Fundamentos de Sistemas Eletricos de Potencia

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Fundamentos de Sistemas 
Elktricos de Potsncia 
Prof.ManoeiAfonsadeCa~]linkr 
Coordenadar do LDSP 
DEE 1 CTG 1 UFPE 
Editora Livraria da Fisica 
Luiz Cera Zanetta Jr. 
Fundamentos de Sistemas 
Elktricos de Potsncia 
Editora Livraria da Fisica 
SBo Paulo - 2006 - 1"di~Bo 
Copyright 2005: Editora Livraria da Fisica 
Editor: Josk Roberto Marinho 
Capa: Arte Ativa 
Impressiio: Grifica Paym 
Diagramaqgo: Carlos Eduardo de Morais Pereira 
Ilustraq6es: Ricardo Vianna Lacourt 
Revisiio do texto: Tiinia Mano Maeta 
Dados Internacionais de Catalogaqiio na Publicaqiio ( CIP ) 
(C2mara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Zanetta Jhnior, Luiz Cera 
Fundamentos de sistemas eletricos de potsncia / Luiz Cera Zanetta Jr. 
- I . ed. - S2o Paulo : Editora Livraria da Fisica, 2005. 
Bibliografia. 
1. Centrais eletricas 
2. Correntes elCtricas 
3. Energia eletrica - Distribuiq80 
4. Energia eletrica - Sistemas 
5. Energia eletrica - Transmissgo 
6. Linhas elCtricas I. Titulo. i: + * .:: ::il~nso de Canra#lo ]& 
;:o:. enad ad or do LDSP 
DEE I CTG I UFPE 
indices para cathlogo sistemitico: 
1. Sistemas eletricos de potCncia : Engenharia eletrica 62 1.3 19 1 
ISBN: 85-88325-41-1 
Editora Livraria da Fisica 
Telefone: (1 1) 3936-34 13 
~ww.1ivrariadafisica.com. br 
...................... CAP~TULO 1 Introduqiio aos Parimetros de Linhas de Transmissso 5 
1 . 1 Introduqiio ...................................................................................................... 5 
........................................... 1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potencia 6 
..................................................................... 1.2.1 Resistencia de Condutores 8 
1.2.2 Efeito da Temperatura na Resistencia 
.................................................. dos Condutores em Corrente Continua 9 
.......................................................... 1.3 Indutincia de Linhas de Transmiss50 1 1 
1.3.1 Generalidades ....................................................................................... 11 
................................................ 1.3.2 Fluxo Concatenado com um Condutor 15 
1.3.3 Indutincia de um Condutor devida ao Fluxo Interno .......................... 15 
1.3.4 Efeito Pelicular .................................................................................... 20 
1.3.5 Indutincia de um Condutor devida ao Fluxo Externo ......................... 24 
1.3.6 Adiqiio dos Fluxos Interno e Externo ................................................... 28 
1.3.7 Indutincia de uma Linha a Dois Fios com Condutores Cilindricos ..... 29 
1.3.8 Fluxo Concatenado com um Condutor 
por urn Grupo de Condutores ............................................................... 31 
1.3.9 Linha Bifasica com Condutores Compostos ou em Feixe ................... 34 
1.3.10Reatincia Indutiva da Linha com Utilizaqiio de Tabelas ..................... 43 
1.3.1 1 Indutincia de Linhas Trifisicas com Espaqamento Eqiiilatero ............ 45 
1.3.12 Linhas Trifasicas com Espaqamento Assimktrico ............................... 47 
1.4 Capacitincia de Linhas de Transmissso ...................................................... 50 
1.4.1 Generalidades .................................... : .................................................. 50 
1.4.2 Condutor Isolado .................................................................................. 51 
1.4.3 Diferenqa de Potencial entre Dois Pontos no Espaqo .......................... 52 
.................................................... 1.4.4 Capacitincia de uma Linha Bifasica 53 
1.4.5 Linha Trifasica com Espaqamento Eqiiilatero ..................................... 59 
1.4.6 Linha Trifasica corn Espaqamento Assimetrico ................................... 62 
1.4.7 Consideraqiio de Condutores Compostos ou Bundle ........................... 65 
1.5 Referencias Bibliograficas ........................................................................... 70 
........... CAP~TULO 2 Calculo Matricial de Parimetros de Linhas de Transmissso 71 
2.1 Introduqiio .................................................................................................... 71 
...................................... 2.2 Calculo de Parimetros Incluindo o Efeito do Solo 71 
2.2.1 Matriz de Impedincias Skrie ................................................................ 72 
...................................................... 2.2.2 Aplicaqiio do Metodo das Imagens 73 
2.2.3 Solo com Resistividade niio Nula ........................................................ 76 
..................................................................... 2.2.4 Efeito dos Cabos-Guarda 78 
................................................ 2.2.5 Aplicaqso de Componentes Simetricas 83 
Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia 
2.3 Matriz de Capacitincias ............................................................................... 88 
2.3.1 Consideraqio dos Cabos-Guarda ........................................................ -95 
2.3.2 Aplicaq5o das Componentes 
Simktricas no CBlculo de Capacitincia ................................................ 98 
2.4 Linhas de Transmissio com Circuitos em Paralelo e Cabos-guarda ......... 100 
2.5 CBlculo Computacional de Parimetros de Linhas de Transmiss50 ........... 114 
2.5.1 Calculo da Impedincia Skrie (Matriz de Impedincias) ..................... 114 
2.5.2 Calculo da Matriz de Admitincias Capacitiva ................................... 118 
2.6 Refertncias Bibliogrhficas ......................................................................... 121 
CAP~TULO 3 RelapBes entre TensBes e Correntes em uma Linha de Transmiss50 .... 123 
3.1 Introduqgo .................................................................................................. 123 
3.2 Propagaqio de Ondas Eletromagnkticas 
em uma Linha de Transmiss50 .................................................................. 123 
3.3 Impedincia Caracteristica de uma Linha de Transmiss50 ......................... 127 
3.4 Regime Perrnanente em Linhas de Transmiss50 ....................................... 127 
........... 3.4.1 Modelo de Linhas de Transmiss50 com Comprimento Finito 130 
3.4.2 Quadripolo Equivalente ...................................................................... 133 
......... 3.4.3 Modelo n Equivalente de uma Linha Genkrica (Linha Longa) 134 
3.4.4 Modelo n Nominal ............................................................................. 140 
3.4.5 Modelo para Linhas Curtas ................................................................ 141 
3.4.6 Modelo T Nominal ............................................................................. 142 
3.5 Algumas Propriedades de Quadripolos ...................................................... 143 
3.5.1 Associaqio em Cascata de Quadripolos ............................................. 143 
3.5.2 Associaq5o de Quzdripolos em Paralelo ........................................ 1 4 4 
3.5.3 Representaqgo de Elementos 
Concentrados Atravks de Quadripolos ............................................... 145 
3.6 Transmiss50 de Potzncia ............................................................................ 146 
3.7 Compensaqio Reativa de Linhas de Transmiss50 ..................................... 150 
3.7.1 Linha de Transmiss50 em Vazio ........................................................ 150 
3.7.2 Linha de Transmiss50 em Carga ........................................................ 154 
3.8 Refertncias Bibliograficas ......................................................................... 164 
................................................................................. CAPITULO 4 Curto-circuit0 165 
4.1 Introduqio .................................................................................................. 165
4.2 Modelos de Geradores ............................................................................... 167 
.................................................................................. 4.2.1 Motor Sincrono 170 
4.2.2 Motor de Induqio ............................................................................... 170 
................................. .. 4.3 Curto-circuit0 Considerando as Condiqdes Pre-falta 171 
4.4 Modelo de Carga e Analise Prk-falta ......................................................... 179' 
................................................................................ 4.4.1 Modelo de Carga 179 
4.4.2 Estudo das Condiq6es Prk-Falta ......................................................... 180 
4.5 Curto Trifasico Equilibrado . n . ............................... 
T- Szimario 
. . 
............................................................................ ! 4.6 Curto-c~rcu~to Fase-terra 183 
4.7 Curto Dupla-fase ........................................................................................ 1 88 
4.8 Curto Dupla-fase-terra ............................................................................... 19 1 
4.9 Potencia de Curto-circuit0 ..................................................................... 1 9 5 
................................................. 4.9.1 Potencia de Curto-circuit0 Trifisica 1 9 5 
.............................................. 4.9.2 Potencia de Curto-circuit0 Monofisica 198 
......................................................................... 4.10 Refersncias Bibliogrificas 2 12 
...................................................... CAP~TULO 5 Tratamento Matricial de Redes 2 13 
I 
5.1 Introduqiio .................................................................................................. 2 13 
5.2 Matrizes para Redes de Seqiiencias ........................................................... 2 13 
5.2.1 Formaqiio da Matriz Y Considerando 
.................................................. os Elementos Indutivos sem M6tuas 2 13 
5.2.2 FormaqBo da Matriz Y Considerando 
...................................................... , Elementos Indutivos com Mctuas 2 16 
...................................... 5.2.3 ObtenqBo da Matriz de Impedincias Nodais 2 18 
5.3 Matrizes Trifasicas .................................................................................... 220 
......................................................... 5.3.1 Formaqiio da Matriz Y Trifisica 221 
5.4 ReferEncias Bibliogrificas ......................................................................... 224 
CAP~TULO 6 Cilculo Matricial do Curto-circuit0 ............................................... 225 
6.1 Introduqzo .................................................................................................. 225 
.................................................................. 6.2 Informaqdes da Rede Pri-falta 225 
.................................................................. 6.3 Informaqdes da Rede em Falta 226 
6.4 Superposiqdes ............................................................................................ 228 
6.5 Componentes de Fase ................................................................................ 228 
6.6 Cilculos de Curto-circuit0 ......................................................................... 229 
6.6.1 Curto Trifasico ................................................................................... 229 
6.6.2 Curto Dupla-fase ................................................................................. 230 
6.6.3 Curto Fase-terra ................................................................................. 231 
6.6.4 Curto Dupla-fase-terra ... :. .................................................................. 232 
6.7 Refercncias Bibliograficas ......................................................................... 238 
...................................... CAP~TULO 7 Fluxo de Potzncia em uma Rede Elitrica 239 
7.1 Introduqiio .................................................................................................. 239 
7.2 Anilise de uma Rede Elementar ....................................................... : ........ 240 
.............................................................. 7.3 Variiveis e Anilises de Interesse 244 
7.3.1 Barras ................................................................................................. 244 
7.3.2 Ligaqdes ............................................................................................. 245 
7.4 Consideraqdes sobre o MCtodo Iterativo de Gauss e Gauss-Seidel ........... 250 
7.4.1 Mitodo de Gauss ............................................................................... 250 
............. 7.4.2 Fhxo de Potcncia com o Mitodo Iterativo de Gauss-Seidel 253 
.............. 7.5 Fluxo de Potencia corn o Mitodo Iterativo de Newton-Raphson 254 
Fur~damenros de Sistemas Elkfricos de PotBncia 
............................................... 7.5.1 Mitodo Iterativo de Newton-Raphson 254 
7.5.2 Fluxo de Potencia em uma Rede Elitrica 
com o Mitodo de Newton-Raphson ................................................... 258 
......................................................... 7.5.3 Montagem da Matriz Jacobiana 259 
7.6 Fluxo de Potzncia corn o M6todo 
Newton-Raphson Desacoplado-riipido ...................................................... 273 
........................................................................ 7.7 Referencias Bibliogriificas -284 
CAPITULO 8 Estabilidade .................................................................................... 285 
.................................................................................................. 8.1 Introduqiio 285 
8.2 Modelo Elementar ..................................................................................... 286 
8.2.1 Modelo Classico ................................................................................. 286 
8.2.2 Obtenqiio da Curva P x S .................................................................... 286 
8.3 Anilise da Estabilidade .............................................................................. 289 
......................................................... 8.3.1 Elevaqiio da Potencia Meciinica 291 
............................................................. 8.3.2 Ocorrencia de Curto-circuit0 292 
n . 8.4 Equaqgo Eletromecanica ............................................................................ 294 
.......................................................... 8.4.1 Equaqiio de Oscilaqiio (Swing) 294 
8.4.2 Critirio das Areas Iguais .................................................................... 296 
8.5.1 Modelo Eletromeciinico Simples ....................................................... 300 
......................................................................... 8.5 Referencias Bibliogrificas 312 
Um sistema elktrico de potsncia 6 constituido por usinas geradoras, linhas de 
alta tensiio de transmissso de energia e sistemas de distribuiqiio. 
