Regra da Cadeia e Derivadas

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A Regra da Cadeia
Continuac¸a˜o das notas de aula do meˆs 11/03
Versa˜o de 20 de Novembro de 2003
Agora queremos entender o que acontece com a derivada de uma composic¸a˜o
de func¸o˜es. Antes de mais nada, lembremos a notac¸a˜o e o significado disso:
denotamos f ◦ g (x) a` composic¸a˜o f (g (x)). Podemos pensar nessa composic¸a˜o
como dois passos: y = g (x) e z = f (y). Fac¸a uma figura representando essa
composic¸a˜o e indicando as treˆs derivadas presentes nessa discussa˜o: g′ (x), f ′ (y)
e (f ◦ g)′ (x).
A regra da cadeia diz precisamente a relac¸a˜o entre essas derivadas. Para
obter tal relac¸a˜o vamos novamente fazer uso da ide´ia de derivada como aprox-
imac¸a˜o linear. Assim,
f (y +∆y) ≈ f (y) + f ′ (y)∆y, (1)
g (x+∆x) ≈ g (x) + g′ (x)∆x, (2)
e agora queremos obter destas a aproximac¸a˜o linear de f ◦ g (x+∆x). Usando
primeiramente a expressa˜o (2), tem-se
f (g (x+∆x)) ≈ f (g (x) + g′ (x)∆x) , (3)
e agora usa-se a expressa˜o (1) reconhecendo y = g (x) e ∆y = g′ (x)∆x:
f (g (x+∆x)) ≈ f (g (x)) + f ′ (g (x)) g′ (x)∆x, (4)
de onde deve ficar claro que
(f ◦ g)′ (x) = f ′ (g (x)) · g′ (x) (5)
Em notac¸a˜o de Leibniz, esse resultado pode ser escrito de uma forma ate´
mneomoˆnica:
dz
dx
=
dz
dy
· dy
dx
, (6)
que nos lembra como sa˜o encadeadas as pequenas variac¸o˜es de x, y e z. O
estudante, pore´m, deve estar atento tanto ao fato de na notac¸a˜o de Leibniz na˜o
ser expl´ıcito onde sa˜o calculadas as derivadas, quanto para o fato que o que esta´
escrito na expressa˜o (6) na˜o e´ um produto de frac¸o˜es!
Agora vamos discutir algumas consequ¨eˆncias da regra da cadeia.
• Derivada de F (x) = erx, com r constante.
Voceˆ pode pensar F como uma composic¸a˜o onde f (y) = ey e g (x) = rx.
Com isso,
F ′ (x) = erx · r = rerx. (7)
1
• Derivada de F (x) = ax, onde a > 0 e´ constante.
Para isso recorremos a` inversa da exponencial, o logaritmo. Basta lembrar
que
ax = eln(a
x) = ex ln a, (8)
e notar que ln a e´ uma constante, e portanto podemos usar a expressa˜o
(7). Assim,
F ′ (x) = ln a · ex ln a = ln a · ax. (9)
Vale notar que a expressa˜o acima novamente corrobora a frase que descreve
as func¸o˜es exponenciais: “quanto mais tem mais cresce”, ou de maneira
mais precisa, “a taxa de variac¸a˜o e´ proporcional a` pro´pria func¸a˜o.
• Derivada de xn, onde n e´ um nu´mero inteiro negativo.
Vamos escrever n = −m, com m inteiro positivo. E note que x−m =(
x−1
)m. Novamente vamos usar a regra da cadeia, usando que ja´ sabemos
(de maneira justificada) que
d
dx
xm = mxm−1. (10)
Temos enta˜o
d
dx
xn =
d
dx
(
x−1
)m
= mx−1
m−1 ·(−x−2) = (−m)x−m−1 = nxn−1. (11)
• Derivada de G (x) = x 1p , onde p e´ inteiro.
Agora a estrate´gia e´ utilizar a regra da cadeia compondo G com uma
func¸a˜o que sabemos derivar, e tal que o resultado da composic¸a˜o tambe´m
seja uma func¸a˜o que sabemos derivar. Um exemplo disso e´ dado por
(G (x))p = x. (12)
Como a igualdade acima vale para todo x em que ela esta´ definida, as
derivadas tambe´m devera˜o ser iguais. Calculando esta derivada:
d
dx
(G (x))p =
d
dx
x
p (G (x))p−1 ·G′ (x) = 1
G′ (x) =
1
p
(G (x))1−p
G′ (x) =
1
p
x
1
p−1, (13)
• Derivada de F (x) = x pq , com p e q inteiros. Voceˆ e´ convidado a obter esse
resultado usando a regra da cadeia.1
1Note que agora temos raza˜o para acreditar na fo´rmula para a derivada de xn para qualquer
poteˆncia racional. Com a estrate´gia acima, e´ o melhor que podemos fazer. Sabendo a derivada
do logaritmo voceˆ podera´ usar novamente a regra da cadeia para mostrar que este resultado
vale para qualquer poteˆncia real.
2
• Derivada do logaritmo: f (x) = lnx.
A ide´ia e´ semelhante ao que foi feito na expressa˜o (12). E nesse caso, us-
amos a inversa do logaritmo, a exponencial, que ja´ sabemos derivar.Assim,
ln (ex) = x
d
dx
ln (ex) =
d
dx
x
f ′ (ex) · ex = 1, (14)
podemos enta˜o denotar y = ex, e concluir que
f ′ (y) =
1
y
. (15)
Voceˆ agora deve fazer um gra´fico de f (x) = lnx, esboc¸ar enta˜o o gra´fico de
sua derivada e possivelmente concordar que se este resultado (a derivada
do logaritmo) na˜o e´ de todo intuitivo, tambe´m na˜o e´ nenhum contra-senso.
