + x 2 x = 225 - 81 = 144 x = 12 cm Semelhança de triângulos 2R 15 = 8 12 2R = 120/12 = 10 R = 5 cm Resposta 01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h. h m n 6 cm 8 cm a A B C 02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t. x y z t 3 cm9 cm 03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t. A B C x y zt 04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo. a) x 7 cm 9 cm 13 cm 12 cm x x12 cm 9 cm b) c) Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Relações métricas num triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras. Exercícios complementares da aula 09. Jeca 103 01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h. h m n 6 cm 8 cm a A B C 02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t. x y z t 3 cm9 cm 03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t. A B C x y zt 04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo. a) x 7 cm 9 cm 13 cm 12 cm x x12 cm 9 cm b) c) Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Relações métricas num triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras. Exercícios complementares da aula 09. Jeca 103 2 2 2 a = b + c 2 2 = 8 + 6 = 100 a = 10 cm (resp) 2 b = a . n 2 c = a . m a . h = b . c 2 8 = 10 . n n = 64/10 = 32/5 cm (resp) 2 6 = 10 . m m = 36/10 = 18/5 cm (resp) 10 . h = 8 . 6 h = 48/10 = 24/5 cm (resp) x = 9 + 3 = 12 cm 2 y = 9 . 3 = 27 y = 3 3 cm 2 h = m . n Pitágoras 2 2 2 t = y + 9 = 27 + 81 = 108 t = 108 = 6 3 cm 2 z = 12 . 3 = 36 z = 6 cm 2 2 2 a = b + c 2 b = a . n 9 12 Pitágoras 2 2 2 x = 9 + 12 = 225 x = 15 cm 2 9 = 15 . y y = 81 / 15 = 27/5 cm 2 2 2 a = b + c 2 b = a . n 2 c = a . m a . h = b . c 2 12 = 15 . z z = 144 / 15 = 48 / 5 cm 15 . t = 9 . 12 t = 108 / 15 = 36 / 5 cm Pitágoras 2 2 2 x = 7 + 9 2 x = 49 + 81 = 130 x = 130 cm Resposta Pitágoras 2 2 2 13 = x + 12 2 x = 169 - 144 = 25 x = 5 cm Resposta Pitágoras 2 2 2 12 = x + 9 2 x = 144 - 81 = 63 x = 3 7 cm Resposta 05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z. x y z 06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a. da a a a 07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a. a a a h 08) Determine x, y e z na figura abaixo. 1 cm 1 cm 1 cm 1 c mx y z 09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y. x y 10 14 6 10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango. Jeca 104 05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z. x y z 06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a. da a a a 07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a. a a a h 08) Determine x, y e z na figura abaixo. 1 cm 1 cm 1 cm 1 c mx y z 09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y. x y 10 14 6 10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango. Jeca 104 2 2 2 y = x + z 2 2 2 x = y - z 2 2 x = y - z (resp) A B CD I J x x x x 25 - x 1515 Pitágoras 2 2 2 x = 15 + (25 - x) Resolvendo, tem-se x = 17 cm (Resposta) Pitágoras 2 2 2 2 d = a + a = 2a 2 d = 2a d = a 2 Resposta a/2 Pitágoras 2 2 2 a = h + (a/2) 2 2 2 h = a - (a/2) 2 2 h = 3.a /4 h = a 3 /2 Resposta Pitágoras 2 2 2 x = 1 + 1 = 2 x = 2 2 2 2 y = x + 1 = 2 + 1 = 3 y = 3 2 2 2 z = y + 1 = 3 + 1 = 4 z = 4 = 2 Respostas Pitágoras 2 2 2 6 = x + y 2 2 x + y = 36 2 2 2 14 = x + (y + 10) 2 2 196 = x + y + 20y + 100 196 = + 20y + 100 20y = 196 - 100 - 36 = 60 y = 3 2 x = 36 - 9 = 27 x = 3 3 Resposta 36 11) (COVEST-PE) Na figura abaixo,o triângulo ABC é eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio de AD, calcule a medida de CM em centímetros. A B CD M 13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me- de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD. A B C D E 60º 3 3 1 14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. Determine o raio da circunferência inscrita no quadrado ABCD. A B C D 16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k e duas circunferências interiores tangentes entre si e tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun- ferência menor em função de k. 15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, determine a medida da diagonal AC sabendo-se que AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm. A B CD A BC D 12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, determine a medida do raio da circunferência. Jeca 105 11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio de AD, calcule a medida de CM em centímetros. A B CD M 13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me- de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD. A B C D E 60º 3 3 1 14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. Determine o raio da circunferência inscrita no quadrado ABCD. A B C D 16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k e duas circunferências interiores tangentes entre si e tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun- ferência menor