As usinas geradoras estiio localizadas proximo dos recursos naturais energkti- 
cos, como as usinas hidroelktricas estabelecidas nos pontos favoraveis para o apro- 
veitamento dos desniveis e quedas de Bgua dos rios, assim como locais propicios 
para a formaqiio de lagos e o armazenamento da iigua. Da mesma forma, as usinas 
tirmicas localizam-se proximo das reservas de coinbustiveis fosseis como o carvgo 
ou gas. Cabe mencionar que pode ser mais econamico fazer o aproveitamento des- 
ses combustiveis por meio de sua queima, geraqiio de calor e sua transformaqiio em 
energia elktrica, transportando-a via linhas de alta tensiio at6 os centros de consumo, 
do que efetuar o transporte do combustive1 por veiculos, ferrovias OLI embarcaqdes. 
At6 mesmo as usinas nucleares, que
eventualmente poderiam se localizar proximo 
aos centros de consumo, por razdes de seguranqa siio instaladas em regides afasta- 
das das grandes cidades. 
As grandes empresas estatais ou privadas siio normalmente as responsaveis 
pela geraqiio de energia eletrica, devido ao expressivo aporte de capital necessario 
nesses empreendimentos. Nas usinas geradoras a energia eletrica e produzida em 
urn nivel de tensiio da ordem de uma ou duas dezenas de quilovolts, sendo inuito 
comum a tens50 de 13,8 kV, mas essa 6 uma tens20 baixa demais para que o seu 
transporte seja economicamente viavel a longas distiincias. Desse modo, utilizam-se 
transformadores encarregados de elevar esse nivel de tens20 a um patainar superior, 
que vai de algumas dezenas de quilovolts ate algumas centenas. 
Essa energia, ao chegar aos grandes centros de consumo, como as cidades e 
parques industriais, percorre regiaes densamente habitadas, com circulaqiio perma- 
nente de pessoas, cuja seguranqa exige a reduqzo do nivel de tens50 a patamares 
inferiores, novamente sendo muito comum a tens20 de 13,8 kV. Dessa tarefa se 
encarregam as empresas distribuidoras, que fornecem energia elitrica aos consumi- 
dores, geralmente classificados em grupos, como residenciais, comerciais e industriais. 
2 Ftrndurnentos de Sisternus Elitricos de Pot6nciu 
Fatores macroecon6micos, emprkstimos, juros, variaqdes de preqos interna- 
cionais de insumos energkticos, previsdes de demanda e contratos de energia for- 
mam o pano de fundo de toda ulna engenharia financeira que deterrnina a viabilida- 
de e o sucesso de cada empreendimento. Tudo isso ocorre ainda ligado a uma ten- 
dincia recente de desregulamentaqiio do setor elktrico, ou seja, a grosso mod0 di- 
minuindo a participaqiio estatal na geraqiio, transmiss50 e distribuiqiio, e permitindo 
a entrada no mercado de um numero maior de agentes empreendedores privados. 
Apbs mais de um skculo de exploraqiio da energia elktrica, as fontes de ener- 
gia mais proximas dos centros de consumo ja se encontram em utilizaq50 plena ou 
quase isso, o que implica a busca de potenciais cada vez inais distantes, com desafi- 
os a serem superados no transporte destas grandes quantidades de energia. Embora 
diversos aspectos ligados aos sistemas elktricos de grande porte, como os anterior- 
inente inencionados, sejam assuntos palpitantes, nosso interesse neste trabalho k 
dirigido a um aspect0 extremamente importante neste encadeamento, que k o da 
transmissiio de energia elktrica por meio de linhas de alta tensgo. Inumeros proble- 
mas tkcnicos devem ser superados para que a energia elktrica possa ser transportada 
atendendo aos requisitos de seguranqa das instalaqdes e das pessoas envolvidas. 
Aspectos cruciais como confiabilidade, flexibilidade e custos envolvidos no trans- 
porte estabelecem o nucleo das aqdes das equipes tkcnicas encarregadas da opera- 
qiio e planejamento dos sistemas elktricos de potincia. 
Do ponto de vista das linhas akreas de transmiss50, cabe a nbs entender os 
aspectos basicos dos campos elktrico e magnktico, que estabelecem os fundamentos 
para a transmiss50 de energia atraves de cabos. Dessa forma trataremos dos aspec- 
tos basicos no calculo dos parimetros das linhas de transmiss50, com e sem a pre- 
senqa do solo. Em seguida, estabeleceremos a modelagem eleinentar da linha de 
transmissiio em regime permanente, delineando modelos utilizaveis do ponto de 
vista da teoria de circuitos, que s5o uteis no chlculo de variaveis elktricas coino 
tensdes, correntes e potincias, assim como suas relaqdes matematicas. 
Faz parte ainda de nosso objetivo analisar o calculo das correntes de curto- 
circuito, principalmente do ponto de vista de sua avaliaqiio para os diferentes tipos j de faltas em redes elktricas, coin o uso das cornponentes simetricas. I 
Uin outro tema de nosso interesse e igualmente importante sera a abordagem . 1 
do fluxo de potencia em redes pois, como sabemos, os sistemas elktricos s5o consti- i 
tuidos por diversas usinas de geraqiio e centros de consumo, interligados por redes '' 
elktricas com diferentes configuragdes, que evoluem e se modificain devido a varios 
fatores. As interligaqdes elktricas na transmissiio permitiram um aproveitamento 
- 
mais econBmico e confiivel dos recursos energkticos e dos equipamentos eletricos. 
Fari parte de nossa investigaqiio a compreensiio do fluxo desta energia pelos dife- 
rentes caminhos possiveis de uma rede interligada, com o seu equacionamento por 
meio de uma formulaqiio eficiente no calculo das grandezas eletricas envolvidas. 
Desfrutamos de not6rios beneficios que as interligaqdes de sistemas propor- 
cionam as redes elktricas, como reduqiio de custos e aumento da confiabilidade. No 
entanto, a partir destis interligaqdes tambem surgiram dificuldades tkcnicas para 
uma operaqiio estivel dos sistemas diante de perturbaqdes inevitiveis, algumas 
normais, provenientes de alteraqdes operativas e variaqdes da carga. Outras pertur- 
baqdes siio causadas por curto-circuitos, cuja origem muitas vezes se encontra em 
tempestades e quedas de raios nas linhas de transmissiio, alem de outros fatores. 
Desse modo, complementamos o texto com ulna introduqgo a estabilidade de 
geradores conectados a barramentos suficientemente robustos, conhecidos como 
barramentos infinitos, introduzindo os conceitos elementares de estabilidade de 
redes, corn base no modelo clissico de geradores. 
Mencionamos que o objetivo deste livro foi reunir os elementos de transmis- 
sgo de energia elktrica em urn sistema de potencia, particularmente aqueles empre- 
gados na cadeira de Sistemas de Potencia I, na formaqiio de engenheiros eletricistas 
pela Escola Politkcnica da USP. Sua despretensiosa elaboraqiio niio pretende substi- 
tuir uma vasta e rica literatura de textos clissicos existente sobre o tema, mas ape- 
nas condensar aspectos hndamentais empregados em urn curso de graduaqgo. Para 
sua leitura, o aluno de graduaqiio necessita apenas conhecimentos de componentes 
simktricas e modelos de equipamentos em valores por unidade, desenvolvidos em 
cursos mais bisicos. 
A anilise introdut6ria desenvolvida se ampliar6 num segundotrabalho im- 
presso, ainda em elaboraqiio, abordando aspectos complementares mais avanqados. 
4 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia 
INTRODUCAO AOS PARAMETROS DE 
LINHAS DE TRANSMISSAO 
0 projeto de uma linha de transmissiio envolve c~lcu los elktricos e mec2ni- 
cos, pois o bom dimensionamento eletrico esti intimamente ligado a fatores mec2- 
nicos, como por exemplo o dimensionamento das estruturas capazes de suportar o 
peso dos cabos, rajadas de ventos e outras ocorrencias como rompimento de cabos, 
etc. Como o cab0 sofre defonna~des, a sua altura em relaqiio ao solo, entre duas 
estruturas, k inferior A sua altura nas torres. Alkm disso, como os vgos entre torres 
podem ser irregulares, por exemplo em trechos montanhosos, nas travessias de rios 
ou de vales, existe a necessidade de uma otimizaqiio do numero de torres e de suas 
alturas visando reduzir custos, assim como a definir adequadamente o tracionamen- 
to admissivel desses cabos nas estruturas. 