Foram ainda propostos e/ou discutidos em sala os seguintes exerc´ıcios (ordem
em que foram propostos):
• 4.2: 6, 7, 35, 34, 11, 12 e 20;
• 4.3: 9, 13, 37 e 38;
• 4.4: 1, 3, 6, 14, 21 e 27.
Resolvendo estes exerc´ıcios, voceˆ encontrou algumas func¸o˜es do tipo F (x) =
f(x)
g(x) e deve ter conseguido calcular sua derivada. Algumas pessoas preferem usar
a chamada ”regra do quociente”, que sera´ desenvolvida agora em duas etapas.
A minha opinia˜o sincera e´ que, assim como com va´rias outras propriedades, na˜o
se deve gastar energia tentando memorizar a regra do quociente. Mais que isso,
deve se ter muito cuidado para na˜o confundir o sinal envolvido nela. Uma boa
maneira de na˜o errar este sinal e´ lembrar “de onde ele vem”. A dita “regra do
quociente” sera´ aqui apresentada como uma consequ¨eˆncia das duas regras mais
importantes que foram discutidas: a regra do produto e a regra da cadeia.
Como primeiro passo, vamos calcular a derivada de 1f(x) = (f (x))
−1 usando
a regra da cadeia:
d
dx
(
1
f (x)
)
=
−1
(f (x))2
· f ′ (x) = −f
′ (x)
(f (x))2
, (16)
para agora usar a regra do produto no ca´lculo da derivada de F (x) = f(x)g(x) =
f (x) · 1g(x) , assim:
d
dx
F =
df
dx
· 1
g
+ f · d
dx
(
1
g
)
3
=
df
dx
· 1
g
− f ·
dg
dx
g2
=
df
dx · g − f dgdx
g2
, (17)
ou, na notac¸a˜o envolvendo linhas:
F ′ =
f ′g − fg′
g2
. (18)
Voceˆ pode agora refazer os exerc´ıcios que envolvem quocientes de func¸o˜es e
recalcular as derivadas utilizando a regra do quociente.
Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Nosso problema agora e´ determinar a derivada de func¸o˜es trigonome´tricas
como f (x) = sen (x) e g (x) = cos (x). Isso pode ser feito diretamente no
c´ırculo trigonome´trico (voceˆ e´ convidado a tentar deduzir as fo´rmulas aqui ap-
resentadas atrave´s de construc¸o˜es geome´tricas), ou com a ajuda da fo´rmula para
somas de arcos:
sen (a+ b) = sen a cos b+ cos a sen b. (19)
Uma caso particular dessa fo´rmula (b = pi2 ) nos lembra o importante fato que o
cosseno pode ser visto como a func¸a˜o seno deslocada de pi2 . Portanto, conhecendo
a derivada de sen x conheceremos tambe´m a derivada de cosx.
Para obter a derivada de sen x comec¸amos pela expressa˜o (19), de onde,
sen (x+∆x) = sen x cos∆x+ cosx sen ∆x. (20)
Precisamos entender o comportamento de cos∆x e de sen ∆x quando ∆X e´
muito pequeno. Lembrando do gra´fico de cosx, e´ fa´cil perceber que a reta
tangente ao gra´fico em x = 0 e´ horizontal, portanto a derivada de cosx em
x = 0 vale zero. Ou seja,
cos∆x ≈ 1 + 0 ·∆x. (21)
Para completar esse quadro, devemos ainda saber a derivada de sen x calculada
em x = 0. Em outras palavras, queremos determinar o limite:
lim
∆x→0
sen ∆x
∆x
. (22)
Para estimar tal limite voceˆ pode voltar mais uma vez ao c´ırculo trigonome´trico
e marcar um segmento de reta vertical que representa sen ∆x e o arco que
4
representa2 ∆x. Feito isso, voceˆ pode se convencer que esta raza˜o tende a um
quando ∆x tende a zero. Ou seja, ambos os comprimentos tendem a zero,
mas a raza˜o entre eles se aproxima de 1 (o arco e o segmento tornam-se quase
ideˆnticos). Este e´ um dos limites mais importantes em um curso de ca´lculo,
merece enta˜o ser destacado:
lim
∆x→0
sen ∆x
∆x
= 1. (23)
Agora o cena´rio esta´ completo, a derivada de sen x em x = 0 vale 1. Como
sen 0 = 0, temos
sen ∆x ≈ 0 + 1 ·∆x. (24)
Finalmente, usando as aproximac¸o˜es (21) e (24) na expressa˜o (20) obtemos
sen (x+∆x) ≈ sen x+ cosx ·∆x, (25)
que quando comparada com a expressa˜o (1) (que traduz a ide´ia de derivada
comoinclinac¸a˜o da reta tangente) nos leva a concluir que
d
dx
sen x = cosx. (26)
Agora voceˆ pode escolher uma de duas alternativas (e por que na˜o seguir as
duas?): ou refaz um argumento semelhante ao aqui apresentado para o seno e
obte´m a derivada da func¸a˜o cosseno, ou argumenta que translac¸o˜es na˜o afetam
a derivada e translada e expressa˜o (26) de pi2 , obtendo
d
dx
cosx = − sen x. (27)
Foram ainda propostos/discutidos os exerc´ıcios:
4.5) 3, 4, 10, 15, 19 e 20.
Isso encerra o nosso conjunto de “regras de derivac¸a˜o”. Na˜o ha´ maneira
melhor de se acostumar com elas do que usando-as.
2Lembre-se que a definic¸a˜o de radianos e´ que medimos aˆngulos como a raza˜o entre o arco
e o raio; quando escolhemos o raio igual a 1, obtemos diretamente a igualdade nume´rica entre
aˆngulo e arco.
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