em função de k. 15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, determine a medida da diagonal AC sabendo-se que AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm. A B CD A BC D 12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, determine a medida do raio da circunferência. Jeca 105 8 8 4 4 2 2 2 (AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48 AD = 48 = 4 3 cm DM = AD/2 = 2 3 cm 2 2 2 (CM) = (DM) + (CD) 2 2 2 (CM) = (2 3 ) + 4 2 (CM) = 12 + 16 = 28 CM = 28 = 2 7 cm (resp) α tg α = 3 /1 = 3 α = 60º Pitágoras 2 2 2 y = ( 3 ) + 1 = 4 y = 2 O triângulo ADB é retângulo 2 2 2 x = ( 3 ) + 2 Portanto x = 7 (Resposta) = 30º x y 10 cm 6 R RPitágoras 2 2 2 (R + 6) = R + 10 2 2 R + 12R + 36 = R + 100 12R = 64 R = 64/12 = 16/3 cm Resposta 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 2R 2R Pitágoras 2 2 2 (2R) = (1/2) + (1/2) 2 4R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 2 R = 1/8 R = 1/8 R = 1 / 2 2 R = 2 /4 Resposta 6 cm 5 cm 6 4 h Pitágoras 2 2 2 5 = 4 + h h = 3 cm 2 2 2 (AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45 AC = 45 = 3 5 cm Resposta r r 2 r r k/2O A E E A OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2) k/2 k 2 2 = k 2 + r 2r + k( 2 - 1) 2 r(1 + 2 )= r = k(3 - 2 2 )2 Resposta 17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse trapézio. 8 cm 2 cm h 18) Os raios das circunferências de centros A e B medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, sendo P e Q pontos de tangência. A A B B P P Q Q 19) Os raios das circunferências de centros A e B medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de tangência, calcule a distância PQ. 20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T ponto de tangência. O T 22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, determine o raio da circunferência menor. A BC D 21) Na figura abaixo, determine o valor de x. x 6 8 12 Jeca 106 17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse trapézio. 8 cm 2 cm h 18) Os raios das circunferências de centros A e B medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, sendo P e Q pontos de tangência. A A B B P P Q Q 19) Os raios das circunferências de centros A e B medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de tangência, calcule a distância PQ. 20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T ponto de tangência. O T 22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, determine o raio da circunferência menor. A BC D 21) Na figura abaixo, determine o valor de x. x 6 8 12 Jeca 106 4 1 3 2 2 2 5 = 3 + h 2 h = 25 - 9 = 16 h = 4 cm (resp) 3 2 9 cm 5 2 2 d d Pitágoras 2 2 2 9 = 7 + d 2 d = 81 - 49 = 32 d = 4 2 cm (Resposta) y Pitágoras 2 2 2 2 2 6 = x + y x + y = 36 2 2 2 12 = y + (x + 8) 2 2 144 = y + x + 16x + 64 144 = 36 + 16x + 64 16x = 144 - 100 x = 44/16 = 11/4 Resposta > 5 3 3 13 cm x x Pitágoras 2 2 2 13 = 5 + x 2 x = 169 - 25 = 144 x = 12 cm Resposta 4 4 R 8 - R R Pitágoras 2 2 2 R = 4 + (8 - R) 2 2 R = 16 + 64 - 16R + R 16R = 80 R = 5 cm Resposta 2 2 2 R R 4 - R Pitágoras 2 2 2 (2 + R) = 2 + (4 - R) 2 2 4 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R 12R = 16 R = 16/12 = 4/3 Resposta 10 cm 3 cm 3 cm A B D C 23) Na figura abaixo, determine AB e AD. 20 cm 24) (Jeca) Na figura, estão representados dois círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a medida do lado AD do retângulo. A B CD 27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados desse triângulo e o seu perímetro. 25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são tangentes externamente. Determine a medida de um segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da reta AB com as circunferências. 8 cm y 7 c m x 26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h. A B 8 6 x A B C D E 6 6 2 28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD. h A B C Jeca 107 10 cm 3 cm 3 cm A B D C 23) Na figura abaixo, determine AB e AD. 20 cm 24) (Jeca) Na figura, estão representados dois círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a medida do lado AD do retângulo. A B CD 27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do triângulo é 8 cm, determinaras medidas dos lados desse triângulo e o seu perímetro. 25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são tangentes externamente. Determine a medida de um segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da reta AB com as circunferências. 8 cm y 7 c m x 26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h. A B 8 6 x A B C D E 6 6 2 28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD. h A B C Jeca 107 2 2 2 10 = 6 + y 2 y = 100 - 36 = 64 y = 8 cm 2 2 2 x = 3 + 8 2 x = 9 + 64 = 73 x = 73 cm (resp) xy 8 x 5 8 + 5 = 13 8 5y 8 + y + 5 = 20 y = 20 - 13 = 7 Pitágoras 2 2 2 13 = 7 + x 2 x = 169 - 49 = 120 x = 120 = 2 30 AD = 8 + x + 5 AD = (13 + 2 30 ) cm (resp) 142 x Pitágoras 2 2 2 14 = 2 + x 2 x = 196 - 2 = 192 x = 8 3 cm Resposta Pitágoras 2 2 2 (x + y) = 7 + 8 = 113 x + y = 113 cm Relações métricas no triângulo retângulo. 