A elevaqiio da tensiio necessita de maior altura dos condutores em relaq8o ao 
solo, assim como de um inaior distanciamento entre fases, o que implica maiores 
estruturas de sustentaqiio, freqiientemente methlicas, conhecidas corno torres de 
linhas de transmiss80. 0 s cabos condutores s8o presos As estruturas por meio de 
cadeias de isoladores, e siio constituidos por fios encordoados que apresentam ca- 
racteristicas elktricas e mecinicas. Do ponto de vista ineciinico destacam-se como 
variiveis o peso e a resistencia a tragiio, assim como sua flexibilidade, fundamental 
para a fabricaqiio, transporte e montagem no campo. Do ponto de vista eletrico, s8o 
importantes variaveis a condutividade e a seqiio condutora.
Nosso objetivo basic0 volta-se para os aspectos elktricos fundamentais do 
chlculo dos parimetros de uma linha de transmissiio, correspondentes As caracteris- 
ticas elktricas, dimensdes e espaqamento dos condutores. Com o cilculo dos cam- 
pos magnkticos e elktricos definiremos os parimetros indutivos e capacitivos das 
linhas de transmissgo. Na avaliaqzo elementar de parimetros, desenvolvida a seguir, 
desconsideramos o efeito do solo, mas dele nos ocuparemos em capitulo posterior 
dedicado a o k m a . 
6 Fzrndan?entos de Sistemas Elktricos de Potgncia 
Nosso interesse no calculo dos parimetros elktricos justifica-se pela impor- 
tiincia dessa tarefa, da qua1 siio dependentes e alicerqadas as demais avaliaqdes que 
se faqam de um sistema elktrico de potzncia. 
1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potencia 
Uma preocupaqiio basica na seleqiio d i um condutor, definido o material a ser 
utilizado, cobre ou aluminio, 6 com a area de segiio transversal, que esta associada 
ao volume de material a ser utilizado e portanto ao custo da transmissiio. 0 s aspec- 
tos de custo siio tratados dentro de um t6pico chamado de seleqiio do condutor eco- 
namico, que niio sera objeto de nossa anilise. 
Ao alterarmos o diimetro do condutor, modificamos a densidade de corrente 
I IS , e conseqiientemente as perdas. 0 s aspectos positivos em aumentar o dismetro 
siio reduzir as perdas e tatnbkm o gradiente elktrico na superficie do condutor, ate- 
nuando o efeito corona. Em contrapartida, isso aumenta o custo da transmissso. 
S = irea da se@o 
condutora 
S, (3 s2 
Figura 1.1 : Condutores corn raios diferentes. 
Quando comparamos condutores de cobre com os de aluminio, fixados um 
mesmo comprimento e uma mesma resistzncia elktrica do circuito, o volume de 
aluminio sera maior, pois sera necessaria uma seqiio condutora maior para compen- 
sar sua condutividade, inferior em relaqiio a do cobre. Apesar disso, devido a maior 
densidade do cobre, o peso em cobre sera aproxi~nadamente o dobro em relaqiio ao 
do aluminio. Isso confere uma vantagem adicional ao aluminio, que pode ser utili- 
zado com estruturas de sustentaqiio mais leves, alkm do seu custo mais baixo. 
A dificuldade pratica em se fabricar condutores com diimetros elevados im- 
plica o uso de cabos formados por diversos fios, denominados cabos encordoados. 
Quando um so cab0 encordoado niio k suficiente para transmitir a corrente total, ..,, 
adicionamos mais cabos em paralelo, separados por espagadores, formando cabos 
multiplos. Existem diferentes tipos de condutores, e os mais usados em linhas de 
transmiss50 siio norrnalmente, por raz6es econ6micas, condutores de aluminio: 
Capitzilo 1. Introdtrpio aos Pardmetros de Linhas 7 
CA: condutor de aluminio puro. 
AAAC: condutor de liga de aluminio, de all aluminium alloy conductor. 
CAA: condutor de aluminio com alma de aqo, cuja denominaqiio muito conhe- 
cida em ingles 6 ACSR, de altrminium cable steel reinforced. 
ACAR: condutor de aluminio com alma de liga de aluminio, de alziminium 
conductor alloy reinforced. 
SeqZo 
'A condutora em 
forrna de coroa 
-A Suporte 
meciinico de aqo 
Figura 1.2: Formaqiio 2417 de um cabo CAA que apresenta 24 fios de aluminio e 7 de aqo. 
No process0 de encordoamento os fios descrevem uma trajet6ria helicoidal 
em torno do centro do condutor. Levando-se em conta ainda que os cabos sofrem 
uma deforrnaqiio provocada pel0 seu peso, o comprimento real 6 um pouco maior 
que a extensiio da linha .! . 
flecha 
Figura 1.3: Efeitos de encordoamento e flecha. 
.! : comprimento da linha, 
.ere,, 7 402.e. 
8 Ftrndanlentos de Sistemas Elktricos de Potincia 
Da mesma forma, a resistencia total da linha pode ser estimada em urn valor 
um pouco acima dos obtidos nos calculos. 
As perdas nos condutores em corrente continua, devidas ao efeito Joule, s5o 
representadas por rneio de resistencias, com a seguinte express20 conhecida: 
Figura 1.4: Dimensdes de um condutor. 
S2o importantes as seguintes variaveis que definem um condutor cilindrico: 
t : cornprimento do condutor ou da linha (pks, metros, km), 
r : raio do condutor (centimetros, polegadas), 
S : area da seqiio do condutor (mm' ou CM = circular mil), 
p : resistividade do material utilizado, 
o : condutividade do material utilizado. 
A area de 1 CM corresponde B area de um circulo com diiimetro de urn milk- 
simo de polegada. A area de 1 MCM corresponde a 1000 vezes a area de 1 CM. 
Obtemos a seguinte correspondencia entre areas dadas em mm' e CM: 
P"---- 
Capitulo I . In trodz~~a"~ aos Pardmetros de Linhas 9 
ou aproximadamente em MCM: 
S 2 = 0,5SMCM. 
lnln 
A resistividade, ou condutividade @padr60 ou %dr60), padronizada para urn 
condutor, e a do cobre recozido. Dessa forrna, para outros processos metalurgicos, 
podemos estabelecer uma correspondCncia entre suas resistividades corn a padroni- 
zada, conforme os exemplos a seguir para o cobre e o aluminio. 
0 cobre A tCmpera dura tern 97% da condutividade do a;,,,/,.ii,, apresentando a 
resistividade p = 1,77 x 1 o - ~ a m (20 ' C) . 
0 aluminio A tEmpera dura tem 61% da condutividade do opac/rii,, corn resis- 
tividade p = 2,83 x 1 o - ~ a m (20 'C) . 
1.2.2 Efeito da Temperatura nu ResistZncia dos 
Condutores em Corrente Continua 
Sem entrarmos em maiores detalhes, a figura abaixo ilustra o efeito conheci- 
do da variaqiio linear da resistCncia em funqiio da temperatura, quando o condutor 6 
percorrido por corrente continua. 
Temperatura 
A 
Figura 1.5: Grafico temperaturax resistcncia. 
R2 - 
- 
- I T I + 12 
R, I ~ l + l l ' 
com: 
10 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia 
T = Temperatura de referencia na qua1 a resistencia seria teoricamente desprezivel. 
T = - 234,5 "C para cobre recozido com 100% de condutividade do o,,,l,fi,, 
T = - 24 1,O "C para cobre B tempera dura, 
T = - 228,O "C para aluminio B tempera dura. 
Para a corre@o da resistencia, em hn@o de temperatura, utilizamos a seine- 
ihanqa de triingulos, tomando a temperatura T em modulo. 
Vejamos alguns valores tabelados de resistencia de condutores, utilizando o 
cab0 Grosbeak 636 MCM (636 mil circular mil ou 636.000 CM), com: 
R, = 0,0268 R / 1000 p6s (CC) . 
Em corrente continua, passando a unidade de comprimento para milhas, ob- 
teinos: 
Muitos dados encontram-se tabelados em unidades inglesas e desse inodo 6 
conveniente nos habituarmos a trabalhar com as conversdes de unidades para o 
sistema internacional. A conversZo de 1000 pes para milhas 6 feita da seguinte forrna: 
1000 pis -+ 0,3048 mi , 
1,609 
1000 pks- 0,1894 mi . 
Corrigindo essa resistencia para 50 "C, obtemos: 
Nesse caso, tl = 20 "C, t2 = 50 "C e T = -228 "C. 
No entanto, cabe mencionar que, em corrente alternada, as resisthcias apre- 
sentam um comportainento dependente do efeito pelicular, sendo mais conveniente 
sua obtenqgo em tabelas fornecidas pelos fabricantes. Para o mesino cab0 Grosbeak, 
extrairiamos os seguintes valores: 
R,, 2ooc = 0,1454 R/mi , RacSOoC = 0,1596 Rlmi . 
Capitzrlo 1. IntroduqZo aos Par6rnetros de Linhas I I 
1.3 Indutiincia de Linhas de Transmissgo 
Neste item introduziremos o cilculo de indutiincias de linhas de transmiss80, 
sem levar em conta a presenga do solo. Antes porkm, recordemos alguns conceitos 
basicos de fluxo concatenado em espiras ou bobinas, assim como os conceitos de 
fluxos interno e externo concatenados com condutores. 
1.3. I Generalidades 
Figura 1.6: Indutgncia corn nucleo ferromagnCtico. 
Dada uma bobina, envolvendo um nucleo composto por material ferromagnk- 
tico, sabemos que para densidades de fluxo elevadas pode ocorrer a saturaq80 do 
nucleo e nessa situaggo obtemos indutiincias n5o lineares, que variam com a inten- 
sidade da corrente. 
L = nBo linear, L = ~ ( i ) 
Figura 1.7: Curva
4 x i . 
Nos lneios com permeabilidade magnktica constante, como por exemplo o ar, 
encontramos uma rela950 linear entre o fluxo e a corrente i, 4 = Li . 
Nas linhas de transmiss50 aCreas, assurnimos a indutgncia L com urn valor 
constante, para qualquer nivel de corrente, adotando p,,. E p o , sendo po a permea- 
bilidade do vacuo. 
No caso linear, sabemos que: 
Analisare~nos a relag50 entre a tens50 e a corrente, em grandezas alternadas 
no canlpo complexo, aplicando a transfon~~ada de Laplace: 
Em reginie per~nanente senoidal, calculando no ponto s = j w , sendo w a 
fi-equkncia de excitag50, obte~nos a relag50 fasorial entre tens50 e corrente: 
coln a corrente atrasada de 90" em relaggo a tensgo, simplificarnos a notaq50: 
V = jXI . (1.2) 
Definimos a reatiincia indutiva do bipolo por: 
Quando te~nos circuitos relativan~ente prbximos, encontramos uma indutiin- 
cia mGtua entre eles, definida pela relaggo entre fluxo concatenado coln um circuit0 
devido a corrente no outro. 
