3 Elementos de Análise Numérica

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11:43
Elementos de Análise Numérica
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior
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Solução de problemas de Engenharia
Sem computador
Com computador
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Tópicos
Interpolação
Ajuste de equações
Integração numérica
Derivadas numéricas
Raízes de equações
Sistemas de equações lineares
Sistemas de equações não lineares
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Aplicações em Recursos Hídricos
Raizes da equação de manning
Canal prismático
Canal com seção dada em tabela
Equação de remanso
Solução da equação para encontrar dx ideal para muskingun cunge (propagação de vazões)
Solução da propagação de reservatório usando Newton
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Interpolação linear
A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta
Interpolação numérica
cota
volume
x
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Interpolação quadrática
Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos
Interpolação numérica
cota
volume
x
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Splines
Splines interpolam os dados e garantem a continuidade da função e da derivada de ordem m. Para assegurar isto, a interpolação deve ser feita utilizando polinômios de grau m+1.
Para garantir a continuidade da função, basta utilizar retas (polinômios de primeiro grau)
Para garantir a continuidade da função e da sua primeira derivada, é necessário utilizar parábolas.
Para garantir a continuidade da função, e das duas primeiras derivadas, é necessário usar splines cúbicos.
Interpolação numérica
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Splines
Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos para suavizar linhas de gráficos.
Interpolação numérica
Gráf2
		45
		45
		46
		45.5
		40
		39
		38
		36
		36
		35.7
		35
		35
		35
		35
		35
		35
		35.5
		36
		37
		38
		39
		42
		43
		44
		47
Cota
Plan1
		Distância		Cota
		5		45
		10		45
		15		46
		20		45.5
		25		40
		30		39
		35		38
		40		36
		45		36
		50		35.7
		55		35
		60		35
		65		35
		70		35
		75		35
		80		35
		85		35.5
		90		36
		95		37
		100		38
		105		39
		110		42
		115		43
		120		44
		125		47
Plan1
		
Cota
Plan2
		
Plan3
		
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Splines
Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.
Interpolação numérica
Gráf3
		46
		46
		40
		40
		45
		45
Cota
Plan1
		Distância		Cota
		1		46
		15		46
		16		40
		18		40
		19		45
		21		45
Plan1
		
Cota
Plan2
		
Plan3
		
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Splines
Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.
Interpolação numérica
Gráf3
		46
		46
		40
		40
		45
		45
Cota
Plan1
		Distância		Cota
		1		46
		15		46
		16		40
		18		40
		19		45
		21		45
Plan1
		
Cota
Plan2
		
Plan3
		
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Rotinas para interpolação
Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines.
Calculadora, Matlab, Excel, etc…
Interpolação numérica
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Ajuste de equações
Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam razoavelmente um conjunto de dados.
Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário respeitar todos os pontos.
A idéia é minimizar os erros com uma função simples.
Gráf4
		2
		7
		12
		17
		22
		27
Cota
Plan1
		Distância		Cota
		1		2
		13		7
		16		12
		18		17
		19		22
		21		27
Plan1
		
Cota
Plan2
		
Plan3
		
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Ajuste – exemplo em simulação
Relação entre largura de um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA
Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados.
Ajuste de equações
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Ajuste – exemplo em simulação
Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.
Ajuste de equações
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Introdução – Integral Numérica
Em determinadas situações integrais ou derivadas são difíceis ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.
Forma de obtenção de uma aproximação para a integral ou diferencial de f(x)  Métodos Numéricos.
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Integração numérica
Os problemas de integração numérica surgem, por exemplo, quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y.
Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida.
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Integração numérica
Gráf2
		45
		45
		46
		45.5
		40
		39
		38
		36
		36
		35.7
		35
		35
		35
		35
		35
		35
		35.5
		36
		37
		38
		39
		42
		43
		44
		47
Cota
Plan1
		Distância		Cota
		5		45
		10		45
		15		46
		20		45.5
		25		40
		30		39
		35		38
		40		36
		45		36
		50		35.7
		55		35
		60		35
		65		35
		70		35
		75		35
		80		35
		85		35.5
		90		36
		95		37
		100		38
		105		39
		110		42
		115		43
		120		44
		125		47
Plan1
		
