SC 2017 02 Aula 04 Laplace

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Engenharia de Computação
Sistema de Controle
80 horas
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Transformada de Laplace
● É um método para resolver equações diferenciais lineares 
que surgem na matemática aplicada à Engenharia.
● A transformação reduz o problema de solucionar a 
equação diferencial a um problema puramente algébrico.
● O método leva em conta as condições iniciais sem a 
necessidade de determinar o primeiro lugar a solução 
geral para dela então obter a solução particular.
● É aplicado em:
– Circuito elétricos;
– Conversão de energia;
– Princípios de Controle e Servomecanismos.
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Transformada de Laplace
● Definição: seja uma f(t) definida para todos os valores 
positivos de t. Multiplicamos f(t) por e-st e integramos em 
relação a t desde zero até o infinito.
● F(s): é chamada de transformada de Laplace da função 
original f(t) e é representada por: L{t}
● A operação é chamada de transformação de Laplace
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Transformada de Laplace
● Exemplo:
● f(t) = a, onde a é uma constante
aplicando a definição:
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Transformada de Laplace
● Exemplo:
● f(t) = a, onde a é uma constante
aplicando a definição:
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Transformada de Laplace
● Exemplo:
● f(t) = a, onde a é uma constante
aplicando a definição:
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Transformada de Laplace
● Exemplo:
● f(t) = a, onde a é uma constante
aplicando a definição:
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substituindo os limites:
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Transformada de Laplace
● Exemplo:
● f(t) = a, onde a é uma constante
aplicando a definição:
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substituindo os limites:
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Transformada de Laplace
● Exemplo:
● f(t) = t, onde a é uma constante
aplicando a definição:
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substituindo os limites:
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Transformada de Laplace
● Propriedades:
– Linearidade: a transformação de Laplace é uma 
operação linear, isto é, para quaisquer funções f(t) e 
g(t) cujas transformadas de Laplace existam e 
quaisquer constantes a e b temos:
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Transformada de Laplace
● Propriedades:
– Deslocamento ou Translação: a substituição de s por (s 
– a) na transformada corresponde a multiplicação da 
função original por eat.
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Transformada de Laplace
● Propriedades:
– Derivada primeira de uma função:
onde: f(0) = f(t = 0)
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L[ df (t )dt ]=sF (s)−f (0)
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Transformada de Laplace
● Propriedades:
– Derivada segunda de uma função:
 onde: 
fazendo: ou 
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L[ d2 f (t )dt2 ]=s2F (s)−sf (0)−df (0)dt
d
dt
f (t=0)
L[ d2 f (t )dt2 ]=L[ dϕdt ]=sϕ−ϕ(0)
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Transformada de Laplace
● Propriedades:
– Derivada segunda de uma função, substituindo:
– Derivada n-ésima de uma função:
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L[ d2 f (t )dt2 ]=s [sF (s)−f (0)]−ϕ(0)=s2F (s)−sf (0)−f ' (0)
L[ dn f (t )dtn ]=snF (s)−sn−1 ddt f (0)−sn−2 ddt f (0)−...−d n−1dt f (0)
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Transformada de Laplace
● Propriedades:
– Integral de uma função:
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L[∫0
t
f (t )=1
s
F (s)]=1s F (s)
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Funções de excitação
● Função Constante:
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f (t )=a
L [ f (t)]=∫
0
∞
ae−st dt=|−as e−st|0
∞
=0−(−as )
F (s)=a
s
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Funções de excitação
● Função Degrau Unitário:
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Funções de excitação
● Função Pulso:
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Funções de excitação
● Função Pulso:
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Funções de excitação
● Função Impulso (Delta de Dirac):
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Funções de excitação
● Função Impulso (Delta de Dirac):
● Aplicando a regra de L’Hôpital
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Funções de excitação
● Função Exponencial:
● A transformada de Laplace não é definida para b < 0, logo:
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f (t )=e−bt
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Funções de excitação
● Função Trigonométrica:
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f (t )=cosω t= e
jω t+e− jω t
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Teorema do valor final
● Relacionado ao comportamento em regime permanente 
de f(t) – ganho estacionário da função.
● Teorema: se uma transformada de Laplace é multiplicada 
por “s”, o valor do produto que faz “s” tender a zero é o 
valor da transformada inversa com “t” tendendo a infinito.
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Teorema do valor inicial
● Não fornece o valor de f(t) em t = 0, mas num tempo 
ligeiramente superior a “zero”.
● Teorema: se uma transformada de Laplace é multiplicada 
por “s”, o valor do produto que fazendo “s” tender a infinito 
é o valor da transformada inversa com “t” tendendo a zero.
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Exemplo
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Transformada Inversa de Laplace
● Se a transformada de f(t) é a função de F(s) então f(t) é 
chamada de Transformada Inversa de Laplace de F(s).
● Representação:
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Transformada Inversa de Laplace
● O método mais conveniente é utilizar a tabela de 
transformadas inversas.
● A função deve estar numa forma reconhecível na 
tabela.
● Se a transformada F(s) não puder ser encontrada 
diretamente na tabela, deve-se expandir em frações 
parciais para obter funções com transformadas 
conhecidas.
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Frações Parciais
● Expansão frações parciais:
– O denominador deve ser fatorado;
– O numerador deve ser, pelo menos, um grau 
abaixo do denominador;
– Quando o grau do numerador for igual ou 
maior que o denominador, o numerador deve 
ser dividido para obter termos que seja pelo 
menos um grau abaixo do denominador.
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Frações Parciais
● Fatores lineares distintos no denominador
– Expressão:
– pi (i = 1:n) raízes distintas 
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Frações Parciais
● Fatores lineares distintos no denominador
– Frações parciais: 
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Frações Parciais
● Fatores lineares repetidos no denominador
– Fatorando:
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Frações Parciais
● Fatores lineares repetidos no denominador
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Frações Parciais: exemplos
● Sendo:
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Frações Parciais: exemplos
● Obtendo termos das frações parciais:
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Frações Parciais: exemplos
● Resultado:
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Frações Parciais: exemplos
● Sendo:
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Frações Parciais: exemplos
● Obtendo termos das frações parciais:
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Frações Parciais: exemplos
● Resultado:
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Solução de equações diferenciais
● Procedimentos:
1.Transformarcada termo da equação 
diferencial em sua transformada de Laplace;
2.Manipular a função de Laplace isolando a 
variável que representa a saída;
3.Converter a função de Laplace em uma 
função do tempo através da transformada 
inversa. Frequentemente é necessário 
expandir em frações parciais.
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Solução de equações diferenciais
● Procedimentos:
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Solução de equações diferenciais
● Exemplo:
– Seja a equação diferencial:
– Com as seguintes condições iniciais:
– Aplique um degrau unitário em u →u(t) = 1
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Solução de equações diferenciais
● Aplicação da Transformada de Laplace:
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Solução de equações diferenciais
● Aplicação da Transformada de Laplace:
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Solução de equações diferenciais
● Expansão em frações parciais:
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Solução de equações diferenciais
● Expansão em frações parciais:
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Solução de equações diferenciais
● Aplicação da transformada inversa de Laplace:
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Tabela de transformadas
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Tabela de transformadas
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Tabela de transformadas
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Tabela de transformadas
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	Slide 30
	Slide 31
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	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41
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	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45
	Slide 46
	Slide 47
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50
	Slide 51