Figusa 1.8: Indutiincia mi~tua. 
- 
Cauitzrlo 1. Introduca"~ aos Para^melros de Linhas 13 
q12 o flux0 concatenado com o circuito 1 devido a corrente no circuito 2. Observa- 
mas que nesse exemplo o fluxo concatenado corn o circuito 1 corresponde i s linhas 
de fluxo 2 ,3 e 4 da figura 1.8. 
42 =M12I2- 
M I 2 a indutiincia mutua entre os circuitos 1 e 2. 
5 = jmM1 212 . 
X, = mM1 a reatiincia mutua entre os circuitos 1 e 2. 
No cilculo de circuitos magnkticos, o fluxo @(t) concatenado corn uma espi- 
ra esti confinado no material ferromagnktico, conforme a figura 1.9. 
fluxo condatenado 
Figura 1.9: Fluxo magnetic0 concatenado com uma espira. 
As linhas fechadas de B e H, aqui tambim denominadas linhas de fluxo, en- 
volvern completamente o condutor. Quando temos N espiras, o fluxo concatenado 
corn a bobina, colocando em skrie todas as espiras, k dado por A = N@, sendo @ , 
como vimos, o fluxo concatenado com uma espira. A tens20 nos terminais de cada 
espira k obtida corn a aplicag2o da Lei de Lenz, adotando a conveng20 do receptor. 
d @ e ( t ) =-, sendo el =e7 =... =e,? = e ( t ) 
dt 
em todas as espiras. 
A tens20 nos terminais da bobina e obtida por: 
ou: 
que pode ser reescrita como: 
14 Fundamentos de Sistemas ElLtricos de Potgncia 
e admitindo A como o fluxo concatenado com iV espiras em sirie, defini~nos 
A. = L i , sendo L a indutincia do enrolamento, que se comporta como um fator de 
proporqiio entre a corrente e o fluxo, nos casos sem saturaqiio. 
espiia (vista superior) 
Figura 1.10: Fluxo concatenado coin N espiras. 
Quando temos dois condutores longos de comprimento C , espaqados por uma 
distiincia D, com l>> D, podemos analogamente aplicar o conceit0 de fluxo conca- 
tenado com uma espira, definida pel0 retingulo formado pelos dois condutores, 
desprezando o efeito do fluxo nas duas extremidades. Novamente, as linhas de flu- 
xo envolvem completamente o condutor. 
< > 
C >> D 
Figura 1.1 1 : Fluxo concatenado corn a espira corn dois condutores paralelos. 
Do ponto de vista do circuito elktrico, podemos associar uma indutincia ao 
circuito formado pelos dois condutores. 
Capittrlo I . Introduqfio nos Pardmetros de Linhas 15 
1.3.2 Fluxo Concatenado corn urn Condutor 
Um conceito importante, que se aplica ao calculo de parimetros de linhas de 
transmiss50, 6 o de fluxo concatenado corn um condutor apenas. Para isso necessa- 
riamente precisarnos fazer uma abstraq5o e supor que o outro condutor, de retorno, 
encontra-se muito distante, a uma distincia D tendendo ao infinite. 
condutor 1 
I B 
d 1 1 
J ,- . 
\ 
X X X 
----. 
, \ 
\ 
. - - 
, \ ' 
\ ' 
\ 1 
e ( t ) D+co condutor 1 4 j ,: 
I #' 
condutor 2 
Figura 1.12: Fluxo concatenado corn urn condutor. 
Nesse caso, podernos aceitar o conceito de fluxo concatenado com urn 
condutor. 
Veremos a seguir, de tnodo bastante simplificado, como tratar o fluxo interno 
em urn condutor. 
1.3.3 Indutcincia de urn Condzitor devida ao Fluxo Interno 
Para uma precis50 rnaior no calculo, consideramos a indutiincia interna do 
condutor. Vejamos como obter essa induthcia, supondo urn condutor solido, corn 
raio R e segiio S, percorrido por corrente continua corn intensidade I, que apresenta 
densidade uniforme de corrente em toda a seqiio condutora: 
Para isso, fazemos urna extens50 do conceito de fluxo concatenado, definindo 
o fluxo parcial concatenado em urn condutor, ao calcularmos o fluxo interno, cor- 
respondente a uma se@o condutora corn raio r < R . 
I6 Fundamentos de Sisten~as Elktricos de PotBncia 
Figura 1.13: Fluxo interno e externo. 
Para r < R, calculemos a densidade de fluxo em uma linha fechada. 
Na figura 1.14 B,,, Br2 e BY3 S ~ O densidades de fluxo internas ao condutor, 
a distincias q < r2 < 13 < R , etc. 
Figura 1.14: Densidades de fluxo internas ao condutor 
0 fluxo interno ao condutor, inserido em um elemento tubular de raio r < R e 
espessura dr, 6 dado pela express50 d@r = B,dr, a ser novamente examinada logo 
mais adiante. 
Definimos o fluxo parcial concatenado corn a corrente I,. , envolvida por esse 
elemento tubular, pela expressgo: 
Obtemos o vetor H, em um ponto no interior do condutor, a uma distincia r 
do centro, utilizando a Lei Circuital de Ampere. 
Capittrlo I . Introdupio aos Parimetros de Linhas 17 
Figura 1.15: Fluxo em urn elemento tubular. 
Supondo a corrente continua uniforrnernente distribuida pela seqiio transver- 
sal, obtemos a corrente interna ao circulo de raio r, corn r < R , dada pela relaqiio de 
ireas: 
Fazendo a circuita@o do vetor intensidade de carnpo magnetic0 H , em urn 
caminho fechado, obternos: 
Corno H , 6 constante a urna distincia r do centro do circulo: 
ou: 
18 Fzrndamentos de Sisten~as Elktricos de Potgncia 
Conseqiientemente, como B, = pH, , obtemos: 
B, =- '"I wb/m2 . 
2nR2 
De posse da densidade de fluxo By, ,calcularemos a indutiincia interna do 
condutor segundo dois procedimentos distintos, o primeiro por rneio da energia 
eletromagnktica interna e o segundo por meio do fluxo interno concatenado parcial- 
mente. 
Energia eletromagnktica interna do condutor 
Podemos calcular a energia magnktica interna ao condutor, considerando o 
volume do condutor em um comprimento unitirio, 
1 wmag =? JB, ~ , d v o l = - J /lr212 ~ v o [ . 
2 4 2 ( 2 n ) R 
Para isso consideremos um elemento tubular, de comprimento unitario, com 
volume dvol = 2nrd r , resultando em: 
que corresponde A energia magnktica em uma indutincia Li, percorrida por uma 
corrente I : 
Considerando a perrneabilidade do condutor proxima da permeabilidade do 
vacuo: 
obtemos: 
Ou seja, a indutiincia interna de um condutor, percorrido por corrente continua, k 
uma constante que independe das suas dimensdes. Por sua vez, podemos obter o 
fluxo interno do condutor por meio da relaqiio: 
Capittllo 1. Introdu~iio aos Parcimetros de Linhas 19 
resultando em: 
Figura 1.16: Elemento tubular. 
Fluxo interno concatenado parcialmente 
0 fluxo incremental em um elemento tubular com raio r e espessura dr C da- 
do pelo produto Brds , sendo ds = d r x 1 , no caso de comprimento unithrio, resul- 
tando em: 
d@r =- ' Idr Wblm . 
2 n ~ ~ 
Este fluxo interno d@,. concatena somente a parcela I , de corrente interna, ja 
obtida anteriorrnente. 
Faremos a seguir o calculo da induthncia interna empregando o conceit0 de 
fluxo parcialmente concatenado com um condutor, definido peia expressgo: 
resultando em: 
20 Fzindainentos de Sisternus Elktricos de PotEncia 
3 . 
dA=- pr . Idr . 
0 fluxo parcial envolve apenas uma parcela da corrente interna do condutor, 
e desse modo, integrando-o no interval0 0 2 r i R , obtemos: 
ou: 
Observamos que a idCia de fluxo concatenado esta relacionada
com a corren- 
te envolvida pelos enlaces de fluxo, que s5o linhas fechadas, e a indutiincia interna 
do condutor C definida pela rela@o entre o fluxo concatenado interno total e a cor- 
rente total do condutor, que se expressa por: 
Admitindo-se p = po = 4x1 o - ~ , obtemos: 
Esse resultado, coincidente com o da express50 (1.5), demonstra a validade 
do conceito de fluxo parcialmente concatenado com o condutor. Lembramos que os 
resultados anteriormente obtidos para o fluxo concatenado so valem para condutores 
cilindricos percorridos por corrente continua, sendo um conceito tebrico importante 
para o calculo da indutiincia interna. Do ponto de vista pritico, para os cabos encor- 
doados, veremos posteriomente como abordar essa indutiincia. 
1.3.4 Efeito Pelicular 
Antes de prosseguir, faremos uma breve explana~lo sobre a dish.ibui@o de 
correntes internas em um condutor, percorrido por corrente alternada. 
A densidade de corrente em um condutor percorrido por corrente alternada 
n2o 6 mais uniforrne, diferentemente do caso de conduq50 em corrente continua, 
como fizemos na hip6tese adotada na express50 (1.3), obedecendo a uma distribui- 
Capittrlo 1. IntroduqCo aos Pardmetros de Linhns 21 
qlo que depende da permeabilidade e resistividade do material, assim como da fie- 
; qiiencia de excitaqlo. 
Figura 1.17: Distribuiqgo de correntes corn o efeito pelicular. 
Esse efeito, conhecido como pelicular, altera a indutincia interna do condutor 
e tem implicaqdes na avaliaqiio das perdas, quando empregamos corrente alternada, 
pois ocorre uma concentragiio de correntes do centro do condutor para sua periferia, 
A medida que a freqiigncia aumenta, o que causa uma elevaqiio da resistencia, corn 
uma reduqiio na area efetiva de conduqiio. 
Obviamente, o aumento da concentraqgo de correntes k gradual, do centro do 
condutor para a superficie externa, niio ocorrendo as descontinuidades indicadas na 
figura 1.17, apenas ilustrativas do fen6meno eletromagnktico. 
N5o sera o nosso prop6sito explorar detalhadamente o equacionainento do 
efeito pelicular, neste texto introdut6rio. Com o objetivo de apresentar os passos do 
equacionamento, rnencionamos que na deduqiio a seguir siio utilizadas formula~6es 
basicas do eletromagnetismo, convenientemente elaboradas no campo complexo, 
em valores fasoriais. Da mesma forma como empregamos grandezas fasoriais de 
tensdes e correntes, dada a linearidade das relagdes que utilizaremos, k equivalente 
obter resultados instantineos ou fasoriais em regime permanente. Por exemplo, 
como ty= LI, sendo L linear, a associaqiio de valores fasoriais aos fluxos, a partir 
dos fasores de corrente alternada, 6 imediata. 