Cota
Plan2
		
Plan3
		
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11:46
Integração numérica
Idéia básica da integração numérica  substituição da função f(x) por uma função que aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].
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11:48
Integração numérica
Substituição da função por uma função.
Polinômio de Newton:
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Integração numérica
O uso desta técnica decorre do fato de:
por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio;
a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados. 
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Métodos de integração numérica mais utilizados
Fórmulas de Newton-Cotes.
Regra do Trapézio simples, x0=a  e xn=b;
Regra do Trapézio composta, x0=a  e xn=b;
Regra de Simpson , x0=a  e xn=b.
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11:51
Regra do trapézio simples
x
f(x)
x0
x1
f(x1)
f(x0)
Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio
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11:52
Regra do trapézio simples
Intervalo [a, b] relativamente pequeno.
aproximação do valor do integral é aceitável.
Intervalo [a, b] de grande amplitude.
aproximação inadequada;
pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear.
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11:53
Regra do trapézio composta
Intervalo [a, b] de grande amplitude.
Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.
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11:54
Regra do trapézio composta
Fórmula:
Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim:
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Regra do trapézio composta
Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x0=0,0 e x1=4,0) 
	I=h/2*(y0+y1)=2x(1,00000+0,24254) = 2,48508
Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x0=0,0,x1 =2,0,x2 =4,0) 
	I=h/2(y0+2y1+y2)=1x(1,00000+2x0,44722+ 0,24254) = 2,1369 
Regra do Trapézio Composta: 9 pontos 
	I=(0,5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2,0936 
A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2,0947.
Exemplo: Estimar o valor de
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11:59
Regra do trapézio composta
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11:59
Regra do trapézio - Erro
x
f(x)
x0
x1
f(x1)
f(x0)
ERRO!
Erro:
E = I – T
T - valor da integral numérica.
I - valor da integral obtida pela integração de f(x). 
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12:01
Regra do trapézio - Erro
Erro da Regra do Trapézio Simples
 
Erro da Regra do Trapézio Composta
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12:02
Regra do trapézio - Erro
Exemplo: Seja 			 ,
	
	calcule uma aproximação para I usando a Regra
dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.
					