2 c = a . m 2 b = a . n 2 7 = 113 . x x = 49 . 113 / 113 cm 2 8 = 113 . y y = 64 . 113 / 113 cm Respostas 3 5 3 x Pitágoras 2 2 2 5 = 3 + x x = 4 cm y Semelhança de triângulos 3 y x 8= 3 y 4 8= y = 6 cm Pitágoras 2 2 2 (AB) = 6 + 8 AB = 10 cm AB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm Perímetro = AB + AC + BC = 32 cm Respostas RR - 2 Pitágoras 2 2 2 R = (R - 2) + 6 2 2 R = R - 4R + 4 + 36 4R = 40 R = 10 cm CD = R - 2 = 10 - 2 CD = 8 cm Resposta 30) A figura abaixo representa 4 circunferências de raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio da circunferência menor. 29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h. h A B C 5 c m 2 13 cm 9 cm A B CD E F 31) O retângulo ABCD da figura abaixo tem lados AB = 40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida do segmento BF. 33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem base na reta AB. Determine a medida do lado desse quadrado. A B 34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra). 6 8 32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu- ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis- tância de A a D’. figura 1 figura 2 A B CD A BD’x Determine a função que expressa a área do triângulo sombreado em função de x. (Fazer a resolução em outro espaço) Jeca 108 30) A figura abaixo representa 4 circunferências de raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio da circunferência menor. 29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h. h A B C 5 c m 2 13 cm 9 cm A B CD E F 31) O retângulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida do segmento BF. 33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem base na reta AB. Determine a medida do lado desse quadrado. A B 34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra). 6 8 32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu- ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis- tância de A a D’. figura 1 figura 2 A B CD A BD’x Determine a função que expressa a área do triângulo sombreado em função de x. (Fazer a resolução em outro espaço) Jeca 108 x 9 - x 2 2 2 x + h = 5 = 25 2 2 2 2 2 (2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x 2 2 52 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 81 18x = 54 x = 3 2 2 3 + h = 25 2 h = 25 - 9 = 16 h = 4 cm (resp) α α 90 - α 6 y x 8 - 2y 8 - y 6 y y 8 - yA B CD E F G 6 Os triângulos AEF e ADG são congruentes pelo caso A.L.A. 2 2 2 Pitágoras (8 - y) = 6 + y y = 7/4 O triângulo FGH é retângulo Pitágoras 2 2 2 x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4 x = FG = 15/2 Resposta yH 8 8 8 8 8 8 2r Diagonal do quadrado de lado 16 cm d = 16 2 cm Mas d = 8 + 2r + 8 d = 16 + 2r Então 16 2 = 16 + 2r 2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1) r = 8( 2 - 1) cm Resposta x x 10 10 - x 10 - (x/2) Pitágoras 2 2 2 10 = (10 - x) + [10 - (x/2)] 2 x - 24x + 80 = 0 Raízes x = -20 (não convém pois é maior que o raio) x = 4 cm Resposta x/2 Resolução na próxima página Pitágoras 2 2 2 (BD) = (AB) + (BC) 2 2 3 (BD) = 40 + 30 2 (BD) = 2 500 BD = 50 cm Semelhança de triângulos ∆ ABF ~ ∆ DEF x 50 - x α αβ β θ θ 1030 40 40 30 x 50 - x= 2 000 - 40 x = 30 x 2 000 = 70 x x = 2 000/70 = 200/7 cm Resposta Jeca 109 figura 2 A BD’x y 21 - y 21 21 - y Pitágoras 2 2 2 (21 - y) = y + x 2 2 2 441 - 42y + y = y + x 2 -42y = x - 441 2 42y = 441 - x 2 y = (441 - x ) / 42 Área do triângulo S = b . h /2 = x . y /2 S = x . 2 (441 - x ) 42 2 = 3 441x - x 84 Respostas dos exercícios da Aula 09. 01) 106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm e (45 106 / 106) cm 02) 12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm 03) 4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm 04) 69 cm 05) b 06) b 07) d 08) b 09) d 10) 4 / 3 11) e 12) 10 cm 13) a) 8 3 / 3 b) 120º 14) (8 / 3) cm 15) c 16) e 17) 5 cm 18) 5 cm 19) 8 cm 220) (96 - (576pi / 25)) cm 21) (2 66 / 5) cm 22) 16(3 - 2 2 ) cm 23) 5 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 110 Respostas dos exercícios complementares da Aula 09. 01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm 02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm 03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm 04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm 2 2 05) x = y - z 06) d = a 2 07) h 08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm 09) x = 3 3 y = 3 10) x = 17 cm 11) CM = 2 7 cm 12) r = 16 / 3 cm 13) AD = 7 14) r = 2 / 4 15) x = 3 5 cm 16) r 17) h = 4 cm 18) d = 12 cm 19) d = 4 2 cm 20) R = 5 cm a 3 2= = k(3 - 2 2 )2 31) BF = 200 / 7 cm 32) A 33) x = 4 cm 34) d = 15 / 2 = 3-x + 441x 84 21)
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