Para isso, tomemos um condutor cilindrico de raio R e cornprimento unitario 
e chamemos a densidade fasorial das correntes J , , no sentido longitudinal do con- 
dutor, A uma distiincia radial r 5 R do seu centro. 
22 Fz~ndamentos de Sisternas Eldtricos de Potgncia 
Figura 1.18: Contornos para aplicagiio das equagbes de Maxwell. 
a) CircuitaqBo no contorno a , aplicando a Lei de Ampkre, ao longo do circulo de 
raio r que envolve a corrente contida no cilindro correspondente: 
Com a equaq5o (129, trabalhando nesse contornoa, sabemos que a corrente 
interna do cilindro, com seqiio circular de raio r e Area interna A, 6 funqiio da densi- 
dade de corrente Jr : 
Das f6rrnulas (1.8) e (1.9) concluimos que: 
Diferenciando em relaqBo A r, 6 imediato obter a seguinte expressiio: 
b) Circuita@o no retingulo de espessura dr, Lei de Lenz: 
Capitt~lo I. Introduqa"~ aos Pardmetros de Linhas 23 
No primeiro membro da equaqiio (1.1 I), como o campo elitrico k longitudi- 
nal e proportional A densidade de corrente, E, = pJ,, calculamos a queda de ten- 
sgo ao longo do contorno retangularp, adotando o sentido horario. Com relaqiio ao 
segundo membro, obtemos o fluxo na superficie envolvida por esse contorno. 
Exprimindo de forma incremental a alteraqiio da densidade de cowente, 
escrevemos: 
aJr p-dr = -jwpH,dr. 
a~ 
0 que implica a relaqiio entre J, e H, , 
com a qual podemos eliminar H, da expressiio (1.1 O), resultando em uma equaqiio 
diferencial de segunda ordem, da densidade de corrente em relaqiio a distiincia radial 
r ao centro do condutor: 
Tal equaqiio diferencial apresenta soluqiio em s k i e bem conhecida, denomi- 
nada sirie de Bessel de primeira espicie e ordem zero. 
Chamando m = ,/- e conhecida a densidade de corrente na superficie 
do condutor, JR , escrevemos a expressgo da densidade de corrente interna ao con- 
dutor J,., em variiveis complexas, na qual os termos ber e bei, relativos a parte real 
e a imaginiria das skries, estiio definidos em expressdes matematicas, n5o explora- 
das aqui. 
A figura a seguir exemplifica um possivel comportamento do m6dulo da va- 
riivel complexa J , , em funqgo de r, para uma dada freqiizncia de excitaqiio em um 
condutor cilindrico. 
24 Fundamentos de Sistemas El&tricos de PotZncia 
Figura 1.19: Densidade de corrente em funqiio da distiincia r ao centro do condutor, em 
corrente alternada. 
Cabe comentar que a indutincia interna corresponde a uma pequena parcela 
da indutincia total de um condutor. 0 efeito pelicular visto anteriormente reduz 
ainda mais essa parcela, n8o sendo por isso um aspect0 preponderante no calculo de 
indutiincias. 0 impact0 mais significativo do efeito pelicular se manifesta na eleva- 
qBo da resistencia e conseqiientemente nas perdas Joule. 
1.3.5 Indutincia de urn Condutor devida ao Fluxo Externo 
Neste item faremos o cilculo da parcela de indutiincia correspondente ao flu- 
xo externo ao condutor, o qua1 pode ser feito em valores instantineos ou fasoriais, 
indiferentemente. Como o cilculo anterior de indutincias internas foi feito em cor- 
rente continua, voltareinos a empregar essa hipbtese em nossa formula$io. 
Vejamos como obter uma express50 que forneqa o fluxo confinado em duas 
superficies cilindricas determinadas pelas distincias D, e D2 ao centro do condutor? 
que passam pelos pontos I; e P2 mostrados na figura 1.20. Para isso, calcularemos 
o fluxo na superficie S 2 , apoiada em um plano que passa pelo centro do condutor e 
contern os pontos 4 e P2, sendo ortogonal a todas as linhas do vetor densidade de 
fluxo: 
Aplicando novamente a Lei de Ampere a um caminho fechado e circular com 
raio r, r 2 R , do vetor intensidade de calnpo H , , obtemos: 
Cauitulo I . Introduciio aos Pardmetros de Linhas 25 
elemento tubular 
Figura 1.20: Superficies concEntricas de um elemento tubular. 
Nessa linha circular, como o vetor H , 6 constante, podemos fazerc 
H , $ ~ z = I , 
que resulta em: 
2nrH, = I , 
ou: 
Sendo o vetor densidade de fluxo dado por: 
Observamos que o vetor H , internamente cresce de mod0 linear com a dis- 
tincia em relaggo ao centro do condutor ( r I R ) e externamente decresce com uma 
fungiio hiperbblica, em fung8o da distincia ao centro ( r 2 R ) . 
26 Fundamentus de Sistemas El&tricos de PotBncia 
Figura 1.2 1 : Curva H x r. 
0 fluxo inserido em urn elemento tubular com raio r e corn espessura dr k 
dado por: 
que, integrado, fornece o fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2, ou I j e P2, ex- 
ternos ao condutor: 
Observamos que estamos impondo D2 > Dl e que o fluxo externo concatena 
a corrente uma vez, de tal mod0 que: dQ = d A (N=l). 
Sabendo que ,LL E p0 = 4nx 1 o - ~ , a express50 (1.13) tambkm pode ser colo- 
cada na forma: 
Capitulo I . Introdupio aos Pardmetros de Linhas 27. 
Esse fluxo, dividido pela corrente do condutor, fomece uma indutiincia parcial, que 
.. chamaremos de L12, 
ou ainda: 
D2 L,, = 2 x 1 0 ~ ~ ln- Hlkm . 
Dl 
Novamente, lembrando o conceit0 de energia arrnazenada em um volume, 
aqui particularmente empregado na coroa, ou na regiIo tubular externa ao condu- 
tor,
com comprimento unithrio e compreendida entre os pontos I; e P2, podemos 
escrever: 
na qua1 hoZ= 2nrdr C o increment0 de volume do elemento tubular com raio r e 
espessura dr. 
Temos: 
Que resulta na mesma expressgo anteriorrnente obtida em (1.14). 
1.3.6 AdiqCo dos Fluxos Interno e Externo 
Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com um condutor, at6 um 
ponto P externo ao mesmo, situado a uma distincia D do centro. 
Figura 1.22: Fluxo concatenado corn urn condutor desde o seu centro at6 urn ponto externo P. 
Calculemos o fluxo total concatenado em duas etapas: 
@=@i + @ e . 
0 fluxo interno, como vimos, 6 dado por: 
Observamos que colocando o ponto 1 na superficie do condutor, a uma dis- 
tincia D, = r do centro, e o ponto 2 coincidente com P, a uma distincia D2 = D do 
centro, o fluxo externo, empregando a express20 (l . l3), e dado por: 
Somando as duas parcelas, interna e externa: 
Usando o artificio de escrever: 
ficamos com a express2o: 
PT*- 
Cauitulo I . Introduciio aos Pardmetros de Linhas 29 
ou: 
ou ainda: 
-114 Chamando r' = re de raio corrigido, escrevemos a express50 modificada 
para o fluxo concatenado: 
correspondente ao fluxo concatenado desde o seu centro at6 um ponto externo P. 
Podemos calcular a indutincia, incluindo todo o fluxo do condutor, do seu 
centro at6 um ponto P externo, correspondente B energia magnitica armazenada 
nessa regiiio do espaqo. Tomando a express50 anterior, escrevemos: 
1.3.7 Indutdncia de uma Linha a Dois Fios corn Condzitores Cilindricos 
Figura 1.23: Linha monofasica a dois fios. 
30 Fundamentos de Sistenlas Eldtricos de Potgncia 
Consideremos os dois fios a e b da figura 1.23 compostos por condutores ci- 
lindricos, com raios externos r, e r2, respectivamente. 
Observamos que no plano transversal que corta o circuito, se convencionar- 
mos como positivas as correntes que entram no plano, teremos I, = I e Ih =-I, 
portanto corn uma soma de correntes nula penetrando no plano transversal. 
Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com o circuito formado pe- 
10s dois condutores espaqados por uma distincia D. A Grea, associada a urn com- 
primento unitdrio dos fios, 6 dada por D x 1 . 
Figura 1.24: Fluxo concatenado corn dois condutores. 
A contribuiqgo do fluxo, dada pel0 condutor a, utilizando a express50 (1.17) 6 : 
D D Q, = 2 x 1 0-7 I, In, corn indutincia parcial L, = 2 x 1 0-7 1n 7 . 
rl r, 
A contribuiq50 do condutor b 6 dada por: 
7 D D Q~ =2x10- Ibin,, com L~ = 2 x 1 0 - ~ in7. 
r? Y? 
Observamos que Qa tem sentido hordrio e Qb sentido anti-horirio, de mod0 
que podemos som&los na superficie apoiada entre as duas espiras, assim como as 
indutincias, obtendo a indutiincia total do circuito: 
r"- Capitulo 1. Introduqiio aos Para^metros de Linhas 3 1 
I Lembremos que essa express20 6 vilida para corrente continua e condutor ci- 
I lindrico com se@o circular de raio r, exercendo r'o papel de urn raio equivalente. 
I Elaborando a express20 urn pouco mais, obtemos: 
7 D L=4x10- ln- 
e no caso particular de condutores iguais, quando r' = r,'= 6, 
Observamos que o n ~ m e r o quatro aparece apenas nas expressaes de linhas a 
dois fios, quando somamos as indutincias individuais de cada fio. 
1.3.8 Fluxo Concatenado corn urn Condutorpor urn Grupo de Condutores 
Desenvolveremos, a seguir, urn conceito fundamental no cilculo de indutln- 
cias, quando est2o presentes virios condutores, retilineos e paralelos, percorridos 
por diferentes correntes. Precisamos ent2o tratar o fluxo concatenado com um 
condutor devido a um grupo de condutores convencionando como positivas as 
correntes que penetram no corte transversal do circuito e supondo que a soma das 
correntes nos condutores seja nula, o que de certa forma nos conduz novamente a 
idiia de circuito elitrico, ou seja, que deve haver urn retorno de corrente por parte 
de alguns condutores. 
