LISTA 3 RETAS

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Exemplo 58. Calcular a distaˆncia entre as retas r e s onde: r :

x = 1− t
y = 2 + 3t
z = −t
e s: e´ o eixo Ox.
Soluc¸a˜o:
Um ponto do eixo OX e´ P (1,0,0) e o vetor e´ ~vx =~i=(1,0,0).
Um ponto da reta r e´ Pr(1,2,0) e o vetor e´ ~vr=(-1,3,-1).
Calculando o vetor
−→
PPr=(0,2,0) e aplicando na equac¸a˜o, temos:
d = d(r,s) =
|(~i,~vr,
−→
PPr)|
|~i× ~vr|
=
2√
10
√
10√
10
=
√
10
5
u.c.
3.4 Lista 1
1. Escrever as equac¸o˜es nas formas parame´trica e sime´trica da reta que
passa por A(6,3,9) e e´ paralela a` reta r : (x,y,z) = (4,5,2)+t(2,−6,−1).
2. Dada a reta r :

x = 2− t
y = 4− 2t
z = −3 + t
Determinar o ponto de r tal que a ordenada seja 6.
3. Obter as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x, da reta
(a) Que passa por A(8,2,-2) e tem direc¸a˜o de ~v=(4,8,7).
(b) Pelos pontos A(3,2,1) e B(6,-1,0).
4. Escrever as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que passa por
A(-1,6,3) e B(2,2,1).
5. Escrever equac¸o˜es parame´tricas das retas que passam pelo ponto A(4,-
5,3) e sa˜o, respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy, Oz.
6. Determinar o aˆngulo entre as seguintes retas:
(a) r1 :

x = −2− t
y = t
z = 3− 2t
r2 :
{
x
2
=
y + 6
1
=
z − 1
1
(b) r2 :
{
y = −x+ 5
z = 3x− 2 r2 :
{
x− 2 = y = z + 3
2
7. Determine o valor de m sabendo que as retas sa˜o coplanares:
r1 :
{
y = 4x− 3
z = −2x+ 1 r2 :
{
x− 4 = y
m
= z + 2
88
8. Verificar se as retas sa˜o concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar
o ponto de intersecc¸a˜o:
(a) r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 5 r2 :
{
y = −3x+ 7
z = x+ 1
(b) r1 :

x = 2− t
y = 3− 5t
z = 6− 6t
r2 :

x = −3 + 6h
y = 1 + 7h
z = −1 + 13h
9. Determinar as equac¸o˜es das seguintes retas de modo que:
(a) Reta que passa por A(1,-2,4) e e´ paralela ao eixo dos x.
(b) Reta que passa por B(3,2,1) e e´ perpendicular ao plano xOz.
(c) Reta que passa por A(4,-1,2) e tem direc¸a˜o do vetor ~i−~j.
(d) Reta que passa pelos pontos M(2,-3,4) e N(2,-1,3).
10. Encontrar o ponto de intersec¸a˜o das seguintes retas:
r1 :
{
y = −3x+ 3
z = 3x− 2 r2 :

x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
11. Encontrar o ponto de intersec¸a˜o das seguintes retas:
r1 :

x = 4 + t
y = 1− t
z = 1 + t
r2 :

x = 9− 4h
y = 2 + h
z = 2− 2h
12. Calcular a distaˆncia do ponto P (4,2,1) a` reta:
r :

x = 1− 2t
y = 3 + t
z = 6− 2t
13. Calcular a distaˆncia entre as duas retas:
r1 :

x = 2− t
y = 3 + 2t
z = 2− 2t
r2 :
{
y = x− 2
z = −x+ 3
14. Dado o triaˆngulo de ve´rtices A(3,-4,4), B(4,-7,2),C(1,-3,2) determinar:
(a) Equac¸a˜o sime´trica da reta suporte do lado AB.
(b) O ponto em que a reta fura o plano xOy.
89
15. Verifique se os seguintes pontos sa˜o colineares A(-1,4,-3), B(2,1,3),
C(4,-1,7).
16. Encontre o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
(a) r :
{
y = 2x+ 3
z = 3x− 1 s :
{
x− 1
2
=
y
−1 =
z
m
(b) r :
{
y = mx− 3
z = x− 1 s :
{
y = 4x−m
z = x
17. Dadas as retas l :
{
x = 2z − 4
y = −3z + 6 e t :
{
x− 4
2
= y + 2 =
z − 2
−1 ,
determinar a equac¸a˜o da reta m ortogonal as retas dadas e que passa
no ponto de intersec¸a˜o das mesmas.
18. Determinar a equac¸a˜o da reta t que passa pelo ponto M(3,3,-2) e´
concorrente com o eixo Oy e ortogonal a` reta m :
{
y = −x
z = x+ 3
.
19. Sendo A(1,0,1), B(2,-1,1), C(-1,0,2), D(3,2,2) ve´rtices de um tetrae-
dro, pede-se:
(a) Equac¸o˜es parame´tricas da reta r, suporte da altura hD do tetra-
edro de base ABC relativa ao ve´rtice D.
(b) Equac¸o˜es parame´tricas da mediana relativa ao ve´rtice C do triaˆngulo
ABC.
20. Sendo A(1, − 2,2), B(3,0,1), C(3, − 2,0) ve´rtices de um triaˆngulo, de-
terminar a equac¸a˜o da reta suporte da altura baixada do ve´rtice C.
21. Dados os ve´rtices de um triaˆngulo A(−1,1,3), B(2,1,4), C(3,− 1,− 1),
obter as equac¸o˜es sime´tricas das retas suportes dos lados AB, AC,
BC.
22. Estudar a posic¸a˜o relativa das retas e calcular a distaˆncia entre as
retas r :
{
x− 3
3
=
y − 5
3
=
z − 1
−8 e s :