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12:03
Regra do trapézio - Erro
		Estimativa do erro cometido:
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12:05
Regra de Simpson
x
f(x)
x0
x1
f(x1)
f(x0)
Aproxima a área sob a curva pela área de um polinômio de grau dois.
x2
f(x2)
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12:06
Regra de Simpson
Fórmula:
Considerando n sub-intervalos (n deve ser um número par):
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12:07
Regra de Simpson
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12:08
Regra de Simpson
Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos: 
	h=1/6
Regra de simpson
	S =1/18[1+4(6/7+2/3+6/11)+2(3/4+3/5)+1/2] = 0,69317
Valor da integral I = ln(2) = 0,69315
Exemplo: Estimar o valor de
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12:09
Regra de Simpson- Erro
Erro da Regra de Simpson
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12:11
Diferenciação numérica
Idéia básica da diferenciação numérica  Aproximar a derivada real em um ponto utilizando diferenciais pequenos.
Utilizando principalmente na solução de equações diferenciais
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Diferenciação numérica
x
f
x0
x1
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*
12:13
Diferenciação numérica
Erros de truncamento
As derivadas numéricas são apenas uma aproximação razoável das derivadas analíticas.
É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor
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12:13
Séries de Taylor
A série de Taylor permite estimar o valor de uma função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo.
Onde h é a diferença entre xi+1 e xi.
A série de Taylor é infinita.
A aproximação da derivada numérica é finita
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12:14
Diferenciação numérica
Séries de Taylor
O resto
O resto é dado por
Onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 e
é um valor entre xi+1 e xi
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Séries de Taylor e derivadas
A derivada numérica tem erro de truncamento dado por Rn/h
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Séries de Taylor e derivadas
O valor do erro R1/h é da ordem de h, por isso pode-se expressar
Onde O(h) é um erro da ordem de h. Isto significa que quanto menor
o passo (incremento), menor o erro da aproximação.
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Erros de arredondamento
Erros de arredondamento ocorrem porque o computador utiliza 
uma representação binária com um número finito de bytes para
representar os números reais.
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Erros – compromisso entre truncamento e arredondamento
arredondamento
truncamento
total
erro
Incremento 
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Tipos de derivadas numéricas
Progressiva
forward
Regressiva
backward
Centrada
Centered
Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da 
derivada numérica centrada é menor do que os outros.
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*
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Tipos de derivadas numéricas
Derivada segunda:
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12:17
Tipos de derivadas numéricas
x
f
regressiva
analítica
progressiva
x0
x1
x2
centrada
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12:17
Tipos de derivadas numéricas
7:36
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Exemplo derivada numérica
A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por:
onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal
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*
Exemplo derivada numérica
Considerando uma seção prismática regular:
h
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*
Exemplo derivada numérica
Considerando uma seção prismática regular:
h
7:36
*
Exemplo derivada numérica
Considerando uma seção qualquer
Tabelas de
A; R e Q em 
função de h
interpolação
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*
Raízes de equações
Em recursos hídricos surgem muitas equações de difícil solução analítica, com termos implícitos e não lineares.
Métodos numéricos são úteis para este tipo de problema.
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*
Métodos numéricos para encontrar raízes de equações
Bissecção
Falsa posição
Newton-Raphson
Secantes
Raízes de equações
f(x)
x
raiz
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*
Método de bissecção
No método de bissecção é necessário fornecer duas estimativas iniciais de valor de x que “cercam” a raiz.
Dadas as duas estimativas iniciais xu e xl, uma primeira estimativa para a raiz é dada por:
Raízes de equações
7:36
*
Método de bissecção
F(x)
x
Raízes de equações
7:36
*
Método de bissecção
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja exatamente
entre xu e xl
Raízes de equações
7:36
*
Método de bissecção
Raízes de equações
F(x)
x
Se f(xr).f(xl) negativo, então
Busca entre xr e xl
Se não, busca entre xr e xu
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*
Método de bissecção
Raízes de equações
F(x)
x
Busca entre xr e xu
Busca termina de acordo
Com critério de parada
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*
Método de bissecção
Critérios de parada
Incremento de x menor que um dado limite
Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é menor do que um dado limite
Raízes de equações
7:36
*
Método de falsa posição
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de 
uma linha reta unindo os dois pontos
7:36
*
Método de falsa posição
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de 
uma linha reta unindo os dois pontos
7:36
*
Método de falsa posição
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de 
uma linha reta unindo os dois pontos
7:36
*
Método de falsa posição
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de 
uma linha reta unindo os dois pontos
7:36
*
Problemas dos métodos anteriores
Bissecção e falsa posição sempre encontram a raiz, mas podem ser demorados
Além disso, exigem que sejam dadas duas tentativas iniciais com sinais contrários da função
Raízes de equações
7:36
*
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma 
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicial
7:36
*
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma 
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicial
derivada
Raízes de equações
7:36
*
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma 
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicial
derivada
Raízes de equações
7:36
*
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma 
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
derivada
Raízes de equações
7:36
*
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma 
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Raízes de equações
7:36
*
Método de Newton-Raphson
Novamente a série de Taylor
se
então
Raízes de equações
7:36
*
Método de Newton-Raphson
Novamente a série de Taylor
Supondo que
(xi+1 é a raiz)
Raízes de equações
7:36
*
Problemas do método de Newton-Raphson
É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz
x
Raízes de equações
7:36
*
Problemas do método de Newton-Raphson
É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz
x
Raízes de equações
7:36
*
Raízes de equações
7:36
*
Raízes de equações
7:36
*
Raízes de equações
7:36
*
Raízes de equações
7:36
*
Método das Secantes
Um possível problema do método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.
Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.
Raízes de equações
7:36
*
Método das Secantes
Um possível problema do método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.
Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.
f(x)
x
Tentativa inicial
secante
Raízes de equações
7:36
*
Método das Secantes
f(x)
x
Tentativa inicial
secante
Raízes de equações
7:36
*
Raízes de equações
7:36
*
Comparação de métodos
Newton-Raphson é mais rápido, seguido do método das secantes, da falsa posição e finalmente bissecção.
Newton-Raphson e Secantes podem divergir.
Secantes pode ser aplicado para funções em que é difícil obter derivadas (comuns em simulação hidrológica).
Raízes de equações
7:36
*
Exemplo
Calcule o nível da água h se:
h
Q=15 m3/s
S=0,001 m/m
n=0,02
B=8 m
B
Raízes de equações
7:36
*
Exemplo
Calcule o nível da água h se:
h
B
Q=15 m3/s
S=0,001 m/m
n=0,02
B=8 m
m=1,5
m
1
Raízes de equações
7:36
*
Exemplo
Calcule a vazão de um vertedor 
h
g=9,81 m/s2
H=20 cm
L=10 m
C=2
Raízes de equações
7:36
*
Exemplo
Calcule o nível h para uma dada vazão Q
Tabelas de
A; R e Q em 
função de h
Q=15 m3/s
S=0,001 m/m
n=0,02
Simples busca e interpolação da tabela
Raízes de equações
7:36
*
Outro exemplo: balanço hídrico de reservatório com vertedor
7:36
*
Equação de vertedor
Raízes de equações
7:36
*
Supondo um reservatório 
Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?
Raízes de equações
7:36
*
Como encontrar raízes de equações implícitas
Método de bissecção
Método de Newton-Raphson
Método das secantes
E se houver operação de comportas durante uma cheia?
Raízes de equações
7:36
*
Exemplo
Na aplicação do método de Muskingum-Cunge para a simulação da propagação de vazão em rios, utiliza-se sub-trechos cujo comprimento ideal pode ser encontrado resolvendo a equação abaixo:
Aplique considerando:
Q0=100 m3/s
c0=1,0 m/s
B = 30 m
S0=0,001 m/m
Dt = 1 hora (3600 s)
Use a equação abaixo para
a estimativa inicial
Raízes de equações
7:36
*
Solver do Excel
O solver pode ser utilizado para encontrar raízes de equações. 
Não está claro que método que Solver utiliza.
Chute inicial deve estar relativamente próximo da raiz.
Raízes de equações
7:36
*
Sistemas de equações - Introdução
Problema comum em engenharia;
A utilização do método está liga a dois condicionantes: (a) matriz de coeficientes, (b) eficiência da solução;
Classificação:
Quanto ao tipo: (a) linear, (b) não linear;
Quanto ao tipo de solução: (a) direta (ex. Gauss), (b) iterativa (ex. Gauss-Seidel);
Quanto à solução: (a) compatível e determinada; (b) compatível e indeterminada; (c) incompatível.
7:36
*
Sistemas de equações lineares
Pode ser definido como:
7:36
*
Sistemas de equações lineares
Em forma matricial:
Matriz do coeficientes 
Vetor das incógnitas
ou vetor solução
Vetor das 
constantes
7:36
*
Sistemas de equações lineares
Classificação quanto à solução:
Possível e determinado → Possui uma única solução.
Solução trivial → Det(A) ≠ 0 e B = 0;
Solução não trivial → Det(A) ≠ 0 e B ≠ 0
Possível e indeterminado → Possui infinitas soluções
Det(A) = 0 e B = 0 ou B é múltiplo de uma coluna de A
Impossível → Não possui soluções
Det(A) = 0 e B ≠ 0 e B não é múltiplo de nenhuma coluna de A