Sejam n condutores separados espacialmente por distiincias D, , percorridos 
por correntes I i , 1 2 i 5 n , de tal mod0 que: 
Assumindo um ponto P distante do grupo de condutores, calculemos inicial- 
mente a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1 utilizando a formula geral 
do fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2 genericos no espaqo. 
Faremos o ponto P coincidir com o ponto 2 e o ponto 1 estara situado na su- 
perficie do condutor 1 . Incluindo o fluxo interno e utilizando o conceito de raio 
corrigido, obternos, utilizando a equaqiio (1.16): 
32 Fundamentos de Sistemas EIBtricos de Potincia 
Figura 1.25: Fluxo concatenado corn urn condutor por urn grupo de condutores. 
Empregando a equaqgo (1.13), a parcela de fluxo concatenado com o condu- 
tor 1, devida ao condutor 2 6: 
Supomos ainda que o fluxo entre os pontos 1 e P, devido ao condutor 2, ngo altera 
as linhas de fluxo j i existentes do condutor 1. Estendendo esse resultado aos demais 
condutores, fazemos a superposiqiio dos fluxos, escrevendo genericamente: 
que pode ser desmembrada na seguinte expressgo: 
Utilizando a restriqgo imposta de soma de correntes nula, escrevemos: 
-- 
Cauitulo I . Introduciio aos Par2rneti-os de Linhas 33 
que, substituida na equago anterior, fornece: 
ou ainda: 
I 1 1 1 I , 1n7+12 In-+ ...+ I, In-+ rl Dl 2 Dl t7 4, = ~ X I O - ~ P P I , ln-+ I2 In- + . . . -t- It7-l ln D(.-l)P DnP DnP Drip 
Deslocando o ponto P a uma distincia muito grande do condutor 1, tendendo ao 
infinito, os quocientes Dip 1 D, tendem ao valor unitirio e conseqiientemente os 
limites: 
(Dip 1 Drip ) 
P'" 
siio nulos, resultando em uma expressgo mais simplificada do fluxo concatenado 
com o condutor 1 : 
A expressgo (1.19) apresenta um resultado interessante, que sera a base de 
nossas avaliagaes de fluxos concatenados com condutores, na presenya de outros, 
percorridos por correntes submetidas a restriggo de apresentarem uma soma nula. 
Voltemos ao caso simplificado da linha a dois fios, corn o intuit0 de avaliar 
essa expressiio, aplicando agora o conceit0 de fluxo concatenado corn urn condutor 
por um grupo de condutores. 
Para a fase a, escrevemos: 
como Ih =-I,, convencionando como positiva a corrente I, que penetra no plano 
transversal aos condutores. 
34 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia 
resultando em: 
Desse modo, associamos uma indutincia ao condutor a, dada por: 
e analogamente para o condutor b, 
e desse mod0 obtemos a indutincia total da linha a dois fios: 
7 D L = L, + Lh =4x10- ln- 
Verificamos assim a equivalencia dos procedimentos, ao compararrnos as e- 
qua@es (1.1 8) e (1.20). No cilculo de indutincias de linhas de transmissiio, corn 
varios condutores dispostos espacialmente, usaremos o conceit0 de fluxo concate- 
nado com um condutor, por urn grupo de condutores, que facilita o cilculo. 
1.3.9 Linha B fbsica corn Condutores Compostos ou en7 Feixe 
Veremos a seguir como tratar o caso de uma linha bifisica, na qua1 cada fase 
6 composta por um conjunto de subcondutores, o que introduz algumas vantagens 
na transmissgo de energia eletrica. Uma primeira vantagem C aumentar a capacidade 
de corrente de cada fase da linha de transmissiio, pois cada condutor tem urn limite 
miximo de corrente admissivel. Uma segunda vantagem, igualmente importante, 6 
diminuir a indutincia equivalente de cada fase, conforme veremos-a seguir. Esse 
conjunto de subcondutores C chamado de feixe, tambCm conhecido como bundle, na 
sua denominaq50 original em ingles. 
-- 
Capittilo I . Introdupio aos Para^metros de Linhas 35 
Figura 1.26: DisposigBo espacial dos subcondutores. 
Cilculo da indutincia da fase a, L, 
Tomemos o caso corn n subcondutores na fase a e rn subcondutores na fase b, 
conforrne a figura a seguir. 
I l n 
carga 
I l m 
fase a 
+I 
fase b 
- I 
n sub-condutores m sub-condutores
Figura 1.27: Linha bifasica corn n subcondutores na fase a e m subcondutores na fase 6 . 
0 cilculo sera desenvolvido em quatro etapas: 
l a etapa: Cilculo do fluxo concatenado com o subcondutor 1 da fase a. 
2a etapa: Calculo da indutincia desse subcondutor, percorrido por uma corrente I, . 
3a etapa: Cilculo da indutincia mCdia dos subcondutores de uma inesma fase, es- 
tendendo o resultado aos demais subcondutores. 
36 Fundamentos de Sistenlas Elktricos de PotEncia 
4" etapa: Cilculo da indutincia equivalente dos n subcondutores em paralelo. 
- 
.- 
Calculamos inicialmente o fluxo concatenado com o subcondutor 1, devido B 
contribuiqiio do conjunto correspondente ii fase a . 
Faremos ainda uma hip6tese adicional, admitindo tambkm que os subcondu- 
tores s5o aproximadamente iguais e que as correntes se distribuem igualmente por 
todos os subcondutores. Desse modo: 
Nesse caso, calculemos o fluxo concatenado com o condutor 1, devido ao conjunto 
a , lembrando que nessa parcela contribuem apenas os subcondutores dessa fase: 
Em seguida, obtemos o fluxo concatenado com o condutor 1 da fase a , devido ao 
conjunto 6 , considerando a parcela do fluxo correspondente aos condutores da outra 
fase, assumindo as mesmas hip6teses de subdivisso de correntes entre condutores 
da fase b. 
resultando no fluxo concatenado total com o condutor 1, colocado na fonna 
compacta: 
7 ~ D I 1~D12/...Dlm~ $Il =$Il, +$Ilb =2x10- I l n 4- 
No numerador, encontramos a media geomktrica das distincias do subcondutor 1 , 
da fase a, a todos os subcondutores da fase b. No denominador encontramos a mk- 
dia geomktrica do raio corrigido do subcondutor a com as distincias a todos os sub- 
condutores da pr6pria fase a. Para o condutor 2, escrevemos analogamente: 
- - 
Capitulo I . Introdupio aos Pardmetros de Linhas 37 
Estendendo esse resultado aos demais subcondutores, obtemos as indutlncias 
individuais de cada um, fazendo a divisiio do fluxo pela parcela de corrente I l n : 
It... Dlm) 
=A= ~ X I O - ~ ~ I ~ 
I l n d . ; o 1 2 ' 
q D 2 1.. . . Dzm. L, = A = 2 x 1 0 - ~ n i n 
I l n d41r;..4,' 
@ 7 I . . - ~ n n i L, =>=2x10- nln 
I l n d-. 
Calculando a indutlncia m i d i a z dos subcondutores da fase a (conjunto a), 
fazendo a soma das expressdes logaritmicas: 
Como os n subcondutores estiio ligados em paralelo, a indutiincia do conjunto a 6 
dada por: 
que pode ser recalculada da seguinte foma: 
Introduzimos entiio o conceito de distlncia midia geomitrica mutua, entre os con- 
juntos de subcondutores das fases a e b. Observe que os conjuntos a e b nHo tCm 
correntes em fase, sendo que nesse caso particular, na realidade, as correntes estzo 
em oposiqiio de fases. 
Da mesma forma, apresentamos o conceito de raio equivalente do conjunto 
de subcondutores a ou distlncia midia geomitrica pr6pria do conjunto a. Lernbra- 
38 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotGncia 
mos que todos os subcondutores do conjunto a apresentam a mesma parcela de 
corrente em mbdulo e sinal I / n , subdividida igualmente por todos os subconduto- 
res. Em corrente alternada admitimos uma hipbtese semelhante, supondo as corren- 
tes com o mesmo m6dulo e fase em todos os subcondutores. 
Para evitar confus2o de nomenclatura, passaremos a chamar a distincia tne- 
dia geomktrica propria de raio equivalente do conjunto de subcondutores (ou bun- 
dle) de uma fase. A letra z tem a finalidade de especificar o cilculo voltado para 
impedincias ou reatiincias indutivas da linha de transmiss50 que, como veremos, 
sera um pouco diferente do cilculo de capacitiincias. Definimos o raio equivalente 
da fase a: 
Finalmente, escrevemos a express20 da indutincia da fase a na sua forma 
compacta: 
7 DMG Lo = 2x10- ln-. 
req"', 
Chlculo da indutiincia da fase b e total 
Analogamente, obtemos a indutincia do conjunto b: 
7 DMG Lb =2x10- ln-, 
resultando para a indutiincia total da linha bifasica: 
Colocando essa express50 na forma usual, obtemos: 
DMG L = ~ x I o - ~ ~ ~ ,-. 
- Se as fases possuirem caracteristicas identicas, teremos reqzo = - r, - , resultan- L4- 
do em uma expressgo aniloga A obtida anteriormente para a linha bifisica a dois fios. 
Capittilo I . Introduq60 aos Pardmetros de Linhas 39 
? linha bifhsica a dois fios 
I DMC I 
Figura 1.28: Cilculo da indutiincia. 
Linha com a fase constituida por condutor cilindrico: 
Linha com um feixe de subcondutores em cada fase: 
7 DMG L, = 2x10- In------, 
na qua1 rev," C o raio equivalente da fase a. 
Em vez de continuarmos usando o raio corrigido do condutor s6lido r', vali- 
d o para corrente continua, passaremos a utilizar o raio mkdio geomktrico, rmg, vali- 
do para cabos encordoados e corrente alternada, que leva em conta a mkdia geome- 
trica das distincias entre os fios que cornpaern um cab0 encordoado, de forma se- 
melhante ao conceit0 anterior de mCdia geomktrica propria dos subcondutores de 
uma fase, alCm de levar em conta a disposiqZo dos condutores em torno do suporte 
meciinico no caso de cabos CAA (ACSR). Em geral, n5o fazemos o chlculo do raio 
mkdio geometrico, sendo o mesmo obtido de tabelas de condutores, assim como as 
demais caracteristicas elCtricas ou mecinicas do cabo, fornecidas pelos fabricantes. 
