SC 2017 02 Aula 06 Sistemas de 1ª, 2ª ordem

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Engenharia de Computação
Sistema de Controle
80 horas
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Sistemas de 1ª Ordem
● Definições:
– Pólo: número real ou complexo finito λ tal que |G(λ)| = ∞.
– Zero: número real ou complexo finito λ tal que |G(λ)| = 0.
– Constante de tempo (Tc): é o tempo necessário para que a 
resposta ao degrau alcance 63,2% de seu valor final.
– Tempo de subida (Tr): é o tempo necessário para que a 
resposta ao degrau varie de 10 90% de seu valor final.
– Tempo de estabilização (Ts): é o tempo necessário para 
que a resposta ao degrau alcance 98% do valor estacionário 
da resposta.
Sistemas de Controle - Engenharia de Computação
T c=
1
a
T r=
2,2
a
T s=
4
aτ=
1
a
T r=2,2 τ T s=4 τ
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Sistemas de 1ª Ordem
Sistemas de Controle - Engenharia de Computação
Sistema de 1ª Ordem Gráfico do pólo
G (s)= a
s+a
=
1
τ
s+ 1τ
= 1
τ s+1
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Sistemas de 1ª Ordem
Sistemas de Controle - Engenharia de Computação
Resposta de um sistema de 1ª ordem a um degrau unitário 
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Sistemas de 1ª Ordem
Sistemas de Controle - Engenharia de Computação
Resposta de um sistema de 1ª ordem a um degrau unitário 
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Sistemas de 1ª Ordem
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Seja a FT:
Calcule:
- Valor final;
- Constante de tempo;
- Tempo de estabilização;
- Tempo de subida.
G (s)= 50
s+50
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Sistemas de 1ª Ordem
Sistemas de Controle - Engenharia de Computação
Seja a FT:
Calcule:
- Valor final;
- Constante de tempo;
- Tempo de estabilização;
- Tempo de subida.
G (s)= 50
s+50
T c=
1
a
= 1
50
=0,02 s
T r=
2,2
a
=2,2
50
=0,044 s
T s=
4
a
= 4
50
=0,08 s
c (∞)=lim
s→0
sG(s)= lim
s→0
s 50
s(s+50)
=lim
s→0
50
50
=1
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Sistemas de 1ª Ordem
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Gráfico da resposta ao degrau
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Respostas no Domínio do Tempo:
– Superamortecida;
– Subamortecida;
– Sem amortecimento; 
– Criticamente amortecida;
– Frequência natural;
– Relação de amortecimento.
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Sistemas de 2ª Ordem
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G(s)=
ωn
2
s2+2ξωn s+ωn
2
G(s)= b
s2+as+b
b=ωn
2
a=2ξωn
ωn→ frequêncianatural do sistema
ξ→relaçãode amortecimento do sistema
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Sistemas de 2ª Ordem
Sistemas de Controle - Engenharia de Computação
● Definição da Relação de Amortecimento
– É a relação entre a “frequência exponencial de decaimento” 
e a “frequência natural não amortecida do sistema”:
– Para um sistema sem amortecimento os pólos estão no eixo 
imaginário e portanto na expressão acima:
ξ= σωn
G(s)= b
s2+as+b
a=0
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Definição da Relação de Amortecimento
– Portanto, os pólos valem:
– Logo:
– Para um sistema amortecido as raízes valem:
S1,2=± j√b
ωn=√b
b=ωn
2
S1,2=−
a
2
±1
2 √a
2−4ab
σ=a
2
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Definição da Relação de Amortecimento
– Então:
ξ= σωn
ξ=a /2ωn
a=2ξωn
G(s)=
ωn
2
s2+2ξωn+ωn
2
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Exemplos:
– Funções de transferência:
● 1. 
● 2.
● 3.
● 4.
G(s)= 9
s2+9 s+9
G(s)= 9
s2+2 s+9
G(s)= 9
s2+9
G(s)= 9
s2+6 s+9
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Exemplos:
– 1. G(s)= 9
s2+9 s+9
c (t )=1+0,171e−7,854 t−1,171e−1,146 t
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Exemplos:
– 2. G(s)= 9
s2+2 s+9
c (t )=1+e−t (cos√8 t+ √88 sin √8 t )=1−1,06 e
−t cos(√8 t−19,47 °)
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Exemplos:
– 3. G(s)= 9
s2+9
c (t )=1−cos3 t
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Exemplos:
– 4. G(s)= 9
s2+6 s+9
c (t )=1−3 t e−3 t−e−3 t
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Análise no plano complexo:
– Localização da parte real dos pólos da função de 
transferência.
