material complementar séries alternadas

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MATERIAL COMPLEMENTAR 
 
Curso: Engenharia Civil 
Professor: Heloisa Neves de Souza 
 
 
EXEMPLO 1 
 
Aplicação do teste de Liebniz na série ∑ (−1)𝑛+1
𝑛+3
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 
 
Testamos se o módulo termo na posição (𝑛 + 1) é menor que o da posição (𝑛), isto é: 
 
Na posição (𝑛 + 1) temos 
(𝑛+1)+3
(𝑛+1)(𝑛+1)
=
𝑛+4
(𝑛+1)(𝑛+1)
 Substituímos (n+1) em todo ‘n’ na 
expressão 
 
Se operarmos a divisão 
𝒂𝒏
𝒂𝒏+𝟏
=
𝑛+3
𝑛(𝑛+1)
𝑛+4
(𝑛+1)(𝑛+1)
=
𝑛+3
𝑛(𝑛+1)
.
(𝑛+1)(𝑛+1)
𝑛+4
=
(𝑛+3)(𝑛+1)
𝑛(𝑛+4)
> 1 
 
Isso apenas mostra que o termo geral é sempre maior que seu sucessor, condição 
necessária para aplicar o método 
 
 
 
Observação: Dizer que a expressão 
(𝑛+3)(𝑛+1)
𝑛(𝑛+4)
 é sempre maior 
que 1 vem da percepção de que o produto (𝑛 + 3)(𝑛 + 1) será 
sempre maior que o produto 𝑛(𝑛 + 4). 
“Malícia matemática” 
Aplicamos finalmente o limite no módulo do termo geral. 
 
lim
𝑛→∞
𝑛 + 3
𝑛2 + 𝑛
= lim
𝑛→∞
1
2𝑛 + 1
= 0 
 
Portanto a série é CONVERGENTE 
 
 
EXEMPLO 2 
 
Aplicação do teste da razão na série ∑
𝟏
𝟐𝒌+𝟏 
∞
𝒌=𝟏 
 
 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑘+1
𝑎𝑘
= lim
𝑛→∞
1
2(𝑘+1)+1
1
2𝑘+1
= lim
𝑛→∞
2𝑘+1
2𝑘+2
= lim
𝑛→∞
2
2
= 1 
 
 
O teste é então inconclusivo e outros testes deverão ser aplicados 
 
 
EXEMPLO 3 
 
Aplicamos o teste da raiz na série ∑ (
4𝑛−5
2𝑛+1
)𝑛∞𝑛=2 
 
 
 
lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = lim
𝑛→∞
√(
4𝑛 − 5
2𝑛 + 1
)𝑛
𝑛
= lim 
𝑛→∞
4𝑛 − 5
2𝑛 + 1
= lim 
𝑛→∞
4
2
= 2 
 
Como o limite do teste é maior que 1 temos uma série divergente