40 Fundamentos de Sistenlas El~tricos de Potkncia 
Como exemplo, a linha com a fase constituida por um cab0 encordoado apre- 
sentaria a indutincia: 
7 D L, =2x10- ln-. 
rmg 
Resumo da nomenclatura para distincias medias geometricas proprias 
Faremos aqui um breve resumo da nomenclatura adotada para os subconduto- 
res de uma fase. 
a) Condutor solido e o seu raio corrigido v', que 6 um conceito mais teorico, com a 
finalidade de incluir o fluxo interno do condutor em corrente continua. 
w 
Figura 1.29: Condutor cilindrico. 
b) Cabo encordoado, para o qua1 usaremos uma extens50 do conceito de distincia 
midia geomktrica propria, expressa pelo raio midio geomktrico rmg. No caso prati- 
co de feixes de cabos encordoados e corrente alternada, trocamos r' pelo raio mi- 
dio geomktrico rmg e as expressdes se mantern. 
Figura 1.30: Cabo condutor encordoado. 
c) Feixe de subcondutores cilindricos e o seu raio equivalente: 
Figura 1.3 1 : Feixe de condutores cilindricos. 
Cauitulo I . Introductio aos Pardmetros de Linhas 41 
d) Cabos encordoados em feixe. A expressgo a seguir k utilizada em casos praticos 
em corrente alternada. 
Figura 1.32: Feixe com n cabos encordoados. 
Na realidade, os programas existentes de cilculo de par5metros nZo utilizam 
o conceito do raio mkdio geomktrico, tratando os cabos encordoados como conduto- 
res tubulares, utilizando fbrmulas relativamente complexas para correqdes de con- 
centraqaes de correntes em funqSio da freqiiencia. 
Nessa etapa do nosso curso, introdut6ria ao cilculo de pariimetros, continua- 
remos utilizando o conceito de raio mkdio geomktrico, que k suficientemente preci- 
so para os nossos prop6sitos. Assim, substituimos o bundle percorrido pela corrente 
I por um condutor equivalente, dado pela distfincia mkdia geomktrica pr6pria do 
bundle, ou raio equivalente, o que facilita muito os cilculos. 
0 s casos priticos de cabos em feixe apresentam sempre subcondutores iguais 
espaqados uniformemente, circunscritos em um circulo. A simetria dessas configu- 
raqdes permite um cilculo mais simples, como veremos a seguir, nos casos mais 
comuns de 2 ,3 e 4 subcondutores em um mesmo feixe. 
a) Caso de dois subcondutores: 
Figura 1.33: Disposiqiio espacial de dois subcondutores em feixe. 
e : espaqamento entre subcondutores. 
42 Fundarnentos de Sistemas Ele'tricos de PotBncia 
A distincia mCdia geomktrica pr6pria D,, segundo a referencia [2] ou raio 
equivalente, re,, , C dada por: 
Para a resistzncia equivalente do feixe, adotamos: 
sendo R,, a
resistsncia em corrente alternada para cada condutor, em uma dada 
temperatura. 
b) Caso de tres subcondutores: 
Figura Disposi~iio espacial de trts subcondutores 
Para a resistencia equivalente: 
c) Caso de quatro subcondutores: 
feixe. 
Figura 1.35: Disposiqiio espacial de quatro subcondutores, em feixe. 
Capittilo I . Introduqlio aos Par2metros de Linhas 43 
Para a resistencia equivalente: 
0 raio equivalente tambBm pode ser calculado, genericamente, pela expressgo 
a seguir, conhecido o n~mero de subcondutores e o raio do circulo circunscrito R: 
Lembramos ainda que, na nomenclatura da referencia [2], temos: 
Ds = re, , 
Dm = DMG . 
A distPncia DMG tambim B conhecida por distlncia equivalente, ou D, . 
1.3. I0 ReatZncia Indzltiva da Linha corn Utilizaqiio de Tabelas 
Apesar do menor uso de tabelas atualmente, vejamos como utilizar os valores 
de reatincias indutivas Xi constantes destas tabelas [2,3] que se referem sempre a 
um condutor por fase, nesse caso D,, = rmg e D,, = DMG, e apresentam normal- 
mente valores em unidades inglesas. 
Dada a reatlncia distribuida de um condutor, em Qlkrn, sabemos que: 
Xi = 2nfl (2n f = w) , 
DMG Xi = 2 n f 2 x 1 0 - ~ in---- DMG = 4nf In- Qlm . 
Passando a unidade de comprimento para milhas: 
Xi (R/mi) = Xi(R/krn)x 1,609 ; 
Observamos que na referencia [2] as expressdes usam log (logaritmo na base 
10) em vez de In (logaritmo na base e): 
DMG X, = 2,022xl0"fln- Q/mi . 
rmg 
Separando em duas parcelas: 
44 Fundarnentos de Sisternas Elktricos de Pot&ncia 
Xu 6 definida como a reatincia do condutor para espaqamento de 1 pk: 
1 X, = 2 , 0 2 2 ~ 1 0 - ~ f ln- . 
rmg 
Observamos que, dispondo da reatincia X u , obtemos o raio midi0 geomitri- 
co em p6s, ou seja, essa 6 uma maneira indireta de fornecer o raio medio geometrico 
do condutor. 
Xd 6 o fator de espaqamento, tambCm em pCs: 
EXEMPLO 1 
Calcular a reatincia da fase a de uma linha bifisica com cab0 Grosbeak, com 
a geometria indicada abaixo: 
I I 
I I 
I 25 p ts 1 
Figura 1.36: Disposi@o espacial de dois condutores coln cabo Grosbeak. 
D,, = DMG = 25 pes . 
Consultando uma tabela de cabos, obtemos: 
Grosbeak 636 MCM; 26(A1)/7(aqo), 
X, = 0,4 12 Q/mi para 1 p6 de afastamento. 
Sabemos tambCm que a reatincia de uma fase 6 dada por: 
DMG xi = 2 , 0 2 2 ~ 10-~.f in---, 
Capitulo I . Introduqiio aos Pardmetros de Linhas 45 
Xd = 0,391 nlmi, 
Xi = 0,803 Qlmi. 
No caso de linha bifisica a dois fios, multiplicamos o resultado por 2: 
Xi = 2 x 0,803 = 1,606 Qlmi . 
1.3.11 Indutdncia de Linhas Trijibsicas corn Espaqarnento Equilbtero 
Vejamos o cilculo da indutincia de uma fase, em um sistema trifasico. Em 
corrente alternada, no caso de um condutor, utilizamos o rmg e no caso de cabos em 
feixe utilizamos o r,,, substituindo os subcondutores de uma fase pel0 condutor 
com raio equivalente, concentrico corn o circulo que circunscreve o feixe. 
Figura 1.37: Linha trifhsica com espaqamento equilatero D. 
Novamente, admitiremos que a soma das correntes trifisicas 6 nula, conforrne 
as hip6teses adotadas para o chlculo do fluxo concatenado corn um condutor por urn 
grupo de condutores. Esse artificio nos perrnitiri introduzir uma simplificagiio signifi- 
cativa, com boa aproximaqiio, no chlculo da distiincia media geomktrica mhtua (DMG). 
Essa restriggo corresponde a assumir que niio temos corrente de seqiiencia ze- 
ro na linha, ou seja, que os resultados seriio razoaveis apenas para a seqiiencia posi- 
tiva. Supondo as tres fases identicas, calculamos o fluxo concatenado com a fase n 
aplicando a equaqiio (l . l9), trocando r' por reqZ , obtemos: 
Sabendo que: 
46 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia 
I , + I, + I, = 0 =3 I , + I , = -I, , 
resultando ern: 
ou: 
m = 2 x 1 0 - ~ I~ in- [ :) 
Obteinos a indutincia da fase a: 
7 D L, = 2x10- In- H/m 
req: 
Figura 1.38: Sistema trifhsico equilibrado. 
Observamos que, nessa estrutura particular, o valor de DMG coincide com o 
espaqamento entre fases D, pois: 
Verificamos tambkm que a indutincia (ou reatincia) de urna fase relaciona ten- 
sdes e correntes que compdem um sistema trifasico simktrico e equilibrado e, portan- 
to, as tensdes e correntes de urna fase estiio referidas a urna tens50 de neutro nula. 
EXEMPLO 2 
Dada urna linha com espaqamento equilitero, com D = 25 pks e um cab0 
Grosbeak por fase, calculamos a reatincia de urna fase aplicando (1.29): 
Consultando urna tabela sabemos que: rmg = 0,0335 pks : 
--. 
Cauitzrlo I . Introduca'o aos Pardmetros de Linhas 47 
x = m ~ = m x 2 ~ 1 0 - " 1 n 2 5 = 0,499 Rlkm , 
0,0335 
que corresponde a 0,803 Rlmi, conforme o exemplo anterior. Observamos que 
DMG e r,, devem estar na mesma unidade. 
1.3.12 Linhas Tr fbsicas corn Espaqarnento Assirnktrico 
No caso de linhas trifisicas com espaqamento assimktrico, o cilculo da indutin- 
cia de uma fase com as expressdes anteriores so k possivel em linhas com transposigiio. 
Calculamos o fluxo mkdio, concatenado com o condutor da fase a (ou bundle), 
supondo as fases a , b e c com a mesma composiqiio de subcondutores. Introduzimos 
a idkia de transposigiio dos condutores, tomando o fluxo mkdio concatenado nos 
tris trechos da linha de transmiss80. Observamos que cada condutor ocupa, em cada 
trecho, uma das tris possiveis posiqdes distintas, resultando em um fluxo mkdio 
para cada condutor ao longo da linha de transmissiio. 
Desse modo, subdividimos a linha em tris trechos I, I1 e 111, com uma rotaqiio 
das posigdes ocupadas por cada condutor, conforrne a figura a seguir. 
I trechos I 
I I I I1 I I I11 
I I 
I I 
a I c I b 
I I 
b a c 
c b a 
c 3 I I I I I 1 
e l 3 I I t / 3 I I C 13 
w 
z, ) Carte transversal dos ( w I 
I e condutores no trecho I 1 I I 
r 'I 
Posicgo aQea dos 
condutores 
Figura 1.39: Linha trifasica corn espagamento assimetrico. 
- Consideremos uma linha com feixes de mesma caracteristica reyzo = reyzh - 
- - rep e assumiremos que os condutores sofreriio uma rotaqzo no sentido anti- 
horirio. 0 s fluxos mkdios em cada fase seriio obtidos pela mkdia dos fluxos conca- 
tenados em cada trecho da linha. 
48 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potkncia 
Obtemos o fluxo concatenado corn a fase a no trecho I: 
c 3 
Figura 1.40: Trecho I. 
Para o trecho 11: 
b 3 
Figura 1.4 1 : Trecho 11. 
---- 
Capitzrlo I . IntroduqZo aos Pardmetros de Linhas 49 
E tambkm para o trecho 111: 
1 1 I, ln-+ Ib ln-+ I, In- 
reqz 3 
a 3 
Figura 1.42: Trecho 111. 