7:36
*
Soluções de sistemas de equações lineares
Método de Gauss (direto)
Método de Gauss-Seidel (iterativo)
7:36
*
Método de Gauss
Consiste em transformar a matriz A em uma matriz triangular equivalente através das seguintes operações:
Subtração de uma linha por outra multiplicada por uma constante;
Formação de uma matriz diagonal superior.
7:36
*
Método de Gauss
Considere, 
onde: 
e, 
7:36
*
Método de Gauss
1o passo: Definir um multiplicador para cada linha baseado na primeira
m2 = a21/a11; m3 = a31/a11
2o passo: Subtrair o produto do multiplicador da 2a e 3a linha pela 1a linha
a’i,j=ai,j- mi . ai-1,j , onde i = 2,3 e j = 1,2,3
7:36
*
Método de Gauss
O multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1
(x 2)
(-
(x -1)
(-)
7:36
*
Método de Gauss
2a linha:
Os multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1
3a linha:
7:36
*
Método de Gauss
Após estes passos, a matriz aumentada fica da seguinte forma:
Repentindo os passos de 1 a 3, só que agora tomando como
base a linha 2:
7:36
*
Método de Gauss
Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2 
Reescrevendo a matriz sem as linhas nos expoentes, tem-se:
(x 2)
(-)
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Método de Gauss
3a linha:
Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2 
Após estes passos, a matriz aumentada agora tem a seguinte forma:
Reescrevendo a matriz sem as linhas nos expoentes, tem-se:
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Método de Gauss
Equivalente a: 
Resolvendo o novo sistema, obtem-se: 
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Método de Gauss
Exercício para casa:
 Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas 
lineares pelo método direto de Gauss.
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Método iterativo de Gauss-Seidel
É um dos métodos mais comum e simples de ser programado;
O método converge somente sob certas condições e normalmente conduz a um número maior de operações quando comparado com métodos diretos.
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Método iterativo de Gauss-Seidel
A equação utilizada para iterações é a seguinte: 
Pode-se utilizar um coeficiente para acelerar o processo
de convergência: 
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Método iterativo de Gauss-Seidel
Seja o sistema de equações: 
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Método iterativo de Gauss-Seidel
Obtemos o valor de x1 a partir da primeira equação, o valor de x2 a
partir da segunda equação e assim sucessivamente: 
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Método iterativo de Gauss-Seidel
Ponto de partida
Conjunto de valores iniciais
Critério de parada
Número de iterações excedeu um determinado valor m;
A seguinte condição atenta uma precisão adotada:
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Método iterativo de Gauss-Seidel
Convergência do método:
É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida
Inspeção da diagonal principal (necessária):
Domínio da diagonal (suficiente):
Método dos menores principais (necessária e suficiente):
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Método iterativo de Gauss-Seidel
Considere, 
Aplicando o método, tem-se: 
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Método iterativo de Gauss-Seidel
Considerando o ponto de partida com Xk=(x1, x2, x3)=(0, 0, 0),
a primeira iteração fica: 
Adotando ɛ = 0.0001, após 244 iterações a solução converge para: 
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Método iterativo de Gauss-Seidel
Exercício para casa:
 Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas 
lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel.
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Sistemas de equações não lineares
Pode ser definido como:
onde f é uma função não linear em função de x1,x2,…,xn. 
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Sistemas de equações não lineares
Método iterativo de Newton
Se baseia no método Newton-Rapson para solução de equações não lineares.
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Método iterativo de Newton
Um sistema de equações não lineares:
pode ser expandido para série de Taylor de primeira ordem:
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Método iterativo de Newton
Resultando em um sistema de equações lineares:
onde Δxi = xik+1- xik 
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Método iterativo de Newton
Em forma matricial:
Jacobiano (k) 
Vetor das incógnitas
ou vetor solução (k+1)
Vetor das 
Constantes (k)
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Método iterativo de Newton
Ponto de partida
Conjunto de valores iniciais
Critério de parada
Número de iterações excedeu um determinado valor m;
Verifique se a seguinte condição atenda uma precisão adotada:
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Método iterativo de Newton
Convergência do método:
É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida
Inspeção da diagonal principal (necessária):
Domínio da diagonal (suficiente):
Método dos menores principais (necessária e suficiente):
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Método iterativo de Newton
Exercício para casa:
 Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas 
não lineares pelo método iterativo de Newton.