x = −2 + 3t
y = −t
z = −2
23. Encontre a equac¸a˜o da reta t que passa no ponto A(1, − 3,2) e´ con-
corrente com o eixo Oz que passa na origem e e´ ortogonal a reta
m :
{
y = x+ 2
z = 2x− 1
24. Encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pelo ponto
A(4, − 4,2) e´ ortogonal ao vetor −→v = (3,2,2) e intercepta a reta s :{
y = −x+ 3
z = 4x− 4
90
25. Encontrar a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto P (2,− 3,4), e´ con-
corrente com o eixo Ox e ortogonal a` reta s :

x− 5
−1 = y + 2
z = 4
26. Determinar a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto P (3,3, − 2) e´
concorrente com o eixo Oy e ortogonal a` reta s :
{
y = −x
z = x+ 3
27. Escreva as equac¸o˜es das retas, em todas as formas e a posic¸a˜o relativa
em relac¸a˜o aos eixos ou planos coordenados, que passa pelo ponto
me´dio do segmento AB e que tem −→v como vetor diretor:
(a) A(−1,− 2,− 3), B(1,3,5) e −→v = (2,0,3)
(b) A(−2,− 2,4), B(2,2,− 4) e −→v = (1,0,0)
3.5 Gabarito - Lista 1 Retas
1. x = 6 + 2t, y = 3− 6t, z = 9− t; x− 6
2
=
y − 3
−6 =
z − 9
−1
2. P (3,6,− 4)
3. a.y = 2x− 14, z = 7
4
x− 16; b. y = −x+ 5, z = −1
3
x+ 2
4. x = −3
2
z +
7
2
, y = 2z
5. Paralela ao eixo x : x = 4 + t, y = −5,z = 3 ou y = −5,z = 3. Paralela
ao eixo y : x = 4, y = −5 + t, z = 3 ou x = 4, z = 3. Paralela ao eixo
z : x = 4, y = −5,z = 3 + t ou x = 4, y = −5.
6. a. θ = arccos(
1
2
); b. θ = arccos(
√
66
11
).
7. m = −19
5
8. a. I(2,1,3); b. h = 1, t = −1, I(3,8,12)
9. a. y = −2, z = 4; b. x = 3, z = 1; c. x = 4 + t, y = −1 − t, z = 2; d.
x = 2, y = −3 + 2t, z = 4− t.
10. I(2,− 3,4)
11. I(1,4,− 2)
12.
√
306
3
u.c.
91
13. 2
√
2u.c.
14. a.
x− 3
1
=
y + 4
−3 =
z − 4
−2 ; b. (5,− 10,0)
15. Sim, sa˜o colineares.
16. a. m = 4, b. m = 4
17. x = 2 + 2t, y = −3 + 4t, z = 3 + 8t
18. x = 3− 3
2
t, y = 3− 1
2
t, z = −2 + t
19. a. x = 3− t, y = 2− t, z = 2− 2t; b. x = −1 + 5
2
t, y = −1
2
t, z = 2− t
20. −→v = (6,− 12,− 12);x = 3 + 6t, y = −2− 12t, z = −12t
21.
−−→
AB = (3,0,1),
x+ 1
3
= z − 3, y = 1; −→AC = (4, − 2, − 4), x+ 1
4
=
y − 1
−2 =
z − 3
−4 ;
−−→
BC = (1,− 2,− 5), x− 2 = y − 1−2 =
z − 4
−5
22. 7u.c.
23. x = 1 + t, y = −3− 3t, z = 2 + t
24. x = 4 + t, y = −4 + 35
26
t, z = 2− 37
13
t
25.
x− 2
3
=
y + 3
3
=
z − 4
−4
26.
x− 3
3
= y − 3 = z + 2−2
27. a. Pm(0,
1
2
,1), x = 2t, y =
1
2
,z = 1 + 3t; b. Pm(0,0,0), x = t, y = 0, z =
0
92