0 fluxo mkdio concatenado, com o condutor da fase a, C dado pela media 
aritmktica: 
Como Ib + I, = - Ia , escrevemos: 
2 ~ 1 0 - ~ D D D h = , 1,1n l 2 23 3 l 3 = 2 x l 0 - ~ 1 ~ 1 n v424,4, 
req; req, 
Resultando na indutincia da fase a: 
7 DMG L, =2x10- In-, 
.A 
' eqz 
na qua1 a distgncia mCdia geomktrica mutua DMG k dada por: 
DMG = ~ D ~ ~ D ~ ~ D ~ ~ . 
50 Ftrndamentos de Sistemas El&tricos de Potgncia 
1.4 Capacitgncia de Linhas de Transmissgo 
1.4.1 Generalidades 
Neste item apresentaremos o cblculo de capacitlncias de linhas de transmis- 
s%o, ainda sem levar em conta o efeito do solo. 
Ao energizarmos condutores aCreos por meio de urn gerador, mesmo sem 
alimentar nenhuma carga, observaremos uma corrente capacitiva fornecida pel0 
gerador. Tal efeito t semelhante ao de energizarmos um capacitor com duas placas 
em paralelo, conforme o caso da linha bifisica da figura 1.43. 
Figura 1.43: Linha bifisica corn dois fios. 
Aplicando-se urna tensb altemada, a cada semiciclo as polaridades se altemam. 
+ + + + + + + + + + + + 
+ + + + + + + + + + + + 
Figura 1.44: Semiciclo positivo e semiciclo negativo. 
Capittrlo I . Introdug60 aos Parcimetros de Linhas 51 
Ao associarmos uma
capacitincia C = QI V aos condutores, obtemos uma 
relaq5o entre tens50 e corrente, dada pela admitincia (susceptincia) capacitiva da 
linha, sendo vilida a equaq5o em valores fasoriais: 
I = jwCV . 
1.4.2 Condzltor Isolado 
Suponhamos urn condutor cilindrico isolado no espaqo, carregado corn uma 
densidade de carga Q por unidade de cornprimento. 
Figura 1.45: Campo elktrico de um condutor isolado. 
R: raio do condutor. 
r: raio da superficie cilindrica, r > R. 
A carga do condutor C obtida por meio do cilculo do fluxo do vetor desloca- 
men tod , em uma superficie cilindrica externa ao condutor, com raio r e compri- 
mento unitirio, o que corresponde i aplicaq5o da Lei de Gauss: 
Sabemos que o vetor deslocamento d (densidade de fluxo) e o campo elttrico E 
est5o relacionados pela relag50 constitutiva: 
d = & E , 
na qua1 r C a permissividade do dieletrico. 
52 Fundamentos de Sisternas Ele'tricos de PotBncia 
Como as linhas do campo elktrico siio radiais e portanto normais A superficie 
cilindrica que envolve o condutor, a densidade de fluxo k constante nessa superfi- 
cie, simplificando o calculo: 
A Area de uma superficie cilindrica corn raio r e comprimento unitario k dada por: 
Obtemos entiio o campo elktrico em uma linha radial, a uma distincia r do 
seu centro: 
Observamos que, como niio temos cargas internas no condutor, o c~lculo do 
campo elktrico s6 tem interesse a uma distincia r do centro, tal que r > R . Desse 
modo, considerando a distribuiqiio de cargas na superficie do condutor, diferentemen- 
te do calculo de indutincias, niio ha necessidade de considerarmos efeitos internos 
como as correqbes do raio efetivo. Sendo assim, o raio do condutor, a ser utilizado nos 
cilculos, sera sempre o seu raio externo. Em contrapartida, para o calculo do campo 
externo, em vez de considerarmos a carga distribuida na superficie do condutor, resul- 
ta em boa aproximaqiio considera-la concentrada no centro desse condutor. 
1.4.3 Diferenga de Potencial entre Dois Pontos no Espago 
/ 
Figura 1.46: Condutor e dois pontos do espago. 
Capitulo 1. Introdu~Co aos Pardmetros de Linhas 53 
De posse da express50 do campo elCtrico, calculamos a diferenqa de potencial 
entre dois pontos quaisquer do espaqo, 1 e 2, onde Dl e D2 s50 as distiincias entre o 
centro do. condutor e os pontos 1 e 2 no espaqo, que est5o localizados em superfi- 
cies concC!ntricas e equipotenciais. 
Como a diferen~a de potencial entre os pontos 2 e 2' 6 nula, pois a superficie 
cilindrica 6 equipotencial, faremos o calculo em uma linha radial que passa pelos 
pontos 1 e 2'. Observamos que estamos utilizando o simbolo D para as distlncias, 
que n lo deve ser confundido corn o vetor deslocamento d . Esta express50 sere 
fundamental para o cilculo de capacitiincias de linhas de transmisslo, a ser utilizada 
nos itens a seguir. 
1.4.4 Capacit2ncia de uma Linha B fbsica 
Linha bifhsica 
De posse da expressgo fundamental da diferenqa de potencial entre dois pon- 
tos no espaqo, externos ao condutor, podemos dar inicio ao calculo de capacitiincias 
de linhas de transmisslo, comeqando pela linha bifhsica. 
\ 
\ 
Equipotencial que '\, 
intercepta o condutor 2 \ \ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
, 
/ 
, 
, 
I 
Figura 1.47: Linha monofhsica a dois fios. 
A hip6tese bisica de calculo utilizada C que a soma das cargas dos conduto- 
res 6 nula. 
54 Fundamentos de Sistemas Elktuicos de PotPncia 
Ou seja, admitiremos, por hipbtese, que a soma das cargas k nula, mesmo no caso 
de n condutores no espago: 
Calculemos inicialmente a diferenqa de potencial entre os condutores 1 e 2 
devida apenas ti carga do condutor 1. 
0 cilculo da diferenqa de potencial entre os dois condutores k feito entre o 
ponto 1, localizado na superficie do condutor 1, e um ponto 2 no espaqo, localizado 
em uma linha equipotencial que intercepta o condutor 2 e passa pel0 seu centro. 
Embora o condutor 1 n5o tenha carga no seu interior, para efeito de cilculo assumi- 
remos uma carga filiforrne, localizada no seu centro. Como a distiincia D entre os 
eixos 6 bem maior do que o raio dos condutores, D >> q e D >> r2, assumiremos 
que esta aproximaqiio no cilculo do campo elktrico, nas proximidades da superficie 
do condutor, niio introduz uma variaqgo significativa no cilculo da diferenqa de 
potencial entre os pontos 1 e 2. 
Com relaqiio A fbrmula (1.36), D2 corresponde a D e Dl corresponde a rj . 
A diferenqa de potencial devida ti carga do condutor 2 e obtida com a mesma 
expressiio, considerando-se esta carga tambkm como filiforme e localizada no cen- 
tro do condutor. 
Na aplicaqiio da fbrrnula bisica, isso corresponde a fazer D2 = r2, pois o pon- 
to 2 esta localizado na superficie do condutor 2, e Dl = D . 
Superpondo o efeito dos dois condutores na diferenqa de potencial, encontramos: 
llPC 
Capifulo I . Introduqzo aos Parrimetros de Linhas 55 
ou: 
que pode ser representada como: 
No caso particular demaior interesse, quando r, = r2 = r , obtemos: 
Desse modo, a capacitincia entre os condutores 1 e 2 6 dada por: 
Nota: r sera sempre o raio externo, mesmo no caso de cabos encordoados. 
Normalmente, estamos interessados em uma capacitincia fase-neutro e usa- 
remos o artificio de considerar a capacitincia entre os condutores 1 e 2 como a 
composiqiio serie de duas capacitincias iguais dos condutores para o neutro. 
Observamos que na figura abaixo o ponto n e considerado no potencial zero. 
Figura 1.48: Capacitiincia fase-neutro. 
56 Fundamentos de Sisternas Elitricos de Potgncia 
Capacitincia fase-neutro da linha bifisica: 
Ao alimentarmos uma linha bifisica com dois condutores, mesmo sem carga, 
encontramos uma corrente capacitiva, dada por: 
Figura 1.49: Energizaggo da linha. 
Essa corrente capacitiva ocorre em todas as linhas de transmissgo, quando a- 
plicamos tensiio nos terminais da linha em vazio, sendo essa operaqiio conhecida na 
pritica como energizagiio da linha. 
A admitiincia da linha, ou mais corretamente a susceptincia, pois despreza- 
mos a condutincia, 6 dada pela expressiio: 
Aumentando o comprimento da linha !, aumentamos a capacitgncia total e 
conseqiientemente a admitincia Y,, que siio proporcionais ao coinprimento da linha 
e desse mod0 aumentamos tambCm a corrente. Esta tambim aumenta se elevarmos 
a tensiio de alimentaqiio. 
Capitulo I . Introdu~iio aos Pardmetros de Linhas 57 
Podemos definir uma reatincia capacitiva para a linha: 
- 
1 1 
- Om. Xctota~ -- -- wc,,e rce 
A reatincia capacitiva i inversamente proporcional ao comprimento. 
As tabelas contendo caracteristicas elitricas de condutores podem apresentar 
informaq6es das reatiincias capacitivas fase-neutro. Vejamos como utiliza-las: 
Reatsncia por fase (fase-neutro) 
Consideremos a permissividade do ar como igual B do viicuo: 
Obtemos a expressgo da reatincia capacitiva fazendo: 
1 
- - 
1 
- - 
1 
- xc =- 2,862x109 D ln-, 
f r 
2,862x109 D 1,779x106 D Xc = In- Qm ou X,, = In- Omi . 
f r f r 
Que pode ser desmembrada em: 
X; : Reatincia capacitiva para afastamento de 1 pi, com o raio r dado em p i s 
(1 p i = 12 polegadas). 
X; : fator de afastamento (ou espa~amento) da reatincia capacitiva em pis. 
EXEMPLO 3 
Vejamos o caso do cab0 Grosbeak, com diimetro externo D,,, = 0,99" (lem- 
bramos novamente que para o cilculo de capacitincias usamos o raio externo, e ngo 
o rmg do condutor). Consideramos nesse caso um afastamento D = 20 pes. 
Da tabela, para o cab0 Grosbeak, obtemos a reatgncia para espaqamento 
de 1 p i : 
58 Fundamentos de Sistemas El&tricos de Potgncia 
Calculamos o fator de espaqamento: 
Resultando em uma reatincia de 183.420 Qmi . 
Obtemos o raio externo em pis, para trabalhar com a mesina unidade do es- 
paqamento entre fases. 
E podemos aplicar