– Pólos sem parte complexa: comportamento monotônico
– Pólos com parte complexa: comportamento oscilatório 
amortecido
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Respostas em função da relação de amortecimento
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Respostas em função da relação de amortecimento
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Tempo de subida: tempo para a resposta variar de 10 a 90% 
do seu valor final;
● Tempo de estabilização: tempo necessário para que a 
resposta ao degrau alcance 98% do valor de estado 
estacionário;
● Tempo de pico: tempo necessário para que a resposta alcance 
o seu valor máximo;
● Ultrapassagem percentual: o quanto o valor da resposta (em 
percentual) ultrapassa no tempo de pico o valor de estado 
estacionário.
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Especificações da resposta de segunda ordem 
subamortecida:
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Tempo de pico
dc (t)
dt
↔ sC (s)=
ωn
2
s2+2ξωn s+ωn
2
sC (s)=
ωn
2
(s+2 ξωn)
2+ωn
2(1−ξ2)
sC (s)=
ωn
2
√1−ξ2
ωn√1−ξ2
(s+ξωn)
2+ωn
2(1−ξ2)
dc (t)
dt
=
ωn
2
√1−ξ2
e−ξωn t sen(ωn√1−ξ2)t
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Tempo de pico
dc (t)
dt
=
ωn
2
√1−ξ2
e−ξωn t sen(ωn√1−ξ2)t=0
sen(ωn√1−ξ2)t=0
(ωn√1−ξ2)t=nπ ; n=0,±1,±2. . .
t= nπ
ωn√1−ξ2
⇒T P ocorre para n=1 logo
T P=
π
ωn√1−ξ2
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Percentual de ultrapassagem
c(t )=1−e−ξωn t[cos(ωn√1−ξ2) t+ ξ√1−ξ2 sin (ωn√1−ξ2) t]
para t igual ao tempode pico T p=
π
ωn√1−ξ2
temos :
c (t )=1−e
−ξωn
π
ωn√1−ξ2[cos(ωn√1−ξ2) πωn√1−ξ2+ ξ√1−ξ2 sin (ωn√1−ξ2) πωn√1−ξ2 ]
c(t )=1−e
−ξπ
√1−ξ2[cosπ+ ξ√1−ξ2 sin π] c(t )=1+e
−ξπ
√1−ξ2
%UP=e
−ξπ
√1−ξ2⋅100%
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Tempo de estabilização
c(t )=1− 1
√1−ξ2
e−ξωn t [cos(ωn√1−ξ2)t−ϕ]
T s=
4
ξωn
1
√1−ξ2
e−ξωn t=0,02
e−ξωn t=0,02√1−ξ2
−ξωn t=ln(0,02√1−ξ2)
t=−ln(0,02√1−ξ
2)
ξωn
ξ=0,1⇒ ln (0,02√1−ξ2) ¿ξωn=3,92
ξ=0,9⇒ ln(0,02√1−ξ2) ¿ξωn=4,7
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Ultrapassagem percentual:
● Tempo de pico: 
● Tempo de estabilização:
%UP=e
−ξπ
√1−ξ2⋅100%
T P=
π
ωn√1−ξ2
T s=
4
ξωn
ξ= −ln (%UP /100)
√π2+ln%UP /100
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Ultrapassagem percentual em função da relação de 
amortecimento:
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Tempo de subida normalizado x relação de amortecimento para 
resposta de 2ª ordem subamortecida:
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● Respostas de 2ª ordem subamortecidas com valores da 
relação de amortecimento:
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● Exemplo
– Encontre Tp, %UP e Ts para uma entrada degrau unitário 
para o sistema abaixo:
G(s)= 100
s2+15 s+100
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Sistemas de 2ª Ordem
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Relação entre os parâmetros de respostaao degrau unitário e 
a posição dos pólos de G(s) no plano complexo
– ωd →frequência natural amortecida
– σd →frequência exponencial amortecida
cosθ=
ξωn
√(ξωn)2+(ωn√1−ξ2)2
=ξ
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Sistemas de 2ª Ordem
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● Respostas ao degrau unitário de sistemas de 2ª ordem 
subamortecidos à medida que os pólos se movem:
– a. com parte real constante
– b. com parte imaginária constante
– c. com relação de amortecimento constante
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Sistemas de 2ª Ordem
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